1925 Einstein: Für ein ideales Bose-Gas ist in einer 3-dimensionalen Box gilt für die Temperatur T c : definiert ist als

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1 Übeblick. Vobemekungen. Ideale ose-gas im goßkanonischen Ensemble ose-veteilungsfunktion. Makoskopische esetzung des Gundzustandes. Übegangstempeatu c 4. Spezifische Wäme in de Umgebung von c 5. finit-size Effekt 6. iedee Dimensionen.Vobemekungen Ein ose-einstein-kondensat stellt ein makoskopisches Quantensystem da, bei dem sich untehalb eine Übegangstempeatu c ein endliche Anteil de Atome im Gundzustand befindet. Die Atome im Gundzustand velieen ihe Einzelidentitäten und vehalten sich wie ein einziges Supeatom, so egt z.. einfallendes Laselicht imme das ganze Kondensat an. 95 Einstein: Fü ein ideales ose-gas ist in eine -dimensionalen ox gilt fü die empeatu c : ( ),6... n λd( c ) ζ (.) wobei die themische de-oglie Wellenlänge λ d definiet ist als πh λ d (.) mk und n die eilchenzahldichte bescheibt. Fü den Anteil de osonen, die das Kondensat bilden und sich im Gundzustand befinden, gilt: > c :? (.) < c :? - c (.4) kann in diesem Fall in de Gößenodnung von sein und damit makoskopisch. Diese Entatung de esetzungswahscheinlichkeit des Gundzustandes ist die Schlüsseleigenschaft des ose-einstein-kondensats. 995 am JILA : Conell und Wieman gelingt estmals die nachgewiesene Ezeugung eines EC im Labo. (Etwa 87 Rb Atome abgekühlt auf ca. nk) Die Realisieung des EC stellt hohe Anspüche an die vewendeten Atome: - Wikung als effektive osonen duch geeignete Kopplung de Spins de Elektonen und ukleonen - pemanentes magnetisches Dipolmoment (Emöglicht Einschluss im inhomogenen Magnetfeld) - goße elastische Steuqueschnitt (wichtig fü Vedampfungskühlung) - stake optische Übegang im Sichtbaen (zu Lasekühlung stehen hie leistungsstake kommezielle Halbleitelase zu Vefügung) - möglichst kleine inelastische Wechselwikung (keine ildung von Molekülen) JILA: Joint Institut fo Labaoatoy Astophysics in oulde (Coloado)

