V. Drehbewegungen. y-komponente y = r 0 sin ϕ. betragen. Die Länge des Vektors r kann mit Hilfe des Satzes von Pythagoras errechnet werden:

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1 V. Dehbewegungen In Kapitel II und III haben wi die Gundlagen kennengelent, die wi bauchten, um gadlinige ode die Übelageung von gadlinigen Bewegungen zu beechnen. Bei de Betachtung des Pendels hingegen haben wi beeits gemekt, daß man mit diesem Wekzeug nicht alle beobachtbaen Bewegungen bescheiben kann. Insbesondee Keisbewegungen, z.b. die Bewegung des Fadenpendels auf einem Keisbogen, bauchen eine andee Bescheibungsfom. Eine diese Fomen haben wi mit de Einfühung de Koodinaten ϕ und kennengelent. Dies wollen wi im Folgenden systematische fü jede Keisbewegung betachten. V.1 Kinematik de Keisbewegung V.1.1 Dastellung eines Vektos in veschiedenen Koodinatensystemen Betachten wi noch einmal die Dastellung eines Vektos, de vom Keismittelpunkt zu einem beliebigen Punkt auf dem Keisbogen zeige, in einem kathesischen Koodinatensystem. Zu einfacheen Beechnung liege de Mittelpunkt im Koodinatenuspung. Die Betachtung des Keises beinhaltet die Annahme, die Bewegung velaufe in eine Ebene (wi setzen also z = 0) und die Länge des Radiusvektos sei konstant. De Vekto läßt sich dastellen duch seine Komponenten in x- und y- Richtung. Die Gaphik zeigt, daß die x-komponente x = 0 cosϕ y-komponente y = 0 sin ϕ betagen. Die Länge des Vektos kann mit Hilfe des Satzes von Pythagoas eechnet weden: = x + y = 0 Abbildung V.1: Rechtwinklige Koodinaten x, y In Kapitel IV.8. hatten wi beeits die Polakoodinaten und ϕ kennengelent. Wi hatten festgestellt, daß jede Punkt in eine Ebene sich dastellen läßt duch die Angabe des Radius des gedachten Keises um den Mittelpunkt, auf dem de Punkt liegt, und den Winkel, den de Vekto mit eine definieten Achse einschließt. Insbesondee gilt fü einen Punkt auf einem Keis mit konstanten Radius, daß e bei Kenntnis des Radius nu duch den Winkel beschieben Seite 91 V.Kapitel: Dehbewegungen Skipt Expeimentalphysik

2 Abbildung V.: Palakoodinaten Koodinaten, ϕ weden kann. Diese Koodinaten spannen also eine Ebene auf und lassen sich folglich auch in einem ebenen Koodinatensystem einzeichnen. Die Achsen weden von den beiden Polakoodinaten bestimmt. De Vekto wid in den beiden Systemen folglich dagestellt als: Kathesische Koodinaten: = ( 0 cos ϕ, 0 sin ϕ, 0) Polakoodinaten ( ϕ ) = = cons t 0 tan. Mittels de oben emittelten Beziehungen x = cosϕ lassen sich die Koodinaten umechnen. y = sin ϕ V.1. Gleichfömige Keisbewegung Als estes Beispiel eine Bewegung betachten wi die gleichfömige Bewegung auf einem Keis. Analog zu gadlinigen gleichfömigen Bewegung definiet man diese Bewegung übe die konstante Geschwindigkeit. Die zu betachtende Geschwindigkeit ist hiebei jedoch nicht de Vekto, sonden die Winkelgeschwindigkeit ω, also die Ändeung des Winkels mit de Zeit. Definition V.1: Die Winkelgeschwindigkeit ω ist die Ändeung des Winkels ϕ mit de Zeit: ω ϕ = d dt. Damit definieen wi die gleichfömige Keisbewegung als die Bewegung auf einem Keis mit konstantem Radius und konstante Winkelgeschwindigkeit ω. Definition V.: Eine Bewegung mit konstante Winkelgeschwindigkeit auf einem Keis mit konstantem Radius wid gleichfömige Keisbewegung genannt. Die Abhängigkeit des übestichenen Winkels mit de Zeit kann analog zu gadlinigen Bewegung duch Integation des Winkelgeschwindigkeits - Zeit- Gesetzes beechnet weden: Seite 9 V.Kapitel: Dehbewegungen Skipt Expeimentalphysik

3 Aus ω ϕ = d dt folgt ϕ( t) = ωdt und mit ω = konstant ϕ( t) = ω dt. Mittels Integation folgt ϕ( t) = ωt + α. Die Integationskonstante α kann duch die Definition des Winkels ϕ zu Zeit t = 0 als ϕ( t = 0) = 0 gleich null gesetzt weden. Dann gilt die Bewegungsgleichung ϕ( t) = ωt. - Die Komponenten in Scheibweise de kathesischen Koodinaten können emittelt weden duch Einsetzen de Bewegungsgleichung - in die Tansfomationsgleichungen. Aus x = cosϕ folgt mit ϕ = ωt x = cosω t y = sin ϕ y = sin ω t. De Vekto hat also den Betag = cosωt + sin ω t 0 0 Diese Gleichung ist de allgemeinen Lösung de Schwingungsgleichung des Pendels seh ähnlich. Hie hatten wi die Lösung de Schwingungsgleichung emittelt als: ( t) = A cosωt + Bsin ω t mit de Keisfequenz de Schwingung, de Schwingungsdaue T = π ω und de Schwingungsfequenz ν =. Vesuch V.1: Übelageung eine Keisbewegung und eine Pendelbewegung Mit diesem Vesuch soll untesucht weden, was die Pendel- und die gleichfömige Keisbewegung gemeinsam haben. Dazu wid ein Fadenpendel in Schwingung vesetzt. Unte dem Pendel befindet sich eine Scheibe mit daauf befestigtem Zeige. Die Scheibe otiet mit feste Winkelgeschwindigkeit um den Mittelpunkt, de auf eine Gaden mit de Ruhelage des daübe schwingenden Pendels liegt. Duch Synchonisation, d.h. duch Loslassen des Pendels, wenn de Zeige sich gade daunte befindet, kann man die Bewegungen so staten, daß in de ebenen Pojektion Zeige und Kugel senkecht übeeinande stehen. Seite 93 V.Kapitel: Dehbewegungen Skipt Expeimentalphysik

4 Mit diesem Vesuch wude gezeigt, daß die Pendelschwingung duch Pojektion eine gleichfömigen Keisbewegung in die beiden Richtungen de Pendelebene synchonisiet weden kann. Die Keisbewegung entspicht eine Übelageung von zwei hamonischen Schwingungen gleiche Fequenz in x und y. Abbildung V.3: Übelageung von Pendel- und gleichfömige Keisbewegung Nun wollen wi übe die Beechnung de Geschwindigkeit v und anschließend de Beschleunigung a vesuchen, auf die wikende Kaft zu schließen. Hiefü betachten wi die kathesischen Koodinaten x und y, die z-komponente sei null: ( t ) = ( x = cosω t, y = sin ω t ) d v( t) = dt = ( v x = t v y = ω cos ω t ) dv a( t) = dt = ( a x = t a y = ω sin ωt ) Zusammengefaßt lauten die Vektoen: t = ( cosω t, sin ω t ) ( ) v( t ) =( ω a( t ) = ( ω Ein Vegleich de Vektoen ( t ) und ( ) sin ωt, ω cos ωt ) cos ωt, ω sin ω t ). a t zeigt, daß eine einfache Beziehung zwischen de Beschleunigung und dem Otsvekto eine gleichfömigen Keisbewegung existiet: Seite 94 V.Kapitel: Dehbewegungen Skipt Expeimentalphysik

