7.1 Schwerkraft oder Gewichtskraft 7.2 Gravitation Massenanziehung 7.3 Federkraft elastische Verformung 7.4 Reibungskräfte

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1 Inhalt 1 7 Veschiedene Käfte 7.1 Schwekaft ode Gewichtskaft 7. Gavitation Massenanziehung 7.3 Fedekaft elastische Vefomung 7.4 Reibungskäfte Äußee Reibung zwischen Festköpeobeflächen Haftung ( Hafteibung ) Gleiteibung Rolleibung 7.4. Innee Reibung Stoke sche Reibung ode viskose Reibung Newton-Reibung 7.5 Tägheitskäfte (Beschleunigte Bezugssysteme) Geadlinige beschleunigte Bezugsysteme 7.5. Gleichfömig otieende Bezugsysteme 7.1 Schwekaft ode Gewichtskaft Jede Köpe fällt mit de Ed- ode Fallbeschleunigung g = 9,81 m/s zu Boden. Usache ist die von de Ede ausgehende Edanziehungskaft (= Gewichtskaft). F G = m g Gewichtskaft, Gewicht Das Gewicht eines Köpes von m = 1 kg Masse betägt F = 1kg g = 1kg 9,81m s = 9,81N ( = 1kp) G Anwendungsbeispiel: Massenvegleichswaage (Hebelgesetz) Zwei Massen sind gleich, wenn ihe Gewichte gleich sind. Balkenwaage mit zwei gleichlangen Amen: l1 = l = l Im Gleichgewicht gilt: (m s = Nommassen, Gewichte ) l F = l m g = l m g = l F zm, x x s zm, s mx = ms

2 7. Gavitation Massenanziehung 3 In unseem Beispiel haben wi die Gavitationskaft angewendet, ohne zu sagen, was sie eigentlich ist. Das Gavitationsgesetz [law of gavity], das ebenfalls von Newton stammt, besagt, dass jede Masse m 1 im Univesum jede andee Masse m wiedeum im gesamten Univesum mit eine Kaft anzieht, die den beiden Massen popotional und dem Abstandsgesetz umgekeht popotional ist. m1 m F e m 1 m e wobei die Richtung de Kaft entlang des Vebindungsvektos de beiden Massen zeigt. Die Richtung ist also duch den Vekto e gegeben, dessen Betag e = 1. Die Popotionalitätskonstante ist die beühmte Gavitationskonstante G, die die Stäke de Kaft bestimmt, so dass m m F = G e 1 das Gavitationsgesetz dastellt. Das Vozeichen ist negativ, da sich zwei Massen anziehen. 7. Gavitation Massenanziehung 4 Gavitationskonstante G G = (6,673 ±,5) 1 11 m 3 kg s Das Gavitationsgesetz ist außeodentlich bedeutsam fü a) die gesamte Kosmologie alle Galaxien, Stene, Planeten und Monde bewegen sich nach diesen Gesetzen. Entdeckung des Planeten Pluto Poblem de dunklen Mateie (nu 1% de gesamten Masse duch sichtbae Stene bekannt) b) auch auf de Ede bedeutsam: alle Gegenstände fallen auf die Ede Mondbewegung Ebbe und Flut

3 7. Gavitation Massenanziehung 5 Messung de Gavitationskonstante Cavendish ( ) Die Messappaatu von Cavendish bestand aus einem empfindlichen Tosionsschwinge mit zwei gleichen Massen m 1 (Tosionswaage Vedillen eines steifen Dahtes mit Spiegel). Die Schwingungen dieses Systems wuden übe die Massenanziehung zu zwei in die Nähe gebachten Zusatzmassen m in die Positionen A-B bzw. A -B beeinflusst. Die Beobachtung de Schwingung efolgt übe einen Lichtzeige. Diese Anziehung de beiden Kugeln kann im Labo nachgewiesen weden. Wie klein die Kaft ist, kann man fü das Beispiel zweie Kugeln, die je 1 kg Masse haben sollen und 1 cm voneinande entfent seien, ausechnen. F 11 1 m 6, N m kg kg 9 6,67 1 N G m = = =,1 kg m Um nach dem Gavitationsgesetz eine gößee Kaft zu ezeugen, bauchen wi goße Massen. 7. Gavitation Massenanziehung 6

