Es wird ein Planet mit einer Umlaufdauer um die Sonne von 7 Jahren entdeckt. Wie groß ist sein mittlerer Abstand von der Sonne?

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1 s wi ein Planet mit eine Umlaufaue um ie Sonne von 7 Jahen enteckt. Wie goß ist sein mittlee Abstan von e Sonne? Lösung Gemäß ittem Kepleschen Gesetz gilt T T 3 T a A A T 7 3, 66 5, 50 0 a / 3 / 3 m

2 in Pojektil wi mit e Anfangsgeschwinigkeit von 0 km/s von e obefläche senkecht nach oben geschossen. Beechnen Sie unte Venachlässigung es Luftwiestanes seine maximale Höhe. Lösung Gemäß negiesatz gilt: mv pot mv mv 0 0 pot, mv, pot, m m m R mv v m R R m m mv R R v R v Re Höhe übe e 0000 m/s 5,98+4 kg 6,67- N m²/kg² 6,37+06 m 4,96 x Re ,3 m 545 km

3 Beechnen Sie as Vehältnis e kinetischen negie eines Satelliten auf eine Keisbahn um einen Zentalköpe zu seine gesamten negie. Kann man as gebnis veallgemeinen? Lösung Die potentielle negie eines Satelliten e asse m im Abstan vom ittelpunkt es Zentalköpes mit e asse ist gegeben uch: pot m Gleichsetzen von Gavitationskaft un Zentipetalkaft liefet: m v mv Fü ie kinetische negie egibt sich: mv m kin pot m ges kin pot pot Dieses gebnis gilt fü alle Kaftfele mit umgekeht quaatische Abstansabhängigkeit, wie z.b. auch Coulombfele. Gleiche Übelegungen ween auch bei negieübelegungen im Bohschen Atommoell uchgefüht.

4 a) Beechnen Sie ie Winkelgeschwinigkeit un ie Höhe eines Satellien mit e asse von 50 kg auf eine geostationäen Umlaufbahn. b) Welche kinetische un potentielle negie besitzt e Satellit auf iese Umlaufbahn? c) Vegleichen Sie iese negien mit en entspechenen negien auf e obefläche un beechnen Sie aaus ie negie, ie fü en Tanspot es Satelliten von e obefläche in ie geostationäe Bahn aufzubingen ist (Beücksichtigen Sie ie negie fü ie Tägeakete nicht).

5 Lösung zu a+b+c) Die Winkelgeschwinigkeit muß gleich e Winkelgeschwinigkeit auf e e sein. Fü en Zusammenhang zu Höhe ehält man: m m 3 Fü ie kinetische negie egibt sich ann kin mv m Fü ie potentielle negie egibt sich m pot Rechnet man mit e siiischen Zeit, so egibt sich: siiisch Umlaufzeit 8664 s Gavitationskonstante 6,67- m³ / s² kg R ee 6,37+06 m masse 5,97+4 kg Satellitenmasse,0+03 kg Winkelgeschwinigkeit 7,9-05 Hz ntf. Geost. Bahn = 4,+07 m kinetische negie geostationä potentielle negie geostationä Gesamtenegie geostationä kinetische negie obefläche potentielle negie obefläche Gesamtenegie obefläche negieiffeenz 5,67+09 J -,3+0 J -5,67+09 J,9+08 J -7,50+0 J -7,49+0 J 6,9+0 J

6 (nicht Klausuelevant, abe ennoch inteessant m s l Abb Lampe s 798 hat Cavenish mit eine Gavitationsehwaage gem. Abb. ie assenanziehung zwischen zwei Köpen nachgewiesen. Bestimmen Sie unte folgenen Voaussetzungen aus em gegebenen Potokoll ie Gavitationskonstante. Voausgesetzt sei: an läßt sich ie assen zum Zeitpunkt t = 0s eschütteungsfei in Richtung e kleinen assen m beschleunigt bewegen. Die Veillung es Faens spielt fü ie este inute keine Rolle (Venachlässigung e Tosionskaft), un wähen iese Zeit änet sich auch e Abstan e anziehenen assen nicht wesentlich. Potokoll: t / s s / cm 5 0, =,46 kg 30 0,7 m = 0, kg 45,6 = 0,045 m 60 3,0 l = 0,0 m 75 4,4 l = 90 6, = 0,05 m 05 7,4

7 Lösung zu a) Nach Newton gilt m F = m a un F Gleichsetzen liefet: a Da es sich zunächst um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung hanelt ( m F ist im Wesentlichen konstant ), gilt fü ie Beschleunigung ie Gleichung s a t Aus e Ähnlichkeit e Keisausschnitte folget man zusätzlich: s' l' s s' s l' Damit ehält man fü ie Beschleunigung s t s' t a l' Fü ie Gavitationskonstante ehält man somit a s' t l'

8 Komet HALLY Komet HALLY; von NASA/W. Lille [Public omain], via Wikimeia Commons Kometen sin mit iesigen, schmutzigen Schneebällen vegleichbae Köpe von einigen Kilometen Duchmesse. Sie umlaufen ie Sonne auf langgesteckten llipsenbahnen. st in Sonnennähe entsteht in günstigen Fällen ein Schweif, e eine Länge von übe A eeichen kann. a) läutee, wie e Schweif eines Kometen entsteht. b) läutee weite, waum ein Komet an ateie veliet. c) Seit meh als 000 Jahen wi e imme in gleichen Zeitabstänen wieekehene un nach em athematike un Astonomen mon HALLY (656 74) benannte Komet HALLY beobachtet. De letzte Peiheluchgang fan im Jahe 986 statt, e nächste wi fü as Jah 06 ewatet. Beechne ie Länge e goßen Halbachse seine Bahnellipse.

9 Komet HALLY - Lösung A+b) In Sonnennähe veampft ie sonst eingefoene ateie, es kommt zu Bilung von Gas un Staub. Bei e Bestahlung mit Sonnenlicht wi as Gas un e Staub sichtba. Aufgun e elativ geingen asse es Kometen können sich schnelle Gasteilchen aus em Anziehungsbeeich es Kometen entfenen. De Sonnenwin (Sonnenstahlen) teiben ieses Gasgemisch von e Sonne weh, so ass e Schweif imme von e Sonne wegzeigt. c) Fü ie Umlaufaue es Planeten gilt TH=06a 986a=76a

10 Satellitengeschwinigkeit in Satellit bewegt sich auf eine llipsenbahn um ie e. Sein enächste Abstan betägt 300km, sein gößte Abstan 000km. Bestimmen Sie mit Hilfe es. KPLRschen Gesetzes as Vehältnis e Geschwinigkeiten an iesen Stellen.

11 Satellitengeschwinigkeit - Lösung Die Fläche, ie e Fahstahl Satellit - e im Apogäum bzw. Peigäum in eine kleinen Zeitspanne übesteicht ist näheungsweise gleich eine Deiecksfläche (siehe Zeichnung). De uch ie Kümmung e Bahn beingte Fehle ist abei umso kleine je kleine ie gewählte Zeitspanne ist. Diese kann in e folgenen Übelegung beliebig klein angenommen ween. Das zweite KPLRsche Gesetz kann amit folgenemaßen fomuliet ween: Die Geschwinigkeiten stehen also im Vehältnis 5 : 4.