Lösungen zu den Übungen zur Newtonschen Mechanik

Transkript

1 Lösungen zu den Übungen zur Newtonschen Mechanik Jonas Probst Bahnkurve eines Massenpunktes Aufgabe: Ein Massenpunkt bewegt sich auf folgender Trajektorie: 1. Skizzieren Sie die Bahnkurve. r(t) (a cos(ωt), b sin(ωt), ct). Bestien Sie das Potential U, unter dessen Einfluss sich das Teilchen der Masse bewegt. 3. Bestien Sie die Gesatenergie E des Teilchens. 4. Bestien Sie Drehipuls und Drehoent des Teilchens (bezogen auf den Ursprung) für c. Lösung: 1. Das Teilchen bewegt sich auf einer Spiralbahn u die z-achse. In der xy- Ebene vollführt es eine ellipsenförige Bewegung it den Halbachsen a und b, während es sich zugleich it konstanter Geschwindigkeit c in positive z-richtung bewegt.. Erinnerung: Definition des Potentials U als skalare Funktion, für die gilt: U( r) F ( r) r Also: Bestiung der Beschleunigung r, darüber Erittlung der wirkenden Kraft F, u daraus U zu gewinnen. r(t) ( aω sin(ωt), bω cos(ωt), c) r(t) ( aω cos(ωt), bω sin(ωt), ) ω r(t) 1

2 F ( r) r ω x y Kontrolle: U( r) x U y U z U U( r) ω (x + y ) ω x ω y F ( r) 3. Gesatenergie des Teilchens: E T + U r + U ( x + y + z ) + U (a ω sin (ωt) + b ω cos (ωt) + c ) + U (a ω (1 cos (ωt)) + b ω (1 sin (ωt)) + c ) + U (a ω ω x + b ω ω y + c ) + ω (x + y ) (a ω + b ω + c ) 4. Drehipuls: L r p c a cos(ωt) b sin(ωt) ct abω cos (ωt) + baω sin (ωt) aω sin(ωt) bω cos(ωt) c abωˆe z Drehoent: D L Anerkung: Dass es sich bei Drehipuls u eine Erhaltungsgröße handelt, hätte an auch ohne Rechnung erkennen können, da das betrachtete Potential U( r) U(x + y ) nur vo Abstand x + y zur z-achse abhängt und

3 dait rotationssyetrisch bezüglich der z-achse ist. Aus de Noether- Theore (wird in einer der folgenden Vorlesungen wiederholt) folgt daraus die Erhaltung der Projektion des Drehipulses auf die z-achse. Und da für c die Bewegung in der xy-ebene stattfindet, hat der Drehipuls wegen L r(t) nur eine Koponente in z-richtung, woit der gesate Drehipuls eine Erhaltungsgröße ist. Energieerhaltung Aufgabe: Ein beliebiges Potential U( r, t) ist invariant gegenüber zeitlichen Verschiebungen, d.h.: U( r, t) U( r, t + a), a R Zeigen Sie, dass die Gesatenergie E eines Massenpunktes in diese Potential eine Erhaltungsgröße ist. Lösung: Als erstes betrachten wir die zeitliche Änderung des Potentials: d dt U( r, t) U( r, t) r + U( r, t) t U( r, t) r U( r, t + h) U( r, t) + li h h U( r, t) r Daraus ergibt sich für die Zeitableitung der Energie: d dt E d dt ( r + U( r, t)) r r + U( r, t) r r ( r + U( r, t)) 3 Bewegung in eine allgeeinen radialsyetrischen Potential Aufgabe: Ein Teilchen der Masse bewege sich unter Einfluss des allgeeinen Zentralpotentials U(r) c r λ, 3

