1. Aufgabe: (ca. 15% der Gesamtpunkte)

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1 Institut für Mechanik Prof. Dr.-Ing. habil. P. Betsch Prof. Dr.-Ing. habil. h. Seelig Prüfung in Baudynaik. Februar 8. Aufgabe: (ca. 5% der Gesatpunkte) a) Was versteht an unter aktiver und passiver Schwingungsisolierung? b) Eine Kiste (Masse ) wird durch eine Feder (Federsteifigkeit k) an eine asselosen Balken (Biegesteifigkeit EI) aufgehängt. EI k L L Skizzieren Sie ein Ersatzsyste it nur einer (Ersatz-)Feder und bestien Sie die Ersatzfedersteifigkeit. Hinweis: L F w w( L ) = F 9EI/L 3 c) Wie kann die niedrigste Eigenfrequenz eines Systes ohne Aufstellung des Eigenwertprobles der Koeffizientenatri des Systes, abgeschätzt werden (Forel und Erklärung)? d) Was versteht an unter Filterwirkung bei eine frederregten Syste? e) Bei Vergleich von eine Stoß it endlicher Stoßdauer (Aplitude a ) zu eine plötzlichen Stoß (Dirac-Ipuls it Aplitude A a ) eines gedäpften Einassenschwingers kot es zu folgende Diagra a A a.5.5 t e Dabei wird das Verhältnis der Aplituden über de Verhältnis der Stoßdauer t e zur Periodendauer aufgetragen. Welche Schlüsse können daraus gezogen werden und was wäre ein Beispiel für eine Anwendung?

2 Musterlösung - Aufgabe a) Ziel der passiven Schwingungsisolierung: Schutz eines Schwingers (Gebäudes) vor Belastungen infolge Fundaenterregungen. Ziel der aktiven Schwingungsisolierung: Abschirung von Maschinen (unwuchterregter Schwinger) vo Fundaent. b) Ersatzsyste k B = 9EI L 3 = k B Reihenschaltung c) Durch den Rayleighquotienten it k Ers = k Ers = kk B k B +k = k B + k R = ϕ Kϕ ϕ M ϕ ω 9EIk kl 3 +9EI wobei ϕ eine Schätzung für den ersten Eigenvektor ist. d) Das Erregerspektru wird it der Übertragungsfunktion (Vergrößerungsfunktion) ultipliziert wodurch gewisse spektrale Anteile unterdrückt werden (weit entfernt von Resonanzstelle) und andere Anteile (in der Nähe der Resonanzstelle) besonders hervorgehoben werden. e) Aplitude a ist bei Stoßdauer t e = nur noch ca. 3% der Aplitude A a bei gleicher Stoßintensität und bei plötzliche Stoß Anschaulich: kurze (harte) Stöße sind gefährlicher als langandauernde (weiche) Beispiel: Knautschzonen in Kraftfahrzeugen

3 Institut für Mechanik Prof. Dr.-Ing. habil. P. Betsch Prof. Dr.-Ing. habil. h. Seelig Prüfung in Baudynaik. Februar 8. Aufgabe: (ca. % der Gesatpunkte) Eine Dreieckschwingung ist unten dargestellt und beschrieben durch { 4 (t) = t für t 3 4t für t Bestien Sie die Fourier-Koeffizienten der skizzierten Dreieckschwingung. (t) t Hinweis: sin(a)d = sin(a) cos(a) +C, a a cos(a)d = cos(a) a + sin(a) a +C

4 Musterlösung - Aufgabe gerade Funktion ( t) = (t): b k = S k = Flächengleichheit über und unter t-achse i Intervall [,], d.h. a = a k = C k = = / (t) cos(kωt) dt ( 4 t ) cos(kωt) dt+ it:a = kω = k π = (4 = {4 / t cos(at) dt / ] / [ cos(at) + t sin(at) a a [ cos(at) + 3 a sin(at) 4 / = {4 cos(π k) a + / a sin(π k) a / (3 4 cos(at) dt+ a sin(at) / + t sin(at) ] a cos() a } / t) cos(kωt) dt /3 cos(at) dt 4 a ( sin(πk) sin()) / t cos(at) dt) + 3 a ( sin(πk) sin(πk)) 4 cos(πk) + a sin(πk) cos(πk) / a a sin(π k) a } = {4 4 ( cos(πk) )} = a k π (cos(kπ) ) { für gerade ganze Zahl k = für ungerade ganze Zahl k 8 k π

