Matrizenalgebra und Matrizenanalysis

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1 Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 1.1 Matrizenalgebra und Matrizenanalysis Aufgabe 1 Bilden Sie mit den Vektoren und Matrizen [ ], [ ], folgende Produkte und Größen: Skalarprodukt Dyadisches Produkt Quadratische Form Determinante det Adjungierte adj Inverse Aufgabe 2 a) Mit welchen Kriterien lässt sich die Definitheit einer Matrix T R n n mit den Eigenwerten λ, λ,, λ n und den Hauptminoren/Hauptabschnittsdeterminaten H, H,, H n bestimmen? Definition für Quadratische Form Eigenwerte det λ Hauptminoren/ Hauptabschnittsdeterminaten a a a [ a a nn ] positiv definit positiv semidefinit negativ definit negativ semidefinit Indefinit > < sonst

2 Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 1.2 b) Bestimmen Sie die Definitheit der folgenden Matrizen: a) [ ] b) [ ] c) [ ] d) [ ] positiv definit positiv semidefinit negativ definit negativ semidefinit indefinit Aufgabe 3 cos φt sin φt Die Matrix [ sin φt cos φt ] beschreibt eine pos. Drehung um die z Achse. a) Wie berechnet sich die Inverse einer orthogonalen Matrix? b) Berechnen Sie die Determinante der Drehmatrix. det c) Bestimmen Sie T und das Produkt mit [a, b, ]. d) Wie lautet bei einer Drehung mit dem Vektor der Winkelgeschwindigkeiten [ω, ω, ω ]? [ ]

3 Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 1.3 Bonus-Aufgabenteile: e) Zeigen Sie, dass orthogonal ist. f) Zeigen Sie, dass das Produkt T für jede beliebige orthogonale Matrix schiefsymmetrisch ist. (Hinweis: Verwenden Sie die Definition T der Orthogonalität.)

4 Aufgabe 1 Institut für Technische und Num. Mechanik Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 2.1 Modellbildung Bei der Modellbildung lassen sich grundsätzlich zwei Vorgehensweisen, den empirischen Weg und den axiomatischen Weg, unterscheiden. Ergänzen Sie das Diagramm zum Vorgehen bei der Analyse technischer Systeme. empirischer Weg axiomatischer Weg Technisches System Interessierendes Teilsystem Versuchsmodell (Prototypen) Messung & Identifikation von Parametern Aufgabe 2 Ergebnisse wie z.b. Bewegungen, Beanspruchungen, analytische oder num. Lösungsverfahren Zur Dynamik-Untersuchung eines Bassdrum-Pedals wird dieses als Mehrkörpersystem modelliert. Ordnen Sie den verschiedenen Bauteilen entsprechende MKS-Elemente zu. Nr 1 Pedalplatte Bauteil Starrkörper Koppelelem. Bindungselem Pedalscharnier 3 Fußmaschinenfeder 4 Kugellagerung der Welle 2 5 Beater 6 Doppelkette als Lagestellglied 3

5 Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 2.2 Aufgabe 3 Zur Untersuchung der Dynamik eines Garagentores soll dieses in ein ebenes Mehrkörpersystem (MKS) abgebildet werden. a) Skizzieren Sie ein geeignetes Mehrkörpermodell in die Abbildung. Verwenden Sie dazu die Symbole der Mehrkörperdynamik. b) Welche Elemente lassen sich den verschiedenen Bauteilen zuordnen und welche Idealisierungen bzw. Vernachlässigungen werden dabei durchgeführt? Bauteil Mehrkörperelement Idealisierung/ Vernachlässigung obere Führungsschiene Garagentor unterer Führungshebel Lagerung des Führungshebels Abfederung c) Welcher Modelltyp müsste herangezogen werden, wenn zusätzlich die Elastizität des Garagentores berücksichtigt werden soll? _

6 Aufgabe 4 Institut für Technische und Num. Mechanik Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 2.3 Ordnen Sie den folgenden Beispielskizzen ein geeignetes mechanisches Ersatzmodell (MKS, FEM, KOS) zu und bestimmen Sie die Anzahl der Freiheitsgrade. Systems mit Ω konst angetriebenes Riesenrad mit Gondeln mechanisches Ersatzmodell Anzahl Freiheitsgrade

