Zusammenfassung. Einfache harmonische Oszillation. 1 f. Amplitude. d dt. Periode Zeitdauer einer Oszillationen des Systems

Transkript

1 15b Schwingungen 1

2 Zusaenfassung Frequenz Anzahl er Oszillationen eines Systes pro Sekune 1 [ f ] [ 1Hz 1 s ] Perioe Zeitauer einer Oszillationen es Systes 1 ; f [ ] [ 1 s] Lineare Oszillation (Hooksches Gesetz) π Ortsabhängigkeit x( t) A: Aplitue ωt + φ : Phase F S kx k Acos ω ( ωt + φ) φ : Phasenwinkel ω : Kreisfrequenz π ω πf Einfache haronische Oszillation k Geschwinigkeit er Oszillation x( t) v( t) Aω sin( ωt + φ) Aω : Geschwinigkeitsaplitue Beschleunigung er Oszillation x( t) a( t) Aω cos Aω : Beschleunigungsaplitue Energie er haronischen Schwingung ( ωt + φ ) 1 KE v 1 PE kx E KE + PE const

3 Matheatisches Penel Oszillation it geringer Aplitue unter Einfluss er Gravitation Praktikusversuch Bewegungsgleichung für ie angentialkoponente F t s sin Θ Θ Θ g sin Θ s LΘ g L Θ Punktasse Lösungsansatz Θ Θ ax cos ( ω t +φ) g L Θ ω g L ω Θ π π ω L g Die Perioe eines atheatischen Penels hängt nur von er Länge es Faen ab 3

4 Physikalisches Penel allgeein für ausgeehnte Objekte Bewegungsgleichung g sin Θ Θ g Θ Lösungsansatz Θ Θ ax ω Masse konzentriert in eine Punkt π π g g sin Θ Θ cos ( ωt + φ) g Lösung für as physikalische Penel Θ ω Θ Drehoent bewirkt, ass sich er Schwerpunkt bewegt Newtonsche Mechanik π π ω Rotation τ α Perioe es physikalischen Penels g Anwenung Bestiung eines rägheitsonents aus er Perioenauer 4

5 Physikalisches Penel schwingener Stab Drehpunkt Perioe ieses physikalischen Penels rägheitsoent eines Stabes π Mg L 1 ML 3 π L 3g 5

6 Machsches Penel Machsches Penel Position er Masse A kann veränert weren Machsches Penel in geneigter Position u iese Achse schwingt as Penel Schwerpunkt Schwingungsperioe CM π M π A M g A M A M g A A W W ( M M ) A + M A A A W M + M W W + M W W W W : Abstan er Achse zu Schwerpunkt Annahe Punktassen Spezialfall M A A M W W Winkelabhängigkeit Θ 0 g g cosθ g cos const cosθ 1 const Perioe vergrößert sich bei Neigung er Achse Messung von g öglich 6

7 7 orsionspenel Θ Θ Θ Θ Θ κ κ κ τ orsionskonstante κ : Lösung ist ientisch zu en aneren Fällen κ π κ ω Gegensatz zu en aneren Fällen gibt es keine Einschränkung auf geringe Auslenkungen. Es uss nur erfüllt sein, ass as elastische Liit es Drahtes nicht überschritten wir. WCHG Die Rückstellkonstante hängt von er Länge es Drahtes ab! Anwenung unbekanntes rägheitsoent ' ' ' 1 ' ' ' ' ' κ π Perioe verkürzt sich

8 Reise zu Mittelpunkt er Ere (Science Fiction iesal aber nicht Jules Verne) Fro Pole o Pole by George Griffith An Account of a Journey hrough the Axis of the Earth Collate Fro the Diaries of the Late Professor Haffkin an His Niece, Mrs. Arthur Princeps he Winsor Magazine Oktober 1904 Ergänzung zu Kapitel Gravitation Newtons Schalentheore für Objekte innerhalb er Ere Ein gleichförige Schale von Materie übt keine Kraft auf einen Körper innerhalb aus M insie F G r 4 3 M insie Vinsieρinsie πr ρ 3 3 4π r 4π F Gρinsie Gρ 3 r 3 F r insie insie r Gravitationskraft verschwinet i Zentru er Ere 8

9 Fahrstuhl zu Mittelpunkt er Ere George Griffith ( ) - Fro pole to pole SKALERUNG it g Gravitationskraft ausserhalb er Ere Re a g r² Gravitationskraft innerhalb er Ere a g r R e r - g R e r π ω R g e g R π e s² Zeit für eine Perioe HRO??? HRO 84 in π ω 5060 s Maxiale Geschwinigkeit v ax Geschwinigkeitsaplitue g ωre Re gre R 3 vax s kritische Geschwinigkeit eines nierig fliegenen Ersatelliten e 9