5 Institut für Mechanik Prof. Dr.-Ing. habil. P. Betsch Prof. Dr.-Ing. habil. h. Seelig Prüfung in Baudynaik. Februar 8 3. Aufgabe: (ca. 5% der Gesatpunkte) Als einfaches Modell eines schalen langen Bauwerks (z.b. schlanker Schornstein) ist eine Einzelasse über einer elastischen (Biegesteifigkeit EI), asselosen (Dichte ρ = ) und dehnsteifen (Dehnsteifigkeit EA ) Stütze der Länge l it de Boden verbunden. Ferner greift an der Masse eine stoßartige bleibende Last (z.b. plötzliche Windlast) an, gegeben durch die ideale Sprungfunktion { fürt F(t) = F fürt > Es soll angenoen werden, dass sich die Masse nur in horizontaler Richtung verschiebt. F(t) EI,ρ = l Gegeben: EI,l,,F. a) Skizzieren Sie ein eindiensionales Ersatzodell des Systes und bestien Sie die Ersatzfedersteifigkeit k des gesaten Systes. b) Bestien Sie die Bewegungsgleichung des Systes für die Koordinate durch die synthetische Methode (Freischnitt/Newtonsche Aioe). c) Bestien Sie die allgeeine Lösung. d) Bestien Sie die spezielle Lösung für die Anfangsbedingungen () =, ẋ() = v.

6 Musterlösung - Aufgabe 3 a) Ersatzodell k F(t) Ersatzfedersteifigkeit k = 3EI l 3 b) FKB F k = k F(t) Bewegungsgleichung { fürt ẍ+k = F(t) = F fürt > c) Noralfor (für t > ) ẍ+ k = F Hoogene Lösung k h = C cos(ωt α), ω = ω = Partikuläre Lösung (Ansatz in For der rechten Seite Konstante K) einsetzen in DGL liefert p = K ω K = F K = F ω = F k = Allgeeine Lösung a = h + p d) Spezielle Lösung () = = a () = C cos( α)+ C = cos(α) ẋ() = v = ẋ a () = Cω sin( α) = ω tan( α) v α = arctan( v ), C = ω it: cos(arctan()) = cos(arctan( v ω )) = + ω + Alternative: = A sin(ω t)+b cos(ω t)+ () = = B + B = ẋ() = v = Aω cos(ω ) Bω sin(ω ) = Aω A = v ω Urechnung: C = A +B, α = arctan( A B ) = arctan( v ω )

7 Institut für Mechanik Prof. Dr.-Ing. habil. P. Betsch Prof. Dr.-Ing. habil. h. Seelig Prüfung in Baudynaik. Februar 8 4. Aufgabe: (ca. 5% der Gesatpunkte) Der skizzierte Stockwerkrahen (dreistöckiges Gebäude) besteht aus starren Riegeln it Massen,, 3, asselosen Stielen it Steifigkeiten k, k, k 3 und eine Däpfer it Däpfungskonstante d. Es soll angenoen werden, dass sich die Massen, und 3 nur in horizontaler Richtung verschieben. Die Koordinaten der Massen, und 3 sind Auslenkungen gegenüber de Fundaent. Das Fundaent wird durch eine Fußpunkterregung (Erdbeben) it der Koordinate y(t) = y cos(ωt) it Bewegungsaplitude y und Erregerfrequenz Ω zu Schwingen angeregt. 3 3 k 3 k 3 k d k y(t) k k Gegeben: k, k, k 3,,, 3, d, y(t) = y cos(ωt), y, Ω. a) Stellen Sie die Bewegungsgleichungen it Hilfe des Lagrange Foralisus. Art auf. b) Liegt durchdringende oder vollständige Däpfung vor? Waru? I Weiteren wird die Frederregung (Erdbeben) sowie die Däpfung entfernt. Es liege folgendes Syste von Bewegungsgleichungen vor k k M ẍ+k =, M =, K = k k k k k wobei = und k = angenoen werden soll. c) Schätzen Sie it Hilfe des Rayleigh-Quotienten die erste Eigenkreisfrequenz ab. d) Bestien Sie die Eigenkreisfrequenzen des Systes. e) Bestien Sie die Modalvektoren und stellen Sie diese grafisch dar. f) Zur einfachen Lösung der Bewegungsgleichungen sollen diese entkoppelt werden. Zeigen Sie kurz die wesentlichen Schritte dazu auf.