5 Meke: Die Beschleunigung ist bei eine gleichfömigen Keisbewegung adial nach innen zum Mittelpunkt geichtet. Sie hat keine Tangentialkomponente: a = a = ω. Notation V.1: Die Tangentialkomponente des Beschleunigungsvektos wid mit a t bezeichnet, die dazu senkecht stehende Radialkomponente entlang des Radiusvektos mit. Ein (gaphische) Vegleich des Geschwindigkeitsvektos v und des Radiusvektos zeigt zudem, daß diese beiden Vektoen senkecht aufeinande stehen. Abbildung V.4: geometische Übelegung zu v Dieses Egebnis folgt auch diekt aus d = keine Komponente in Richtung des dt Keisadius haben kann. Die so emittelten Egebnisse gelten fü beliebige Winkelgeschwindigkeiten ω: Meke: Bei eine Keisbewegung steht de Geschwindigkeitsvekto imme senkecht auf dem Radiusvekto: v. Fü beliebige, nicht notwendigeweise konstante Winkelgeschwindigkeiten ω gilt damit in Polakoodinaten: ds Geschwindigkeit entlang de Keisbahn vs = dt mit s = ϕ v d d s = ϕ dt + ϕ, dt de Bedingung, sei konstant. Das bedeutet, daß v( t) Mit, da =const. v d s = ϕ dt ϕ und mit ω = d dt Mit dem oben eechneten Egebnis vs = ω. v, v = 0 folgt v = v = ω. s t Seite 95 V.Kapitel: Dehbewegungen Skipt Expeimentalphysik

6 Meke: Die Tangentialgeschwindigkeit eine Keisbewegung beechnet sich als v = v = ω, die Radialgeschwindigkeit ist null: v = 0. s Fü die Beschleunigung entlang de Keisbahn gilt t a s dv = dt d mit vs = ω a s = ω + dt mit ω d dt = 0 a d s = ω dt. s dω dt, Definition V.3: Die Winkelbeschleunigung α ist die Ändeung de Winkelgeschwindigkeit ω mit de Zeit: dω d ϕ α = = dt dt. Vesuch V.: tangentielle Funkenflug bei einem Schleifstein Mit diesem Vesuch soll die Flugbahn eines Punktes gezeigt weden, de mit dem Geschwindigkeitsvekto v von eine Keisbahn fliegt, weil keine Käfte auf ihn wiken. De Beschleunigungsvekto steht senkecht auf den Geschwindigkeitsvekto und zum Mittelpunkt hingeichtet. De Köpe müßte also tangentiell von de Keisbahn wegfliegen. Diesen Vogang kann man einducksvoll am Funkenflug eines Schleifsteins beobachten. Hiefü teibt man einen unden Schleifstein an und hält einen Stab an den Schleifing. Die Funken fliegen tangentiell weg. Abbildung V.5: tangentielle Funkenflug an einem Schleifstein V. Die Fliehkaft: Dynamik de Keisbewegung Seite 96 V.Kapitel: Dehbewegungen Skipt Expeimentalphysik

7 V..1 Untesuchung de Fliehkaft Im Folgenden wollen wi untesuchen, welche Kaft die Masse auf de Keisbahn hält. Die oben eechnete Radialbeschleunigung a = ω wid duch eine Zwangskaft F hevogeufen. Diese Zwangskaft kann z.b. die Fadenspannung ode Abbildung V.6: Richtungsbetachtung bei Keisbewegungen die Schienenfühung bei einem Zug sein. Nach Newton kann man diese Kaft scheiben als. Definition V.4: Die zum Keismittelpunkt hin geichtete Kaft, die duch die Radialbeschleunigung hevogeufen wid, nennt man Zentipetalkaft. Meke: Dieses ist die einzige wiklich existieende Kaft im Sinne des. Newtonschen Axioms, d.h. in einem Inetialsystem. Im Sinne des d Alembetschen Pinzips spüt man im mitbewegten System, das kein Inetialsystem ist, eine Scheinkaft, die de ealen Kaft, de Zentipetalkaft, entgegengeichtet gleich goß ist. Diese Kaft F Z ezeugt im mitbewegten System ein scheinbaes dynamisches Gleichgewicht, de mitbewegte Massepunkt bewegt sich nicht. Wikt jedoch auf den mitbewegten Massepunkt die Zwangskaft F nicht, so spüt e nu die Scheinkaft F Z. Definition V.5: Die de Zentipetalkaft F entgegengeichtete Scheinkaft F Z ist die einzige Kaft, die ein mitbewegte Beobachte spüt, auf den die Zwangskaft F nicht wikt: Zentifugalkaft. V.. Vesuche zu Fliehkaft Die bekanntee de beiden oben eingefühten Käfte ist wohl die Scheinkaft: die Zentifugalkaft. Das liegt mitunte daan, daß oft bei Keisbewegungen, z.b. in Fahzeugen, die Zwangskaft nicht diekt auf den eigenen Köpe wikt, wohl abe die Zentifugalkaft. Ein Beispiel hiefü ist die Kuvenfaht eines Autos, bei de man aus de Kuve aus, also vom Seite 97 V.Kapitel: Dehbewegungen Skipt Expeimentalphysik

8 Mittelpunkt des Keises weg, eine Kaft vespüt. Beechnen wi die wikende Kaft auf den Fahe, de mit 10 km/h in eine Kuve mit dem Radius = 10 m fäht und dabei auf die Hälfte de Geschwindigkeit, also auf 60 km/h abbemst. Die Winkelgeschwindigkeit betägt ω = v, die Radialbeschleunigung a = ω v a =. Mit den oben genannten Weten efäht de Fahe eine Beschleunigung von 7,8 m/s, das entspicht ungefäh 3g, also de deifachen Edbeschleunigung. Vesuch V.3: Das Säge -Blatt: Bei diesem Vesuch wid ein undes Blatt Papie übe eine in de Mitte befestigte Achse eine Bohmaschine schnell in eine Keisbewegung vesetzt. Somit bewegt sich jede einzelne Punkt des Papies mit eine Winkelgeschwindigkeit. Quadatisch mit diese Winkelgeschwindigkeit steigt die Beschleunigung an, welche die Punkte des Papies efahen. Diese Beschleunigung hat eine stabilisieende Kaft zu Folge. Diese Kaft ist bei entspechende Wahl de Antiebsgeschwindigkeit so goß, daß das Blatt auseichend stabilisiet wid, um Holz zu zesägen. Vesuch V.4: Rollende Kette Dasselbe Pinzip kann man nutzen, um eine Metallkette in eine Keisfom zu bingen und zu stabilisieen. Hiefü wid eine Scheibe übe eine Bohmaschine angetieben. Auf die Scheibe ist eine Metallkette gespannt. Nachdem die Kette schnell genug angetieben wude, kann sie von de Scheibe gelöst weden. Sie ollt nun duch die Radialkaft stabilisiet tangentiell los. Die Enegie de Kette eicht, um bei Anstoßen an ein Hindenis einige Mete weit und hoch zu fliegen. Vesuch V.5: Gleichgewichtspunkt zweie Wagen an eine Fede Seite 98 V.Kapitel: Dehbewegungen Skipt Expeimentalphysik

9 Bei diese Vesuchsanodnung stehen sich zwei Wagen gegenübe auf eine Schiene, auf deen Mitte senkecht ein Stab befestigt ist, an dessen Ende eine Fede übe den Stab heab hängt. Abbildung V.7: Vesuchsaufbau des Vesuchs V.5: Gleichgewichtspunkt zweie Wagen an eine Fede Übe Umlenkollen sind die Wagen an die Fede angehängt, sie efahen also die Fedeückstellkaft (Hook sche Kaft F H ), die sie zum Mittelpunkt de Schiene hin beschleunigt. Die Schiene kann übe eine vetikale Achse in gleichmäßige Rotation mit vestellbae Winkelgeschwindigkeit vesetzt weden. Auf die Wagen wikt nun zusätzlich die Fliehkaft, welche die Wagen von de Achse weg beschleunigen. Bei eine bestimmten Winkelgeschwindigkeit stellt sich ein Gleichgewicht ein, das unabhängig von de Entfenung x de Wagen von Mittelpunkt de Schienen ist. Diese Winkelgeschwindigkeit läßt sich leicht beechnen: Die entgegengesetzt wikenden Käfte F H = F müssen betagsmäßig gleich goß sein, damit die esultieende Kaft null ist und de Köpe sich in Ruhe befindet. Mit den bekannten Fomeln fü die Hook sche Kaft FH = Dx und die Fliehkaft FZ = m ω Seite 99 V.Kapitel: Dehbewegungen Skipt Expeimentalphysik

