Klassische Theoretische Physik I WS 2013/ Nicht so schnell (10 Punkte) Ein kleiner

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Brigitte Hauer
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1 Karlsruher Institut für Technologie Klassische Theoretische Physik I WS 23/24 Prof. Dr. J. Schmalian Blatt, Punkte Dr. P. P. Orth Abgabe und Besprechung Nicht so schnell Punkte) Ein kleiner Star Wars Glücksbringer hängt an einer Feder im Fahrerhaus eines LKWs und verursacht in Ruhe eine Ausdehnung der Feder von x =. m. Der Truck fahre nun auf einer etwas älteren Autobahn, die aus Platten der Länge L = 2 m besteht, die so aneinanderliegen, dass stets ein kleiner Spalt zwischen den Platten existiert, dessen Breite vernachlässigt werden kann. Wenn der LKW die Geschwindigkeit v besitzt, oszilliert der kleine Star Wars -Held mit maximaler Amplitude. Bestimmen Sie v. Der Star Wars Held oszilliert mit maximaler Amplitude, wenn er in Resonanz angeregt wird. Wir bestimmen seine Resonanzfrequenz ω aus Dx = mg ω = D/m = g/x = s ) mit g = m s 2. Die Anregunsfrequenz bestimmen wir dadurch dass zwei aufeinanderfolgende Anregungen eine Periode t = L/v auseinanderliegen, wenn der LKW mit Geschwindigkeit v fährt. Die Resonanzbedingung ist also mit T = 2π/ω erfüllt falls 2π ω = L v v = Lω 2π = 3.53m s = 3.5km h. 2) 2. Fensterputzer 5 + = 25 Punkte) Ein Fensterputzer mit einer Masse von 8 kg, der von einem Seemannsstuhl aus arbeitet siehe Abb. ), der an der Seite eines hohen Gebäudes herunterhängt, möchte sich schnell bewegen. Er zieht mit einer solchen Kraft an dem Fallseil nach unten, dass er nur mit einer Kraft von 45 N gegen den Stuhl drückt. Der Stuhl selbst hat eine Masse von 3.5 kg rechnen Sie mit g = m/s 2 ). Die Masse des Seils sowie Reibungskräfte können vernachlässigt werden. a) Wie groß ist die Beschleunigung des Malers und des Stuhls? Die Newtonschen Bewegungsgleichung für den Fensterputzer lautet Ma = Mg + F N + F S 3) mit M = 8 kg, F N = 45 N = m g und Seilkraft F S. Rechnen wir mit g = m/s erhalten wir m = 45 kg. Die Newtonschen Bewegungsgleichung für den Stuhl lauten ma 2 = mg F N + F S 4) mit m = 3.5 kg. Der Fensterputzer und der Stuhl werden gleich beschleunigt a = a 2 a und wir können die Gleichungen auflösen nach a und F S. Wir erhalten F S = m gm + M) M m 5) a = g m M + 2m M m. 6)

2 Wir sehen, dass der Fensterputzer den Stuhl nur hochziehen kann, solange M > m gilt. Die Beschleunigung a hängt dabei davon ab wie stark er am Seil zieht. Mit den angegeben numerischen Werten erhalten wir a = g 3 7) F S = 63g = 63N. 8) b) Wie groß ist die Gesamtkraft, die von der Seilrolle am oberen Ende gehalten wird? Die Gesamtkraft F G die von der Seilrolle gehalten wird lautet F G = 2F S = 26N. 9) Abbildung : Fensterputzer im Seemannsstuhl. 3. Getriebener harmonischer Oszillator 5 + = 25 Punkte) Betrachten Sie den getriebenen harmonischen Oszillators im schwach gedämpften Fall γ/2 < ω, beschrieben durch die Differentialgleichung ẍt) + γẋt) + ω 2 xt) = f cosωt) ) für den Resonanzfall, dem er mit Ω = ω getrieben wird. Die Anfangsbedingungen seien xt = ) = und ẋt = ) =. a) Geben Sie die allgemeine Lösung xt) = x h t) + x p t), die aus homogener x h t) und partikulärer Lösung x p t) besteht, als Funktion von γ, f und ω für die gegebenen Anfangsbedingungen an. Die homogene Lösung lautet aufgrund des charakteristischen Polynoms D 2 + γd + ω 2 = siehe Skript) x h t) = Ae γt/2 cos ω t) + Be γt/2 sin ω t) ) mit ω = ω 2 γ2 4. Die Grösse ω entspricht Ω im Skript. Hier bezeichnet Ω die Frequenz der treibenden Kraft, die im Skript mit ω bezeichnet ist. Die partikuläre Lösung lautet mit dem Ansatz x p t) = ReAΩ)e iωt siehe Skript) x p t) = f cosωt + αω)) 2) ω 2 Ω 2 ) 2 + γ 2 Ω2

