10 Gravitation. Vorbereitungsseminar zur Klausur Dienstag Klausur zur Vorlesung Dienstag

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1 Vobeeitungsseina zu Klausu Dienstag..009 Klausu zu Volesung Dienstag jeweils 9 Uh Seinaau Alte Bibliothek 0 Gavitation

2 Deht sich die de? Foucaultsches Pendel Pendel a Nodpol Pendel deht sich unte de Pendel weg koplette Dehung a Tag, d.h. 5 o po Stunde Nachtag Rotation Rostock Θ o de Winkelgeschwindigkeit ω HRO ω NP sin ΘHRO Θ : Beitengad HRO. Aziutale Koponente HRO sin Θ h po Dehung o HRO po Stunde in Rostock ohne Dehoent ändet sich die Bahnebene des Pendels nicht

3 Deht sich die de? Ja! Foucaulsches Pendel i Institut fü Physik :4 Uh :08 Uh 4:54 Uh Dehung po Stunde o. Gob twa 4 Gad Dehung beobachtet Beechnete Wet. Gad

4 Annäheung an das Thea Gavitation 4

5 Gavitationsgesetz Bau Vostellung vo Newton: Die Bewegung von Köpe auf de de (Apfel) und die Bewegung von Hielsköpen haben nichts iteinande zu tun und weden duch unteschiedliche Natugesetze beschieben Apfel Gedenktafel in Cabidge 5

6 Beschleunigung des ondes allgeein a v v Zentipedalbeschleunigung a a π T 4π ² T 4π ² (.6 0 s) Vegleich it de de Beschleunigung an de dobefläche Ulaufpeiode des ondes: 7. Tage (.6x06 s) Radius de ondbahn:.86x0 8 (60xR ) a g 4 s² s² 9.8 s² Beschleunigungswete vehalten sich wie das invese Quadat de Radien s².75 0 a g R ( 60) aha hie egibt sich öglicheweise ein Zusaenhang 6

7 Gavitationsgesetz Newtons Voschlag fü ein Gavitationsgesetz F ² ~ F G Popotionalitätsfakto??? Apfel R6.7x0 6 ρ5000 kg/³ Newtons Abschätzung fü die Gavitationskonstante g G R² G g A A A G 0.4 gr G 4 π ρ R³ kg 5000 ³ 9.8 s² A 4π R g ρr g R ³ kg s² Akzeptiete Wet G 6.67x0 - - kg - s - daalige Wet i Vegleich zu heutigen genau innehalb von 0% 7

8 Gavitationskonstante F ² ~ kg s² Gavitationkaft auf asse duch asse. Vekto F zeigt in Richtung von. Länge ist aß fü die Stäke de Wechselwikung [ G] kg² ² Diensionsanalyse [ G] ³ s² kg kg s² ² kg² N ² kg² F F ˆ Gavitationskonstante G N ² kg² Die Richtung wid angegeben duch einen diensionslosen inheitsvekto F G Dei unteschiedliche Aten, das Gavitationsgesetz zu scheiben Vekto F zeigt in Richtung de Achse die duch die Vebindungslinie zwischen den beiden assen bestit ist F G F G ² e 8

9 Cavendish xpeient Weighting the eath (797) Heny Cavendish 7-80 Gavitationsgesetz F G ² Notwendig: essung de Gavitationskonstanten G Geniale Idee: Die Kaft, die notwendig ist, einen dünnen Quazfaden zu vedehen, ist in deselben Gößenodnung wie die Gavitationskaft zwischen zwei Bleikugeln in geingen Abstand Heutige Wet G N² kg² xakt bescheibt das Gavitationsgesetz nu die Wechselwikung zwischen zwei assen i Abstand. Bei ausgedehnten Objekten uss an unte Uständen übe alle Zweiköpekäfte suieen bzw. integieen Gavitationswechselwikung zwischen zwei Pesonen F F G ² 60 kg 80 kg N² kg² ( ). 0 7 N 9