4 7. Gavitation Massenanziehung 7 Auf de Edobefläche gilt fü eine Masse m G m F = m e = m g E E Mit e = und g = gilt 1 g m E = Edmasse, E = Edadius G me F = = m = m F E z 1 g Damit wid G m g = E E 6 4 E Mit = 6,371 1 m und m = 5,97 1 kg folgt g = 9,81 m s. E 7. Gavitation Massenanziehung 8 Schwekaft in andeen Systemen Radius Masse m Beschleunigung g Ede 6 6,371 1 m 4 5,97 1 kg 9,81 Mond 6 1,74 1 m 7,4 1 kg 1, 6 Sonne 5 71 km 3 1 kg 7 Neutonensten 1 km 3 1 kg 1 1, 3 1

5 7.3 Fedekaft elastische Vefomung 9 Um eine elastische Fede um die Stecke s zu dehnen, ist eine Kaft F nötig: s ungedehnte Fede F = ; s = Faus = auslenkende Kaft; geift von außen an FFede = ückteibende Kaft de Fede = Gegenkaft Zusammenhang zwischen F und s: Faus s F = D s lineaes Kaftgesetz de Fede F s Fede F Fede F aus D = Fedekonstante (auch C ode f genannt); [ D] = 1 N m 7.3 Fedekaft elastische Vefomung 1 F Fede s mit D > D 1 D 1 (weiche Fede) D (hate Fede) Das lineae Kaftgesetz de Fede gilt nicht fü beliebig goße Auslenkungen, sonden nu im (begenzten) Elastizitätsbeeich. E ist gekennzeichnet duch: i F s, d. h. Lineaität i s = fü F =, d. h. Rückkeh de Fede in die Ausgangslage nach Entspannung Veallgemeineung: Hooke sches Gesetz Jede Köpe vehält sich wie eine elastische Fede, gleich welche Fomändeung voliegt, die Fomändeung muss nu hineichend klein sein. Die Fomändeung (Dehnung, Biegung, Tosion, Scheung) ist de angeifenden Kaft popotional.

6 7.3 Fedekaft elastische Vefomung 11 Beispiel: Dehnung eines Stabes F A F F = dehnende Kaft A = Queschnitt des Pobestabes l = Ausgangslänge l = l + l = gedehnte Länge F l F l σ = = E = E ε A l Hooke sches Gesetz de Dehnung Spannung = Elastizitätsmodul Dehnung F σ= = Spannung A l ε= = Dehnung l E = Mateialkonstante, Elastizitätsmodul, [ E] = N m 7.4 Reibungskäfte Äußee Reibung zwischen Festköpeobeflächen Haftung ( Hafteibung ) Um einen Köpe auf ebene Untelage in Bewegung zu setzen, muss die angeifende Kaft F einen Genwet F übeteffen. F HR F F < F Ruhe F > F Bewegung F N FHR = F = Haftkaft Expeimentell findet man: F F ( F = Nomalkaft auf Obefläche) F = FHR =µ FN Coulomb sches Haftungsgesetz µ = Hafteibungszahl F wikt entgegen de Kaft F und ist paallel zu Obefläche. HR N N

7 7.4 Reibungskäfte Gleiteibung Um einen Köpe auf ebene Untelage mit v = const. zu bewegen, ist eine Reibungskaft F zu übewinden. GR F GR F N v F F > F GR F < F GR F = F GR Beschleunigung Ruhe, Bemsung v = const. F GR =µ F N Coulomb sches Gleiteibungsgesetz µ = Gleiteibungszahl µ µ 7.4 Reibungskäfte Rolleibung Um ein Rad auf ebene Untelage mit v = const. zu bewegen (ollen), ist eine Rolleibungskaft F zu übewinden. RR F RR F F =µ F RR RR N Rolleibungsgesetz µ = Rolleibungszahl RR µ µµ, RR F N Fü all diese dei äußeen Reibungskäfte spielt die Nomalkaft (d. h. die Kaft, die nomal auf die Obefläche wikt) eine entscheidende Rolle. Nomalkaft F N = Kaft, mit de de Köpe senkecht auf die Untelage dückt (d.h. F Obefläche ode F A)

8 7.4 Reibungskäfte 15 Nomalkaft bei waagechte Untelage: F = m g N m bei schiefe Ebene: F N FN = m g cosα FG = FN + FH F = m g sinα H Hangabtiebskaft F H F G α F N 7.4 Reibungskäfte 16 Beispiel: Bemsen eines Kfz Das Bemsvemögen eines Kfz hängt entscheidend von de Haftung zwischen Räden und Staße ab. F = m g N F = m g µ Haftkaft F m a = maximale Bemskaft B = Bmax m m a =µ g =,9 9,81 = 8,83 Bmax µ =,9 s s (Gummi auf Asphalt) s B v = a Bmax minimale Bemsweg 1 Mit v = 1 km h = 7,77 m s egibt sich ( s = at t = s a) : s B = 43,7 m und t = 3,15 sec B

