Bestimmung der Fallbeschleunigung. (1) dt. Durch Integration ergibt sich für die Zeitabhängigkeit von Geschwindigkeit und Ort.

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1 M09 Bestimmung de allbeschleunigung Die usammenhänge zwischen eschwindigkeit, Beschleunigung, Masse und Kaft weden am Beispiel des feien alles mit de Atwoodschen allmaschine expeimentell untesucht. Im Rahmen de Auswetung wid eine Abschätzung und Koektu systematische Abweichungen vogenommen. 1. Theoetische undlagen 1.1 eg, eschwindigkeit und Beschleunigung Die Momentangeschwindigkeit eines Massenpunktes ist dx v x, (1) dt wobei man mit x ( t) den Otsvekto zu eit t bezeichnet. Die Beschleunigung a ist die zeitliche Ändeung de Momentangeschwindigkeit d x a v x. () dt Eine Bewegung mit v konst. heißt gleichfömig; eine Bewegung mit a konst. heißt gleichfömig beschleunigt. Duch Integation egibt sich fü die eitabhängigkeit von eschwindigkeit und Ot v( t) a t + v0 (3) 1 x t a t v t x + +. (4) und ( ) 0 0 Die Integationskonstanten x 0 und v 0 sind de Ot bzw. die eschwindigkeit zu eit t 0. Das Expeiment zeigt, dass die Beschleunigung a popotional zu beschleunigenden Kaft und umgekeht popotional zu Masse m des beschleunigten Köpes ist und bestätigt die undgleichung de Mechanik, das. Newtonsche Axiom: m a (5) 1. eie all id ein Köpe de Masse m aus de Ruhelage in einem konstantem Schweefeld (avitationskaft m g ) beschleunigt, so füht e eine Bewegung entspechend leichung (4) aus. Legt man das Koodinatensystem so, dass die x-achse in Richtung de Bewegung zeigt ( a g, x( t) h( t) ) und beücksichtigt man die Anfangsbedingungen h 0 0, v0 0, so egibt sich leichung (3) zu v ( t) g t (6) und leichung (4) zu h 1 t g (7) 015

2 M09 Bestimmung de allbeschleunigung Luftwidestand, Auftieb Messtechnisch ist es schwieig, Ot- und eitmessung im luftleeen Raum duchzufühen. enn man im luftefüllten Raum abeitet, müssen Luftwidestand und Auftieb beücksichtigt weden. De Luftwidestand ist popotional zu Queschnittsfläche A des fallenden Köpes, de Dichte ρ L de Luft und dem Quadat de eschwindigkeit v. In den Popotionalitätsfakto geht de idestandsbeiwet c ein, de duch die om des fallenden Köpes bestimmt ist. ü eine Kugel ist de c w -et 0,5-0,45. 1 c ρ v L A De Auftieb A egibt sich nach Achimedes aus dem ewicht de vedängten Luft, also ρ g V. A L Um feststellen zu können, unte welchen Voaussetzungen man diese beiden Einflüsse venachlässigen kann, weden beide Käfte abgeschätzt: Auftieb: mit ρ L 1,9kg m -3 egibt sich nach leichung (9) fü eine Stahlkugel vom Radius : A 53 3 Nm -3 Luftwidestand: mit c 0,35 egibt sich fü diese Stahlkugel nach leichungen (6), (8) und (9): 13,9 h Nm -3 ewichtskaft: mit ρ K 7, kg m -3 fü die Stahlkugel egibt sich: Nm Im Vegleich de Käfte ehält man: -3 (8) (9) A Nm 3 0, Nm (10) d.h., de Einfluss des Auftiebes liegt unte 0,0% und ist dahe venachlässigba. 13,9 h Nm Nm h (11) Die Abschätzung (11) enthält das wichtige Egebnis, dass de elative Luftwidestand umso kleine ist, je kleine die allstecke h und je göße de Kugeladius ist. Dieses zunächst übeaschende Egebnis, dass de elative Luftwidestand mit dem Kugeladius abnimmt, eklät sich aus dem Vehältnis. De absolute Luftwidestand wächst mit de Queschnittsfläche A, also mit ; das ewicht dagegen mit 3. Dahe ist de Quotient popotional zu 1. enn auch de Luftwidestand venachlässigba klein sein soll, muss << sein, z.b. 0, h 10 h ; 30; h 30. Bei einem Kugeladius von 1,5cm sollte die allstecke nicht meh als 345cm betagen, um den Einfluss unte 1% zu halten. - -

