Inhalt: Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, WS 2018/2019 1

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1 Inhalt: Einleitung Keplesche Gesetze Das Gavitationsgesetz Täge Masse und schwee Masse Potentielle Enegie de Gavitation Beziehung zwischen de Enegie und de Bahnbewegung Physik, WS 018/019 1

2 Liteatu M. Alonso, E. J. inn: Physik; ditte Auflage; Oldenboug Velag, 000. Paul A. Tiple: Physik fü Wissenschaftle und Ingenieue; sechste Auflage; Spinge Spektu Velag, 009. Heing, Matin, Stohe: Physik fü Ingenieue; Spinge Velag, 01. Wolfgang Detöde: Expeientalphysik 1, Mechanik und Wäe; sechste Auflage, Spinge Velag, 013. Jügen Teichann, Katja Wehne: Die übeaus fantastische Reise zu Uknall; este Auflage, Aena Velag, 017. Geog Glaese: De atheatische Wekzeugkasten; ditte Auflage; Spinge Spektu Velag, 008. Physik, WS 018/019

3 Einleitung Die Planetenbewegung hat Menschen schon lange beschäftigt. Die Giechen einten die Ede sei de geoetische Mittelpunkt des Univesus und dass sich die Hielsköpe u die Ede dehten. De ittlee Abstand de Hielsköpe zu Ede wude eittelt in folgende Reihenfolge: Mond, Meku, Venus, Sonne, Mas, Jupite, Satun. Hypothese: Die Planeten bescheiben konzentische Keise und die Ede ist i Mittelpunkt. Das stite abe nicht it de Beobachtung übeein. Die Planetenbewegung wude ie koplexe. Die Giechen beschieben die Planetenbewegung elativ zu eine it de Ede vebundenen Bezugsyste. Est i 16 Jahhundet wude diese Bescheibung evidiet. Nikolaus Kopenikus ( ): Planetenbewegung einschließlich de Ede elativ zu Sonne it de Sonne als Mittelpunkt de Bewegung. Nach Kopenikus wa die Plantenanodnung folgende: Meku, Venus, Ede, Mas, Jupite und Satun. Dabei dehte sich de Mond u die Ede. E schlug als Bezugssyste eins vo was it de Sonne vebunden wa. Die Sonne als gößte Köpe unsees Planetensystes fällt it de Schwepunkt des Systes zusaen. Physik, WS 018/019 3

4 Keplesche Gesetze Deswegen wa die Wahl des Bezugspunktes echtfetigba. Dann hat an ein Inetialsyste voliegen. Tycho de Bahes ( ) hatte schon astonoische Messungen zu Analyse de Planetenbewegung duchgefüht, die Johannes Keple ( ) auch weite nutzte. Keplesche Gesetze: I: Die Planeten bescheiben elliptische Bahnen it de Sonne i Bennpunkt. II: III: De Otsvekto jedes Planeten elativ zu Sonne übesteicht in gleichen Zeiten gleiche lächen de Ellipse. Dieses Gesetz ist auch als lächengesetz bekannt. Die Quadate de Udehungspeioden sind de ditten Potenz des ittleen Abstands de Planeten von de Sonne popotional. (T = k 3 it ) Physik, WS 018/019 4

5 Das Gavitationsgesetz Wechselwikung zwischen zwei Köpe: Gavitationsgesetz. Von Newton est zwanzig Jahe nach de e es fouliet hatte in seine Philosophiae Natualis Pincipia Matheatica veöffentlicht. 1 ' Das lächengesetz ode II. Keplesche Gesetz besagt zunächst, dass die Kaft die it de Gavitationswechselwikung veknüpft ist, eine Zentalkaft ist. Die Kaft wikt längs eine Vebindungslinie zwischen den wechselwikenden Köpen (z.b. Ede - Sonne). Physik, WS 018/019 5