2 Abe auch mit Atomen, die diese Fodeungen bestmöglich efüllen ist die expeimentelle Ezeugung eines EC eine goße Heausfodeung. Die Phasenaumdichte ist zu eginn des Expeimentes etwa 9 Gößenodnungen von de kitis chen Phasenaumdichte entfent. Um sie anwachsen zu lassen besteht nu die Möglichkeit die empeatu dastisch zu eduzieen. die Gasdichte sollte einen möglichst kleinen Wet besitzen um Dei-Köpe- Stöße stak zu untedücken. Die benötigten empeatuen liegen im anokelvinbeeich. Man benutzt im Expeiment eine Kombination aus zwei Kühltechniken, die Lasekühlung und die Vedampfungskühlung. Die Speicheung efolgt in eine magnetischen Falle. Lasekühlung Die Lasekühlung beuht auf dem Impulsübetag eines absobieten Photons. Ein ideales Zwei-iveau-Atom im Gundzustand mit eine Geschwindigkeitskomponente v wechselwikt mit einem Photon aus entgegengesetzte Richtung. Wegen de Impulsehaltung efäht das Atom eine Abbemsung. ei de Rückkeh in den Gundzustand emittiet es spontan ein Photon. De zusätzliche Rückstoß hebt sich nach Mittelung übe viele Absoptions- und Emissionspozesse heaus. Zusätzlich macht man sich den Doppleeffekt zu utzen die benutzten Lasestahlen sind um einige Linienbeiten von de Anegungsfequenz otvestimmt. ewegt sich das Atom auf den Lase zu, kommt die Fequenz des Lichts nähe an die Resonanzfequenz des Atoms hean, die Absoptionsate wid ehöht. Daduch weden die Atome abgebemst und das Gas gekühlt. egenzt wid die utzbakeit diese echnik duch das Aufheizen duch die Rückstoßimpulse de emittieten Photonen und duch die äumliche Ausdehnung de Wolke. Mit zunehmende Dichte ehöht sich auch die Wahscheinlichkeit de Reabsoption von Photonen, was duch eine epulsive Kaft zwischen den Atomen beschieben weden kann. Die Genze de mit Laselicht eeichbaen empeatuen liegt bei etwa 6 µk. Magnetfalle Zum Speichen de Atome kommt eine magnetische Falle zum Einsatz, die auf de Wechselwikung des magnetischen Dipolmoments mit einem inhomogen Magnetfeld beuht. Fü den Hypefeinzustand F, mit dem magnetischen Zustand m F, ist die Enegie eines Atoms in eine Magnetfalle nu vom lokalen etag des magnetischen Feldes abhängig: E ( ) g m ( ) (.5) µ F F wobei g F de Landé g-fakto ist und µ das ohsche Magneton ist. Zustände bei denen das Podukt g F m F negativ ist, eniedigen ihe Enegie, je schwäche das Magnetfeld ist. Sie können damit in einem Magnetfeldminimum gefangen weden. Im Expeiment benutzt man Fallen mit einem hamonischen Potential, das duch eine geeignete Spulenkonfiguation leicht zu ezeugen ist. Vedampfungskühlung Fü die in de Falle gespeicheten Atome kann nun duch Vedampfungskühlung die Phasenaumdichte in den kitischen eeich ehöht weden. Die Vedampfungskühlung beuht auf dem Pozess, dass duch das Vedampfen übeduchschnittlich enegieeiche Atome die empeatu de zuückbleibenden Atome gesenkt wid. Im Expeiment senkt man die Enegie, obehalb de die eilchen entfent weden, kontinuielich ab. Eine Methode, um die Potentialtiefe kontolliet zu eduzieen, ist die Radiofequenzinduziete Vedampfung. Man übefüht die Zustände enegieeiche Atome in magnetisch nicht fangbae Zustände. De goße achteil diese Kühlmethode ist de eilchenvelust, de bis zu 99% betägt. Abbildungsmethoden Zu Messung de empeatu und de Dichteveteilung in einem gekühlten Gas benutzt man häufig die Expansionsmethode. Dazu wid das Magnetfeld abgeschaltet, und die Wolke kann sich ungehindet ausdehnen. Ein schwache vetikale Feldgadient wid angelegt, um de Gavitation entgegenzuwiken und nach wenige als ms wid das Gas mit einem Lase beleuchtet, dessen Wellenlänge eine Absoptionsfequenz de Atome entspicht. De Stahlduchmesse ist dabei göße als die Abmessungen de Gaswolke, und mit Hilfe de Absoption des Lichtes duch die Atome entsteht auf einem Detekto hinte dem Gas ein Schatten. Diese liefet Aussagen übe die Göße de Wolke nach de Expansion und elaubt die eechnung de uspünglichen Geschwindigkeitsveteilung. An jedem Punkt des ildes ist die optische Dichte popotional zu Dichte de Atome. Dahe lassen sich aus einem einzigen ild die Geschwindigkeit und die Phasenaumdichte und damit die empeatu bestimmen. Fü eine Dastellung des zeitlichen Velaufs de Expansion weden mehee Aufnahmen von veschiedenen Kühlpozessen, bei denen die Vedampfungskühlung zu unteschiedlichen Zeitpunkten abgebochen wid, gemacht. Man geht dabei davon aus, dass de Ablauf des Vesuchs imme gleich ist. Reiht man die ehaltenen ilde zeitlich hinteeinande auf, ekennt man zuest eine themische Veteilung. Ab einem bestimmten Zeitpunkt abe beginnt sich ein stake Peak übe de Veteilung zu bilden, und nach noch weitee Kühlung sind nahezu alle Atome kondensiet.

3 . Ideale ose-gase im goßkanonischen Ensemble ose-veteilungsfunktion Die goßkanonische Zustandsumme Z ist die Veallgemeineung de kanonischen Zustandsumme Q auf beliebige eilchenzahlen : (, µ, V ) exp [ βµ ] Q Z β mit β ( k ) (.) µ chemisches Potential Q exp [ βe k ] (.) k (, µ, V ) exp [ β ( E k )] Z β µ (.) k Fü das ideale ose-gas nimmt de Hamiltonopeato die Fom an: Hˆ Hˆ (.4) Hˆ i i pˆ i + V ( ˆ) (.5) m i Unte diese Voaussetzung geht Gl.. übe in: n Z (, µ, V ) exp β n ( ε µ ) β (.6) { n } Die Summationen kann man umguppieen, es gilt: n `... { n } n n n (.7) Die goßkanonische Zustandssumme nimmt somit die Fom an: ( ) [ ( )] Z β, µ, V exp βn ε µ (.8) n Fü osonen steht in de Klamme geade die geometische Reihe und somit: ( ) [ ( )] Z β, µ, V (.9) exp β ε µ Das zu goßkanonischen Zustandssumme gehöende Potential ist das goßkanonische Potential Ω Ω( β, µ, V ) k ln k k ( Z ( β, µ, V )) ln exp [ β ( ε µ )] ln{ exp [ β ( ε µ )]} (.) Mit Hilfe des goßkanonischen Potentials kann man, zu mindest im Pinzip, alle themodynamischen Gößen ausechen.

