Praktikum: RLC-Schwingkreis

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1 1 Praktikum: RLC-Schwingkreis bstract In diesem Versuch sollen Sie einen Einblick in die Wechselstromlehre am eispiel des RLC-Kreises bekommen. Das aus der Schule bekannte Ohmsche Gesetz gilt nicht nur für Gleich-, sondern auch für Wechselströme. Dabei zeigt sich, daß Ströme, Spannungen und Phasen bei gewissen auteilen (Spule L, Kondensator C) ein frequenzabhängiges Verhalten aufweisen. Ein klassisches eispiel die Frequenzabängigkeit zu untersuchen, ist der RLC-Schwingkreis. Sie werden der Frage nachgehen, warum im RLC-Kreis Schwingungen angeregt werden und unter welchen Voraussetzungen der Resonanzfall eintritt. Sie werden den Umgang mit einem Oszilloskop erlernen, um die zugrundeliegenden physikalischen Prozesse messtechnisch zu erfassen. Für die Generierung des Eingangssignales steht ein Signalgenerator zur Verfügung. Für die eschreibung der Vorgänge sollten Sie sich mit der komplexen Schreibweise der Größen für Spannung und Strom sowie des komplexen Widerstandes vertraut machen (s.theorieteil).

2 2 I. RCL-REIHENSCHWINGKREIS U e L C R umfaßt den totalen Widerstand, einschließlich Verlustwiderstände und Innenwiderstände : R = R = R i +R d +R v. Mit einer sinusförmigen, R i C V also veränderlichen Eingangsspannung als elektromotorische Kraft wird der Kreis angeregt : R d i D U = U 0 sin(ωt) (3) Fig. 1. RCL-Kreis nach der Zeit abgeleitet:. Theorie: Phasenbeziehung zwischen Strom und Spannung R di dt + I Ld2 dt dq C dt = du dt (4) m folgenden eispiel wird der Zusammenhang zwischen einer sinusförmigen Eingangsspannung U e und des Stromes I hergeleitet. Letzterer ist eine Lösung der Differentialgleichung für den in bb. 1 angegebenen Schwingkreis. Die Herleitung soll vielmehr einen Eindruck vermitteln, wie die Fragestellung gelöst wird. Die wesentlichen Ergebnisse befinden sich im Diskussionsteil. Die Maschenregel (s.glossar) ergibt : U R + U L + U C U e = 0 (1) Unter nwendung der Heaviside schen Notation für den Differentialoperator D = d dt und mit I = dq dt ergibt sich die algebraische Darstellung : LD 2 I + DIR + 1 C I = DU [LD 2 + RD + 1 C ]I = ωu 0cos(ωt) (5) Diese vom Typ her linear inhomogene Differentialgleichung 2. Grades läßt sich wie folgt lösen. Umstellen der Gleichung nach I und einsetzen von Gl.3) ergibt : Mit den Zusammenhängen U C = Q/C, U L = L di dt, U R = I R sowie einer treibenden Quelle mit der Eingangsspannung U e = U 0 : I = ωu 0 [LD 2 + RD + 1 C ] cos 2 (ωt) cos(ωt) (6) IR + L di dt + Q C = U (2) Läßt man nur den Operator D 2 auf den Nenner cos (ωt) wirken und benutzt die Notation für den