4 wobei λc >, λ und zugleich λ <. 1. Wie lautet das zugehörige effektive Potential U eff (r)?. Finden Sie die Beziehung zwischen Radius und Drehipuls, für die sich das Teilchen auf einer stabilen Kreisbahn it Radius r bewegt. Sie können ohne Beweis vorraussetzen, dass U eff (r) bei geeigneten Energien gebundene Bewegungen erlaubt. 3. Zeigen Sie explizit, dass an für die Kreisfrequenz ω eines Ulaufs auf dieser Kreisbahn folgenden Ausdruck erhält: cλ ω r λ+ 4. Betrachten Sie nun zusätzlich zur Kreisbewegung kleine Schwingungen u die Kreisbahn in radialer Richtung. Wie lautet das effektive Potential für diese radiale Bewegung i Fall kleiner Schwingungen? Führen Sie dazu eine Taylorentwicklung von U eff (r) bis zu ersten kineatisch relevanten Ter durch. 5. Leiten Sie den Zusaenhang zwischen der Kreisfrequenz der radialen Schwingung ω R und ω her. 6. Welche Beziehung uss λ erfüllen, dait sich trotz kleiner radialer Schwingung periodische, geschlossene Orbits ergeben? 7. Diskutieren Sie das Verhältnis ωr ω für den Fall des Coulob-Potentials und für den Fall das haronischen Oszillators. Lösung: 1. Zur Erinnerung: Das effektive Potential wurde folgenderaßen definiert: E Lr φ In unsere Fall ergibt sich: r + r φ + U(r) r + L r + U(r) r + U eff (r) U eff (r) L r + U(r) L r c r λ 4

5 . stabile Kreisbahn it Radius r U eff hat Miniu bei r d dr U eff(r) L r 3 + λc! r λ+1 L r λ+1 + λcr 3 r λ L λc r ( L λc ) 1 λ L r λ λc U eff erlaubt gebundene Zustände U eff besitzt ein lokales Miniu U eff besitzt nur ein lokales Extreu bei r U eff hat Miniu bei r 3. Die Kreisfrequenz ω erhält an über den Drehipuls L r φ der Kreisbewegung: ω φ L r 4 r λ λc r 4 λc r λ+ o.e ω ω > λc r λ+ 4. Für betrachten kleine Abweichungen vo Kreisbahnradius r r und führen dafür eine Taylorentwicklung des effektiven Potentials U eff bis zu ersten kineatisch relevanten Ter, also bis zur zweiten Ordnung durch: d U eff (r) U eff (r ) + (r r ) dr U eff(r ) + (r r ) d dr U eff(r ) U eff (r ) + (r r ) d dr U eff(r ) Für die zweite Ableitung von U eff an der Stelle r erhält an: d dr U eff(r ) 3L (λ + 1)λc r 4 r λ+ 3r λ λc r 4 5 (λ + 1)λc r λ+

6 3λc r λ+ ( λ)λc r λ+ (λ + 1)λc r λ+ Für die Taylorentwicklung von U eff ergibt sich dait: U eff (r) U eff (r ) + (r r ) ( λ)λc r λ+ 5. U einen Zusaenhang zwischen der Winkelgeschwindigkeit der Kreisbewegung ω und der Winkelgeschwindigkeit der radialen Schwingung ω R herstellen zu können, üssen wir uns erst einal überlegen, was wir unter ω R zu verstehen haben. In der vorhergehenden Teilaufgabe haben wir das effektive Potential u ein Miniu bis zur zweiten Ordnung entwickelt. Dadurch erhält an allgeein wie auch in unsere speziellen Fall ein haronisches Potential, das zu einer haronischen Schwingung des Massenpunktes u das Potentialiniu führt, denn: Substitution: ξ r r r + d dr U eff(r) d r + (r r ) dr U eff(r ) r + (r r ) ξ + ξ ( λ)λc r λ+ ( λ)λc r λ+ Nach Vorraussetzung gilt λc > und λ <, wir können also setzen: ωr 1 ( λ)λc. Dait erigbt sich für die kleine Auslenkung ξ aus de r λ+ Kreisbahnradius r die Differentialgleichung für den haronischen Oszillator: ξ + ω Rξ ξ(t) A cos(ω R t) + B sin(ω R t) Dait können wir nun den gesuchten Zusaenhang zwischen ω R und ω angeben: ( λ)λc ω R ω r λ+ λc r λ+ λ 6