6 Das Gavitationsgesetz: Beweis lächengesetz Das Teilchen bewegt sich längs C. Zu Zeit t befindet es sich in A. Zu Zeit t + dt in B. Zu Zeit dt bescheibt de Radiusvekto = OA die läche OAB it d = AB. OAB wid duch den Vekto da dagestellt. da 1 d Die läche die po Zeiteinheit von übestichen wid ist dann: da dt 1 d dt 1 v v : Geschwindigkeit Teilchen L O B A d C Wenn das lächengesetz angewandt wid, dann übesteicht in gleiche Zeiten gleiche lächen: da dt const v const Physik, WS 018/019 6

7 Das Gavitationsgesetz: Beweis lächengesetz De Dehipuls L ist konstant: L p ( v ) const Das lächengesetz besagt, dass de Dehipuls des Teilchens konstant ist, was wiedeu bedeutet, dass die Kaft eine Zentalkaft ist (siehe Kapitel ). Physik, WS 018/019 7

8 Gavitationswechselwikung: Kaft in Abhängigkeit vo Ot Expeientell bestit: Die Abhängigkeit von zu wude duch Messungen bestit. Dabei waen die Vesuche nicht einfach, da die Gavitationswechselwikung eine schwache Wechselwikung ist und die Gavitationskaft seh klein ist, wenn die beteiligten Massen nicht goß sind ode wenn de Abstand seh klein ist. Die Vesuche egaben, dass die Gavitationskaft popotional zu 1/ ist. ' wude expeientell bestit. = 6, N kg - Die Gavitationswechselwikung zwischen zwei Köpen kann duch eine zentale Anziehungskaft beschieben weden, die den Massen diekt popotional und de Quadat de Entfenung zwischen ihnen ugekeht popotional ist. Physik, WS 018/019 8

9 Gavitationswechselwikung: Ableitung des Kaftgesetzes Cavendishsche Tosionswaage A Tosionsfaden ist ein Quebalken angebacht. Aufgund de Anziehung zwischen den zwei Massen 1 und, entsteht ein Dehoent a Quebalken. Dabei wid de aden vedeht an de ein Spiegel angebacht ist. Die Auslenkung des Quebalkens aus seine Ruhelage wid übe einen Lichtzeige bestit. Das Tosionsoent ist popotional zu Winkel q. Duch wiedeholte Messung it veschieden goßen Massen und veschiedenen Abständen, lässt sich das Gavitationsgesetz bestätigen. 1 Spiegel q 0 Tosionsfaden Lape q 1 ' Skala Physik, WS 018/019 9

10 Gavitationswechselwikung: Ableitung des Kaftgesetzes Ableitung des Kaftgesetzes nach Newton: Nach Keple ist die Bahn eines Planeten eine Ellipse. Ein Spezialfall eine Ellipse ist de Keis bei de beide Bennpunkte i Mittelpunkt zusaenfallen. Die Kaft ist eine Zentalkaft (zweites Keplesche Gesetz). v v ' it v T folgt: 4 T Physik, WS 018/019 10

11 Gavitationswechselwikung: Ableitung des Kaftgesetzes 4 T 4 3 k ~ 1 Die Gavitationskaft uss u die Kepleschen Gesetze zu gehochen, zental und ugekeht popotional de Quadat des Abstandes sein. Newton wollte die Richtigkeit de Gleichung übepüfen und dies tat e it Hilfe de Daten de Zentipetalbeschleunigung des Mondes. E veglich die Zentipetalbeschleunigung des Mondes it de Gavitationsbeschleunigung g = 9,81 s -. v a 4 T Physik, WS 018/019 11

12 Gavitationswechselwikung: Ableitung des Kaftgesetzes Mit = 3, (Bahnadius) und T =, s ist dann a =, /s g a 360 (60 ) Mit de Radius R de Ede: R = 6, R 384 6,37 (60 ) g a R Innehalb de Genauigkeit de Beechnung sind die Beschleunigungen ugekeht popotional den Abständen de Punkte vo Edittelpunkt. Physik, WS 018/019 1