9 7.4 Reibungskäfte Innee Reibung Sie findet im Inneen von Flüssigkeiten und Gasen zwischen den leicht gegeneinande veschiebbaen Molekülen ode Atomen statt. Typisch fü die Innee Reibung ist: i Es gibt keine Ruheeibung: F = i Die Gleiteibung ist geschwindigkeitsabhängig, z. B. F v R Stoke sche Reibung ode viskose Reibung Bewegt sich ein Köpe mit geinge Geschwindigkeit duch ein zähes Medium, so ist de innee Reibungswidestand F v (laminae Stömung) R 7.4 Reibungskäfte 18 Beispiel: Eine Kugel fällt duch eine zähe Flüssigkeit, z. B. ein Öl Stoke sches Gesetz F = 6 π R η v R Reibungswidestand de Kugel Ns mit R = Kugeladius, η= Zähigkeit de Flüssigkeit, [ η ] = = Pa s m Die Kugel eeicht schließlich eine konstante Fallgeschwindigkeit v, bei de gilt: m FR = FG 6 π R η v = m g v = g 6 π R η m g vz = 6 π R η

10 7.4 Reibungskäfte Newton-Reibung Bewegt sich ein Köpe mit hohe Geschwindigkeit duch ein Medium geinge Zähigkeit, so ist de innee Reibungswidestand F v R Usache: Tubulenz, Wibelbildung, Beispiel: Luftwidestand ρ v F = c A e L W v mit ρ= Dichte des Mediums (Luft), A = Anstömfläche (Schatten), c = Fomfakto ( c -Wet) W w 7.5 Tägheitskäfte Tägheitskäfte (Scheinkäfte) müssen zu Bescheibung de Bewegung von Massenpunkten eingefüht weden, wenn diese Bewegungen in einem beschleunigten bewegten Bezugssystem dagestellt weden. Diese Tägheitskäfte spiegeln eigentlich nu die Beschleunigung des Bezugssystems wide. Sie teten nicht auf, wenn dieselben Vogänge in einem Inetialsystem beschieben weden. Wi wollen uns dies an zwei Spezialfällen beschleunigt bewegte Bezugssystems klamachen. Im esten Fall ist die Bewegung geadlinig und gleichmäßig beschleunigt, im zweiten Fall otiet das System (x,y,z ) gegen (x,y,z) um den gemeinsamen Uspung O = O beide Systeme.

11 7.5 Tägheitskäfte Geadlinig beschleunigte Bezugssysteme Bewegt sich de Uspung O des Systems ( x, y, z ) gegenübe einem uhenden System O entlang de x-achse mit de zeitlich veändelichen Geschwindigkeit ut ( ), abe konstante Beschleunigung ax dvx d a = mit ax = = dt dt x so ändet sich nu de Betag de Geschwindigkeit u, jedoch nicht ihe Richtung. 7.5 Tägheitskäfte Beispiel: Beobachte in einem auf geade Stecke anfahenden Zug. z y z A y 1, x x x = x + v + a t y = y z = z O x O x System in Ruhe beschleunigt bewegtes System Fü einen Punkt A, de im System O die Koodinaten { x, y, z } hat, misst ein 1 Beobachte im System O die Koodinaten x = v t + at + x, y = y, z = z, { } wenn zu Zeit t = die beiden Koodinatenuspünge O und O zusammenfielen und die Anfangsgeschwindigkeit vt ( = ) = v wa. Die Geschwindigkeiten von A sind dann v, v, v fü O und v = v + at + v, v = v, v = v fü O. { } { } x y z x x y y z z