10 und dem Radius de Keisbahn = x gleich de Auslenkung de Fede übe die Umlenkolle folgt D. Diese Gleichung ist unabhängig von de Auslenkung, was de Vesuch auch zeigte. Umfomulieen nach ω liefet den Ausduck fü die Winkelgeschwindigkeit, bei de das Gleichgewicht eintitt: ω = D m. Vesuch V.6: Fliehkaftegle De Fliehkaftegle besteht aus zwei schween Kugeln, die übe eine Achse in Rotation vesetzt weden können. Die Kugeln hängen an Stangen de Länge l, die an de angetiebenen Achse fest montiet sind. Zwei weitee Stangen de Länge s sind so mit de Achse vebunden, daß sie sich auf und ab bewegen lassen, wobei sie an den Kugeln festsitzen. In Rotation vesetzt heben sich die Kugeln und damit das untee Gestänge bis zu eine bestimmten Höhe, bei de ein mit den Kugeln vebundene Leite sich so weit nach oben bewegt, daß e den Kontakt zu seinem Stomkeis veliet und Abbildung V.8: Fliehkaftegle ihn somit duchtennt. In diesem Stomkeis hängt auch de Antieb de Achse, so daß die Kugeln nicht meh otieen und sinken. De Kontakt ist wiede hegestellt und die Kugeln heben sich wiede. Die ausgestellten Stangen bilden mit de Achse den Winkel α, die Kugeln seien den Abstand von de Achse entfent.. Im Gleichgewicht übt die Stange auf die Kugel eine Zwangskaft F aus, die betagsmäßig de vetikalen Komponente des esultieenden Kaftvektos R aus de Gewichtskaft G und de Fliehkaft F Z entspechen muß. Die geometische Betachtung de wikenden Kaftkomponenten zeigt, daß fü den Ausstellwinkel α die Beziehung gilt: tan α = ω g. Seite 100 V.Kapitel: Dehbewegungen Skipt Expeimentalphysik

11 V.3 Dehmoment und Dehimpuls Fü gadlinige Bewegungen hatten wi das zweite Newtonsche Axiom kennengelent als. Newtonsches Axiom. Daaus hatten wi abgeleitet, daß in einem abgeschlossenen System, in dem de Impuls konstant ist, die esultieende de äußeen Käfte null sein muß. Dieses Gesetz soll im Folgenden auf Rotationen übetagen weden. Dazu betachten wi zunächst die Definition de Kaft und des Impulses. V.3.1 Übetagung des Kaftbegiffes Als estes Beispiel eine nicht-lineaen Bewegung hatten wi das Pendel kennengelent. Auf das Pendel wiken Fadenspannkaft und Gavitationskaft. Die Komponente de Gavitationskaft, die entlang des Fadens wikt, wid duch die Fadenspannkaft kompensiet; fü die Bewegung wichtig ist also allein die Komponente senkecht zum Faden. Wi hatten diese Komponente als G = G sinα eechnet. Ein andees Beispiel sind die Hebelgesetze. Hie wissen wi, daß nu das Podukt aus Hebelam und de Abbildung V.9: Hebelgesetz Kaftkomponente senkecht zum Hebelam fü eine Dehung wiksam sind. Zieht man mit eine Kaft F 1 unte einem beliebigen Winkel ϕ 1 zum Hebel ein Ende des Hebels nach unten, so bewikt nu die Kaftkomponente senkecht zum Hebel eine Dehung, die andee Komponente wid analog zum Pendel duch die Zwangskaft des Hebels kompensiet. Diese Komponente kann diekt abgelesen weden als F1 = sinϕ 1F1 Analog wike auf de zweiten Seite F = sin ϕ F des Hebels die Kaft F unte einem Winkel ϕ. Gleichgewicht hescht, wenn das Podukt aus wiksame Kaft und Hebelam gleich ist, also 1 sin ϕ1f 1 = sin ϕ F. 1 Allgemein kann man schließen, daß die eine Rotation bewikende Kaftkomponente eine unte dem Winkel ϕ angeifenden Kaft F die Fom hat Seite 101 V.Kapitel: Dehbewegungen Skipt Expeimentalphysik

12 τ = sin ϕf. Wie die Kaft selbst, ist auch diese Göße eine Vektogöße. Ändet man die Richtung de angeifenden Kaft, also den Winkel, ode die Richtung des Vektos, so ändet sich auch die Richtung von M. Wie in Kapitel II gezeigt, nutzt man zu Bescheibung eines Vektos, de seineseits Podukt zweie Vektoen ist, das Vekto-, bzw. Keuzpodukt. Damit können wi die Göße M vektoiell definieen als τ = X. Dieses Übetagung des Kaftbegiffes auf die Rotation nennen wi Dehmoment. 1 Definition V.6: Das Dehmoment ist eine Vektogöße, es steht senkecht auf de Ebene, die duch und F aufgespannt wid: τ = X. Sein Betag ist. Die Definition des Keuzpoduktes besagt, daß das Dehmoment imme senkecht aus Kaftvekto und Radius de Keisbewegung stehen muß. Wid z.b. eine Masse an einem Faden befestigt, de Faden im Uspung eines Koodinatensystems festgehalten wid, so zeigt τ in Richtung de Dehachse. Dies gilt abe nu fü dieses spezielle Beispiel, die allgemeine Richtung von τ muss fü jede Bewegung neu untesucht weden. Einheitenbetachtung: [τ] = [] [F] = 1 Newton-Mete = 1Nm Abbildung V.10: Dehmoment, M entspicht τ 1 Das Dehmoment wid mit τ bezeichnet, vom englischen Ausduck toque. In einigen Büchen und Abbildungen hingegen ist auch die Bezeichnung M fü das Dehmoment üblich. Seite 10 V.Kapitel: Dehbewegungen Skipt Expeimentalphysik

13 V.3. Übetagung des Impulsbegiffes Wi wollen nun eine Ehaltungsgöße analog zum Impuls fü die Rotation definieen. Hiefü setzen wi vesuchsweise analog zu de Übetagung des Dehmomentes L = x. Diese Göße nennt man Dehimpuls, sie steht senkecht auf dem Radiusvekto und dem Impuls und damit auf de Abbildung V.11: Dehimpuls Geschwindigkeit des Massepunktes. Wi definieen diese Göße unte Vobehalt und übepüfen danach, ob mit ih das zweite Newtonsche Axiom efüllt ist. Definition V.7: De Dehimpuls ist eine Vektogöße, e steht senkecht auf de Ebene, die duch und p aufgespannt wid: L = X. Sein Betag ist. Einheitenbetachtung: [L] = [] [p] = 1 m kg m s. Mit 1 N = kg m folgt [L] = 1 Nms. s Bei de oben diskutieten Dehbewegung eines Massepunktes an einem Faden steht de Impuls senkecht auf dem Radius und de Dehimpuls zeigt in Richtung de Dehachse. V.3.3 Fomulieung des. Newtonschen Axioms fü die Rotation Wi vesuchen jetzt, das zweite Newtonsche Axiom mit den neu definieten Gößen zu fomulieen. Aus L = x p folgt mit p = mv L = x mv. L = m ( x v ). Die Ändeung des Dehimpulses mit de Zeit läßt sich übe Diffeentation beechnen: dl m d dv = v + dt dt dt dl = m( v v + a). dt Seite 103 V.Kapitel: Dehbewegungen Skipt Expeimentalphysik