13 Gavitationswechselwikung: Beispiele Beziehung zwischen Gavitationsbeschleunigung und Masse de Ede Beechnung de Masse eines Planeten it eine Satelliten. Physik, WS 018/019 13

14 Täge Masse und schwee Masse Wenn wi annehen, dass die Gavitation eine allgeeine Eigenschaft alle Aten de Mateie ist, dann ist die schwee Masse popotional zu tägen Masse: K schwee Masse täge Masse g M M ' ' Alle Köpe nahe de Edobefläche fallen it de gleichen Beschleunigung. Dies ist ein Hinweis dafü, dass schwee Masse und täge Masse gleich sind. Es gilt: M g R g M R Physik, WS 018/019 14

15 Täge Masse und schwee Masse g M R M Die Beschleunigung g ist unabhängig von de Masse des fallenden Köpes, soit ist dann: M ' ' g g M R Wenn das Vehältnis beide Massen (täge und schwee) nicht gleich wäe, dann wäe die Beschleunigung g fü jeden Köpe veschieden. Eine Möglichkeit Massen zu essen ohne sie iteinande zu vegleichen, ist eine ditte Masse zu nehen. Diese dient als Refeenz. Masse sei von de Refeenzasse M u entfent. Auch Masse ' sei u den gleichen Abstand von M entfent. Dann gilt: Physik, WS 018/019 15

16 Täge Masse und schwee Masse M ' M' Das Vehältnis zwischen den beiden Käften unf ' ist: ' ' Wenn wi Käfte vegleichen können ohne sie einzeln zu essen, dann elaubt uns die Gleichung oben, Massen zu essen ode auch sie iteinande zu vegleichen. Pinzip de Waage funktioniet wie oben beschieben, dabei ist M die Masse de Ede. Die Waage ist i Gleichgewicht, wenn die Massen gleich goß sind. Physik, WS 018/019 16

17 Potentielle Enegie de Gavitation Die Gavitationswechselwikung hängt nu von de Entfenung ab und ist zental geichtet. Sie ist also eine konsevative Kaft. Wi vebinden deshalb it ih eine potentielle Enegie de Gavitation. ' u ' A v u Die potentielle Enegie E p de Gavitation, die it den Massen und ' vebunden ist lautet soit: ( E P ) ' Physik, WS 018/019 17

18 Potentielle Enegie de Gavitation Bingt an einen uhenden Köpe vo Punkt P 0 zu Punkt P, dann hängt die aufgewendete ode gewonnene Abeit nu vo Ot P ab. Dabei ist die wikende Kaft eine konsevative, otsabhängige Kaft. Es gilt: v W d 1 ' d ' 1 ' A u W ' 1 Definition E P ( ) E P ( ) Physik, WS 018/019 18

19 Potentielle Enegie de Gavitation Nullpunkt de potentiellen Enegie: De Nullpunkt de potentiellen Enegie, ist duch die obee Gleichung (olie vohe) nicht festgelegt, da nu die Diffeenz von E P duch die Gleichung definiet wid. Die untee Abbildung zeigt zwei Möglichkeiten zu Wahl des Nullpunktes de potentiellen Enegie a) E P (z=0) ode b) E P ( =)=0. a) b) z E pot h E P = gh 0 R 0 h E P1 = 0 ( E p R ) ' R gr E p ( z 0 ) 0 E p ( ) 0 Physik, WS 018/019 19

20 Potentielle Enegie de Gavitation Nullpunkt de potentiellen Enegie: Man wählt fü den Nullpunkt des Koodinatensystes i all von Expeienten bei denen die Schwekaft beteiligt ist it ={0,0,g} E P = 0 fü z = 0. I all von Pobleen bei denen de Köpe ins Unendliche gelangt, wid E P () = 0 gesetzt. Daaus folgt: b) W P d Definition E P ( P ) E P ( ) Die potentielle Enegie i Punkt P ist die Abeit, die aufzuwenden ist, wenn de Massenpunkt von P ins Unendliche gebacht wid. 0 E pot R E p ( ( E p ) ' R ) R 0 gr Physik, WS 018/019 0