4 Die negative Ableitung des goßkanonischen Potentials nach dem chemischen Potential liefet die mittlee Gesamtzahl de osonen: Ω (.) exp [ β ( ε µ )] n Diese kann als die Summe übe die mittleen esetzungszahlen n ( ln( Z )) (.) βε exp [ β (( ε µ )] jedes Einteilchenzustandes aufgefasst weden. Das ist abe nichts andees als die ose-veteilungsfunktion: exp [ β ( ε µ )] n (.). Makoskopische esetzung des Gundzustandes Damit diese Ausduck fü alle esetzungszahlen gültig ist muss fü das chemische Potential gelten µ < e. Fü Fall µ? e ehält man fü die esetzungszahl des Gundzustandes (mit de äheung ε ) einen makoskopischen Wet: (.) n exp γ βµ mit γ [ β ( ε µ ) ] exp[ βµ ] Fü die Anzahl de Atome in angeegten Zuständen gilt und somit: exp [ β ( ε µ )] (.) un könnte man annehmen, dass nicht nu de Gundzustand sonden auch angeegte Zustände makoskopisch besetzt sind. Das dies nicht de Fall ist kann man sich echt einfach am Modell de -dimensionalen ox übelegen. ach Gl.. gilt fü die esetzungszahl des esten angeegten Zustandes: n ( βε ) [ ( )] exp β ε µ βµ (.) Fü den zweiten em in de Klamme kann man wiede die Abschätzung aus Gl.. benutzen, fü den esten ehält man: ( πλ db n ) ϑ βε h 4π β h 4π n β m m V (.4) Quanteneffekte weden elevant, wenn die de-oglie Wellenlänge in die Gößenodnung des eilchenabstandes V ~ n kommt. Die Zahl ϑ ist also auch in de Gößenodnung von. 4

5 Das bedeutet: n n ( βε βµ ) γ γ ϑ + γ γϑ (.5) Die esetzung des Gundzustandes ist als um einen iesigen Fakto göße als die esetzung des esten angeegten Zustandes. Man kann also davon ausgehen, dass nu de Gundzustand makoskopisch besetzt ist.. Übegangstempeatu C Die Übegangstempeatu ist definiet als die höchste empeatu, bei de die makoskopische esetzung des Gundzustandes auftitt. Wenn man sich auf ein Hochtempeatuegime beschänkt fü das, im Falle des hamonischen Potentials, gilt k >> hω ; kann man Summe in Gl.. duch ein Integal übe die Zustandsdichte g(e) esetzen. De Ausduck fü geht dann übe in: n g( ε ) dε exp (.) [( ε µ ) k ] Im folgenden bietet sich eine Falluntescheidung fü die zwei gundlegende Poblemfeldean: -dimensionale ox -dimensionales hamonisches Oszillatopotential V ( ) ω i x i i Vm g ( ε ) ε g ( ε ) ε π h h ωω ω (.) (.) Man kann ekennen, dass man die Fomel fü die Zustandsdichte veallgemeinen kann: ( ε α ) C α ε g (.4) Fü die beiden Fälle entspicht das dann: α α Vm C α π h C α h ωω ω Fü empeatuen obehalb de kitischen empeatu C ist die Anzahl de osonen im Gundzustand gegenübe de Gesamtzahl venachlässigba. Man kann dann annehmen: ( C, µ ε ) (.5) Die maximale Anzahl von Atomen in angeegten Zuständen wid bei de empeatu C eeicht fü µ ε. Unte Venachlässigung de ullpunktsenegie ( ε ) egibt sich dann: ( C, µ ε ) g( ε ) dε (.6) exp [ ε k ] C Duch die Substitution x ε k lässt sich das Integal beechnen: C ( α ) ζ ( α )( k ) α C α Γ C (.7) 5

