Inhalt der Vorlesung A1

Transkript

1 PHYSIK Physik A/B A WS SS 07 03/4 Inhalt de Volesung A. Teilchen A. Einzelne Teilchen Bescheibung von Teilchenbewegung Kinematik: Quantitative Efassung Dynamik: Usachen de Bewegung Käfte Abeit + Leistung, Enegie Ehaltungssätze: Enegie+Impulsehaltung Reibungskäfte Schwingungen Rotationsbewegung: Dehimpuls+Dehmoment

2 PHYSIK Physik A/B A WS SS 07 03/4 Wiedeholung: Keisbewegung (t) Die Bewegung ist vollständig duch Angabe des Winkels chaakteisiet. ϕ(t) Winkelgeschwindigkeit: dϕ( t) ω ( t) dt Betag de Bahngeschwindigkeit: v ω Winkelbeschleunigung: dω( t) d α ( t) dt ϕ( t) dt Beschleunigung: a d dt a a ( t ) α ω v

3 PHYSIK Physik A/B A WS SS 07 03/4 Beispiel: Gleichfömige Keisbewegung (t) (t) De zeitabhängige Otsvekto ist dann cos( ω t) ( t) ρ0 sin( ω t) 0 Geschwindigkeit Winkelgeschwindigkeit : ω π f v( t) v ( t) ρ v( t) 0 sin( ω t) ω cos( ω t) 0 ρ ω const. 0 Peiode : T f π ω Die Fequenz f gibt die Anzahl de Umläufe po Sekunde an. 3

4 PHYSIK Physik A/B A WS SS 07 03/4 Die Keisbeschleunigung ist a ( t) cos( ω t) ρ0ω sin( ω t) 0 (t) Die Keisbeschleunigung steht senkecht auf de Geschwindigkeit, sie weist imme zum Keismittelpunkt (Zentipetalbeschleunigung). Weitehin folgt, daß die Keisbeschleunigung popotional zum Quadat de Winkelgeschwindigkeit ist: a ρ 0ω ω 4

5 PHYSIK Physik A/B A WS SS 07 03/4 Wichtig ist nicht nu die Angabe de Dehfequenz, sonden auch die Oientieung de Dehachse, um die die Rotation efolgt. ω v ϕ Winkelgeschwindigkeit als Vekto ω De Vekto legt mit seine Richtung die Dehachse und mit seinem Betag die Fequenz. 0 Die Bahngeschwindigkeit ist dann: ω v dϕ dt ω 5

6 PHYSIK Physik A/B A WS SS 07 03/4 Untesuchung des Einflusses eine Kaft: Entscheidend bei de Dehbewegung sind nicht nu Betag und Richtung de Kaft, sonden auch Abstand von de Dehachse! Beispiel: TÜR De Tügiff sollte imme maximal weit weg von de Dehachse montiet sein! Diese Abstandsabhängigkeit tägt de Begiff de Kaft allein nicht Rechnung Definition eines neuen Begiffs: 6

7 PHYSIK Physik A/B A WS SS 07 03/4 Wenn die Kaft F und de Abstand senkecht aufeinande stehen, nennt man das Podukt M das Dehmoment. F Allgemein: M F sin α α sin α F Veschiedene Fälle fü Dehmomente: Fall : F F M M max Daaus folgt die allgemeine Definition des Dehmoments: M Fall : keine Wikung duch die Kaft! F F M 0 M F F 7

8 PHYSIK Physik A/B A WS SS 07 03/4 Expeimentelle Veanschaulichung de Dehmomentdefinition: Momentenscheibe 8

9 PHYSIK Physik A/B A WS SS 07 03/4 Aus diesen beiden Übeeinkünften, Benutzung des Dehwinkels zu Bescheibung de Bewegung Benutzung von Dehmomenten zu Bescheibung de Dynamik egeben sich eine Vielzahl andee Gößen: dp dt F dp dt F M d dt ( p) M Dehimpuls De lineae Impuls wa definiet duch: p mv De Dehimpuls eines Massepunktes ist definiet als: L p mv Es sollte beachtet weden, dass de Dehimpuls davon abhängt, auf welchen Uspungspunkt e bezogen wid. 9

10 PHYSIK Physik A/B A WS SS 07 03/4 L bezogen auf den Keismittelpunkt O L ω L bezogen auf den Punkt O L ω L m v L m v 0

11 PHYSIK Physik A/B A WS SS 07 03/4 De Dehimpuls eines Massepunktes ist definiet als: L p mv Ots- und Geschwindigkeitsvekto sollen senkecht zueinande stehen. Dann kann gilt fü den Betag des Dehimpulses: Den Ausduck I m L p m v m ω ( m )ω nennt man das Tägheitsmoment des Köpes. Zudem ist de Dehimpuls paallel zu Winkelgeschwindigkeit oientiet. Dehmoment L I ω Kinetische Enegie ( ) ( ) ω m ω Iω E kin mv m