7 6. Dait sich geschlossene, periodische Orbits ergeben, uss sich das Teilchen nach regeläßigen Abständen wieder a selben Ort befinden. Dazu uss es eine Zeitspanne geben, nach der sowohl die Kreisbewegung it ω als auch die radiale Schwingung it ω R synchron an ihren Ausganspunkt gelangt sind, denn dann befindet sich das Teilchen insgesat wieder an seine Ausgangsort. Die Kreisbewegung befindet sich nach der Zeit n T n π ω, n N wieder in ihre Ausganszustand, für die radiale Schwingung ist das nach der Zeit k T R k π ω R, k N der Fall. Wir suchen nun eine Zeit, nach der beide Bedingungen erfüllt sind, für die also gilt: nt kt R ω R n ω k λ Q 7. Für den haronischen Oszillator (λ ) erhält an ωr ω + Die radiale Schwingung oszilliert doppelt so schnell wie die Kreisbewegung, nach zwei Perioden der Kreisbewegung befindet sich der Massenpunkt wieder an seine Ausgangsort. Für das Coulob-Potential (λ 1) erhält an ωr ω 1 1 Radiale Schwingung und Kreisbewegung finden it derselben Winkelgeschwindigkeit statt, die Periode der Bewegung entspricht derjenigen der ungestörten Kreisbewegung. 4 Bewegung in eine speziellen radialsyetrischen Potential Aufgabe: Ein Massenpunkt der Masse bewege sich in folgende Zentralpotential: U(r) α r, α > 1. Wie lautet die Energie E des Teilchens?. Unter welchen Bedingungen kann der Massenpunkt das Zentru des Potentials (r ) erreichen, wenn sein Drehipuls L ist? Welche Besonderheit ergibt sich für den Fall L α? 3. Wir betrachten nun den Fall ins Zentru eines Körpers, der sich zu Zeitpunkt t i Abstand r(t ) r befindet und keine Radialbewegung 7

8 besitzt ( r(t ) ). Sein Drehipuls L erlaubt ih, das Zentru zu erreichen. Die Abkürzung λ L α kann hilfreich sein. (a) Berechnen Sie die dafür benötigte Zeit und weisen Sie dait nach, dass diese endlich ist. (b) Zeigen Sie, dass allerdings die Winkelgeschwindigkeit und auch die Geschwindigkeit des Teilchens für r gegen Unendlich gehen. Lösung: 1. Für die Energie des Teilchens erhält an: E r + L r + U(r) r + L r α r r + U eff (r). U die Frage, unter welchen Bedingungen der Massenpunkt das Zentru erreichen kann, zu beantworten, betrachten wir das effektive Potential U eff (r) L α r it L (Skizze!): Für L α > ergibt sich U eff (r) für r, ein Sturz ins Zentru ist in diese Fall wegen E U eff (r) nicht öglich. Für L α < dagegen erhält an U eff (r) < r und U eff (r) für r. In diese Fall führt stürzt der Massenpunkt also ins Zentru, da er für jeden Abstand r in Richtung des Zentrus beschleunigt wird (an jeder Stelle d gilt: dr U eff(r) > r d dr U eff(r) < ). Für den speziellen Fall L α verschwindet das effektive Potential. Dait ist der radiale Ipuls des Teilchens r konstant, das Teilchen stürzt entweder it konstanter Radialgeschindigkeit r ins Zentru oder entfernt sich it konstante r vo Zentru. 3. Fall ins Zentru L α λ L α (a) Für die (konstante) Energie des Teilchens erhält an über Betrachtung des Zeitpunktes t : E r (t ) + U eff (r ) L α r λ r < 8