14 Wegen v v = 0 dl = m( a). dt Mit F = ma dl = F. dt Meke: Die zeitliche Ändeung des Dehimpulses mit de Zeit entspicht dem wikenden Dehmoment: dl = F = τ. dt Diesen Sachvehalt kann man nun analog zu gadlinige Bewegung intepetieen als die Tatsache, daß ein Dehmoment, das auf einen Köpe angewandt wid, eine Ändeung des Dehimpulses bewikt. Wikt in einem abgeschlossenen System kein esultieendes Dehmoment, so ist de Dehimpuls eine Ehaltungsgöße. Satz von de Dehimpulsehaltung: Wikt in einem abgeschlossenen System kein esultieendes Dehmoment, so ist de Dehimpuls eine Ehaltungsgöße: dl τ = = 0 L = const. dt Diese Ehaltungsgöße hat seinen Gund in de Invaianz de Natugesetze gegen Dehungen im Raum. E spielt eine seh wichtige Rolle in de Physik, besondes in de Atom- und in de Kenphysik. Geift z.b. eine Kaft im Schwepunkt eines otieenden Teilchens an, so ist de Dehimpuls ehalten, obwohl eine Kaft einwikt. Dies kann man so ekläen, daß die Kaft paallel zum Radiusvekto de Keisbewegung steht und das aus de Kaft esultieende Dehmoment deshalb null ist. F F = 0 τ = 0. Diese Beziehung ist leicht aus de Definition des Keuzpoduktes zu beweisen: De Betag des Keuzpoduktes ist. Da ein Vekto mit sich selbe einen Winkel von 0 einschließt gilt mit sin 0 =0 v v = v v 0. Das ist gleich null: v v = 0. Damit ist auch de esultieende Vekto de Nullvekto. Seite 104 V.Kapitel: Dehbewegungen Skipt Expeimentalphysik

15 V.3.4 Zusammenfassung de wichtigsten Vektogößen de Rotation Abbildung V.1: Zusammenfassende Dastellung von Dehmoment (hie mit M bezeichnet), Dehimpuls und Winkelgeschwindigkeit Seite 105 V.Kapitel: Dehbewegungen Skipt Expeimentalphysik

16 V.4 Planetenbewegung, Keple sche Gesetze und die Gavitation V.4.1 Vom geozentischen Weltbild zu Kopenikanischen Wende Abbildung V.13: Rückläufige Bahn des Mas Betachtet man viele Nächte hinduch den Mas und zeichnet seine Position im Himmel in egelmäßigen Abständen ein, so kann man die Laufbahn des Mas elativ zu Ede emitteln. Diese Vesuch füht jedoch zu eine Bahn, die keine einfache geometische Gestalt aufweist. De Mas scheint eine ückläufige Bewegung auszufühen. Beeits vo 5000 Jahen begannen die Ägypte, Babylonie, Chinesen und Inde die Escheinungen am Himmel systematisch zu beobachten. Je nach Weltbild wude vesucht, die Bewegung de Planeten um die Ede zu bescheiben. 3 Die beiden giechischen Philosophen Aistoteles (384-3 v. Ch.) und Plato ( v. Ch.) behaupteten, die Stene bewegten sich auf de vollkommensten alle Bahnen, dem Keis, einmal am Tag um die Ede. Dabei, so postulieten sie, hätten die Stene eine dem Betag nach konstante Geschwindigkeit. Beobachtete Abweichungen von de Keisbahn, wie die des Mas, vesuchte Ptolomäus um 150 n. Ch. duch Zusatzannahmen zu deuten. E behauptete, duch Übelageung eine kleineen Keisbahn des Planeten mit de goßen Keisbahn um die Ede entstünden die zu Abbildung V.14: Aistotelische Kosmos beobachteten Epizyklen. Dieses System, das bis in die Neuzeit Gültigkeit besaß, wid heute geozentisches, ptolemäisches Weltbild genannt. 3 Estaunlicheweise behauptete Astiach um 70 v. Ch. beeits, die Fixstene seien in Ruhe und deen scheinbae Bewegung wede nu duch die Rotation de Ede um die eigene Achse vogetäuscht. Diese Lehe konnte sich jedoch nicht duchsetzen: Nach Revision de Vostellung, die Ede sei eine Scheibe, ging man seit ca. 380 v. Ch. vom geozentischen Weltbild aus. Seite 106 V.Kapitel: Dehbewegungen Skipt Expeimentalphysik

17 Noch im 16.Jh agumentiete man, die Ede könne sich nicht um sich selbst dehen, da sonst eine Kanonenkugel bei eine angenommenen Dehung von West nach Ost in Richtung Westen viel weite fliegen müsse als nach Osten. Diese Theoie widespachen est Abbildung V.16: Heliozentische Kosmos komplizieten Hilfsbewegungen. Abbildung V.15: Ptolemäische Vostellung kompliziete Keisbewegungen: Keise auf Keisen veusachen Epizyklen Kopenikus ( n. Ch.) und Galilei, dennoch gingen beide von Planetenbewegungen auf Keisbahnen aus. Dem geozentischen Weltbild widespach Kopenikus als este, als e in seinem Wek De evolutionibus obium coelestium die Hypothesen aufstellte, die Ede dehe sich täglich einmal um die eigene Achse und daduch escheinen die Bewegungen de Planeten und die Ede bewege sich um die Sonne. Dieses Weltbild wid heliozentisches Weltbild genannt. Duch das Behaen auf die Keisbahnen de Planeten efodete die Bescheibung de Beobachtungen auch nach de Kopenikanischen Wende noch die Seite 107 V.Kapitel: Dehbewegungen Skipt Expeimentalphysik

18 V.4. Die Keple schen Gesetze Den endgültigen Buch mit diese Vostellung schaffte de Däne Tycho Bahe ( ), de die Masbahn mit eine Päzession von ungefäh eine Bogenminute ausmaß. 5 Bahe selbst fand jedoch die Fixstenpaallaxe noch nicht und nahm so die Ede als uhend an. Johannes Keple ( ) wetete nach dem Tod seines Lehes dessen Messungen aus und fand, daß die Masbahn keinen Keis, sonden eine Ellipse bescheibt. E stellt anhand diese Entdeckung dei Gesetze übe die Planetenbewegung auf. Mit diesen dei Gesetzen kann die gesamte Kinematik de Planetenbewegung zusammengefaßt weden: 1.Keple'sches Gesetz: Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deen einem Bennpunkt die Sonne steht. Insbesondee umkeist die Ede die Sonne auf eine Ellipse, in deen einem Bennpunkt die Sonne steht. De zweite Bennpunkt de Ellipse hat in Keples Theoie keine physikalische Bedeutung. Diese Satz bedeutet, daß die zwischen den Planeten wikende Kaft eine anziehende Kaft sein muß, weil sich bei eine abstoßenden Kaft die Planeten voneinande entfenen müßten.. Keple'sches Gesetz: De von de Sonne zum Planeten gezogene Fahstahl übesteicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen. Mit diesem Gesetz wich Keple auch von de Theoie de Giechen ab, die Geschwindigkeit de Planeten auf ihe Bahn sei dem Betag nach konstant. E ekannte, daß die Planeten sich in Sonnennähe (Peiphel) schnelle bewegen müssen als in Sonnenfene (Aphel). Abbildung V.17:.KG: Flächensatz 4 aus dem Lateinischen übesetzt: Übe die Umdehung de Himmelssphäen 5 Diese genaue Messung ist deshalb so estaunlich, weil Tycho Bahe diese mit bloßem Auge vonehmen mußte. Das Fenoh existiete noch nicht. Seite 108 V.Kapitel: Dehbewegungen Skipt Expeimentalphysik

19 3. Keple'sches Gesetz: Die Quadate de Umlaufzeiten T 1 und T zweie beliebige Planeten vehalten sich wie die ditten Potenzen de goßen Halbachsen a 1 und a de Bahnellipsen: T 1 a 1 3 T =. a 3 Est Newton vesuchte aus diese Bescheibung de Kinematik de Planetenbewegung auf die At de wikenden Käfte ückzuschließen. E begündete damit die dynamische Bescheibung de Planetenbewegung. Abbildung V.18: Planeten liegen auf eine Gaden, die das ditte Keple sche Gesetz benennt. V.4.3 Heleitung des Gavitationsgesetzes aus den Keple'schen Gesetzen Fassen wi die wichtigsten Aussagen de Keple schen Gesetze einmal andes fomuliet zusammen: 1. Keple'sches Gesetz: Die wikende Kaft ist anziehend, da sonst keine geschlossenen Bahnen existieen könnten.. Keple'sches Gesetz: Die wikende Kaft ist eine Zentalkaft. Eine Zentalkaft ist dabei eine Kaft, die stets in Richtung des Mittelpunktes de Keisbewegung zeigt und deen Funktion vom Radius de Keisbahn abhängt. Allgemein kann man eine Zentalkaft scheiben als: Definition V.8: Eine Zentalkaft hat stets die Fom FR = f( ). Seite 109 V.Kapitel: Dehbewegungen Skipt Expeimentalphysik