12 PHYSIK Physik A/B A WS SS 07 03/4 Bewegungsgleichung De Dehimpuls ist nach de uspünglichen Definition: L Daaus folgt duch Ableiten nach de Zeit: Wegen p dl dt egibt sich: p mv m p 0 dl dt p + p p p Wegen des. Newton schen Axioms gilt: F p Das Dehmoment wude definiet als: M Also folgt dl dt F F M Ein Dehmoment M bewikt eine Ändeung des Dehimpulses L.

13 PHYSIK Physik A/B A WS SS 07 03/4 Dehimpulsehaltung Aus de Bewegungsgleichung des staen Köpes folgt sofot de nächste wichtige Ehaltungssatz. In einem abgeschlossenen System, auf das keine extenen Momente einwiken, gilt: dl dt 0 L const. De Gesamtdehimpuls des Systems bleibt also ehalten. Da de Dehimpuls ein Vekto ist, gilt diese Aussage fü jede einzelne Komponente. 3

14 PHYSIK Physik A/B A WS SS 07 03/4 Beispiel: Dehimpulsehaltung bedeutet, dass de Vekto L I ω const. konstant bleiben muß, selbst wenn das Tägheitsmoment I sich wähend de Bewegung veändet. Piouetteneffekt I ω I ω ω ω I I I > I ω > ω 4

15 PHYSIK Physik A/B A WS SS 07 03/4 Beispiel: Dehimpulsehaltung beim Tunen Schwungholen bei eine Riesenfelge: I ω I ω Beispiel: De Salto ω ω I I I > I ω > ω 5

16 PHYSIK Physik A/B A WS SS 07 03/4 Vesuch: Dehimpulsehaltung am Dehstuhl: Piouetteneffekt ω klein L I ω const. ω goß I klein I goß Eine Peson mit ausgesteckten Hanteln wid in Dehbewegung vesetzt. Das Tägheitsmoment ist elativ goß. Die Hanteln weden dann an den Köpe gezogen. Das Tägheitsmoment veinget sich und die Rotationsfequenz nimmt zu. 6

17 PHYSIK Physik A/B A WS SS 07 03/4 Lineae Bewegung Rotationsbewegung Otskoodinate Masse Geschwindigkeit Beschleunigung Kaft lineae Impuls Tanslationsenegie F F Vegleich: Tanslations- und Rotationsbewegung dp dt ma x m v x a v F x p mv E kin mv Bewegungsgleichung Dehwinkel Tägheitsmoment Winkelgeschwindigkeit Winkelbeschleunigung Dehmoment Dehimpuls Rotationsenegie M mx M ϕ I ω ϕ α ω ϕ M F L E dl dt Iα ot I ω I ω I ϕ 7

18 PHYSIK Physik A/B A WS SS 07 03/4 Inhalt de Volesung A. Teilchen A. Einzelne Teilchen Bescheibung von Teilchenbewegung Kinematik: Quantitative Efassung Dynamik: Usachen de Bewegung Käfte Abeit + Leistung, Enegie Ehaltungssätze: Enegie+Impulsehaltung Reibungskäfte Schwingungen Rotationsbewegung: Dehimpuls+Dehmoment Planetenbewegung 8

19 PHYSIK Physik A/B A WS SS 07 03/4 Die Planetenbewegung Geozentisches Weltbild Histoische Übesicht: Aistoteles (384-3 v.ch.) 9

20 PHYSIK Physik A/B A WS SS 07 03/4 Poblem: Planetenbahnen bescheiben am Himmel Schleifen! 0

21 PHYSIK Physik A/B A WS SS 07 03/4 Claudius Ptolemäus (ca n.ch.) Almagest: Epizykeltheoie

22 PHYSIK Physik A/B A WS SS 07 03/4 Heliozentisches Weltbild Nikolaus Kopenikus ( ) 543: De-Revolutionibus

23 PHYSIK Physik A/B A WS SS 07 03/4 Äquivalenz de Ptolemäischen und Kopenikanischen Sichtweise 3

24 PHYSIK Physik A/B A WS SS 07 03/4 Unteschiedliche Schleifen von inneen und äußeen Planeten 4

25 PHYSIK Physik A/B A WS SS 07 03/4 Galileo Galilei (564-64) 60: Beobachtung de Jupitemonde 5

26 PHYSIK Physik A/B A WS SS 07 03/4 Tycho Bahe (564-60) E liefete fü seine Zeit extem päzise Bestimmungen deplanetenbahnen. 6