21 Potentielle Enegie de Gavitation E p = γ ' Gesatenegie des Systes aus zwei Teilchen, die de Gavitationswechselwikung unteliegen ist: E k E p 1 v 1 ' v' ' ü ein Syste it eheen Teilchen gilt: E i 1 v i i alle Paae i ij j ' Physik, WS 018/019 1

22 Potentielle Enegie de Gavitation: Beweis Die Gavitationskaft ist: s de p Richtungsableitung von E p gade p ds Da die Kaft zental ist, hängt sie nu von ab: de d p it ' Integation de potentiellen Enegie in goße Entfenung ( ): E 0 p de p ' d ' 1 u Physik, WS 018/019 de d p ' potentielle Enegie de Gavitation des Systes bestehend aus und ': ' E p

23 Beziehung zwischen de Enegie und de Bahnbewegung ü die gesate Enegie des Systes gilt: E k E p 1 v ' Wenn sich i Keis u ' deht gilt: N v ' ' Soit ist die kinetische Enegie E k : E k 1 v 1 ' Die gesate Enegie des Systes: ' E Physik, WS 018/019 3

24 Beziehung zwischen de Enegie und de Bahnbewegung Betachtet weden zwei Massen und '. ü diese gilt: ' >>. Also fällt ' it de Schwepunkt des Systes zusaen. Die Masse ' befindet sich in Ruhe i Schwepunkt (SP) it v' = 0. E O E<0 E>0 E=0 E E K E O O E K E E k p E p E = γ ' p Beziehung zwischen de gesaten Enegie und de Bewegungsbahn i all eine Kaft die Ugekeht popotional de Quadat de Entfenung ist. Ellipse Hypebel Paabel Physik, WS 018/019 4

25 Beziehung zwischen de Enegie und de Bahnbewegung Die gesate Enegie des Systes ist negativ. E ' Alle elliptische Bahnen ode gebundene Bahnen haben eine gesate negative Enegie (E< 0), wenn die potentielle Enegie fü goße Entfenungen zu Null definiet wid. Gebundene Natu de Enegie heißt, dass die kinetische Enegie an igend eine Punkt de Bahn nicht auseicht, u das Teilchen ins Unendliche zu beföden. Seine kinetische Enegie wid in potentielle Enegie ugewandelt. In goße Entfenung gilt: E k 1 v Wenn die gesate Enegie E negativ ist, kann diese Gleichung nicht efüllt weden. Physik, WS 018/019 5

26 Beziehung zwischen de Enegie und de Bahnbewegung v : Geschwindigkeit des Teilchens in goße Entfenung Ist die gesate Enegie E > 0, kann das Teilchen das Unendliche eeichen und noch kinetische Enegie haben. Dann gilt: E 1 v v E / Wenn weit von ' ist, hat es die Enegie wie oben beschieben. Nähet sich an ' veliet es an potentielle Enegie (Enegie wid negative), seine kinetische Enegie wid göße, bis sie bei Punkt de gößten Annäheung den höchsten Wet eeicht hat. De Wet hängt vo Dehipuls des Teilchens ab. Anschließend beginnt sich das Teilchen zu entfenen und veliet kinetische Enegie und eeicht in seh goße Entfenung v. Die Bahn ist eine Hypebel. Physik, WS 018/019 6

27 Beziehung zwischen de Enegie und de Bahnbewegung Ist die gesate Enegie E = 0, dann uht das Teilchen i Unendlichen und v = 0. Die Bahn ist zwa offen, bescheibt abe eine Paabel. Das Teilchen it Masse wid it eine Anfangsgeschwindigkeit auf ' losgelassen, dabei sind seine kinetische- und potentielle Enegie gleich goß (wie abgestit). Diese Egebnisse sind wichtig, u beispielsweise Satelliten in eine Ulaufbahn zu bingen, ohne dass sie gleich wiede duch die Gavitation angezogen weden und abstüzen. E k E p 1 v 0 M R h Die Bahn des Satelliten wid eine Ellipse, Hypebel ode Paabel je nach de ob E < 0, E > 0 ode E = 0 ist. Ist die Enegie zu geing, schneidet die Ellipse die Ede und de Satellit stüzt ab. Sonst bescheibt de Satellit eine geschlossene Bahn ode e entfent sich von de Ede je nach de wie die Wete von v 0 und h sind. Ellipsenbahn v k <v<v p E < 0 Paabelbahn v = v p E = 0 Physik, WS 018/019 Z v k G R Hypebelbahn v > v p E > 0 h Ede Keisbahn v = v k 7