12 7.5 Tägheitskäfte 3 Beispiel: Fahstuhlexpeiment In einem Fahstuhl hängt eine Masse an eine Fedewaage. Wenn sich de Fahstuhl mit de Beschleunigung a = a e nach unten bewegt, misst die z Fedewaage die Kaft F = m ( g a), bewegt e sich beschleunigt nach oben, so misst sie F = m ( g + a), wobei g = g e z die Edbeschleunigung ist. De im Fahstuhl sitzende Beobachte O sagt: De Köpe ist in Ruhe. Also muss die Gesamtkaft Null sein. Diese setzt sich zusammen aus F = F1+ F + F3 wobei F1 = m g (Gewichtskaft) F = m ( g a) (Gegenkaft de Fedewaage) F3 = m a (Tägheitskaft) F = i i 7.5 Tägheitskäfte 4 De uhende Beobachte O sagt: Die Masse m wid zusammen mit dem Fahstuhl beschleunigt. Dazu muss die Kaft F = m a aufgewendet weden. Die Gesamtkaft F = F1+ F = m g m ( g a) = m a ist die Vektosumme aus Gewichtskaft F1 = m g und Rückstellkaft F = m ( g a) de Fede. Beim feien Fall des Fahstuhls wid a = g. Fü O bleibt F i =, wähend fü O die Gesamtkaft F = m g wid.

13 7.5 Tägheitskäfte 5 Tägheitskäfte müssen nu eingefüht weden, wenn die Messungen in einem beschleunigten Bezugssystem duchgefüht weden und man dabei die Beschleunigung des Systems nicht beücksichtigt (Beobachte O ). Duch eine Tansfomation auf ein Inetialsystem (= nicht beschleunigtes System) weden alle Scheinkäfte Null, d. h. de Beobachte O baucht sie nicht zu Bescheibung de Bewegung eines Köpes A in seinem Inetialsystem Gleichfömig otieende Bezugssysteme In otieenden Bezugssystemen teten zusätzlich zu den ealen physikalischen Käften weitee Tägheits- ode Scheinkäfte auf, die de mitbewegte Beobachte benötigt, um die Beschleunigung eines Köpes ekläen zu können: die Zentifugal- und die Coiolis-Kaft. 7.5 Tägheitskäfte 6 v = v +ω Eine nochmalige Diffeentiation de Geschwindigkeit v egibt die Beschleunigung a = dv d t. dv d dv d dv dω d = [ v +ω ] = + [ ω ] = + +ω dt dt dt dt dt dt dt dv dv = + ω d v t dt = Dehbewegung des Koodinaten- systems = Geschwindigkeitsändeung im otieenden System Fallen die Nullpunkte O des uhenden Systems und des mit de konstanten Winkelgeschwindigkeit ω otieenden Systems S zusammen, dann sind die Abstände und vom Nullpunkt in beiden Koodinatensystemen gleich und zwischen de im uhenden Koodinatensystem gemessenen Geschwindigkeit v und de Geschwindigkeit v des otieenden Systems besteht de Zusammenhang =, da ω= const. De Beobachte in O ehält, in den Koodinaten von O ausgedückt, fü dv dt analog dv = a + ( ω v ) dt wobei a wiede die Beschleunigung ist, die O elativ zu seinem System misst.

14 7.5 Tägheitskäfte 7 Man ehält dahe dv a = = a +ω v +ω v dt a = a +ω v +ω ( v +ω ) = a +ω v +ω v +ω ( ω ) = a + ( ω v ) +ω ( ω ) mit a b = ( b a) egibt sich a = a + ( v ω ) + ω ( ω ) = a + a + a C ZF = = Coiolis- Zentifugalbeschleunigung beschleunigung Wähend de Beobachte in O in seinem uhenden System die Beschleunigung a = dv d t misst, muss de Beobachte O in seinem otieendem Bezugssystem fü die gleiche Bewegung des Massenpunktes A zusätzliche Teme fü die Beschleunigung einfühen. 7.5 Tägheitskäfte 8 Da nach den Newton'schen Axiomen Beschleunigungen duch Käfte veusacht weden, muss de Beobachte O, wenn in seinem System die Gleichung F = m a gelten soll, zusätzlich Käfte einfühen, um die Bewegung des Massenpunktes A in seinem otieenden Bezugssystem O zu bescheiben. Dies sind: Coioliskaft : F = m ( v ω) C und Zentifugalkaft : F = m ( ω ( ω )) = m ω ZF Beispiele: Zentifugalkäfte: Schweelosigkeit eines Astonauten Foucault sches Pendel (Dehung de Schwingungsebene)

15 7.5 Tägheitskäfte 9 Ein besondes imposantes Beispiel fü die Coioliskäfte bieten die sich bei Tiefduckgebieten bildenden Wolkenfomationen. De Wind stömt (in unseem otieenden Edsystem beobachtet!) nicht adial zum Punkt des tiefsten Duckes, sonden e wid tangential abgelenkt und spialt dahe auf de Nodhalbkugel im Gegenuhzeigesinn, auf de Südhalbkugel im Uhzeigesinn in das Tief hinein.