10 Cavendish xpeient Weighting the eath (797) Wie schwe ist die de? 9,8 s² A A g G R² gr G ³ s²kg kg Die Bestiung dieses Wetes hängt davon ab, wie genau an den Wet von G bestit hat. Tatsächlich wiegt an in de Cavendish xpeient nicht nu die de, sonden auch gleichzeitig die Sonne sowie alle Planeten und onde. 0

11 Hubble Cash Gewicht des Teleskops veinget sich it de Abstand zu de asse des Hubble Teleskops 600 kg W W W de de de G ( + h ) H obit N N ²kg i All kg 600 kg 6 6 ( ) Gewicht des Teleskops auf de de und i Obit R de +600 k W W W de de de G H 5 N N ²kg auf de de 4 kg 600 kg 6 ( )

12 Newtons Schalentheoe asse des Apfels: 00g F G Beschleunigung des Apfels F a 0.98N a Gavitationskaft 0.98N 0.kg asse de de 5,976x0 4 kg Radius de de 680 k 4 - ³ kg 0.kg s²kg 6 ( ) A 9.8 s² 0.98N Beschleunigung de de F a 0.98N 0.98N a kg Gavitationswechselwikung kann nicht dividiet weden oft, so auch in diese Fall ist die Auswikung auf einen de Objekte venachlässigba geing ine sphäische Schale aus ateie wikt auf ein äußees Teilchen so als wäe seine asse i Zentu konzentiet Newtons Schalentheoe 5 s² de kann als Abfolge von assenschalen angesehen weden, bei de jede Schale auf ein äußees Teilchen wikt und zwa so, als ob die asse eine jeden Schale i Zentu konzentiet ist

13 ond ade! Dehipulsehaltung Duch die Gezeitenkäfte velangsat sich die dotation Folge: De Dehipuls de de veinget sich. Wegen Dehipulsehaltung ehöht sich de Dehipuls des ondes Käftegleichgewicht G v G v² insetzen in die Foel fü den Dehipuls L v L G G Bei eine höhung des Dehipulses vegößet sich de Abstand zwischen de und ond

14 Supeposition von Käften Gavitationswechselwikung zwischen Teilchen ist die Sue von inzelwechselwikungen F, es F + F + F F N F F, es i i N In ealen Objekten ist es sinnvoll den Köpe in kleine Stücke de asse d zu teilen und die Wikung auf das betachtete Teilchen auszuechnen und zu suieen. F, es v df Die Gavitationswechselwikung kann nicht abgeschit weden. Letztendlich wechselwikt jedes Teilchen i Univesu it Newtons Apfel 4

15 Syste aus dei Teilchen y x F, es F tan Θ, + ( F ) F F F G ( ) F G, ( ) nu y-koponente positiv nu x-koponente negativ F F,, Beispiel kg ³s² kg ³s² kg inzelkäfte ( ) ( ) kg kg kg kg N N F, es Käfte wiken senkecht aufeinande! Resultieende Kaft ist also nicht einfach die Sue de inzelkäfte, d.h. Vektosue uss gebildet weden (.48 0 N) + (.4 0 N) Θ tan N N Richtige Lösung N Richtige Lösung Θ56 da tan α tan(80+α) Θ 4 5

16 Käfte auf den ond F FS Θ Fes F F S N² kg² N² kg² kg (.84 0 ) kg.99 0 (.50 0 ) 4 0 kg.99 0 kg N N F F S N.8 N Gavitationswechselwikung zwischen Sonne und ond göße als zwischen de und ond F ( F ) + ( F ) es S 0 0 (.99 0 N) + ( N) N Θ tan N 4.6 N 6

17 Geosynchone Satellit Radius des Obits Gavitation G G Sat Sat ² Sat Sat Sat ² Sat Sat Sat G T 4π ² v Sat Sat π T Sat auflösen nach Sat Rotation Bahnadius eines geostationäen Satelliten v geosynchone Bahn Sat π T π 86400s Sat Sat Geschwindigkeit beechnet aus Ulaufzeit und Radius sat s²kg Ulaufbahn eines geosynchonen Satelliten cica 6000 k Sat4 dadius (6800 k) G Sat Sat ² 4 5 ( kg) ( s) 9.87 Sat v Sat Sat auflösen nach v Sat G 4 50 k s²kg vsat 6 Sat Geschwindigkeit des Satelliten 4 ( kg) 07 s 7

