Institut für Mechanik Prof. Dr.-Ing. habil. P. Betsch Prof. Dr.-Ing. habil. Th. Seelig 25. Juli 2016

Transkript

1 Institut für Mechani Prüfung Prof. Dr.-Ing. habil. P. Betsch Bauynai Prof. Dr.-Ing. habil. Th. Seelig 25. Juli 206 Aufgabe Ein asseloser un starrer Stab ist i Punt B rehbar gelagert un wir a Punt A urch eine Feer er Steifigeit gehalten. A Punt C ist ein Däpfer er Däpfungsonstante vorhanen. A Punt D greift eine Puntasse un eine zeitlich veränerliche Last F(t) an. F(t) 2a a 2a A B C D Bearbeiten Sie folgene Teilaufgaben: a) Wählen Sie ein geeignetes Koorinatensyste i Punt B un schneien Sie as Syste frei. b) Stellen Sie ie Bewegungsgleichung ittels er synthetischen Methoe auf c) Linearisieren Sie ie Bewegungsgleichung für leine Deforationen ) Berechnen Sie as Lehr sche Däpfungsaß sowie ie Eigenreisfrequenz Gegeben: a,,,, Ω, t, F(t) F 0 cos(ωt)

2 Institut für Mechani Prüfung Prof. Dr.-Ing. habil. P. Betsch Bauynai Prof. Dr.-Ing. habil. Th. Seelig 25. Juli 206 Aufgabe 2 Das gegebene Syste it zwei Freiheitsgraen besteht aus eine asselosen Rahen un eine Klotz it er Masse, ie it reibungsfreien Rollen verbunen sin. Ein Penel er Masse 2 ist über einen starren un asselosen Stab it e Klotz verbunen. Angeregt wir as Syste urch eine zeitlich veränerliche Verschiebung u(t) u 0 cos(ωt). e y e x u(t) x L g 2 Die Bewegungsgleichungen sollen it er Methoe nach Lagrange bestit weren. a) Führen Sie generalisierte Koorinaten ein, eritteln Sie ie nichtlinearen Ortsvetoren un ie nichtlinearen Energien T un V. b) Geben Sie ie Berechnungsvorschriften er Lagrange schen Energie sowie es Lagrange schen Foralisus zweiter Art an. Aus e Lagrange schen Foralisus erhält an nun ie folgenen nichtlinearen Bewegungsgleichungen. ( + 2 )ẍ + 2 L cos() + x 2 L 2 sin() ( + 2 )u 0 Ω 2 cos(ωt) 2 L cos()ẍ + 2 L gl sin() 2 L cos()u 0 Ω 2 cos(ωt) c) Linearisieren Sie ie gegebene Bewegungsgleichungen für leine (x, ẋ,, ) un geben Sie iese in Matrixschreibweise an. ) Bestien Sie ie Eigenreisfrequenzen es Systes. e) Eritteln Sie ie Schwingungsaplituen i eingeschwungengen Zustan für ie gegebene Erregung u(t) u 0 cos(ωt). f) Die Masse 2 soll als Schwingungstilger wiren. Bei welcher Erregerfrequenz Ω befinet sich er Klotz in Ruhe? Gegeben: u 0, u(t) u 0 cos(ωt),, 2,, L, g

3 Moulprüfung Bauynai a 25. Juli 206 Bauynai Lösungen Nae:... Vornae:... Matr.-Nr:... Stuiengang:... Hinweise: Bitte schreiben Sie eutlich un lesbar. Zeichnungen üssen sauber un übersichtlich sein. Die Benutzung roter un grüner Farbstifte ist nicht zugelassen. Aufgaben weren nur gewertet, wenn sie auf er ausgegebenen Lösungsvorlage bearbeitet wuren. Abgegebene Forelsalungen weren als nicht vorhanen betrachtet. Beginnen Sie jee Aufgabe auf eine neuen Blatt. Beschriften Sie ie Blätter er Lösungsvorlagen nur auf er Vorerseite. Der Lösungsweg er Aufgaben uss eineutig erennbar sein. Ein Ergebnis ohne Lösungsweg wir nicht gewertet. Sollten für eine Aufgabe ehrere wiersprüchliche Lösungen angegeben sein, so wir eine gewertet. Streichen Sie eshalb falsche Rechenschritte oer Zeichnungen urch. Aufgabe 2 Punte Korretor (Eintrag erfolgt urch Institut)