9 Über die Energie zu eine beliebigen Zeitpunkt lässt sich nun die Forel zur Berechnung der Zeitdauer herleiten: E r + U eff (r) r ± (E U eff(r)) dr dt dr dt ± (E U eff(r)) Für die Dauer Δt des Sturzes ins Zentru vo Ausgangspunkt r(t ) r aus berechnet an (das Vorzeichen von r ist hierbei negativ, da das Teilchen seinen Abstand zu Ursprung verringert): Δt ˆ r ˆ r ˆ r dx (E U eff(x)) dx λ ( + λ r x ) r xdx λ r x ˆ r ˆ r dx (E U eff(x)) dx λ(r x ) r x Substitution: u x du xdx dx du x Δt r λ ˆ r r [ λ r ( + λ r λ du r u ] r r u r ) (b) Drehipulserhaltung: Energieerhaltung: L r φ const L φ für r r E r + U eff (r) const 9

10 r (E U eff(r)) (E ( )) für r 5 Gravitationsfeld der Erde Aufgabe: Ein Körper der Masse bewegt sich ausschließlich radial i Gravitationsfeld der Erde (Radius R, Masse M).. 1. Wie lauten die Gravitationskraft und das Gravitationspotential, die auf den Körper i Abstand r vo Erdittelpunkt wirken.. Geben Sie die Gesatenergie des Körpers i Gravitationsfeld an. Die Anfangsgeschwindigkeit des Körpers in seine Startpunkt auf der Erdoberfläche sei v. Wie groß ist seine Geschwindigkeit v in Abhängigkeit des Abstandes r vo Erdittelpunkt? 3. Wie groß uss die Anfangsgeschwindigkeit v indestens sein, dait der Körper das Gravitationspotential der Erde überwinden kann? 4. Wie lautet der Zusaenhang zwischen Gravitationskonstante G und der lokalen Gravitationsbeschleunigung g an der Erdoberfläche? 5. Die International Space Station kreist in einer Ulaufbahn ca. d 35 k über der Erdoberfläche (R 64 k). Wie groß ist dort in etwa die lokale Gravitationsbeschleunigung g ISS i Vergleich zu g auf der Erdoberfläche? Weshalb spricht an trotzde von Schwerelosigkeit? Lösung: 1. Wenn an den Ursprung des Koordinatensystes in den Erdittelpunkt legt, ergibt sich für die Gravitationskraft auf den Körper a Ort r: F ( r) G M r r r F (r) r r Das radialsyetrische Gravitationspotential lautet denach: Kontrolle: U(r) G M r U(r) d dr U(r) r r GM r r r F ( r) 1

11 . Da er nach Vorraussetzung nur radiale Bewegungen ausführen soll, lautet die Gesatenergie E des Körpers: E T + U(r) r G M r Die Geschwindigkeit v(r) in Abhängigkeit des Abstandes zu Erdittelpunkt erhält an über die Energieerhaltung: E v G M R const v (r) G M r v (r) v + GM( 1 r 1 R ) v(r) v + GM( 1 r 1 R ) (Das Vorzeichen von v(r) r(r) ist positiv, weil wir davon ausgehen, dass sich das Teilchen nicht in die Erdoberfläche hineinbewegt...) 3. Außerhalb des Gravitationspotentials der Erde, also für r beträgt die potentielle Energie des Teilchens U(r ). Dait sich das Teilchen dort aufhalten kann, uss es also wegen E U eff eine positive Energie besitzen. Nach Energieerhaltung uss also auch a Startpunkt auf der Erdoberfläche gelten: E v G M R v G M R GM v R 4. Auf der Erdoberfläche gilt: F (R) g G M R g G M R 11

12 5. Auf der ISS gilt: F (R + d) g Iss G M (R + d) g ISS g g ISS g R (R + d) R (R + d).9 Die Raustation nutzt bei ihrer Ukreisung der Erde die Gravitationskraft als Zentripetalkraft. I Bezugssyste eines Besatzungsitgliedes auf der ISS wirkt daher noch die Zentrifugalkraft, die stets radial vo Mittelpunkt der Kreisbahn, de Gravitationszentru, wegweist und die Schwerkraft dait genau kopensiert. Deswegen ist es berechtigt trotz einer noch sehr hohen Gravitationsbeschleunigung g ISS von Schwerelosigkeit zu sprechen. 1