20 Um diese Fomulieung zu beweisen wählen wi den Rückkehschluss: Wi beweisen, daß aus de Annahme, die wikende Kaft sei eine Zentalkaft de von Keple fomuliete Flächensatz folgt: Angenommen, eine Masse m bewege sich unte Einfluß eine Zentalkaft FR = f( ). Dann wikt das Dehmoment τ = F mit = 0 Mit ( ) f τ = τ = 0 dl τ = = 0 dt L = const. - Das heißt, fü Zentalkäfte ist allgemein de Dehimpuls ehalten. Untesuchen wi nun den Zusammenhang mit dem Flächensatz. Qualitativ hatten wi beeits gesagt, daß die Geschwindigkeit göße sein muß, je nähe de Planet de Sonne ist. Oben haben wi eechnet, daß L = m v konstant ist. Zu quantitativen Beechnung zeichnen wi einmal die Fläche auf, die de Fahstahl übesteicht: Die schaffiete Deiecksfläche beechnet sich als die Hälfte des Poduktes de Höhe h und de Stecke : Abbildung V.19: Zentalkaft Abbildung V.0: Geometische Betachtung zum.kg da = 1 h mit h = d sin ϕ da = 1 d sinϕ. Wi definieen einen Flächenvekto, de senkecht auf de Fläche steht und dessen Betag de 1. Maßzahl de Fläche entspicht da = ( d) Seite 110 V.Kapitel: Dehbewegungen Skipt Expeimentalphysik

21 Die zeitliche Ableitung dieses Vektos, also die Ändeung de Fläche, die de Radiusvekto po da 1 d d Zeit übesteicht ist = + d dt dt dt da 1 d Mit d d = 0 = dt dt Vegleichen wi diesen Ausduck mit dem Dehimpuls: L = mv mit d d v = L = m dt dt Ldt d m dt d dt dt mit d d = 0 Ldt d = m dt dt Ldt = m( d) De Vegleich von und zeigt, daß gilt: da m Ldt = 1 Mit L= constant folgt: da dt. Das bedeutet: In gleichen Zeit dt übesteicht de Vekto gleiche Flächen da. Umgekeht folgt aus auch, denn wenn nicht gilt, gelten auch - und damit auch nicht, also gilt in beide Richtungen:.Keple'sches Gesetz: Flächensatz ÖZentalkaft Die -Abhängigkeit f() kann am einfachsten aus dem 3. Keple'schen Gesetz geschlossen weden: Hiezu gehen wi zu Veeinfachung von Keisbahnen aus, die Halbachsen a aus de Fomulieung des Keple'schen Gesetzes seien also die Radien eines Keises. Mit diese Notation lautet das 3. Keple'sche Gesetz : T T = 3 umfomuliet folgt fü alle T i und a i T 1 T T k 1 3 = 3 = = Seite 111 V.Kapitel: Dehbewegungen Skipt Expeimentalphysik

22 Die Radialbeschleunigung beechnet sich aus mit ω π = T a = ω a = 4 π T mit 3 k T = a = 4 π 1 k Die Kaft auf den Planeten de Masse m kann man dann angeben mit Fp = ma F p = m 4 π 1 k Da k eine planetenunabhängige Konstante ist folgt diekt: F p m. Duch das 3. Newtonsche Axiom wissen wi, daß dieselbe Kaft entgegen geichtet auf die Sonne de Masse M wikt: F S = F p m. Zusammengefaßt gilt dann F S = F p =. V.4.4 Das Gavitationsgesetz Diese Gleichung gibt den Betag de Kaft an, die von eine beliebigen Masse M auf eine andee Masse m ausgeübt wid. Die Richtung de Kaft wid festgelegt duch den Vekto, de die beiden Massen vebindet. Hiebei definiet man den Vekto von de gößeen zu kleineen Masse. Die Richtung de Kaft wid mit diese Konvention angegeben duch den Einheitsvekto in Richtung de Vebindung. Somit ist die Kaft negativ, sie wikt entgegen des Vektos, denn die kleine Masse wid angezogen und bewegt sich damit entgegengesetzt zum so definieten Einheitsvekto. Vektoiell kann man die Gleichung de Kaft eine Masse M auf eine andee Masse m Mm scheiben: F = γ. Dieses Gesetz wid nach seinem Entdecke Newtonsches Gavitationsgesetz genannt. Seite 11 V.Kapitel: Dehbewegungen Skipt Expeimentalphysik

23 Newtonsches Gavitationsgesetz: Eine Masse M übt auf eine andee Masse m, die sich im Abstand befindet, eine Kaft F aus, fü die gilt: Mm F = γ. Um diese Kaft zu beechnen, müssen die Massen de Köpe bekannt sein, ih Abstand voneinande und die Konstante γ. Die Konstante gilt fü beliebige Köpe, sie muß jedoch einmal bestimmt weden können. Um diese univeselle Konstante emitteln zu können, muß man eine Kaft kennen, die zwischen zwei Massen wikt, ebenfalls die Massen und den Abstand. Diese Übelegung macht sich de Englände Cavendish ( ) zunutze. E efand 1798 einen Vesuch, bei dem die wikende Gavitationskaft auf eine zweite Weise, übe die daaus esultieende Bewegung de Massen, beechnet weden kann. Die so emittelte Kaft kann dann in das Newtonsche Gavitationsgesetz eingesetzt weden und die Konstante γ kann mit Kenntnis de andeen Faktoen beechnet weden. Vesuch V.7: Cavendish Dehwaage Ein waageechte Stab tägt an den Enden zwei kleine Bleikugeln de Masse m. Diese Stab ist in de Mitte an einem dünnen Faden, dem Tosionsfaden, aufgehängt und kann deshalb in dem Queschlitz de Gavitationsdehwaage fei schwingen. Am Stab ist ebenfalls mittig ein Spiegel befestigt, so dass die hoizontalen Bewegungen duch einen eflektieten Lasestahl Abbildung V.1: Schema de Cavendish-Dehwaage Seite 113 V.Kapitel: Dehbewegungen Skipt Expeimentalphysik

24 vegösset an de gegenübeliegenden Wand sichtba gemacht weden können. Zunächst sind zwei goße Kugeln de Masse M (M>>m) symmetisch zu den kleinen Kugeln in geingem Abstand angebacht. In diese Stellung wid im Gleichgewicht die Anziehungskaft F von M auf m duch die Vedillungsspannung des Aufhängefadens kompensiet F =. F R Wenn sich de Zeige auf das Gleichgewicht eingestellt hat weden die goßen Kugeln in die Lage - geschwenkt. Jede de goßen Kugeln übt nun auf die kleine eine Gavitationskaft F aus. Daduch wikt jetzt die Anziehungskaft von M auf m in Abbildung V.: Aufsicht die entgegengesetzte Richtung und F und F = addieen sich. Die nun wikende F R Kaft des Betags F N = F ezeugt nach Newton eine Beschleunigung a. Mit F N = ma und F N = F wikt die Beschleunigung F a =. m Die wikende Kaft läßt sich mit dem Gavitationsgesetz scheiben als Mm F = γ Mm Fü die Beschleunigung folgt: a = γ m M a = γ. Seite 114 V.Kapitel: Dehbewegungen Skipt Expeimentalphysik