3 mit AΩ) = ω 2 Ω2 + iγω = ω2 Ω2 ) iγω ω 2 Ω2 ) 2 + γ 2 Ω 2 3) und αω) = Im AΩ) Re AΩ) = tan ω 2 γω. 4) Ω2 Wir treiben das System genau auf der Resonanz, damit ist die Phasenverschiebung αω = ω ) = π 2 und x pt) = f γω sinωt). Wir bestimmen nun die Konstanten A und B aus den Anfangsbedingungen x) = ẋ) = zu x) = A = 5) ẋ) = B ω + f γ = B = f. γ ω 6) Wir finden also als Lösung, die die Randbedingungen erfüllt xt) = f e γt/2 sin ω t) + f sinωt). 7) γ ω γω b) Nehmen Sie nun an, dass f = 2ω 2 und ω = 2γ. Berechnen Sie die homogene und die partikuläre Lösung für diesen Fall. Zeichnen Sie qualitativ die Auslenkungsfunktionen xt), x h t) sowie x p t) als Funktion von γt für γt [, 5] indem Sie die Funktionen für einige Punkte auswerten und eine Kurve durch diese Punkte legen. Sie dürfen natürlich auch einen Computer zum Zeichnen der Kurve verwenden. Für die angegebenen Werte erhalten wir xt) = 4 2 e γt/2 7 ) ) sin 7 2 γt + 2 sin 2γt. 8) Abbildung 2: Oszillationen zu Aufgabe 3c, wobei x h t) rot, gestrichelt), x p t) blau, gepunktet) und xt) schwarz) entspricht.

4 4. Raketenstart = 4 Punkte) Betrachten Sie die Trajektorie einer Rakete, deren Gesamtmasse Mt) = m +mt) sich aus einem zeitlich konstanten Teil m und der zeitabhängigen Treibstoffmasse mt) zusammensetzt. Die Rakete stößt mit einer konstanten Rate ṁ = m /τ einen Strom von heißem Gas mit einer zeitlich konstanten Relativgeschwindigkeit v r gemeint ist relativ zur Rakete) nach hinten aus. Der Rückstoß des Gases übt auf die Rakete eine Schubkraft aus. Alle anderen Kräfte können im Weltall fern aller größeren Himmelskörper vernachlässigt werden. a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung der Rakete auf. Die Raketengleichung lautet M v = v r ṁ 9) wobei vt) die Geschwindigkeit der Rakete bezeichnet und Mt) = m + mt). Im allgemeinen gibt es keinen Zusammenhang zwischen dem konstanten Teil des Raketengewichts m und der Rate mit der der Treibstoff aus der Rakete ausströmt. Diese Rate wurde auf dem Übungsblatt auch mit m bezeichnet. Hier in der Musterlösung bezeichne ich sie mit m um den allgemeineren Fall zu betrachten. b) Bestimmen Sie mt) aus ṁ = m /τ mit Anfangsbedingung m) = m. Wir erhalten durch Integration Bringen Sie dann die Raketengleichung in die Form mt) = m t/τ). 2) wobei κ zu bestimmen ist. Eine einfache Umformung ergibt vt) = v r κ t, 2) κ = m + m m τ. 22) c) Bestimmen Sie vt) wiederum durch Separation der Variablen. Die Geschwindigkeit errechnet sich zu vt) = v r ln t ) κ 23) wobei wir v) = als Anfangsbedingung verwendet haben. d) Für t τ bleibt vt) konstant in der Zeit, da der Treibstoff aus der Rakete ausgeströmt ist. Berechnen Sie die Endgeschwindigkeit vτ). Die Endgeschwindigkeit ergibt sich zu m ) vτ) = v r ln. 24) m + m e) Berechnen Sie die Trajektorie der Rakete xt) mit ẋt) = vt) mit der Anfangsbedingung x) =. Die Trajektorie der Rakete lautet xt) = t dsvs) = v r t = κv r [ t κ ) ln t κ ds ln s κ ) t/κ = κv r dy ln y 25) ) + t ]. 26) κ

5 f) Berechnen und interpretieren Sie das Verhalten von xt) und vt) für kurze Zeiten t/τ indem Sie xt) und vt) in eine Taylorreihe bis zur niedrigsten nichtverschwindenden Ordnung entwickeln. xt) v r 2 κ t2 27) vt) v rt κ. 28) Dies entspricht genau xt) 2 Anfangsbeschleunigung) t2 sowie vt) Anfangskraft Anfangsmasse t, so dass es für kleine t reicht mit der Anfangsbeschleunigung zu rechnen, ohne die Zeitabhängigkeit zu berücksichtigen.

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