10 Geäpfte Schwingungen Beispiel für einen geäpften Oszillator Beschreibung er Däpfung erfolgt über einen zusätzlichen Reibungster in er Bewegungsgleichung R bv Reibungster ebenfalls negativ, a stets er Geschwinigkeit es Objektes entgegengerichtet neue For er Bewegungsgleichung x kx bv x kx b x geratene Lösung b x Aexp t cos ω k b ( ωt + φ) 10

11 Geäpfter haronischer Oszillator Differentialgleichung x kx b x Lösung er Differentialgleichung b x Aexp t cos t ( ω +φ ) ω k b Bei geringer Däpfung oszilliert as Syste it er Frequenz Eigenfrequenz ω 0 k ω 0 >> b ω ω 0 b Allerings nit ie Aplitue it er Zeit ab un zwar it er Zeitkonstante exp b t 11

12 Geäpfter haronischer Oszillator Fallunterscheiung Wie beeinflusst ie Reibung as Abklingverhalten? a R ax 3 Fall überkritisch geäpfte Schwingung bv ax > ka un b > ω 0 ω Fall ω 0 ω Kritisch geäpft 0 b kx bv b ω ω0 0 ω ω0 1 Fall Nahezu ungeäpfte Schwingung R bv < ka ax ax Reibungster R bv 1

13 Autofeerung unterkritisch, kritisch oer überkritisch? 13

14 Erzwungene Schwingungen x x F + b 0 sinωt b x F a + kx F x 0 kx sinωt treibene Kraft er Oszillation Lösung für iesen Fall Aplitue steigt stark an, wenn ω ω 0 Der Däpfungster senkt en Wert er Aplitue. Ohne Däpfung geht er Wert von A in Resonanz gegen eine unenlich hohe Aplitue A F x Acos 0 1 ( ω ω ) ( ωt + φ) 0 + ω b Eigenfrequenz es Oszillators ohne Däpfung,.h. b0 ω 0 k 14

15 Getriebener haronischer Oszillator Waru axiale Aplitue bei Anregung nahe er Eigenfrequenz? Geschwinigkeit Betrachte ie erste Ableitung v x x Acos ( ωt + φ) Aω sin ( ωt + φ) reibene Kraft F F 0 sinωt Geschwinigkeit un Krafteintrag von außen haben ie gleiche zeitliche For Man sagt ie treibene Kraft ist in Phase it er Geschwinigkeit Starker Anstieg er Aplitue, wenn as Syste in er Nähe er Eigenfrequenz es ungeäpften Oszillators angeregt wir. Berechne ie Arbeit von außen an e Oszillator r W F r v Wenn treibene Kraft un Geschwinigkeit in Phase kann ie axiale Arbeit ins Syste gepupt weren 15

16 Resonanzen i enschlichen Körper 16

17 Niitz Freeway Collapse Loa Prieta Earthquake, Oaklan 17 Oktober 1989 Stärke es Erbebens 7.9 auf er Richterskala (logarithische Skala in er Aplitue!) stärkstes Beben in 37 Jahren Laterale Auslenkung circa 8 c Einsturz erfolgte nur auf nicht kopaktierte Bereich A-B 17

18 Niitz Freeway Collapse Oaklan 1989 Seisisches Signal es Erbebens, as zu Einsturz er Niitz Freeways führte Laterale Auslenkung circa 8 c Gravitationsbeschleunigung (9.81 /s²) axiale Aplitue a Niitz Freeway 0.6 g Zeit (s) Laterale (WE) Aplitue in er Nähe es Epizentrus 0.6 g Vertikale Aplitue in er Nähe es Epizentrus nur 0.1 g Oszillationsperioe etwa 1 Sekune zusätzliche Frequenzkoponente von.6 Hz Mögliche Ursachen für en Einsturz A (statisch, nicht resonant ) untere Fahrbahnebene wir beschleunigt. Die Säulen sin nicht in er Lage as obere Deck in gleicher Weise zu beschleunigen (Designwert von 0. g überschritten ) B (ynaisch, resonant) Oszillationperioe es lokeren Boenbereichs entspricht einer Resonanzfrequenz zwischen obere un untere Deck (.6 Hz) C zusätzlicher Beitrag urch Doinoeffekt 18

19 Millenius Brige Lonon Aplituer er Brückenschwingung Synchronisation er Schrittfolge er Fußgänger (blau rechtes, rot linkes Bein) 19

20 Brückeneinsturz acoa Narrows Brige 1940 Schwingungsanregung er Brücke urch stetigen Win, ie ie Brücke in ie orsions-resonanzfrequenz treibt 0

21 Brückeneinsturz acoa Narrows Brige 1