3 M09 Bestimmung de allbeschleunigung 1.3 Atwoodsche allmaschine Übe ein leichtes, spitzengelagetes Rad wid eine Sehne gefüht, an de sich zwei gleiche Massen m befinden. Auf de einen Seite kann eine usatzmasse m befestigt weden, welche die esamtmassen m m + m duch die avitationskaft m g beschleunigt (Bild 1). ges Damit egibt sich aus de undgleichung de Mechanik (5): m ( m + m ) a g, a m g (1) m + m Duch Messung von duchfallene Höhe h und de dazu benötigten eit t kann ebenfalls die Beschleunigung a bestimmt weden: h a (13) t leichsetzung von leichungen (1) und (13) egibt die allbeschleunigung g: Bild 1: Pinzipskizze zu Atwoodschen allmaschine g h m + 1 (14) t m Venachlässigt wuden bishe folgende Einflussgößen: Reibungsveluste an de Achse de Rillenscheibe und de Schnu in de Rille. Das Tägheitsmoment J S de Rillenscheibe, das wie eine usatzmasse zu den bewegten Massen wikt: J S meff m + m + (: Abolladius de Schnu auf de Rillenscheibe) (15) Mit de Atwoodschen allmaschine kann auch das Tägheitsgesetz von Newton nachgewiesen weden (Estes Newtonsches Axiom: Ohne äußee Kafteinwikung vehat ein Köpe im ustand de Ruhe ode de geadlinig gleichfömigen Bewegung). um Nachweis wid in die allstecke eine Voichtung gebacht, die nach eine Beschleunigungsphase die usatzmasse m abhebt. Die nun weite velaufende gleichfömige Bewegung kann duch Messung von allhöhen und allzeiten nachgewiesen weden.. Vesuch.1 Vobetachtung Aufgabe 1: Beechnen Sie den et fü die allbeschleunigung in Senftenbeg. ü die allbeschleunigung g in Meeesniveau (g 0 9,78033 m s - ) bei de geogafischen Beite Φ existiet eine Anpassung an die Messwete de om g ( Φ) g (1 + 0,0053 sin ). 0 Φ In Abhängigkeit von de Höhe h übe dem Meeesspiegel ehält man h g 1. R ( Φ + h) g( Φ ) 0-3 -

4 M09 Bestimmung de allbeschleunigung Daten fü Senftenbeg: Φ h 103m übe Meeesspiegel. R 0 Edadius in Äquatonähe Aufgabe : Betachten Sie den Einfluss de Lufteibung beim feien all eine Kugel (d 1mm, ρ Kugel 3,0g/cm 3, ρ Luft 1,9Kg/m 3, c 0,4) fü folgende allzeiten: t 1 0,1s, t 0,6s, t 3,0s. Beechnen Sie die Bemskaft fü die jeweils mittlee allgeschwindigkeit ( v 1 g t ). Bestimmen Sie die zugehöige Bemsbeschleunigung und emitteln Sie unte de Annahme eine konstanten Bemsbeschleunigung die absolute und elative Veingeung de allhöhe. elche Schlussfolgeungen bezüglich de Messgenauigkeit beim allvesuch ziehen Sie daaus?. Vesuchsduchfühung..1 Vewendete eäte eätesatz zu Untesuchung feie und vezögete all, elektonische Kuzzeitmesse, einwaage, Messschiebe.. Vesuchshinweise Aufgabe 1: Bestimmung de allbeschleunigung mit de Vesuchsanodnung feie all duch Vaiation de allhöhe h Stellen Sie die allhöhe mittels de Makieung an Auslösevoichtung und Aufpallplatte ein. Diese allhöhe ist von 1,60m bis 0,50m in Schitten von 10cm duch das Vestellen de Aufpallplatte zu veänden und die jeweilige allzeit zu messen. Die Auslösung des alles und de Uhenstat efolgt duch Duck auf den enauslöse, de Uhenstopp duch Aufschlagen de Kugel auf die Aufpallplatte. Vo de nächsten Messung sind Aufpallplatte und Auslösehebel in Ausgangsstellung zu bingen und die elektonische Stoppuh auf Null zuückzusetzen. Aufgabe : Bestimmung de allzeit mit unteschiedlichen usatzmassen m bei konstante allhöhe h (Siehe Bild 1). Bild : Pinzipskizze Die Aufpallplatte wid bei 1,60m anbacht. Legen Sie übe die Seilolle die Vebindungssehne mit den Massen m und stellen Sie eine davon auf die Auslösevoichtung. Auf die Masse m wid eine usatzmasse m aufgelegt. (Masse m vohe bestimmen). Auslösung und eitmessung efolgt wie in de Aufgabe 1. Die Messung ist fü 5 unteschiedliche usatzmassen m duchzufühen. Aufgabe 3: Bestimmung des Tägheitsmoments de Rillenscheibe mit de dynamischen Messmethode zu Koektu de Egebnisse von Aufgabe u Bestimmung des Tägheitsmomentes J S de Rillenscheibe macht man diese zu einem Pendel, indem man mit Hilfe eines um die Rille gelegten ummibandes an dem Umfang de Scheibe eine kleine Masse m befestigt (Bild 3)

