2.2 Beschleunigte Bezugssysteme Gleichf. beschl. Translationsbew.

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1 . Beschleunigte Bezugssysteme..1 Gleichf. beschl. Tanslationsbew. System S' gleichf. beschleunigt: V = a t (bei t=0 sei V = 0) s S s gleichfömige beschleunigte Tanslationsbewegung System S System S' x, y, z x', y', z' "uhend" beschleunigt bewegt (im Zug) Otsvekto = + 1 a t = 1 a t S S Geschwindigkeit v = v + a t v = v a t S S Beschleunigung a a a = a + a a = a a S S System S ist Inetialsystem! F = ma = F ma S F = ma! es = F+ F t F: Scheinkaft t Beobachte in S' wid zusätzliche Beschleunigung ( ) a S (Tägheitskaft) als Wikung eine Kaft ("Scheinkaft", "Tägheitskaft") intepetieen! Um einen Köpe im beschleunigten System S' "in uhe zu halten" muß eine (eale) Kaft F wiken, die die Scheinkaft F v t kompensiet: F+ F = 0 a = 0! (d'alembet) [Gl..1.1.] t statisches Gleichgewicht: Summe de Käfte=0 einschl. de Tägheitskaft! Beispiel: Köpe Fl. (m = 1 kg) steht auf eine (elektonischen, in "N" geeichten) Waage in einem Aufzug (g=10 m/s ) a) b) c) 10 N 15 N 5 N (betachte nu vetikale Komp.von Kaft, Beschl. etc., "+" nach oben) wg. "actio" = "eactio" gilt: Anzeige de Waage = F N = F Fl. auf Waage = F Waage auf Fl.! [Gl..1..] Physik beschl_bezugssysteme.doc, Pof. D. K. auschnabel, HHN, :04:00 S.1/10

2 a) Aufzug in uhe (ode gleichf. Geschw.!) a) Fl. bleibt in uhe 10 N Käfte auf Fl.: Gewicht: F = mg G -10 N Waage auf Fl.: F N +10 N Summe: F es 0 N Beschleunigung: a 0 m/s Physik beschl_bezugssysteme.doc, Pof. D. K. auschnabel, HHN, :04:00 S./10

3 b) Aufzug beschleunigt mit 5 m / s nach oben: b) 15 N 1) Betachtung von außen: Käfte auf Fl.: Gewicht: F = mg -10 N G Waage auf Fl.: F N +15 N Summe: F es + 5 N Beschleunigung: a +5 m/s Fl. wid mit 5 m /s nach oben beschleunigt! ) Betachtung im beschl. Bezugssystem des Aufzugs: Käfte auf Fl.: Gewicht: F = mg G -10 N Waage auf Fl.: F N +15 N "Tägheitsk." F t - 5 N Summe: F 0 N Beschleunigung: a' 0 m/s Im Bezugssystem des Aufzugs bleibt Fl. in uhe! Physik beschl_bezugssysteme.doc, Pof. D. K. auschnabel, HHN, :04:00 S.3/10

4 c) Aufzug beschleunigt mit -5 m / s (nach unten) c) 5 N 1) Betachtung von außen: Käfte auf Fl.: Gewicht: F = mg G Waage auf Fl.: F N Summe: F es Beschleunigung: a Fl. wid mit -5 m / s (nach unten) beschleunigt! ) Betachtung im beschl. Bezugssystem des Aufzugs: Käfte auf Fl.: Gewicht: F = mg G Waage auf Fl.: F N "Tägheitsk." F t Beschleunigung: Summe: F a' Im Bezugssystem des Aufzugs bleibt Fl. in uhe! Physik beschl_bezugssysteme.doc, Pof. D. K. auschnabel, HHN, :04:00 S.4/10

5 .. otieende Bezugssysteme, Zentifugal - und Coioliskaft Spez.: gleichfömig otieende Bezugssysteme, Bsp.: Ede a) Betachtung von außen gleichmäßige Keisbewegung Betachtung im otieenden Bezugssystem Köpe uht im otieenden Bezugssystem m F Z F Z m F t =F Zf Duch Zentipetalkaft (z.b. Fede) F = m (nach innen!) beschleunigte z Bewegung! Beobachte im beschl. System: Köpe uht Summe alle Käfte = 0 auße de Fede muß eine weitee Kaft (gleich goß abe entgegengesetzt, d.h. nach außen!) wiken: Tägheitskaft (Scheinkaft) : "Zentifugalkaft" / "Fliehkaft" F zf Physik beschl_bezugssysteme.doc, Pof. D. K. auschnabel, HHN, :04:00 S.5/10

6 Zentifugalbeschl. auf de Ede: addiet sich (vektoiell!) zu Edbeschleunigung g 0 ( g zeigt zum Edmittelpunkt: g 0 0 ) Bem.: ZF-Beschl. als Vekto a v = ( zf ) [Gl..1.3.] mit: = Vekto de Winkelgeschwindigkeit π Betag: = = T (Winkelgeschw. [ad./s]) ichtung de Dehachse, "echte-hand-"/ "echtsschauben"- egel g = g + a 0 zf [Gl..1.4.] F = g ( 0 ) a zf = cos λ E mg λ F Zf a zf << g ( nachechnen!) 0 g = g g a cosλ 0 zf = g cos λ (*) 0 E [Gl..1.4.] ( g m /s ) 0 g / ms Abh. de Edbeschl. vom Beitengad th. exp. H HN Beitengad Effekt ca. 50% göße als nach (*)! Waum? Physik beschl_bezugssysteme.doc, Pof. D. K. auschnabel, HHN, :04:00 S.6/10