18 Kepleschen Gesetze vo Newton! stes Keplesches Gesetz Die Bahn eines Planeten u die Sonne ist eine llipse it de Sonne in eine de Bennpunkte de llipse. Keple Zweites Keplesches Gesetz Jede Planet bewegt sich so, dass wenn an eine Linie zieht zwischen de Planeten und Sonne gleiche Flächen zu gleichen Zeiten übestichen weden (Flächensatz). Dittes Keplesches Gesetz Das Vehältnis de Quadate de Peioden (T, T ) von zwei Planeten ist gleich de Vehältnis de de Kuben de goßen Halbachsen ihe Bahnellipsen (R, R ). Keple T R ode T R R T R T 8

19 Beweis des Ditten Kepleschen Gesetzes Wo findet an Satun? A Abstand Sonne-de Annahe: Die Planetenbahn ist nahezu keisföig (das stit fast) G S Keple G ² T S v und v 4π G S 4π T π T Konstanten auf eine Seite bingen nu Konstanten qed S T a S 9.54 A T a Akzeptiete Wet 9.58 A S 4π ² Akzeptiete Wet S S S Wo schwe ist die Sonne? Auflösen de Gleichung nach S S 4π ² GT (.5 0 ) N² 7 (.6 0 s) 0 S kg² 0 kg kg 9

20 Sonne und Planeten. Keplesches Gesetz 0

21 R³/T² Planeten vs onde u Jupite

22 xtasolae Planeten 5. Febua 996

23 xtasolae Planeten Notwendige Bedingungen u extasolae Planeten zu beobachten kuze Ulaufzeit geinge Obit goße Planet, goße asse Bewegungsichtung in Richtung de geinge Abstand zu de Abschwächung des Lichts de entfenten Sonne nu u wenige Pozent

24 ntdeckung extasolae Planeten 5 Oktobe 995. ayo and D. Queloz ½ asse Jupite Ulaufzeit 4. Tage Bahnadius 0.05 A ntfenung zu de 40 LJ Stand Feb Planetensystee it 44 Planeten 4

25 ste diekt beobachtete xtasolae Planet - Jupiteassen 000 Jahe Ulaufzeit Abstand 00 A Alte illionen Jahe Atosphäe Kohlenonoxid, Wassedapf ntfenung zu de 460 LJ 5

26 Wie wid die Gavitationskaft übetagen? Relativistische ffekte weden in de klassischen echanik nicht beücksichtigt. Die Wechselwikung ist instantan, d.h. ein Objekt a andeen nde des Univesus wechselwikt unittelba it Newtons Apfel 6

27 Kosische Geschwindigkeiten g G R² und g(h) G g(h) R² ( R h) g + ( R + h) Gleichgewichtsbedingung: Zentifugalbeschleunigung identisch it Schwekaft v² g( h) g R + h v gr R + h R² ( R + h) gr h + R v. Fallstudie geinge Höhe, d.h. h<<r s² 6 gr ste kosische Geschwindigkeit 7.9 s v<v. : Köpe kehen auf die de zuück Bahnen Fall: negieehaltung, sind Teil de Keple d.h. llipse P K de befindet sich i nähee Bennpunkt de llipse Flugbahnen sind v² keine gr Wufpaabeln. Fühee Annahe: g(h) ist konstant. Dies gilt alledings nu fü geinge Wete von h 6 v gr s² s Zweite kosische Geschwindigkeit Flugbahn ist eine Paabelbahn 7

