1.3. Statik. Kräfte bewirken Verformungen und Bewegungsänderungen. Die Wirkung einer Kraft wird bestimmt durch Angriffspunkt Richtung

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1 1.3. Statik Käfte Zug- und Duckfede, Expande, Kaftmesse: Je göße die Kaft, desto göße die Vefomung mit Kaftmesse an OHP-Pojekto, Stuhl, ode Pesente ziehen Je göße die Kaft, desto göße die Beschleunigung. Die Richtung de Beschleunigung hängt ab von Betag, Richtung und Angiffspunkt de Kaft. Käfte bewiken Vefomungen und Bewegungsändeungen. Die Wikung eine Kaft wid bestimmt duch Angiffspunkt Richtung Angiffspunkt Betag Solche geichtete Gößen nennt man Vektoen (lat. vehee = bewegen, vgl. Vehikel) und stellt sie mit Pfeilen da. De Betag F eine Kaft F (engl foce = Kaft) entspicht de Länge des Kaftpfeils. Sie wid mit einem Fedekaftmesse bestimmt und in Newton N (nach Isaac Newton ) angegeben. Wiken zwei Käfte auf einen Angiffspunkt, so lassen sie sich duch Hinteeinandelegen de Pfeile zu eine esultieenden Kaft addieen. (Vektoaddition). Umgekeht lässt sich ein Kaftpfeil in zwei Komponenten zelegen, deen Summe wiede den uspünglichen Kaftpfeil egibt. Die beiden Komponenten bilden die Seiten und die Resultieende die Diagonale des Käftepaallelogamms. Seh häufig zelegt man Käfte in echtwinklige Komponenten, deen Betäge dann mit tigonometischen Funktionen und dem Satz des Pythagoas bestimmt weden können. Beispiel 1: Käftezelegung Bestimme die hoizontale Komponente F x und die vetikale Komponente F y de Zugkaft F = 100 N, welche im Winkel von = 30 zu Hoizontalen an de Kiste angeift. F x = cos() F 86,6 N und F y = sin() F = 50 N. F y F x Beispiel : Resultieende Zwei Käfte F 1 = 00 N und F = 10 N geifen unte den Winkeln 1 = 30 und = 45 zu Hoizontalen an de Kiste an. a) Bestimme den Betag de esultieenden Kaft F und ihen Winkel zu Hoizontalen. b) Wie muss de Betag von F geändet weden, damit die Vetikalkomponente veschwindet? 1 a) Hoizontal: F x = F 1x + F x = cos( 1 ) F 1 + cos( ) F 58,1 N Vetikal: F y = F 1y + F y =sin( 1 ) F 1 + sin( ) F 15,1 N Winkel zu Hoizontalen = tan 1 F y 3,35 Fx b) Vetikale Komponente: F y = F 1y + F y =sin( 1 ) F 1 + sin( ) F sin( 1) F = F 1 141,1 N. sin( ) F 1y F y 1 F x F 1x Übungen: Aufgaben zu Statik N