3 3 lindwiderstand (Reaktanz) X = (Lω 1 Cω ), so ergibt sich folgender usdruck : sin(ωt) cos(θ) cos(ωt) sin(θ) = sin(ωt θ) ergibt die Lösung : I = ωu 0 [ Lω 2 + RD + 1 C ] cos 2 (ωt) cos(ωt) = ωu 0 [RD Xω] cos 2 (ωt) cos(ωt) (7) Diskussion I = U 0 Z sin(ωt θ) (11) U = U 0 sin(ωt) (12) us der Lösung erkennt man, daß der Strom Durch Multiplikation des Zählers und des Nenners mit [RD + Xω] erhält man wieder durch die Identität D 2 cos(ωt) = ω 2 cos(ωt) : I = ωu 0[RD + Xω] [ R 2 ω 2 X 2 ω 2 cos(ωt) (8) ] Kürzen der ω 2 und nwenden des D-Operators ergibt die Lösung für den Strom : I = U 0[R sin(ωt) X cos(ωt)] [R 2 + X 2 ] Durch den Zusammenhang für die Impedanz Z = R 2 + X 2 ergibt sich : I = U 0 Z [R Z sin(ωt) X Z (9) cos(ωt)] (10) In der komplexen Ebene für den Widerstand wird der Zeiger mit der Länge Z durch den Realteil R und den frequenzabhängigen Widerstand (komplexen) Teil X aufgespannt. Das liefert die eziehungen R = Z cos(θ) und X = Z sin(θ). Eingesetzt in die Gleichung unter Zuhilfenahme der trigonometrischen eziehung nicht in Phase mit der vorgegebenen Spannung verläuft, sondern um den Phasenunterschied θ gegenüber der Spannung hinterher hinkt, die Spannung also dem Strom um die Zeit θ/ω vorauseilt. us Gl.10 ist außerdem ersichlich, daß im Falle X = 0 der Strom am größten ist : Die edingung X = 0 = (ωl 1 ωc ) beschreibt den Fall der Resonanz und führt auf den Zusammenhang ω 0 = 1 LC. Folglich verschwindet bei Resonanz der lindwiderstand X, d.h. beide lindwiderstände heben sich durch die entgegengesetzte Richtung auf, denn X = X L X C = 0, übrig bleibt der Wirkwiderstand R. Der Phasenunterschied verschwindet bei Resonanz θ = 0 Es handelt sich um eine gedämpfte Schwingung, deren mplitude frequenzabhängig von Z abhängt. Die Dämpfung ist am geringsten, wenn Resonanz vorliegt und der Dämpfungswiderstand R D bzw. die Verlustwiderstände R V der Komponenten gering sind.

4 4 Die Phasenverschiebung θ zwischen Strom und Spannung θ berechnet sich aus Z = R + jx = R+j(X L X C ) = R+j(ωL 1 ωc ). us der komplexen Ebene kann folgender Zusammenhang hergeleitet werden : tan(θ) = X R = ωl 1 ωc R (13) Weiterhin ist ersichtlich, daß mit zunehmender Frequenz das Spulenverhalten dominiert (X L X C ). Dadurch verhält sich der RLC- Kreis wie eine Spule. Umgekehrt dominiert bei niedrigen Frequenzen der Kondensator. Die mplitude des Stroms : Diese werden auch als Eckfrequenzen bezeichnet : R f go = 2 + 4L/C + R 4πL (16) R f gu = 2 + 4L/C R 4πL (17) Die andbreite berechnet sich nun aus : = f go f gu (18) I 0 = U 0 Z = U 0/ R 2 + X 2 (14) Die andbreite definiert den Durchlaßbereich für den Strom bzw. den Sperrbereich für die Spannung. Kriterium beim Strom ist der bfall auf das 1/ 2x fache bei den Frequenzen f u und f o des Maximalwertes, also bei Resonanz ω 0. Wobei für die Impedanz bei Resonanz Z = R gilt : I(ω 0 ) = U 0 /R I(ω ) I(ω 0 ) = 1 2 R = R 2 + X 2 (ω ) (15) Obige edingung führt auf den Term X = R, das bedeutet, daß der Strom zur Spannung einen Phasenwinkel von 45 einnimmt. Die Gleichung nach der Frequenz ω aufgelöst ergibt die untere bzw. obere Grenzfrequenz.

5 5. ufgabe: ufbau eines RLC-Kreises auen Sie den Versuch aus bb.1 mit folgenden Komponenten auf. auteile Größe Widerstand R d 47 Ohm Kondensator 0,1 µ F Spule 2 mh 1) erechnung der theoretischen Werte: 2) Verlustwiderstand einer Spule: Eine Spule besitzt neben dem Scheinwiderstand X L auch einen ohmschen Widerstand, der hauptsächlich durch die Kupferwicklungen hervorgerufen wird. Dieser wird mit R vl bezeichnet. müßte die Messgenauigkeit des Multimeters über den gesamten Zeitraum nicht verändern und den Spannungsabfall über dem Multimeter messen. Daher ist es ratsam, den Strom indirekt über den Spannungsabfall am Dämpfungswiderdstand R D zu messen. Da das Multimeter nur einen eingeschränkten Frequenzbereich für die Wechselspannungsmessung aufweist, wird auch hier die Spannung mit dem Oszilloskop bestimmen. Effektivwerte: lle Wechselspannungsgrößen wie Strom und Spannung, werden als Effektivwerte angegeben I eff = I/ 2 bzw. U eff = U/ 2. R vl L 3) Messaufbau: Stellen Sie am Signalgenerator ein Sinusignal mit einer mplitude von 3 V in Ue ein. ls Messinstrument steht Ihnen ein 2-Kanaloszilloskop zur Verfügung. Je nach ufgabenstellung greifen Sie den Spannungsabfall über R d, über die Klemmen das Eingangssignal U e und über die LC-Glieder mit dem Oszilloskop ab. etrachten Sie die Signale der Eingangs -bzw. ussgangsspannungen parallel am Oszilloskop zum Vergleich. 4) emerkungen: Strommessung: edenken Sie, daß bei der Messung des Stromes mittels Multimeter über den Innenwiderstand eine Spannung abfällt, wodurch ein weiterer Widerstand eingebaut wird. Dieser variiert mit der Messgenauigkeit. Man