4 Institut für Mechani Prof. Dr.-Ing. habil. P. Betsch Prof. Dr.-Ing. habil. Th. Seelig Klausur Bauynai 25. Juli 206. Aufgabe a) Koorinatensyste Einführen + Freischnitt F(t) 2a a 2a A B C D Syste F y x F(t) F Freischnitt F 2asin() F y acos() F(t) F 0 cos(ωt) it y asin() y acos() acos() asin() a Abb..3: Geoetrie b) Drallsatz: (Positiv in -Richtung) ΣM B J B J B (3a) 2 9a 2

5 F 2acos() F acos()+f(t)3acos() J B 2a2asin()cos() acos() acos()+f 0 cos(ωt)3acos() 9a 2 4a 2 sin()cos() a 2 cos 2 () +F 0 3acos(Ωt)cos() 9a 2 9a 2 +a 2 cos 2 () +4a 2 sin()cos() 3F 0 acos(ωt)cos() + cos2 () 9 4sin()cos() + 9 F 0cos(Ωt)cos() 3a c) Linearisierung DGL it: sin() cos() F 0cos(Ωt) 3a ) Mit Eigenreisfrequenz un Lehr sches Däpfungsaß: ω ω Dω D 8ω

6 Institut für Mechani Prof. Dr.-Ing. habil. P. Betsch Prof. Dr.-Ing. habil. Th. Seelig Klausur Bauynai 25. Juli Aufgabe a) Generalisierte Koorinaten: [ ] x q Ortsvetoren: [ ] [ ] u(t)+x u0 cos(ωt)+x r [ 0 ] 0 [ ] u(t)+x+sin() u0 cos(ωt)+x+lsin() r 2 lcos() lcos() Zeitableitung Ortsvetoren: [ ] u0 Ωsin(Ωt)+ẋ ṙ [ 0 ] u0 Ωsin(Ωt)+ẋ+l cos() ṙ 2 l sin() l lcos() lsin() Abb. 2.: Geoetrie Quarate er Geschwinigeiten: v 2 ( u 0 Ω sin(ωt)+ẋ) 2 u 2 0 Ω2 sin 2 (Ωt) 2u 0 Ω sin(ωt)ẋ+ẋ 2 v 2 2 ( u 0 Ω sin(ωt)+ẋ+l cos()) 2 +( l sin()) 2 u 2 0 Ω2 sin 2 (Ωt)+ẋ 2 +l 2 2 cos 2 ()+2( u 0 Ω sin(ωt)ẋ u 0 Ω sin(ωt)l cos() +ẋl cos())+l 2 2 sin 2 () u 2 0Ω 2 sin 2 (Ωt)+ẋ 2 +l 2 2 (cos 2 ()+sin 2 ()) }{{} 2u 0 Ω sin(ωt)(ẋ+l cos())+2ẋl cos() u 2 0Ω 2 sin 2 (Ωt)+ẋ 2 +l 2 2 2u 0 Ω sin(ωt)(ẋ+l cos())+2ẋl cos() u 2 0 Ω2 sin 2 (Ωt)+ẋ 2 +l l cos()(ẋ u 0 Ω sin(ωt)) 2u 0 Ω sin(ωt)ẋ

7 Energien: T 2 v v (u 2 0 Ω2 sin 2 (Ωt) 2u 0 Ω sin(ωt)ẋ+ẋ 2 )+ 2 2(u 2 0 Ω2 sin 2 (Ωt)+ẋ 2 +l l cos()(ẋ u 0 Ω sin(ωt))) 2u 0 Ω sin(ωt)ẋ 2 ( + 2 )(u 2 0Ω 2 sin 2 (Ωt) 2u 0 Ωsin(Ωt)ẋ+ẋ 2 ) + 2 2(l l cos()(ẋ u 0 Ωsin(Ωt)) V 2 x2 + 2 gl( cos()) lcos() l l l( cos()) Abb. 2.2: Geoetrie b) Lagrange Foralisus it L T V ( ) L L 0 (α,2) t q α q α c) Linearisierung er gegebenen DGL en für leine Auslenungen it: sin() cos() sin() 2 0 [ ] l 2 2 l 2 } {{ } M ( + 2 )ẍ+ 2 l +x ( + 2 )u 0 Ω 2 cos(ωt) 2 lẍ+ 2 l gl 2 lu 0 Ω 2 cos(ωt) [ẋ ] }{{} q [ gl } {{ } K ][ [ ] x ( + 2 )u 0 Ω ] 2 cos(ωt) 2 lu 0 Ω 2 cos(ωt) }{{}}{{} q F

