Arbeit in Kraftfeldern

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1 Abeit in Kaftfelden In einem Kaftfeld F ( ) ist F( )d die vom Feld bei Bewegung eines Köps entlang dem Weg geleistete Abeit. Achtung: Vozeichenwechsel bzgl. voheigen Beispielen Konsevative Kaftfelde Ein Kaftfeld F ( ), in dem die Abeit entlang geschlossene Wege veschwindet, heißt konsevativ. Fü Weg ( 1 ) (von Anfangspunkt 1 bis Endpunkt ) hängt W nu von 1 und ab, abe nicht von. F d = F d + F d 1 ( 1 ) ( 1 ) }{{} = F d F d = ( 1 ) F d 1 1 ( 1 ) ( 1 ) 1 F z.b. F = const., alle kugelsymmetischen Zentalfelde. Bewegungsgleichungen Novembe 008

2 Potentielle Enegie W = In konsevativen Kaftfelden: F d 1 ( 1 ) = E p ( 1 ) E p ( ) = [E p ( ) E p ( 1 )] E p = potentielle Enegie; [E p ] = [W] = Nm Beachte Vozeichen: E p nimmt zu, wenn Bewegung gegen das Kaftfeld geichtet ist Wahl des Nullpunkts von E p willkülich bzw. duch Konvention festgelegt. Potentielle Enegie eine Masse m im Ed-Schweefeld: E p (z) = mgz (Wahl des z-uspungs willkülich) Potentielle Enegie bei Dehnen eine Fede: E p (x) = 1 Dx (x-uspung: Gleichgewichtslage) Potentielle Enegie im Ed-Gavitationsfeld: d = d ; F = G mm E = d W = F d = GmM E = = GmM E ( ) 1 [ GmME! = E p ( 1 ) E p ( ) ] 1 E p ()= GmM E (Nullpunkt so, dass E p ( ) = 0). Bewegungsgleichungen Novembe 008

3 De Enegiesatz Heleitung aus. Newtonschen Gesetz: t t 1 F = d p dt F v dt }{{} d = v dt m=const. = m d v dt = m t t 1 d v v dt dt E p (t 1 ) E p (t ) = 1 mv(t ) 1 mv(t 1) E p + 1 mv = const. = E tot Definition: kinetische Enegie = 1 mv = E kin Schiefe Ebene: t=0, v=0 mgh = 1 mv v = gh h t=t 1, v=v1 E Fede: E tot = E p + E kin = 1 Dx + 1 mv elaubte Beeich E = p Dx Wegen E kin > 0 ist nu de Beeich mit E tot E p elaubt. E tot ( Schwingungen, Abschnitt.4) x 0 x 0 x. Bewegungsgleichungen Novembe 008

4 Beechnung de Kaft aus de potentiellen Enegie In konsevativen Kaftfelden: Potentielle Enegie E p egibt sich duch Integation aus Kaftfeld Umkehung? Ja: E p ( )/ x F( ) = E p ( )/ y = gade p ( ) = E p ( ) E p ( )/ z (ohne mathematischen Beweis!) Beispiel: Gavitationsfeld de Ede E p ( ) = E p () = G mm E mit = x + y + z Anwendung de Kettenegel: ( ) ( ) E p () 1 = GmM E x x ( = GmM E 1 ) (x ) Genauso fü y und z; insgesamt: F G = G mm x/ E y/ z/ = G mm E. Bewegungsgleichungen Novembe 008

5 Leistung Definition: Leistung = P = dw dt ; [P] = Nm/s = J/s = W(att) Zusammenhang mit F und v: Betachte Wegintegal übe Kaft entlang Weg, de duch = (t) gegeben ist: P = d F d s dt t = d F(t d ) dt dt dt = d dt F (t ) v (t )dt t 0 t 0 P = F v t Beispiel: Maximale Beschleunigung a eines Autos mit 50kW Motoleistung und Masse m = 10 3 kg bei Geschwindigkeit v = 0 m s? F v P = Fv = mav a = P mv = kgm s s 3 kgm =.5 m s. Bewegungsgleichungen Novembe 008

6 Keisbahn um die Ede, Fluchtgeschwindigkeit Keisbahn um die Ede: Gavitations-Kaftfeld zeigt adial zum Edmittelpunkt Keisbewegung mit konstantem ω möglich (Umlauf von Masse m in Radius R um Edmittelpunkt). Newtonsches Gesetz: F G = m a zent G mm E R = mω R = m v R R = GM E v Achtung: Andee Bahnfomen (Ellipsen) möglich, siehe.3 Fluchtgeschwindigkeit: Enegiebilanz im Ed-Gavitationsfeld E tot = E p + E kin = G mm E + 1 mv = const. E tot < 0: Bewegung beschänkt auf G M Em E tot E tot 0: Bewegung nach möglich Genzfall: E tot = 0 G M Em = 1 R E mv 0 GM E v 0 = = gr E R E = 11.km/s = Fluchtgeschw. 0 E R E E = GM E m p E tot >0 E tot <0. Bewegungsgleichungen Novembe 008

7 Stoßpozesse Poblemstellung: Wechselwikung zweie Köpe miteinande, abe nicht mit andeen Objekten Köpe lenken sich gegenseitig ab Anfangs- und Endzustand: Abstand goß, keine (bzw. venachlässigbae) Wechselwikung E tot = E kin 3. Newtonsches Gesetz Impulsehaltung p 1 Impulssumme: p 1 p p tot = p 1 + p = p 1 + p p Schwepunktsystem: p tot = 0 Elastisch: E kin = E kin Elastisch ode inelastisch? in konsevativen Kaftfelden wenn sich die Köpe nicht beühen und unveändet bleiben Inelastisch: Q = E kin E kin > 0 Kinetische Enegie wid umgewandelt Vefomung, Schall, Wäme,.... Bewegungsgleichungen Novembe 008

8 Zentifugalkaft Definition: Köpe, de in otieendem Bezugssystem uht, efäht Beschleunigung a Z = ρω in Richtung zu Dehachse (ρ = Abstand Köpe Dehachse) Köpe übt Zentifugalkaft mit Betag m a Z adial nach außen aus Vektoscheibweise: F Z = m a Z = m ω ( ω) Rotieendes Wasseglas: Wasseobefläche stelt sich senkecht zu insgesamt wikenden Kaft ein tan α = F Z! = dz o() F G d tan α = ω g z o () = z o (0) + o ω z o (0) + ω g g d = z () o ω z α F G α F Z F tot.3 Dehungen Novembe 008

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