27 PHYSIK Physik A/B A WS SS 07 03/4 Johannes Keple (57-630) Astonomica Nova (609) Hamonici Mundi (69) 7

28 PHYSIK Physik A/B A WS SS 07 03/4 Das. Keplesche Gesetz Alle Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen um die Sonne. Die Sonne steht dabei in einem Bennpunkt de Ellipse. 8

29 PHYSIK Physik A/B A WS SS 07 03/4 Die Ellipse ist eine geschlossene Kuve de Beziehung x a + b y y b u m Im Genzfall a b geht die Ellipse in einen Keis übe. A m a v A x Die Bennpunkte sind A und A. Fü die Vebindungslinien zu jedem Punkt de Ellipse gilt u + v const. Ellipse 9

30 PHYSIK Physik A/B A WS SS 07 03/4 Das. Keplesche Gesetz Die Vebindungslinie zwischen de Sonne und einem Planeten übesteicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen. In de Nähe de Sonne läuft de Planet schnelle und legt in de Zeit t eine gößee Stecke zuück. Sonne t A A t A A 30

31 PHYSIK Physik A/B A WS SS 07 03/4 Dahe sind die in de Zeit t übestichenen Flächen imme gleich, also A A Dieses Gesetz kann man so ekläen: Fü eine in de Zeit dt übestichene d Fläche da gilt: da m m m v dt da d m d m dt dt m d Es folgt da dt m m v De Dehimpuls ist nun eine Konstante! L mv konstant ist. da L const. dt m Also: A( t) t 0 da dt dt m L t d.h. fü gleiche Zeiten t weden gleiche Flächen A( t) übestichen! 3

32 PHYSIK Physik A/B A WS SS 07 03/4 Waum ist de Dehimpuls eine Konstante? Weil die Gavitation eine sog. Zentalkaft ist, die auf ein Zentum hin oientiet ist. m s >> m Dann gilt: M F( ) f ( ) m 0 F m s >> m γ mm Die Sonne bewegt sich in gute Näheung nicht: S 0 mms F γ f ( ) 3 L In Zentalkaftfelden bleibt de Dehimpuls also ehalten. p ist L In Zentalfelden ist die Bewegung zweidimensional. In allen Zentalfelden gilt das. Keple sche Gesetz. 3

33 PHYSIK Physik A/B A WS SS 07 03/4 Das 3. Keplesche Gesetz R Wegen : m F g F z m Das Quadat de Umlaufdaue eines Planeten ist popotional zu ditten Potenz seine mittleen Entfenung zu Sonne. Im Fall eine Keisbewegung kann dieses Gesetz einfach gezeigt weden. Dabei wiken Gavitations- und Zentifugalkaft (T Umlaufdaue, ωπ/t): m m F R G γ, F z mrω ( π ) mm T 4π F z FG γ m R 3 R T R γ m const. 33

34 PHYSIK Physik A/B A WS SS 07 03/4 Beechnung de Planetenbahnen mit dem Newton schen Gavitationsgesetz: Annahme: Nu ein Planet de Masse m bewegt sich um die Sonne, deen Masse m s seh viel göße ist Die Sonne bewegt sich nicht. const. m. Newton - Axiom fü die Masse m : d ( t) msm ( t) m γ dt ( t) ( t) m s >> m Lösung diese (dei!) Gleichungen : ( t) liegt in eine Ebene und bescheibt eine Ellipse, mit de Sonne in einem Bennpunkt!. Keple - Gesetz! Anmekungen: Die andeen Planeten stöen die elliptischen Bahnkuven leicht. Es gibt auch andee mögliche Bahnen: Keise, Hypebeln ode Paabeln. Falls m s >> m nicht gilt, dann bewegen sich beide Köpe um den gemeinsamen Schwepunkt. 34

35 Physik A/B SS 07 PHYSIK A WS 03/4 Inwiefen ist es ealistisch, dass Raumschiffe mit /4 de Mondmasse in die Nähe de Ede kommen können? Gavitation : Geostationäe Obit Abstand Ede - Mond F F RS Mond m m RS Mond / / RS Mond 4 RS Mond km km 5!! Weitehin wüden sich das Raumschiff und die Ede um ihen gemeinsamen Schwepunkt bewegen und das System aus den dei Köpen Ede-Mond-Raumschiff wäe wahscheinlich instabil! Selbst wenn die Aliens fiedlich wäen, wüde allein die Existenz des Raumschiffes auseichen, um die Ede zu venichten!!! 35