25 Die Bewegung mit diese Beschleunigung wid übe den Lichtstahl vegößet an die Wand pojiziet. Die geometische Betachtung des Stahls zeigt die Abhängigkeit des Winkels, um den de Spiegel gedeht wid, von de Bewegung de Kugeln. Fü den Dehwinkel des Spielgels gilt: θ = x d, wenn de Weg de kleinen Kugeln mit x und ih Abstand von de Achse d genannt wid. De Reflexionswinkel des Stahls wid um θ geändet. Mit L als Abstand des Spiegels von de Pojektionsfläche und s als Weg des Lichtzeiges auf de Wand gilt Mit θ = x d fü den Weg gilt dann x s L = θ. s x = L d sd =. L De Zusammenhang des Weges mit de Beschleunigung fü konstante Beschleunigungen ist x gegeben duch a = t. sd sd Mit x = a = - L Lt Ein Vegleich de beiden Ausdücke und - zeigt, daß fü die Beschleunigung gilt: γ M = sd Lt. De Ausduck fü die zu bestimmende Konstante γ lautet dann: γ = s d. t ML Die Gößen M, L, und d sind duch den Aufbau gegeben, de Weg s und die dafü benötigte Zeit wid gemessen. Abbildung V.3: Geometische Betachtungen Seite 115 V.Kapitel: Dehbewegungen Skipt Expeimentalphysik

26 Da die Gavitationskäfte zwischen zwei Köpen mit kleine Masse seh klein sind, wi spüen sie im täglichen Leben nicht, ist es nötig, mit diese Dehwaage Käfte von 10-8 cn messen zu können. Die Päzision efodet eine von Eschütteungen fei Umgebung. Deshalb ist diese Vesuch nu nachts duchzufühen, wenn kein Staßenvekeh hescht. Leide kann de Vesuch deshalb nu als Film vogefüht weden. Die Messung in dem vogefühten Film egab den Wet. Abbildung V.4: Im Film gezeigte Dehwaage von Leybold De Liteatuwet de Gavitationskonstanten lautet γ = 6, 670 ± 0, m 3 kg 1 s. Bei solchen Dehwaagen liegt noch ein systematische Fehle vo, de bei de Emittlung des Wetes de Gavitationskonstanten mit beücksichtigt weden muß: Die kleine Kugel wid ebenfalls von de andeen, weite entfenten goßen Kugel angezogen. Diese Kaft F' ist zwa eine seh kleine Kaft, füht abe dennoch zu de beobachteten Abweichung. Auch diese Kaft läßt sich übe das Gavitationsgesetz beechnen: F' = γ mm + 4d. Diese Kaft hat eine entgegengesetzte Komponente f zu messenden Kaft: f = + 4d + 4d 3 mm γ. Seite 116 V.Kapitel: Dehbewegungen Skipt Expeimentalphysik

27 Mit F = γ Mm f = + 4d + 4d 3 F. Um den Fakto 1+β, mit β = + 4d + 4d 3 muss unse Messegebnis also koigiet weden. Mit unseen Weten folgt daaus β = 7, 7 10 und damit. V.4.5 Gezeiten Die Gavitationskäfte von Mond und Sonne sind Usache fü Ebbe und Flut, da sich das Wasse, das die Ede bedeckt, nahezu fei bewegen kann. Um die Gezeitenkäfte zu vestehen, betachte man die Dehung des Mondes und de Ede um einen gemeinsamen Schwepunkt. Diese Schwepunkt befindet sich 0,7 Edadien vom Mittelpunkt de Ede entfent, also noch innehalb des Edköpes. Hiebei daf man sich die Vebindung Mond - Ede nicht wie ein Hantelmodell vostellen, also mit stae Abbildung V.6: Mond-Ede-System und dessen Schwepunkt Abbildung V.5: Mond und Ede düfen nicht als stae Hantel vestanden weden, die sich um den gemeinsamen Schwepunkt deht. Punkt, um den Mond und Ede keisen. Vebindungsachse. Die Kopplung übe die Gavitation ist nu eine Fenkaftkopplung. In Wiklichkeit bescheibt jede Punkt de Ede einen eigenen Keis. Infolge de Dehung um den gemeinsamen Schwepunkt von Mond und Sonne wikt auf das Wasse an ihe mondzugewandeten Seite Seite 117 V.Kapitel: Dehbewegungen Skipt Expeimentalphysik

28 zusätzlich zu Gavitationskaft des Mondes eine gößee Zentifugalkaft in gleiche Richtung, wähend auf de mondabgewandten Seite beide Käfte gegeneinande wiken. Dabei sind alle Fliehkäfte auf de Ede gleich zum Mond geichtet, die Anziehungskäfte hängen jedoch vom vaiablen Abstand de beiden Planeten ab. Abbildung V.7: Käfte, die auf Wasseteilchen wiken Aus de Mondmasse und dem Abstand vom Mond zu Edmitte, = 60 Edadien, beechnet sich die Fliehkaft. Nun ist de mondnächste Punkt vom Mondmittelpunkt einen Edadius wenige entfent, also nu 59 Edadien. Ein in diesem Punkt fei bewegliches Wasseteilen efäht nach dem Gavitationsgesetz duch die Mondanziehung die um den Fakto (60/59) gößee Gavitationskaft. Das Wasseteilchen wid also duch den Diffeenzbetag de beiden Käfte stäke zum Mond hin beschleunigt als de stae Edköpe. In diesem Punkt bildet sich ein dem Mond zugewandte Flutbeg. Ein auf de Edkugel genau gegenübeliegendes Teilchen ist 61 Edadien vom Mond entfent und efäht deshalb die kleinee Beschleunigung. Es bleibt hinte de Ede zuück, da es vom Mond wenige stak beschleunigt wid. So bildet sich in diesem Punkt ein vom Mond angewandte Flutbeg aus. Unte beiden Flutbegen deht sich die Ede im Laufe von 4 Stunden und 50 Minuten einmal duch (de Mond bleibt täglich etwa 50 Minuten hinte de Sonne zuück). Die Rechnung fü die Beschleunigungen egibt ein Vehältnis zu Gavitationsbeschleunigung g von a g M = M Mond Ede 3 Ede Mond Die Sonne übt auf de Ede eine flutezeugende Wikung aus, die etwa 40% von de des Mondes betägt. Steht die Sonne in gleiche Richtung wie de Mond, Neumond, ode dem Mond entgegen, Vollmond, dann addieen sich die Wikungen de beiden Himmelsköpe und es gibt eine Spingflut. Steht die Sonne bei Halbmond unte 90, so schwächen sich die Seite 118 V.Kapitel: Dehbewegungen Skipt Expeimentalphysik

29 Wikungen zu eine Nippflut. Im feien Ozean betägt de Tidenhub nu etwa 79 cm. Im Innen von Buchten staut sich das Wasse und es entstehen Höhenunteschiede zwischen Ebbe und Flut von bis zu 1 Meten (Mont-Sant-Michel) ode soga bis zu 1 Meten (Fundy-Bay in Kanada). Auch in kleineen Meeen wiken die Gezeiten: De Baikalsee hat einen Tidenhub von 6-8 cm, im Genfe See sind es noch mm, im Chiemsee 1 mm. V.4.6 Zusammenhang Schwekaft - Gavitation Eine de wesentlichen Leistungen Newtons wa es, zu ekennen, dass diejenige Kaft, die die Planeten auf ihen Umlaufbahnen hält, dieselbe Kaft ist, die den Apfel auf seinen Kopf fallen ließ. E ekannte damit, was keineswegs eindeutig wa: Gavitationskaft und Schwekaft sind ein und dasselbe. Damit schaffte Newton zum esten mal die Veeinigung zweie bis dahin als unabhängig von einande geltende Käfte bzw. Phänomene. De mathematische Beweis, daß diese Käfte identisch sind und die uns bekannte Fomel fü die Hubabeit aus de Gavitation abgeleitet weden kann, wid in de theoetischen Physik betachtet. Hie wollen wi nu aus diese Tatsache die Edmasse beechnen: Das Gesetz de Schwekaft hatten wi hegeleitet als FS = mg. mm Das Gavitationsgesetz lautet F = γ. Diese beiden Käfte sind laut Newton identisch, also gilt fü beliebige m und M γ mm = mg γ M g =. Sind die beiden univesellen Konstanten g und γ bekannt, kann eine Masse M, die sich im bekannten Abstand von de Pobemasse m befindet, beechnet weden. So kann z.b. die Edmasse M E beechnet weden mit M E E = γ g Damit eechnet sich die Edmasse als: 6 M E = ( 6, ) 9, 8 kg. 11 6, 6 10 Edmasse M E kg Seite 119 V.Kapitel: Dehbewegungen Skipt Expeimentalphysik

