f = f = f = Institut für Technische und Num. Mechanik Prof. P. Eberhard / Dr.-Ing. F. Fleißner WS 2017/18 P März 2018

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1 Institut für Technische und Num. Mechanik Maschinendynamik Prof. P. Eberhard / Dr.-Ing. F. Fleißner WS 2017/18 P März 2018 Prüfung in Maschinendynamik Nachname, Vorname Aufgabe 1 (6 Punkte) Bestimmen Sie für die folgenden ebenen Mehrkörpersysteme die Anzahl der Freiheitsgrade f. Geben Sie einen Satz geeigneter verallgemeinerter Koordinaten an und zeichnen Sie diese in die Zeichnung ein. (Hinweis: Die schwarz ausgefüllten Buchstaben stellen jeweils einen starren Körper dar.) a) f = -Adresse (Angabe freiwillig) = Matr.-Nummer Fachrichtung b) 1. Die Prüfung umfasst 8 Aufgaben auf 6 Blättern. 2. Nur vorgelegte Fragen beantworten, keine Zwischenrechnungen eintragen. 3. Alle Ergebnisse sind grundsätzlich in den gegebenen Größen auszudrücken. 4. Die Blätter der Prüfung dürfen nicht getrennt werden. 5. Als Hilfsmittel sind ausschließlich 6 Seiten Formelsammlung (entspricht 3 Blättern DIN-A4 doppelseitig) zugelassen. Elektronische Geräte sind ausdrücklich nicht zugelassen. 6. Bearbeitungszeit: 90 Minuten. 7. Unterschreiben Sie die Prüfung erst beim Eintragen Ihres Namens in die Sitzliste... (Unterschrift) c) f = = f = = Punkte Korrektur

2 Aufgabe 2 (15 Punkte) Laufkatze Führungsseil Lager A g Zugseil Feder Klotz Kontaktpunkt B Kontaktpunkt C Windkraft Dargestellt ist ein mechanisches Ersatzmodell einer Seilbahn. Die Räder der Laufkatze rollen ideal. Der Klotz ist über ein Zugseil mit der Laufkatze verbunden und gleitet auf einem Führungsseil. wahr falsch In einem holonomen Mehrkörpersystem entspricht die Anzahl der Reaktionsgleichungen der Anzahl der Zwangskräfte und Zwangsmomente. Um die Bewegungsgleichungen in verallgemeinerten Koordinaten aufstellen zu können, müssen die Reaktionskräfte und -momente berechnet werden. Die Eigenvektoren eines dynamischen Systems = werden durch eine Ähnlichkeitstransformation nicht verändert. c) Klassifizieren Sie die folgenden Zwangsbedingungen. Hinweis: L, β sind konstant, die Zeit wird durch t beschrieben. Alle anderen Größen sind implizit zeitabhängig. Kabine geometrisch kinematisch holonom nichtholonom rheonom skleronom a) Klassifizieren Sie die auftretenden Kräfte. β α = α sin α Lagerkraft in A Gewichtskraft der Kabine Federkraft Haftreibungskraft in B Gleitreibungskraft in C Normalkraft in C Windkraft r +2r 2=f(t) x=l y α cos β γ sin β cos α = 0 d) Welche Stabilitätseigenschaften haben die folgenden linearen Systeme? eingeprägte Kraft Reaktionskraft b) Bewerten Sie folgende Aussagen. wahr falsch λ, =0, λ, = 2±i, d, =1 asymptot. stabil grenzstabil instabil keine Aussage möglich Gleitreibungskräfte sind nichtideale Kräfte. λ, =±4i, λ = 1, λ =0 Konservative mechanische Systeme sind immer ungedämpft. λ, = 2, λ, =0, d, =2 Für jede Drehmatrix gilt det() =1 und =. x +0.1x = 2x

3 Aufgabe 3 (15 Punkte) Das ebene Doppelpendel, welches Bewegungen in der --Ebene ausführen kann, besteht aus zwei Massepunkten (Massen m, m ), die über zwei masselose Stäbe (Länge L) verbunden sind. Die Masse m ist reibungsfrei über ein verschiebbares Drehgelenk an eine schiefe Ebene (Winkel β) gebunden. Die ins Freischnittbild eingezeichneten verallgemeinerten Zwangskräfte können zu dem Vektor = g g g g g zusammengefasst werden, wobei die Kräfte g und g in -Richtung zeigen und die Kräfte g, g und g in der --Ebene liegen. Das System besitzt einen Freiheitsgrad und kann mit der verallgemeinerten Koordinate y =α eindeutig beschrieben werden. L α β m L a) Geben Sie die Ortsvektoren der Massen m und m im Inertialsystem an. =, = b) Geben Sie die Vektoren der virtuellen Verschiebung für beide Massen m und m an. 1 =, δ 2 = g m Freischnitt: g g G g g G g g c) Wie lauten die jeweils auf die Massen wirkenden eingeprägten Kräfte? =, = d) Die Reaktionskräfte beider Massen können dargestellt werden als = und =. Wie lauten die Verteilungsmatrizen und? =, = e) Für konkrete Zahlenwerte lautet die virtuelle Arbeit der eingeprägten Kräfte δw = g δα sin α + gδα cosα. Bestimmen Sie damit die Gleichgewichtslage α des Systems. α = f) Kreuzen Sie die für das vorliegende System zutreffenden Aussagen an. δ = δ α, t δw = 0 α, t δ α, t = α, t g) Wie können die Reaktionsgleichungen aus den Newton-Euler-Gleichungen + = + berechnet werden?