6 wobei: G(α) Gamma-Funktion; α ζ ( α ) n Riemannsche Zeta-Funktion Fü das Enegieäquivalent de Übegangstempeatu egibt sich nach Gl..: ( C Γ( α ) ζ ( α )) α α α k C (.8) Fü die oben gemachte Falluntescheidung (-d ox; Falle) ehält man: k C π h n, h ζ ( ( ) ) m m n k C hω,94 hω ( ζ ( ) ) ω ( ω ω ) ( ) ω (.9) (.) Fü empeatuen untehalb C füht die eechnung des Integals Gl.. unte Vewendung von Gl..8 auf α (.) C und damit entspechend fü () - α ( ) (.) C Fü α (ose-gas in de ox) ehält man die Gl..4 aus den Vobemekungen. 4. Spezifische Wäme eben de eilchenzahl und de Übegangstempeatu ist auch die Spezifisch Wäme eine inteessante themodynamische Göße. Wi weden sehen, dass diese fü den Fall des hamonischen Potentials beim Übescheiten de Übegangstempeatu einen Spung aufweist, de fü den Fall des Gases in de ox nicht vohanden ist. Zu Untesuchung diese Diskontinuität betachtet man empeatuen knapp obehalb de Übegangstempeatu und beechnet die Ändeung des chemischen Potentials. Die Enegie E des ose-gases kann duch die ose-veteilungsfunktion bestimmt weden: E C ε α α (4.) exp [( ε µ ) k ] Die spezifische Wäme ehält man aus de Ableitung de Enegie nach de empeatu bei konstant gehaltene eilchenzahl. Es gilt: E E(, µ (, )) (4.) Das chemische Potential ist also selbe wiede eine Funktion de empeatu und de eilchenzahl. Somit egibt sich fü die spezifische Wäme: C µ + (4.) Fü das Vehalten in de Umgebung de kitischen empeatu gilt fü eine kleine Ändeung von E E(,µ), wenn man die Gesamtteilchenzahl als konstant betachtet: 6

7 δ δ + δµ E (4.4) De eitag des ems d ist kontinuielich beim Übescheiten de Übegangstempeatu. Die Usache des diskontinuielichen Vehaltens de Spezifischen Wäme ist de em popotional zu dµ, da das chemische Potential untehalb de Übegangstempeatu gleich ull und obehalb negativ ist. Zu Untesuchung de Diskontinuität betachtet man empeatuen knapp obehalb un untehalb de Übegangstempeatu und beechnet die Ändeung des chemischen Potentials dµ in de kleinsten Odnung von C. De Wet µ tägt zu Ändeung de Enegie in de Fom ( )δµ bei. Die Ableitung kann man aus Gl. 4. beechnen: α (4.5) wenn man die fü > c gültige eziehung fü die Gesamtteilchenzahl Cα (4.6) exp ε α [( ε µ ) k ] benutzt. Damit kann man den Spung de spezifischen Wäme angeben: C C ( ) C ( ) C+ C c+ c De zweite em tägt zu diese Diffeenz nichts bei, da untehalb de kitischen empeatu konstant µ gilt. Es gilt die Identität (4.7) ζ ( α ) k ( α ) α µ ζ (4.8) die fü feste eilchenzahl gültig ist. Die benötigten Ableitungen ehält man aus den Gl. 4. Damit egibt sich fü den Spung de spezifischen Wäme im Falle des hamonischen Oszillatopotentials (a ): ζ ( α ) ( ) ( ) k 6, k ( ) ζ C α k 9 58 (4.9) ζ α ζ α die hie gewählte eechnung nicht möglich. Die Diskontinuität fü α zeigt sich in Abb. []. Fü 7