8 Musterlösung - Aufgabe 4 a) = (ẏ +ẋ ) + (ẏ +ẋ ) + 3(ẏ +ẋ 3 ) R = d(ẋ ẋ ) V = k + k ( ) + k 3( 3 ) Lagrange-Gleichungen it d dt ( ẋ k )+ V k + R ẋ k =, k =,...,n (ÿ +ẍ ) d(ẋ ẋ )+k k ( ) = (ÿ +ẍ ) +d(ẋ ẋ )+k ( ) k 3 ( 3 ) = 3 (ÿ +ẍ 3 ) +k 3 ( 3 ) = ẍ d d ẋ k +k k ẍ + d d ẋ + k k +k 3 k 3 3 ẍ 3 ẋ 3 k 3 k 3 3 }{{} M ẍ D ẋ K it ÿ = Ω y cos(ωt) = ÿ 3 }{{} F b) Notwendige Bedingung für durchdringende Däpfung: R = ẋ Dẋ ẋ R uss positiv seidefinit sein, d.h. alle Eigenwerte von D üssen größer Null und ind. ein Eigenwert uss Null sein EWP für D d λ d det(d λi) = d d λ = Lsg. it Hilfe von Unterdeterinanten λ + d d λ d λ d + λ d λ d d d λ = λ((d λ) d ) = λ 3 +dλ = Es liegt zude Kopplung in K vor. Nicht gefordert in Klausur: λ (λ d) = λ, =, λ 3 = d Hinreichende Bedingung für durchdringende Däpfung: Falls EVen (der Nulleigenwerte) von D und EVen der Koeffizientenatri des ungedäpften Systes nicht jeweils linear abhängig sind. EVen von D λ =, Φ = [,,], λ =, Φ = [,,], (λ 3 = d, Φ 3 = [,,]) EVen von K ω M siehe Aufgabe e) nicht jeweils linear abhängig von Φ und Φ Syste ist durchdringend gedäpft. c) Schätze Rayleigh-Quotient = [ 3 ] oder = [ ] etc. R = ϕ Kϕ ϕ M ϕ = 3k 4 = 3 4 ω ω oder R = 3 ω ω etc.

9 d) Eigenwertproble (EWP) it Ansatz: q = C cos(ωt α) ( K ω M ) C = charakteristische Gleichung für nichttriviale Lösungen Eigenkreisfrequenzen det(k ω M) = ω 6 +5ω 4 6ω + = ω =.99, ω =.555, ω3 = 3.47 k k k ω =.446, ω =.47, ω 3 =.8 e) Für Eigenforen jeweils Eigenfrequenzen in (K ω M)C = einsetzen. Für ω : Q.8 Q.99 =.8 =.8 Q Q 3 Wahl von Q als unbestite Konstante, so lautet die nichttriviale Lösung Q = Q, Q =.8Q, Q 3 =.48Q bzw. Q = Q Φ = Q.8.48 Analog für ω und ω 3 Q = Q Φ = Q.48.8, Q 3 = Q 3 Φ 3 = Q Q Q Eigenfor. Eigenfor 3. Eigenfor f) Modale ransforation it der Modalatri Φ = [Φ,Φ,Φ 3 ] Φ MΦẍ+Φ KΦ = Φ Das Syste zerfällt in 3 Einzelgleichungen ẍ k +ωk k = k =,,3