28 Beziehung zwischen de Enegie und de Bahnbewegung v k : v p : v : Geschwindigkeit die ein Köpe indestens haben uss, u die Ede zu ukeisen. ' v k R v v luchtgeschwindigkeit die ein Köpe haben uss, u das Gavitationsfeld de Ede zu velassen. ' R p v k Geschwindigkeit die de Köpe haben uss, u sich vo Sonnensyste zu entfenen. ' Ellipsenbahn v k <v<v p Paabelbahn v = v p : Abstand zwischen Ede und Sonne. Z v k G R Hypebelbahn v > v p Ede Keisbahn v = v k Physik, WS 018/019 8

29 Beziehung zwischen de Enegie und de Bahnbewegung Die gleiche Übelegungen gelten bei de Bewegung vo Mond u die Ede. I allgeeinen wid ein Mechanisus zu Lenkung de Bahn des Satelliten benötigt, u die Bahn nach de Abschuss koigieen zu können. Man beachte, dass die Hypebel zwei Zweige besitzt (Abbildung): Bei eine Abstoßung ist E >0 und es gibt keine gebundenen Bahnen. Bahn von unte Abstoßung ' Bahn von unte Anziehung Mittelpunkt de Kaft E 0 E 0 1 C 1 E v E v C Physik, WS 018/019 9

30 Stöungen de Planetenbewegungen Beücksichtigt an die Beeinflussung de anden Hielsköpe auf das Sonnensyste und die Planeten innehalb des Sonnensystes, dann üssen die äußeen wikenden Käfte auf das nicht isoliete Syste itbestit weden. Soit sind die Bahnen keine eine Ellipsen. Diese Stöungen auf die Bewegung de Planeten des Sonnensystes kann an it Hilfe de Hielsechanik seh genau beechnen. Effekt 1: Die elliptische Bahn eines Planeten ist nicht geschlossen, die Hauptachse de Ellipse deht sich langsa u den Bennpunkt, in de sich die Sonne befindet. Diese Effekt heißt Peiheldehung. Effekt : Peiodische Schwankung de Exzentizität de elliptischen Bahn. Beide Effekte sind seh langsa. Bei de Peiheldehung ist ihe Peiode 10 5 Jahe (1 Bogeninuten po Jahhundet in de Peihelbewegung). Diese Effekte sind abe zu Teil veantwotlich fü Kliaändeungen de Ede. Dies wude bei Untesuchungen de Edkuste von Geophysiken nachgewiesen. Physik, WS 018/019 30

31 Stöungen de Planetenbewegungen Peiheldehung Exzentizität Effekt 1: Die elliptische Bahn eines Planeten ist nicht geschlossen, die Hauptachse de Ellipse deht sich langsa u den Bennpunkt, in de sich die Sonne befindet. Diese Effekt heißt Peiheldehung. Effekt : Peiodische Schwankung de Exzentizität de elliptischen Bahn. Physik, WS 018/019 31

32 Gavitationswechselwikung: Beispiele Beispiel: luchtgeschwinigkeit eines Köpes: Mindestgeschwindigkeit, it de ein Köpe von de Ede abgefeuet weden uss, u die unendliche Weite zu eeichen. Beispiel: Geschwindigkeit eines Köpes, de i Abstand vo Mittelpunkt de Ede losgelassen wid, wenn e auf die Edobefläche auftifft. Physik, WS 018/019 3