2 1.3.. Gavitation Die Masse m eines Köpes wid mit eine Waage bestimmt und in Kilogamm kg angegeben. Das Ukilogamm wid in Sèves bei Pais gelaget. (siehe echts) In de klassischen Mechanik besitzt die Masse zwei veschiedene Eigenschaften: a) Tägheit (Inetia): Eine Masse m widesetzt sich eine Kaft F, so dass ihe esultieende Beschleunigung nu noch a = F m betägt. b) Schwee (Gavitation) Zwei Massen m 1 und m im Abstand ziehen sich m1 m gegenseitig an mit de Gavitationskaft F G = γ mit de Gavitationskonstante γ 6, m. kg s Beispiel 1: Gavitationskaft Beechne die Gewichtskaft eines 1 kg schween Köpes (m 1 = 1 kg) in Meeeshöhe und in 1000 m Höhe. Die Ede hat den Radius 6378 km und die Masse m = 5, kg. m1 m F g = γ 9,808 N kg auf Meeeshöhe und F m1 m g = γ ( 1000 m) 9,805 N kg in 1000 m Höhe. Wie man sieht, ist die Gavitationskaft auf einen 1 kg schween Köpe auf de Edobefläche nahezu konstant. Fü einen Köpe de Masse m gilt F g = m g mit de Gavitationsfeldstäke g 9,81 N kg. Häufig echnet man genähet mit g 10 N kg. Beispiele : Gavitationsfeldstäke Beechne die Gewichtskaft F g fü die folgenden Massen mit g 10 N kg : m 1 = 1 g; m = 100 g und m 3 = 1 t. F 1g = 10 mn; F g = 1 N und F 3g = 10 kn. Beispiel 3: Schiefe Ebene Eine Kiste mit de Masse m = 100 kg sitzt auf eine schiefen Ebene mit dem Neigungswinkel = 30 zu Hoizontalen. Bestimme die Nomalkaft, welche die Kiste senkecht zu Ebene andückt und die Hangabtiebskaft F H, welche die Kiste paallel zu Ebene beschleunigt. (siehe echts) F H Gewichtskaft F G = m g = 1000 N Nomalkaft = cos() F G 866 N Hangabtiebskaft F H =sin() F G = 500 N F G Übungen: Aufgaben zu Statik N Reibungskäfte Die Reibungskaft F R eines Köpes auf eine Untelage kommt duch das Ineinandegeifen de Unebenheiten de Kontaktflächen zustande. Sie wikt paallel zu Kontaktfläche als Gegenkaft zu jede angeifenden Kaft. Die Hafteibungskaft ist duch die Vehakung de Unebenheiten imme göße als die Gleiteibungskaft. Duch das Lösen bzw. Einsetzen de Vehakung gibt es beim Anfahen und zum Stehen kommen imme einen kleinen Ruck. Die Reibungskaft ist popotional zu Nomalkaft senkecht zu Beühungsfläche. Die Popotionalitätskonstante heißt Reibungszahl μ. Es gilt also Reibungszahl fü Hafteibung Gleiteibung Holz auf Holz 0,6 0,4 Stahl auf Stahl 0,15 0,1 Stahl auf Eis 0,03 0,01 Reifen auf tockene Staße 1,0 0,6 Reifen auf nasse Staße 0,5 0,3 Reifen auf Eis 0,1 0,05 F R = μ.

3 Beispiel 1: Bemskaft Bestimme die maximale Bemskaft (Reibungskaft) eines m = 1 t schween Autos auf tockene Staße, nasse Staße und Eis. Mit de Nomalkaft = F g = m g = 10 kn ehält man: auf tockene Staße: F R = 1 = 10 kn auf nasse Staße: F R,5 = 5000 N auf Eis: F R,1 = 1000 N. F R = μ Kaft Beispiel : Schiefe Ebene Eine Kiste mit de Masse m = 0 kg sitzt auf eine schiefen Ebene mit dem Neigungswinkel = 5 zu Hoizontalen und de Hafteibungszahl μ,8. a) Bestimme die Reibungskaft F R und die Hangabtiebskaft F H. b) Bei welchem Neigungswinkel fängt die Kiste an zu utschen? F H F R a) Gewichtskaft F G = m g = 00 N Nomalkaft = cos() F G 181,3 N Hangabtiebskaft F H =sin() F G = 84,5 N Reibungskaft F R = μ 145,0 N b) Die Kiste fängt an zu utschen, wenn die esultieende Kaft F H F R ist. Duch Einsetzen ehält man 0 = sin() F G μ cos() F G = [sin() μ cos()] F G F G sin() = μ cos() sin( ) cos( ) = μ tan() = μ = tan 1 (μ) 38,65 Übungen: Aufgaben zu Statik N Fedekäfte Alle kistallinen (Salze und Metalle) und venetzte makomolekulae Feststoffe (Kautschuk, Gummi, Kollagen, Holz) vehalten sich unte Belastung in gewissen Genzen elastisch: Solange die Bindungen nicht zestöt weden, kehen sie bei nachlassende Belastung wiede in ihe uspüngliche Fom zuück. Die Vefomung um die Stecke s aus de uspünglichen Fom ist in diesem Beeich popotional zu angeifenden Kaft F. Die Popotionalitätskonstante heißt allgemein Elastizitätsmodul und bei Feden auch F Fedekonstante D = s = F s (Uspungsgeade!) mit Einheit N m. Stauchung/Duck F Dehnung/Zug Δs D = ΔF s Beispiel: Um eine Fede um 3 cm aus de entspannten Lage zu dehnen, muss man mit 15 N ziehen. a) Welche Zugkaft benötigt man fü die Dehnung um 5 cm aus de entspannten Lage? b) Welche Duckkaft benötigt man fü die Stauchung um cm aus de entspannten Lage? c) Wie stak ist die Dehnung bei eine Zugkaft von 0 N? Lösungen: Die Fedekonstante ist D = F s = 5 N/cm = 500 N/m a) Fü s = 5 cm benötigt man F = D s = 5 N. b) Fü s = cm benötigt man F = D s = 10 N. c) Bei 0 N ist die Dehnung s = F D = 4 cm. Übungen: Aufgaben zu Statik N. 13 und 14 3