30 V.5 Wie funktioniet Gavitation? Bishe haben wi auße de Schwekaft nu Nahwikungskäfte untesucht; Käfte also, die duch diektes Angeifen auf einen Köpe wiken. Wie die Betachtung de Gezeiten schon zeigte, ist dieses Modell nicht so einfach auf die Gavitation zu übetagen. Seit de Fomulieung des Gavitationsgesetzes duch Newton ist die Wikung, auf de diese Kaft beuht, Gegenstand zahleiche Übelegungen. Newton fomuliete seine Aussagen übe Fenkäfte noch seh vosichtig als ob eine Fenkaft wikt. Maxwell postuliete Nahwikungskäfte, analog zu den bekannten Käften. Die Übetagung de Käfte, e konzentiete sich insbesondee auf die elektomagnetische Kaft, stellte e sich mittels eines allgegenwätigen Äthes vo. Einstein machte die Gavitation zu eine Eigenschaft des Raumes. Die allgemeine Relativitätstheoie beinhaltet eine Raumkümmung duch Massen. Modene Quantenfeldtheoien vesuchen, die Gavitation ähnlich wie die andeen Wechselwikungen duch Austausch von Feldquanten zu ekläen. Diese Mechanismus ist fü die andeen Wechselwikungen, also schwache, stake und elektomagnetische Wechselwikungen, beeits nachgewiesen, fü die Gavitation jedoch noch nicht. Die in diese Theoie vohegesagten Austauschteilchen weden Gavitonen genannt. Die Entstehung eine Gavitationswelle stellt man sich vo duch die schnelle Bewegung von goßen Massen. Diese Massen, die sich zudem schnell bewegen, gibt es im All. Mögliche Quellen sind in diese Tabelle aufgefüht. Daneben stehen jeweils Signaltyp und Fequenz de Welle und die Auswikungen. Beispielsweise wüden Gavitationswellen von einem Doppelsten ausgesendet den Abstand zwischen Massen, die einen Mete voneinande entfent sind, um nu 10-1 Mete veänden. Seite 10 V.Kapitel: Dehbewegungen Skipt Expeimentalphysik

31 Quelle Signaltyp Fequenz Stäke Typ II Doppelsten Supenova impulsatig peiodisch <1Mhz 1 khz 10-1 schwingendes Neutonen - gedämpfte 10 khz fü 1 Schwazes Doppelsten Loch Sinusschwingung quasi-peiodisch Sonnenmasse <1 khz 10? - Galaxienbildung akketieende duch beites Fequenzband 800 kosmische Doppelsten Stings peiodisch Rauschen Hz x Uknall Rauschen?? Abbildung V.8: mögliche Quellen von Gavitationswellen Nach de allgemeinen Relativitätstheoie sollten Gavitationswellen sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbeiten und tensoielle (elliptische) Raumvezeungen hevoufen, also die Gestalt des Raumes veänden, den sie duchlaufen. In diese Dastellung ist die Auswikung de Gavitationswelle auf eine fei im Raum längs de Welle aufgehängte Gummiöhe simuliet. Links ist die Gummiöhe abgebildet, echts ein Satz von Massen, die auf eine Ebene liegen. Webe fühte 1970 einen solchen Vesuch zum Nachweis de Gavitationswellen mit einem Abbildung V.9: Raumvefomungen zum Nachweis von Gavitationswellen Seite 11 V.Kapitel: Dehbewegungen Skipt Expeimentalphysik

32 schwingungsfei aufgehängten Zylinde duch. Abbildung V.30 a: Intefeenzexpeimente Zum Nachweis von Gavitationswellen weden Intefeomete eingesetzt. Ein einfaches Intefeomete besteht aus einem Lase, einem Stahlenteile, je einem Spiegel, welche die beiden senkecht zueinande stehenden Ame zueinande begenzen, und eine Photodiode. Untehalb de Diode ist jeweils de Velauf des elektischen Feldes in jedem zuückkehenden Lichtstahl als Funktion de Zeit aufgetagen. In de Ausgangsposition untescheiden sich die Amlängen um ein Achtel. Bei de Übelageung sind die beiden Lichtstahlen um einen Vietel-Zyklus auße Phase, und die Hälfte des Lichtes escheint am Ausgang. Das Intefeenzmuste ist stabil. (Abbildung V.30 a) Wenn eine Gavitationswelle die Ämellängendiffeenz veändet, nimmt die Helligkeit des Ausgangsstahls je nach Vozeichen des Wegunteschiedes entwede ab ode zu, das Intefeezmuste ändet sich gegenübe de Ausgangsposition und ist nicht stabil (Abbildung V.30 b und c). Die Realisation solche Vesuche ist seh Abbildung V.30 b: Intefeenzexpeimente schwieig, da die ewateten Längenunteschiede de Ame bei m liegen, also ungefäh in de Gößenodnung eines Potons liegen. Am 3 Febua 1987 gab es in nu Lichtjahen Entfenung in de Magelanstaße eine Supenova Seite 1 V.Kapitel: Dehbewegungen Skipt Expeimentalphysik Abbildung V.30 b: Intefeenzexpeimente

33 (SN 1987 A, ungefäh 0 Sonnenmassen), von de möglicheweise Gavitationswellen ausgingen. Leide waen alle Detektoen zu diesem Zeitpunkt ausgeschaltet. V.6 Gavitationsfeld und Gavitationspotential Nachdem wi nun die Gavitationskaft zweie Köpe aufeinande beechnen können, wollen wi vesuchen, dem Köpe eine At Eigenschaft zuzuodnen, die seine Gavitationskaft auf jeden beliebigen andeen Köpe bescheibt. V.6.1 Enegiebetachtung Dazu betachten wi zunächst wiede eine Masse M, die auf eine andee Masse m eine Gavitationskaft ausübt. Gegen diese Kaft soll eine beliebige äußee Kaft F a geleistet weden, z.b. duch Ziehen an einem an de Masse Abbildung V.31: Kompensationskaft befestigten Seil. Zunächst befinden sich die beiden Käfte im Gleichgewicht, die Masse m uhe also (Abbildung V.31 ). Vegößen wi jetzt die äußee Kaft, ode änden wi deen Richtung, dann bewegt sich die Masse m im Gavitationsfeld von M (Abbildung V.3). Dabei leistet die Kaft Abeit. Nach de Abbildung V.3: äußee Kaft gegen das Gavitationsfeld angeben mit: allgemeinen Definition fü Abeit IV. kann man diese Abeit Wo bleibt nun diese in das System gesteckte Enegie? dw = F ad. In Kapitel IV, Definition IV.3, hatten wi gesehen, daß dw ganz in potentielle Enegie umgewandelt wid, wenn die wikenden Käfte konsevativ sind. Konsevative Käfte waen Käfte, bei denen die dagegen zu leistende Abeit nu von Anfangs- und Endpunkt de Bewegung abhängt, fü die also gilt: F( ) d = 0. Seite 13 V.Kapitel: Dehbewegungen Skipt Expeimentalphysik

34 Wenn es sich bei de Gavitationskaft also um eine konsevative Kaft handelt, so ließe sich die Fage beantwoten. Untesuchen wi also die Gavitationskaft auf dieses Kiteium: Die Fomel F( ) d = 0 bedeutete fü die Abeit zwischen zwei Punkten A und B Mit Mm F = γ Mit * B Fd ist wegunabhängig. A B Fd = γ mm d 3 A B B B 1 Fd = γ mm d A A A B 1 Fd = γ mm A B A * Die Betachtung de Polakoodinaten und ρ zeigt: d = Ändeung d von entlang = d ( ) Abbildung V.33: Geometische Übelegungen Diese Ausduck fü die Abeit ist nu abhängig von den Abständen de Punkte A und B, nicht vom duchlaufenen Weg und auch nicht vom absoluten Abstand zu Masse M. Fü konsevative Käfte können wi nun eine potentielle Enegie definieen. Die potentielle Enegie ist dabei definiet als die Enegiediffeenz, welche die Pobemasse in den Punkten A und B hat. W P mm mm = γ γ W W ( B) W ( A) B =. P P P Da nu Potentialdiffeenzen meßba sind, muß auch in diesem Fall eine Konvention getoffen weden, die den Nullpunkt festlegt. Bei die Gavitation legt man den Nullpunkt unendlich weit von de Masse M entfent fest: W ( ) P A = 0. A Seite 14 V.Kapitel: Dehbewegungen Skipt Expeimentalphysik