8 5. Finite-size Effekt Die Anzahl de Atome die in de Falle sein können ist expeimentell begenzt auf maximal etwa 7 Atome. Aus diesem Gund ist de themodynamische Limes nie wiklich eeicht. Eine Konsequenz ist das Fehlen eine wiklichen Diskontinuität in den themodynamischen Funktionen. Aus diesem Gund ist die ose-einstein- Kondensation von gefangenen Gasen nicht wiklich ein Phasenübegang. In de Paxis abe titt die makoskopische esetzung des Gundzustandes ziemlich plötzlich auf, wenn die empeatu veinget wid (vgl. Abb. []). De Übegang ist gegenübe dem Limes abgeundet, abe de Effekt ist klein genug, dass man auch in diesem Fall von eine Übegangstempeatu spechen kann. Im goßkanonischen Ensemble ist die mittlee esetzungszahl duch die Summe in Gl. gegeben, wobei es nicht nötig ist gehen zulassen. Die Summation kann numeisch [4] ausgefüht weden, fü den kondensieten Anteil ehält man in diesem Fall, einen kleineen Wet als im themodynamischen Genzfall und de Übegang ist abgeundet. Mit de numeischen eechnung zeigt sich, dass finit-size Effekte nu deutlich zu ekennen sind wenn < 4 ist. eechnet man auch die Anzahl de Atome im esten angeegten Zustand, so finden man, das de Anteil de Atome in diesem Zustand fü gegen ull geht und auch schon fü seh klein ist. Abb. : [] Anteil de kondensieten Atome. Die Keise entspechen dem Expeiment [], wähend die duchgezogene Linie Gl.. (mit a ) entspicht. Die Koektu von Gl.. kann auch analytisch bestimmt weden. Ausgangspunkt hiefü ist eine zu Gl. altenative Scheibweise fü die Anzahl de Atome in angeegten Zuständen eine symmetischen, hamonischen Falle: exp kβ hω l α k l α wobei: l ( l x, ly, lz ); lα,,,,..; ( α x, y, z) (5.) [ ] k exp β hωk De Ausduck in de Klamme lässt sich fü kleine x entwickeln: exp [ x] + x x +... (5.) Einsetzen in Gl. 5. liefet: k k ζ ( ) + ζ () +... (5.) hω hω 8

9 Division duch ζ () ω k C (vgl. Gl..) liefet h () ζ [ ()] C ζ C (5.4) die Egebnisse diese Gleichung sind in Abbildung [] dagestellt. Finite-size Effekte eduzieen den Anteil de Atome im Gundzustand und das füht zu eine Veingeung de Übegangstempeatu im Vegleich zum themodynamischen Limes. Wenn man die linke Seite von Gl. 5.4 bei C (die veschobene Übegangstempeatu) gleich ull setzt ehält man, dass die elative Veschiebung in de Gößenodnung von ist [4]: δc C ζ ( ) [ ζ ( ) ],7 (5.5) Abb. : [] Die duchgezogene Linie stellt die beechnete Veschiebung nach Gl. 5. da, wähend die gestichelte dem themodynamischen Limes entspicht. 6. iedee Dimensionen Die etachtung de Eigenschaften efolgte bishe fü -dimensionale Pobleme, fü alle Raumichtungen wa die edingung k >> h? gültig. Zu ehandlung niededimensionale Effekte lässt man diese edingung fü eine ode zwei Raum dimensionalen fallen und behandelt damit - bzw. -dimensionale Pobleme. Fü diese Fälle ist es nu möglich ein EC in eine hamonischen Falle zu ezeugen. -dimensionale Falle: Fü das Enegieäquivalent de Übegangstempeatu gilt: ( ) k D h ω D ( ω ( ) ) D ω xω y (6.) ζ Fü die Fequenz in de z-richtung muss gelten: h ω << k < hω (6.) D z -dimensionale Falle 9

10 In eine Dimension kann die Übegangstempeatu nicht in de üblichen Weise beechnet weden, weil das auftetende Integal in diesem Fall divegiet. Kettele hat abe gezeigt (vgl. [4]), dass fü endliche näheungsweise gilt: k D hωd ( ω ω ) D z ln() Fü endliche Systeme titt hie ein zusätzliche Effekt auf. Die Kondensation efolgt in zwei Schitten, wenn sowohl < als auch h ω k D D < efüllt ist. Im empeatuintevall < < sind nu die adialen D D D Feiheitsgade eingefoen, wähend in z-richtung keine Kondensation auftitt. Untehalb von D titt vollständige Kondensation ein. Abbildung 5 [] zeigt den dagestellten Effekt fü ein ose- Gas aus 6 Atomen und einem Fequenzvehältnis von ω 4 5,6. ω z Die gestichelte Linie gilt fü n n, n ; die x y duchgezogene fü n n n. x y z z Liteatu: [] C. J. Pethick und H. Smith,, ose-einstein Condensation in Dilute Gases, Cambidge Univesity Pess, Cambidge [] J. R. Enshe, D. S. Jin, M.R. Matthews, C.E.Wieman und E.A. Conell, 996, Physical Reviews, Lett. 77 [] F. Dalfovo, S. Giogini, L.P. Pitaevski und S. Stingai, Reviews of Moden Physics, Vol. 7, he Ameican Physical Society; Atikel., Seiten 46-5 [4] W. Kettele und.j. van Duden, 996a, Advances in Atomic, Molecula and Optical Physics, Vol. 7; Academic, San Diego; Seite 8