4 Dehmomente FWU-Film Einfache Maschinen: Hebel F sin() Dehwikung Dehmoment = Hebelam Kaft senkecht zum Hebelam M = F Betag: M = F sin() Richtung: Voschubichtung eine Rechtsschaube Linksdehung positiv (Schaube kommt nach vone) Rechtsdehung negativ (Schaube geht nach hinten) Rechte-Hand-Regel: Daumen Zeigefinge = Mittelfinge F = M y F cos() keine Dehwikung Einheit: Newtonmete Nm Beispiel 1: Beechnung eines Dehmoments M = + 0,3 m 4 N sin(60 ) + 1,04 Nm (Linksdehung z 30 cm 4 N 60 z x Beispiel : Summe von Dehmomenten (Hebelgesetz) M = N 5 m 00 N = 800 Nm 1000 Nm = 00 Nm (Rechtsdehung) Vate steigt, Tochte sinkt Übungen. Aufgaben zu Statik N kg 0 kg 5 m Gleichgewicht Ein Köpe ist im Gleichgewicht, wenn 1. Die Summe alle äußeen Käfte Null ist: F (keine Tanslation, 1. Newtonsches Axiom) In de Regel betachtet man hoizontale Käfte und vetikale Käfte Fy getennt. Fx. Die Summe alle äußeen Dehmomente bezogen auf den Punkt P Null ist: MP (keine Rotation) In de Schule beschänkt man sich auf Dehmomente Papieebene. Mz um eine beliebige gewählte Bezugsachse z senkecht zu Aus diesen beiden Bedingungen lassen sich Lagekäfte an Geüsten und Maschinen beechnen. Achslage können vetikale und hoizontale Käfte übetagen, Rollenlage dagegen nu vetikale Käfte. Als Bezugsachse z fü die Dehmomente wählt man dann eines de zu beechnenden Lage, so dass die Dehmomentbilanz nu noch eine unbekannte Kaft enthält. Beispiele Beechne jeweils Betag und Richtung de Lagekäfte: a) Fy F 1 + F 100 N 0,5 m 100 N + 3,5 m F 50 Nm + 3,5 m F F 14,3 N und F 1 = 100 N F 85,7 N Z 100 N 0,5 m 3 m F 1 F 4

5 b) Fx F x = 100 N cos(30 ) 86,6 N F y 100 N sin(30 ) + F 1 00 N + F y F 1 + F y = 150 N 100 N 30 Z 0,5 m F 1 0 kg 1,5 m F y F x 0,5 m 100 N sin(30 ) 00 N +,5 m F y 5 Nm 00 Nm =,5 m F y F y = 90 N und F 1 = 150 N F y 60 N c) Fx F 1x = 00 N F y F 1 + F y = 300 N F 1x 30 kg Z 3 m 00 N 300 N + 3 m F 00 N 3 m F 100 Nm = 3 m F :( 3 m) F 33,3 N (Zugkaft!) und F 1y = 300 N F + 333,3 N Übungen. Aufgaben zu Statik N. 16 F 1y F Schwepunkte Expeimentelle Bestimmung des Schwepunktes bei Lineal, Geodeieck, usw. De Schwepunkt eines Köpes ist de Lagepunkt, auf dem sich de Köpe im Gleichgewicht befindet. Man bestimmt seine Lage mit Hilfe de Dehmomentbilanz fü einen beliebigen Bezugspunkt Z. Wenn de Köpe aus den Massen m 1,, m k mit den Hebelamen 1,, k zusammengesetzt ist und de Hebelam bzw. die Position des Schwepunktes ist, müssen die Dehmomente 1 m 1 g,. de einzelnen Massen duch das Dehmoment de gesamten Gewichtskaft am Lageot ausgeglichen weden. Es muss gelten (m m k ) g ( k m k ) g (m m k ) k m k m m3 m 4 m 5 m g m 3 g m 4 g m 5 g m 1 g (m m k ) g m... m = 1 1 k k m... m 1 k Übungen. Aufgaben zu Statik N. 17 5