35 Die Konvention hat den Voteil, daß die Fomel W wesentlich veeinfacht wid: W P P mm mm = γ γ B mm = γ. B A mm Fü beliebige B WP = γ. Meke: Die potentielle Enegie, die die Gavitationskaft zwischen zwei Köpen de Massen M und m ezeugt, betägt: mm WP = γ Venachlässigen wi jetzt wiede die nichtmechanischen Enegiefomen, dann läßt sich die Gesamtenegie beechnen aus W = W + W 1 1 W = γ mm + mv. Zu Veeinfachung beechnen wi diese Enegien fü eine Keisbahn, die m um M bescheibt. Annähend kann diese Bahn z.b. als Planetenbahn um die Sonne angesehen weden. Die Masse m bewegt sich nicht von M weg, ih Abstand sei konstant. Dann müssen Fliehkaft F Z und Gavitationskaft F entgegengesetzt gleich goß sein. Im Gleichgewicht gilt also FZ + F = 0. Unte Beücksichtigung de Vozeichen gilt auch F Z + F = 0. 1 Mit F = γ mm und F mv P 1 mv γ mm + = 0. 1 Fü 0 γ mm + mv = 0. K Z = Ein Vegleich mit den Enegiefomen WP = γ 1 mm und W K = 1 mv Zeigt, dass gilt: W + W = 0, P K W = W. P K Seite 15 V.Kapitel: Dehbewegungen Skipt Expeimentalphysik

36 W K = γ 1 mm. Damit lässt sich die Gesamtenegie beechnen als: Meke: Die Gesamtenegie eine Keisbewegung duch Gavitationskaft betägt: W = WP = γ mm < 0. Die Gesamtenegie ist negativ. Wie aus Kapitel IV bekannt gilt die Enegieehaltung, d.h., daß diese Enegie zu jede Zeit konstant ist, wähend die einzelnen Enegien W P und W K ausgetauscht weden. Qualitativ ist dieses Egebnis einsichtig: Ist die Gesamtenegie negativ, so bewegt die Masse m sich auf eine geschlossenen Bahn, ist die Gesamtenegie jedoch positiv, sind die Bahnen offen. W < 0 geschlossene Bahnen: Ellipsen ode Keise W = 0 Genzfall: Paabel W > 0 offene Bahnen: Hypebeln. Die genaue Beechnung dieses Sachvehaltes wid in de Theoie vogenommen, hie soll die Vofühung eine Computesimulation als Anschauung auseichen. Abbildung V.34: Raketenbahnen Vesuch V.8: Bewegung eine Kugel in eine flachen Schale Die veschiedenen Bewegungsmöglichkeiten können simuliet weden, indem man eine flache Schale wählt, in de eine Kugel möglichst eibungsfei ollen kann. Je nach Einwuf kann man keisende ode elliptische Bewegungen ewiken. Ist die Enegie goß genug, so ollt Seite 16 V.Kapitel: Dehbewegungen Skipt Expeimentalphysik

37 die Kugel geadeaus aus de Schale heaus. Ist die Enegie jedoch nu gade goß genug, veläßt die Kugel die Schale unte Bescheibung eine Paabelbahn. V.6. Zusammenhang potentielle Enegie und Kaft Im letzten Kapitel haben wi die beiden Fomeln W P B = Fd und W = dw benutzt. Faßt man diese Fomeln zusammen, so gilt die Beziehung P B A B Fd = A A B P dw P. dwp = Fd Kann man nun mit Hilfe diese Beziehung von de potentiellen Enegie auf die wikende Kaft zuückechnen? Das Poblem ist nicht so tivial, da die potentielle Enegie ein Skala, die Kaft hingegen ein Vekto ist. Man steht also vo de Aufgabe, von eine nicht geichteten Göße auf eine geichtete zuück schließen zu müssen. Rein fomal kann man zunächst vesuchen, duch Dividieen mit d einen Ausduck fü die dw P Kaft zu elangen: = F. d Untesuchen wi nun anhand zweie uns bekannte Kaftgesetze, diese Gleichung zu veifizieen. Dazu wählen wi zunächst Käfte, die in eine Dimension beechnet weden können: A 1. Schwekaft: Die potentielle Enegie ist gegeben duch WP = mgx. dw P = mg dx Das so emittelte Kaftgesetz lautet F = mg. Dieses Gesetz entspicht dem uns bekannten Gesetz de Schwekaft.. Gavitation: Seite 17 V.Kapitel: Dehbewegungen Skipt Expeimentalphysik

38 Die potentielle Enegie ist gegeben duch WP = γ 1 mm. dw d P = mm γ mm Das so emittelte Kaftgesetz lautet F = γ. Auch dieses Gesetz entspicht dem uns bekannten Gesetz de Gavitation. Untesuchen wi jetzt die Veallgemeineung fü dei Dimensionen: Gesucht wid ein Ausduck fü die Kaft, de die Gleichung dwp = Fd efüllt. d Diese Gleichung wid efüllt duch F = dx W d dy W d P P dz W P,, Diesen Vekto nennt man patielle Ableitung von W P. Patielle Ableitung heißt dabei nichts andees, als daß de zu diffeenzieende Ausduck f(x,y,z) nach de angegebenen Vaiablen abgeleitet wid, wähend die andeen beiden als Konstante behandelt weden. Beispielsweise heißt, dass die Funktion f abgeleitet wid, als sei sie eine Funktion f(x) und y und z seien Konstante. Die Scheibweise statt d wid vewandt, um die patielle Diffeentation zu vedeutlichen. Definition V.9: Die Opeation F = x y z W P,, wid patielle Diffeentation genannt. Den Opeato,, scheibt man gad ode (Nabla). x y z Nun muß noch bewiesen weden, daß die so definiete Gleichung F = - gad W P die Ausgangsgleichung dwp = Fd Es muß also gelten Fd = gadwpd efüllt. x W y W z =,, W ( dx, dy, dz) P P P Seite 18 V.Kapitel: Dehbewegungen Skipt Expeimentalphysik

39 = x WPdx + y WPdy + z WPdz = Dwp. Notation V.: Die Ableitung x WPdx + y WPdy + z WPdz wid totales Diffeential genannt. Anschaulich kann man sich die Vektoen anhand de Höhenlinien auf eine Landkate vostellen: Ein Beg wid mit den sogenannten Höhenlinien eingezeichnet, also mit Linien, die alle Punkte deselben Höhe vebinden. Diese Linien sind Äquipotentiallinien. De Gadient zeigt jetzt in Richtung de Falllinie, also in Abbildung V.35: Höhenlinien als Äquipotentiallinien Richtung de wikenden Kaft. Meke: De negative Gadient bescheibt anschaulich die Richtung und Stäke des gößten Gefälles in einem Potentialgebige. V.6.3 Gavitationsfeldstäke und Gavitationspotential Eine Pobemasse m wede in de Umgebung de Masse m veschoben. In den letzten beiden Kapiteln haben wi eine Fomel fü die potentielle Enegie in jedem Punkt beechnet. Damit können wi nun die potentielle Enegie bestimmen, die de Köpe de Masse m im Gavitationsfeld de Masse M besitzt. Geifen wi nun die Anfangsfage auf: Wie kann man unabhängig von de Pobemasse m eine Eigenschaft de Masse M, bzw. des Raumes um die Masse M bestimmen, welche die Wikung auf eine beliebige (gedachte) Pobemasse bescheibt? mm Die Antwot egibt sich aus de Fomel WP = γ. Seite 19 V.Kapitel: Dehbewegungen Skipt Expeimentalphysik