5 M09 Bestimmung de allbeschleunigung Dazu nehmen Sie die Rillenscheibe mit de Befestigung vom Täge ab. Die Scheibe hat jetzt ein stabiles leichgewicht und kann als Pendel um ihe Schwepunktachse schwingen. u Bestimmung des Tägheitsmomentes J S, sind vo de Montage zunächst d, d und m zu messen. Danach Pendel wenig auslenken und die eitdaue fü mindestens 10 Schwingungen messen. ü die eitmessung ist das ählgeät im Handbetieb zu vewenden. Nehmen Sie eine Messeihe mit 5 eitmessungen auf. Aus de Schwingungsgleichung egibt sich T J π (16) m l g Bild 3: Pendelaufbau J ist das Tägheitsmoment des Systems Rillenscheibe und dem von de Masse m zusätzlich veusachten Tägheitsmoments: J S J + m l, es egibt sich: g T J S m' l l 4π (17) (18) Aufgabe 4: Atwoodsche allmaschine mit Auffangvoichtung fü die usatzmassen (siehe Bild 1). Positionieen Sie die Auffangvoichtung fü die usatzmassen bei 0,50m (Dazu müssen die Rillenscheibe mit de Befestigung und die Auslösevoichtung vom Täge entfent, zu Messung dann jedoch wiede montiet weden). Stecken Sie die Anschlussschnüe von de Auslösevoichtung zu Auffangvoichtung um (Anschluss de Masseleitung beachten!). Setzen Sie die usatzmassen mit de Ringplatte auf. ühen Sie je eine Messeihe fü die usatzmassen 0g und 30g duch (Masseangabe jeweils mit Ringplatte). Vaiieen Sie fü die Messeihen mit de Aufpallplatte die allhöhe von 0,1 bis 1,1m in 10cm- Schitten. De Messvogang efolgt wie in Aufgabe 1..3 Vesuchsauswetung Aufgabe 1: Bestimmung de allbeschleunigung mit de Vesuchsanodnung feie all duch Vaiation de allhöhe h Bestimmen Sie die allbeschleunigung g übe den Anstieg de gaphischen Dastellung h f (t ) unte Vewendung de lineaen Regessiongeaden. Emitteln Sie gaphisch die Messunsicheheit duch selbst festzulegende ehlebalken

6 M09 Bestimmung de allbeschleunigung Schätzen Sie den maximalen Einfluss des Luftwidestandes auf die gemessenen eiten entspechend dem Abschnitt.1 fü die im Vesuch vewendete Kugel ab. Aufgabe : Bestimmung de allzeit mit unteschiedlichen usatzmassen m bei konstante allhöhe h (Siehe Bild 1). Beechnen Sie an Hand de Messwete nach leichung (14) die allbeschleunigung und bestimmen Sie fü eine ausgewählte allhöhe die Messunsicheheit duch eine ehleechnung. u Auswetung gegebene öße: m ± u( m ) (303,5 ± 0,1)g. Efassen Sie die hie auftetenden Abweichungen vom vohe eechneten et fü Senftenbeg in ihe Abhängigkeit von de öße de usatzmasse m (absolut und elativ). Aufgabe 3: Bestimmung des Tägheitsmoments de Rillenscheibe mit de dynamischen Messmethode zu Koektu de Egebnisse von Aufgabe Koigieen Sie die allbeschleunigungswete de Aufgabe mit dem emittelten Tägheitsmoment nach leichung (18) duch Vewendung de effektiven Masse nach leichung (15) (Abolladius de Schnu 30mm) Bestimmen Sie die Schwingungsdaue fü eine Schwingung aus dem Mittelwet. Aufgabe 4: Atwoodsche allmaschine mit Auffangvoichtung fü die usatzmassen ühen Sie einen Nachweis de gleichfömigen Bewegung duch eine gaphische Dastellung von h f (t). Intepetieen Sie Ihe Egebnisse