6 6 5) estimmung der Resonanz- und der Grenzfrequenzen mittels Lissajous - Figur: Der Scheinwiderstand X bzw. die Phasenverschiebung θ verschwindet bei Resonanz. ufgrund der Tatsache, daß ein ohmscher Widerstand keine Phasenänderung verursacht, kann der Spannungsabfall über R d als Referenz für die Stromphase herangezogen werden und mit der anliegenden Gesamtspannung U e = U a (vgl.fig.1) verglichen werden. Es gibt mehrere messtechnische Möglichkeiten zur estimmung der Resonanzfrequenz. ei der Lissajour-Figur werden beide Spannungen am Oszilloskop durch Verwendung des xy-etriebes gegeneinander aufgetragen. Der Winkel zur x-chse beschreibt über den Zusammenhang nach Gl.(13) die Phasenverschiebung. (a) θ = π/2 (b) θ = π/4 (c) θ = 0 x=y Fig. 2. Lissajou-Figuren a) Ermitteln Sie die Resonanzfrequenz f 0. Schalten Sie den xy-etrieb aus. Welcher Strom fließt durch die Schaltung? estimmen Sie den Verlustwiderstand R v. b) Ermitteln Sie die obere und untere Grenzfrequenz. 6) Übertragungsfunktion, Impedanz Z, Rv: a) Messen Sie die Spannung über R d, LC und die Eingangsspannung U e über die Frequenz! Wie gehen Sie effektiv bei der Messung vor? b) Tragen Sie die Übertragungsfunktion U LC /U e, U LC und den Strom I über die Frequenz auf Milimeterpapier auf. d) Tragen Sie die Impedanz über die Frequenz auf Milimeterpapier auf und vergleichen Sie diese mit der theoretischen (s.glossar) in einem Grafen. 7) andbreite, Güte Q, Grenzfrequenzen: a) estimmen Sie die obere f go und die untere Grenzfrequenz f gu Kurven für U grafisch aus den gemessenen oder I. erechnen Sie daraus die andbreite! Stimmen die Werte mit den berechneten aus Gl.(17), Gl.(16) und Gl.(18) überein? estimmen Sie daraus die Güte Q des Systems (Q = f0 )! b) Warum wird ein Reihenschwingkreis auch als Frequenzfalle bezeichnet? 8) Signalform: In diesem Teil geht es darum, die Impulsantwort eines Rechtecksignales in bhängigkeit der Frequenz zu untersuchen. a) Stellen Sie am Eingang ein Rechtecksignal ein und untersuchen Sie, wie das CL-System reagiert. Skizzieren Sie die Impulsantwort auf mm-papier. b) Ändern Sie den Dämpfungswiderstand. Gibt es einen Unterschied?