4 Aufgabe 4 (14 Punkte) s C,m g c c a C,m Ωt a) Wie viele Freiheitsgrade hat das System? f= L b r d Die Dynamik eines unwuchterregten Fundamentblocks soll untersucht werden. Der Aufbau besteht aus C,m einem über eine Feder-Dämpfer- Kombination (Federn c und c, Dämpfer d) mit dem Boden verbundenen Block (Schwerpunkt C, Masse m ), an dem eine mit der α konstanten Winkelgeschwindigkeit Ω rotierende Kreisscheibe (Schwerpunkt C, Masse m ) drehbar gelagert ist. Am Rand der Kreisscheibe ist ein Balken (Schwerpunkt C, Masse m ) drehbar gelagert, der um den Winkel α ausgelenkt werden kann. Bei der Position s=s sind die Federn ungespannt. Das System ist eben. b) Welcher Vektor der verallgemeinerten Koordinaten eignet sich zur Beschreibung des Mehrkörpersystems? = s α = s α Ω = s α Ωt = s Ω c) Geben Sie den Ortsvektor zum Schwerpunkt C im Inertialsystem an. d) Geben Sie den Ortsvektor zum Schwerpunkt C im Inertialsystem an. = 0 e) Geben Sie die Geschwindigkeit des Schwerpunkts C im Inertialsystem an. = + f) Geben Sie die Drehgeschwindigkeit des Balkens bezüglich des Inertialsystems im Inertialsystem an. = + g) Wie groß ist der Betrag der am Fundamentblock angreifenden Federkraft F C? F = h) Wie groß ist der Betrag der am Fundamentblock angreifenden Dämpferkraft F? F = = 0

5 Aufgabe 5 (7 Punkte) Die Verdrehung eines Körpers wird durch zwei aufeinander folgende Elementardrehungen mit den Winkeln α und β beschrieben. Die Drehmatrix = beschreibt dabei die Orientierung des körperfesten Koordinatensystems gegenüber dem Inertialsystem. Der Winkelgeschwindigkeitsvektor des Körpers bezüglich des Inertialsystems im Inertialsystem lautet 0 β = α 0 a) Wie lauten die Drehmatrizen und? =, = b) Wie lautet die Drehmatrix? = c) Wie lautet der Winkelgeschwindigkeitsvektor des Körpers bezüglich des Inertialsystems im körperfesten Koordinatensystem? = Aufgabe 6 (11 Punkte) Die linearen Bewegungsgleichungen eines Mehrkörpersystems ergeben sich zu = 2 cos(t). 0 a) Wie lautet das charakteristische Polynom? p(λ) = b) Die ersten zwei Eigenwerte ergeben sich zu λ, =±i. Wie lauten die weiteren Eigenwerte λ,? λ, = c) Berechnen Sie den Eigenvektor zu den Eigenwerten λ, und den Eigenvektor zu den Eigenwerten λ,. =, 1 = 1 d) Wie lautet die massennormierte Modalmatrix? (Hinweis: die Eigenvektoren müssen dafür massennormiert werden mit =.) = e) Wie lauten die modal transformierten Bewegungsgleichungen + = in den Normalkoordinaten =? =, =

6 Aufgabe 7 (5 Punkte) Die Dynamik eines Schwingers mit einem Freiheitsgrad wird beschrieben durch 2y +y +2y=F. Hierbei beschreibt y die Position des Schwingers und F die Kraft, die auf diesen wirkt. Das System soll mit dem Zustandsvektor = y y und dem Eingang u =F in Zustandsraumdarstellung gebracht werden. a) Vervollständigen Sie die Zustandsdifferentialgleichung. a) Wie berechnet man die Dämpfungsmatrix, die Steifigkeitsmatrix, die Matrix der nicht-konservativen Kräfte und die Matrix der gyroskopischen Kräfte für zeitinvariante Systeme? = (+ ) = ( + ) = ( ) = ( ) = ( + ) = ( ) = (+ ) = ( ) b) Geben Sie die linearisierte Massenmatrix, die bereits genannten Matrizen sowie den Erregervektor an. = + u b) Wie lautet die ungedämpfte Eigenfrequenz ω, die gedämpfte Eigenfrequenz ω und die Dämpfung δ? (Hinweis: Es tritt schwache Dämpfung δ <ω auf.) ω =, ω =, δ = = =, =, =,, Aufgabe 8 (8 Punkte) Die folgenden nichtlinearen Bewegungsgleichungen sind gegeben 1+sin β 0 0 2cosβ γ + β β cos β (2Ω 2γ sin β) f(t) γ 2γ γ cos β (2Ω γ sin β) = 2(β π 2 ) β. (, t) (,,t) (,,t) =, = Diese sollen für kleine Auslenkungen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen um den Arbeitspunkt = = = linearisiert werden. Es gilt = +, wobei den Vektor der linearen verallgemeinerten Koordinaten darstellt. Hinweis: Im Allgemeinen lautet die linearisierte Form der oben dargestellten Bewegungsgleichungen (,t) (t) + + +,,,, (t) (t) = (,,t) (,,t) (,t) (t)