28 Kosische Geschwindigkeiten g G R² und g(h) G g(h) R² ( R h) g + ( R + h) Gleichgewichtsbedingung: Zentifugalbeschleunigung identisch it Schwekaft v² g( h) g R + h v gr R + h R² ( R + h) gr h + R v. Fall geinge Höhe h<<r s² 6 gr 7.9 s ste kosische Geschwindigkeit v<v : Köpe kehen auf die de zuück Bahnen sind Teil de Keple llipse de befindet sich i nähee Bennpunkt de llipse Flugbahnen sind keine Wufpaabeln. Daalige Annahe: g(h) ist konstant. Dies gilt nu fü kleine Wete von h. Fallstudie: negieehaltung potentielle negie gleich kinetische negie v² gr 6 v gr s² s Zweite kosische Geschwindigkeit Flugbahn ist eine Paabelbahn 8

29 Schwazes Loch Wenn keine andeen Käfte wiken stüzen alle Teilchen aufeinande zu! Schwazschildadius G R SL c Fluchtgeschwindigkeit aus eine Schwazen Loch v SL G gr R G vsl R in Objekt, dass ein Schwazes Loch velassen will benötigt eine Geschwindigkeit die de Lichtgeschwindigkeit entspicht v SL c R Schwazschildadius Newtons Apfel.5x0-8 de 9 Sonne 500 Notwendig asse zu Bildung eines Schwazen Loches (.5 Sonnenassen) 9

30 Das Schicksal de Sonne Fusionspozesse in de Sonne und die assenanziehung halten sich die Waage und vehinden einen Gavitationskollaps de Systes I I Sun NS I I Tägheitsoent de Sonne I Sun SunRSun kg 5 46 I.9 0 kg ² Sun 8 ( 7 0 ) I NS SunRNS kg 5 5 I 7. 0 kg ² Sun NS NS ( RSun ) ( R ) NS Rotationspeiode 9 Tage Tägheitsoent de Neutonenstens ( 0 ) Igendwann ist de Bennstoff aufgebacht. Dann stützt die gesate asse de Sonne ins Zentu. Die asse eicht abe nicht aus u ein Schwazes Loch zu bilden. Statt dessen wid sich ein Neutonensten bilden it eine Duchesse von wenige Kiloeten. Zusätzliche Auswikung Wegen Dehipulsehaltung deht sich diese Sten it eine enoen Geschwindigkeit Rotationspeiode illisekunde 000x po Sekunde Dehipulsehaltung I I Sun T NS T Sun ω Sun I π I TSun T NS NS NS NS ω NS Sun Sun NS 0 π TNS 9 tg tg T.4 s NS I I T 0

31 Gibt es i Zentu de ilchstasse ein Schwazes Loch?

32 Gibt es i Zentu de ilchstasse ein Schwazes Loch? Fage Wie goß ist die asse des Objektes? Gößte Annäheung 7 Lichtstunden Ulaufpeiode 5. Jahe

33 Wie goß ist ist die asse des Objekts? Dittes Keplesches Gesetz SL SL T a SL S S SL 4π ² 4π ² G S SL 4π ² GT a S 4 (.4 0 ) N² kg² a a 6 6 kg Sonne 7 s Radius de goßen Halbachse R S 5.5LT 4 (.4 0 ) Wie goß könnte das Objekt vohe gewesen sein? R D SgA SgA G c ~ 8 D 8 Sonne 7 0 Ulaufpeiode 5. Jahe

34 Gavitationsgesetz F G Zusaenfassung Supeposition F, es F + F + F F N F F, es i i F, es N v df ine sphäische Schale aus ateie wikt auf ein äußees Teilchen so als wäe seine asse i Zentu konzentiet Newtons Schalentheoe stes Keplesches Gesetz Die Bahn eines Planeten u die Sonne ist eine llipse it de Sonne in eine de Bennpunkte de llipse. Zweites Keplesches Gesetz Jede Planet bewegt sich so, dass wenn an eine Linie zieht zwischen de Planeten und Sonne gleiche Flächen zu gleichen Zeiten übestichen weden (Flächensatz). Dittes Keplesches Gesetz Das Vehältnis de Quadate de Peioden (T, T ) von zwei Planeten ist gleich de Vehältnis de de Kuben de goßen Halbachsen ihe Bahnellipsen (R, R ). Gavitationspotential V g ( ) ~ T R R ode T R T R T 4