7 7 II. GLOSSR Um einen kleinen briss zu geben, werden hier ein paar egriffe kurz erläutert. Für tiefergehende Erklärungen sei auf entsprechende Literatur verwiesen.. Knotenregel Das Gesetz der Ladungserhaltung besagt, daß die Summe der Ströme, die zu einem Knoten hin- und abfließen, Null ergibt : I i = 0. Maschenregel in der komplexen Ebene. Der imaginäre Teil b wird in der y-chse und der Realteil a auf der x-chse aufgetragen. Jede Schwingung lässt sich in komplexer Schreibweise darstellen, so auch der Strom und die Spannung : I = I e jφi, U = U e jφu. Die Winkel Φ i,u geben die jeweiligen Nullphasenwinkel zu reellen chse an. Läman nun den Zeiger im Uhrzeigersinn über die Zeit mit der Kreisfrequenz ω drehen, so ergibt sich daraus in der zeitabhängigen Darstellung die periodische Darstellung. Entsprechend weisen die Phasen im Exponenten eine Zeitabhängigkeit auf. Die Summe aller Spannungen in in einem Kreis ist gleich Null : U i = 0 Daraus kann folgende Regel abgeleitet werden: C. Spannungsteilerregel Grundlegende Regel, ohne die eine eschreibung von Spannungsabfällen nicht möglich wäre. efinden sich zwei Verbraucher (R 1 und R 2 ) in Reihe, so verhalten sich die einzelnen Spannungen zur Eingangsspannung U e wie die einzelnen Widerstände zum Gesamtwiderstand : U1,2 Ue = R1,2 R 1+R 2 D. komplexe Schreibweise Schwingungen können in cos bzw. sin - Schreibweise beschrieben werden. Oft wird die komplexe Schreibweise aufgrund einfacher erechenbarkeit vorgezogen. Die komplexe Schreibweise einer Zahl: c = a + j b wobei j = 1. Eine übliche Darstellung einer komplexen Zahl erfolgt über das Zeigerdiagramm E. Wechselstromwiderstand Z Der Wechselstromwiderstand,auch Impedanz Z genannt, setzt sich aus einem Realwiderstand (Wirkwiderstand) R = ohmschen Verbraucher (Wärmeerzeugung) und einem frequenzabhängigen Widerstand (lindwiderstand, Reaktanz) X zusammen. Z = R + jx. Der etrag Z = Z = R 2 + (ωl 1 ωc )2 wird als Scheinwiderstand bezeichnet. F. Spule im Gleichstromkreis Wird an einer Spule eine Spannung angelegt, so fließt ein Strom, der exponentiell bis zu einem Maximalstrom mit einer Zeitkonstante τ L = L/R anwächst : i L = U/R (1 e t/τ ). Der lindwiderstand X L setzt keine Wirkleistung um, sondern speichert Energie in Form eines Magnetfeldes. Der Wirkwiderstand R vl erzeugt als ohmscher Ver-

8 8 braucher Wärme. Ein Maß für den Wärmeverlust wird durch die Spulengüte Q L = ωl/r angegeben. III. FRGENKTLOG & VOREREITUNG estimmen Sie die Resonanzfrequenz f 0 für den ufbau in ufg. aus der Resonanzbedingung: X L = X C Erklären Sie die Kirchhoff schen Gesetze? eschreiben Sie den Spannungs- bzw. Stromverlauf über einen Kondensator, einem ohmschen Widerstand und einer Spule beim Ein-bzw. usschalten der Spannungsversorgung! Welche physikalische edeutung hat der lind-/wirkwiderstand bzw. die Impedanz Z? eschreiben Sie die Impedanz am eispiel einer RLC-Parallel-/Reihenschaltung! Was ist ein Zeigerdiagramm? Was besagt die Phasenverschiebung θ und in welchem Zusammenhang steht diese mit der Impedanz? Unter welchen edingungen kommt es zur Resonanz? Was sagt die andbreite aus? Was ist der Qualitätsfaktor Q? IV. LITERTUR "Differentialgleichungen", Frank yres jr. "Taschenbuch der Physik", Horst Kuchling "Tabellenbuch Elektrotechnik Elektronik", Friedrich "Internet", Wikipedia

9 9 V. ZUSTZUFGE RL-HOCHPSS VI. ZUSTZUFGE: RC-TIEFPSS R d i C R d i C V R v V V C V R i L R i D D auteile Größe auteile Größe Widerstand Rd 47 Ohm Widerstand R d 47 Ohm Spule 2 mh Kondensator 0,1 µ F Verwenden Sie die o.a. auteile. Legen Sie an den Eingang ein Sinussignal mit der mplitude von 3 V an. a) Tragen Sie den Strom, die usgangsspannung U cd, sowie die Impedanz Z über die Frequenz auf Milimeterpapier auf! Welches Verhalten erwarten Sie? b) estimmen Sie die Grenzfrequenz f G des ufbaus aus dem Verlauf der beiden Größen. Verwenden Sie die o.a. auteile. Legen Sie an den Eingang ein Sinussignal mit der mplitude von 3 V an. a) Tragen Sie den Strom, die usgangsspannung U cd, sowie die Impedanz Z über die Frequenz auf Millimeterpapier auf! Welches Verhalten erwarten Sie? b) estimmen Sie die Grenzfrequenz f G des ufbaus aus dem Verlauf der beiden Größen.

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