8 ) Eigenfrequenz charateristische Gleichung: et(k ω 2 M)! 0 ( ω et 2 ( + 2 ) ω 2 2 l ω 2 2 l 2 gl ω 2 2 l ) ( ω 2 ( + 2 ))( 2 gl ω 2 2 l) ( ω 2 2 l)( ω 2 2 l) 2 gl ω 2 2 l 2 ω 2 ( + 2 ) 2 gl+ω 4 ( + 2 ) 2 l 2 ω l2 0 : l 2 g ω 2 2 l ω 2 ( + 2 ) 2 g +ω 4 ( + 2 ) 2 l ω l 0 : 2 g ω 2 (l +( + 2 )g)+ω 4 (( + 2 )l 2 l) 0 g ω 2 (l +( + 2 )g)+ω 4 l 0 lω 4 (l+( + 2 )g)ω 2 +g 0 Lösung er quaratischen Gleichung in ω 2 : ω 2 l +( + 2 )g+ (l+( + 2 )g) 2 4 lg 2 l ω 2 2 l +( + 2 )g (l +( + 2 )g) 2 4 lg 2 l e) Schwingungsaplituen: Lösungsansatz: x p a cos(ωt) ẍ p a Ω 2 cos(ωt) b a 2 cos(ωt) b a 2 Ω 2 cos(ωt) einsetzen in DGL en: ( + 2 )( a Ω 2 cos(ωt))+ 2 l( a 2 Ω 2 cos(ωt))+a cos(ωt) ( + 2 )u 0 Ω 2 cos(ωt) 2 l( a Ω cos(ωt))+ 2 l 2 ( a 2 Ω 2 cos(ωt))+ 2 gla 2 cos(ωt) 2 lu 0 Ω 2 cos(ωt) ( ( + 2 ) + )a + 2 lω 2 a 2 ( + 2 )u 0 Ω 2 Ω 2 a +(g lω 2 )a 2 u 0 Ω 2 Lineares Gleichungssyste: [ ][ ] [ ] ( + 2 )Ω 2 2 lω 2 a ( + Ω 2 g lω 2 2 )u 0 Ω 2 a 2 u 0 Ω 2 }{{} A [ ] [ ][ ] a g lω 2 2 lω 2 ( + 2 )u 0 Ω 2 a 2 et(a) Ω 2 ( + 2 )Ω 2 u 0 Ω 2

9 et(a) ( ( + 2 )Ω 2 )(g lω 2 ) ( Ω 2 )( 2 lω 2 ) g lω 2 ( + 2 )Ω 2 g +( + 2 )lω 4 2 lω 4 g + lω 4 [l+( + 2 )g]ω 2 Aplituen: a et(a) ((g lω2 )( + 2 )u 0 Ω lω 2 u 0 Ω 2 ) et(a) (g( + 2 )u 0 Ω 2 lω 2 ( + 2 )u 0 Ω lω 2 u 0 Ω 2 ) et(a) (g( + 2 ) lω 2 )u 0 Ω 2 (g( + 2 ) lω 2 )u 0 Ω 2 g + lω 4 [l+( + 2 )g]ω 2 a 2 et(a) Ω2 ( + 2 )u 0 Ω 2 +( ( + 2 )Ω 2 )u 0 Ω 2 ) et(a) (Ω2 ( + 2 )+ ( + 2 )Ω 2 )u 0 Ω 2 et(a) u 0Ω 2 u 0 Ω 2 g + lω 4 [l+( + 2 )g]ω 2 f) Schwingungstilgung: Klotz in Ruhe wenn gilt a! 0. et(a) (g( + 2 ) lω 2 )u 0 Ω 2 0 g( + 2 ) lω 2 0 Ω 2 g( + 2 ) l g( + 2 ) Ω l