7 b.) Köpe bewegt sich im otieenden System im ot. System titt eine zusätzliche Scheinkaft auf: COIOLIS-Kaft einfaches Beispiel - adiale Bew. mit Geschw v, ( v ) : Köpe bewegt sich (im Inetialsystem) käftefei geadlinig im ot. System wüde e geadl. in Zeit t von A nach B kommen wegen de otation bleibt e abe um Winkel α = t zuück A B'! s = α v t ( ) ( ) ( ) = t v t = v t Beobachte im ot. System intepetiet dies als Nomalbeschleunigung : Coiolis-Beschl. a c s = 1 a t a = v c c F F v c c F F = 0 fü v! c c Coiolis-Kaft: = m ( v ) B s B v t A α [Gl..1.5.] c.) Beschleunigung eines Köpes im otieenden Bezugssystem: Auf Köpe wikt im Inetialsystem ( I ) Kaft F, Beschl. a = Fm I im otieenden System ( ) hat Köpe Geschw. v, Otsvekto Beschl. im ot. System: a = a { I + v ( ) (*) [Gl..1.6.] Fm Coiolisbeschl. Zentifugalbeschl. Physik beschl_bezugssysteme.doc, Pof. D. K. auschnabel, HHN, :04:00 S.7/10

8 Egänzung: kleine echenübung: wi beechnen die Beschleunigung a im ot. System! (und zeigen, daß (*) venünftig ist!) (Annahme: System "" otiet gegenübe "I" um z-achse) Schitt 1: wie weden Vektoen von I tansfomiet? Schitt : Dastellung des Otsvektos I (als Spaltenvekto im System I abe in Abh. von den Koodinaten x, y, z im System ) Schitt 3: Schitt 4: -mal diffeenzieen Beschleunigung a I zeigen, daß Egebnis Gl. (*) entspicht! Schitt 1: wie weden Vektoen von I tansfomiet? z I z Umechnung (Tansfomation) de Koodinaten I P (1) x x cost y sin t I y x t y t I = sin + cos z z I y y I x I t x Übung: zeigen Sie, daß x + y + z = x + y + z und daß in de x-y-ebene die Vektoen I I I x I y I x u. den Winkel t einschließen! y Physik beschl_bezugssysteme.doc, Pof. D. K. auschnabel, HHN, :04:00 S.8/10

9 analoge Tansf. gilt fü Geschwindigkeit und Bechleunigung: x& cos t y& sint x&& cos t && y sint v = x& sin t+ y& cost a = && x sin t+ && y cost z& && z Gl ist die Dastellung eines Geschwindigkeitsvektos v im Koodinatensystem I (Dehung des K.- () (3) Bem.: Systems), die duch die otation bedingte zusätzliche Geschw. ist hie (noch) nicht enthalten! Entspechendes gilt fü Gl. 3! Schitt : Dastellung des Otsvektos I (als Spaltenvekto im System I abe in Abh. von den Koodinaten x, y, z im System ) siehe Schitt 1! (1) I x I = y I z I x cost y sint = x sint+ y cost z Schitt 3: mal diffeenzieen Beschleunigung a I Beechnung de Geschw. v I = & I : ableiten! (4) v x& x& cost x sin t y& sint y cost I = y& = x& sint+ x cos t+ y& cost y sint I I z& z I & Beechnung de Beschl. a = v & = && : nochmals ableiten! I I I Abk. : s = sin t,c = cost x&& c x& s x& s x c && y s y& c y& c+ y s (5) a = x&& s+ x& c+ x& c x s+ && y c y& s y& s y c I && z (6) x&& c x& s x c && y s y& c+ y s a = x&& s+ x& c x s+ && y c y& s y c I && z Schitt 4: zeigen, daß Egebnis Gl. (*) entspicht! a = a + v ( I ) bzw: = + ( ) (*) a a v (**) I alle Vektoen als Spaltenvekt. im K.-System I dastellen: Physik beschl_bezugssysteme.doc, Pof. D. K. auschnabel, HHN, :04:00 S.9/10

10 && x c && y s a = x&& s+ && y c && z x& c y& s v = x& s+ y& c z& 0 = 0 x c y s = x s+ y c z Keuzpodukte aus-x-en: a.) b.) (& + & ) 0 ( x& c y& s ) x s y c v = 0 ( ) ( x c y s ) 0 x& s y& c = + x& c y& s 0 x s+ y c = x s y c = x c y s 0 0 ( ) ( x s y c ) x c y s ( ) = x c+ y s + = x s y c 0 0 schließlich alles in (**) einsetzen: x&& c && y s x s y c x c y s & & + a = x s+ y c x c y s x s y c I && && & & && z 0 0 dies ist identisch Gl. 6 (Be. de. Ableitung) : x&& c x& s x c && y s y& c+ y s a = x s+ x c x s+ y c y s y c I && & && & q.e.d.! && z Physik beschl_bezugssysteme.doc, Pof. D. K. auschnabel, HHN, :04:00S.10/10