7 Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 3.1 Kinematik eines Massenpunktes Ein freier Massenpunkt P kann im dreidimensionalen Raum durch die kartesischen Koordinaten seines Ortsvektors beschrieben werden. Im raumfesten Koordinatensystem {O,,, } erhält man t r t + r t + r t [r t r t r t]. Andererseits kann die Lage des Massenpunkts auch mittels krummliniger bzw. verallgemeinerter Koordinaten t beschrieben werden. Zwischen dem Ortsvektor t und dem Lagevektor t besteht dann ein i.a. nichtlinearer Zusammenhang t. Die Geschwindigkeit und Beschleunigung des Massenpunktes lässt sich auf zwei unterschiedliche Arten bestimmen: 1. Direkte Differentiation der Koordinaten des Ortsvektors nach der Zeit t d dt, t d dt d dt Differentiation des Ortsvektors als Funktion der krummlinigen Koordinaten nach der Zeit unter Anwendung der Kettenregel t d dt T, t T + T Aufgabe 1 a) Beschreiben Sie die Lage des Massenpunkts mit den Zylinderkoordinaten t [ρ φ z]. (t). [ ] b) Berechnen Sie die Geschwindigkeit und Beschleunigung des Massenpunkts mit der zweiten Methode. t ρ φ [ ] [ z ] t T + [ ] [ ] [ ]

8 Aufgabe 1 Institut für Technische und Num. Mechanik Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 4.1 Drehmatrix und Winkelgeschwindigkeit a) Vervollständigen Sie die Matrizen der Elementardrehungen bei Kardan-Winkeln., [ ] [, ] [ ] b) Wie berechnet sich der Winkelgeschwindigkeitsvektor R im körperfesten Referenzsystem, wenn er im Innertialsystem mit I gegeben ist? I + + [ ] [ ] [ γ ] R + [ ] Aufgabe 2 [ ] + [ γ ] Die Verdrehung eines fahrzeugfesten Koordinatensystems R aufgrund seiner Gier- und Wankbewegung gegenüber dem Inertialsystem I lässt sich durch 2 aufeinander folgende Elementardrehungen beschreiben. Die Gierbewegung ist eine Drehung um die vertikale Achse mit dem Winkel φ, die Wankbewegung eine anschließende Drehung um die Fahrzeuglängsachse mit dem Winkel ϑ. a) Berechnen Sie die Drehmatrix : [ ] [ ] [ ]

9 Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 4.2 b) Bestimmen Sie den Winkelgeschwindigkeitsvektor des Fahrzeugs im Inertialsystem und im körperfesten Koordinatensystem aus der Anschauung: I [ φ ] ϑ + [ ] [ ] R + [ φ ] [ ] [ ] ϑ c) Berechnen Sie nun den Drehgeschwindigkeitstensor formal und vergleichen Sie damit Ihr obiges Ergebnis. I T [ [ ] ] I [ ] [ ] d) Welcher Rechenweg ist schneller? Anschauung b) formale Rechnung c) e) Welche Regeln gelten für die Transformation von Vektoren? I R R I I T R R T I f) Transformieren Sie in das Inertialsystem und überprüfen Sie nochmals Ihre Ergebnisse.

10 Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 4.3 I cos φ sin φ R [ sin φ cos ϑ cos φ cos ϑ sin ϑ sin φ sin ϑ cos φ sin ϑ cos ϑ ] [ ] [ ] g) Wie lauten die Regeln zur Transformation eines Tensors zweiter Stufe? I R I R T I T R R T I Bonus-Aufgabenteile: h) Das körperfeste Koordinatensystem R sei ein Hauptachsensystem, so dass der Trägheitstensor Diagonalform hat A R [ B ]. C Führen Sie mit geeigneten Abkürzungen für die trigonometrischen Funktionen (s φ sin φ, c φ cos φ, etc.) eine Transformation des Trägheitstensors in das Inertialsystem durch A c φ +B s φ c ϑ +C s φ s ϑ A s φ c φ B s φ c φ c ϑ C s φ c φ s ϑ C Bs φ c ϑ s ϑ I A s φ +B c φ c ϑ +C c φ s ϑ B Cc φ s ϑ c ϑ B s φ + C c ϑ [ ]

11 Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 5 Bindungen Aufgabe 1 Der Massenpunkt P des ebenen Pendels kann sich auf einem Kreis mit dem Radius L in der e -e -Ebene bewegen. Als Koordinaten des freien Punktes werden [r, r, r ] gewählt. a) Wie lauten die Zwangsbedingungen für den Massenpunkt? φ r, φ r + r + r L φ r + r φ r r r L φ r L, φ r + r L, φ r L b) Welche Größen eignen sich als verallgemeinerte Koordinaten? r r r c) Wie lauten die Zwangsbedingungen in expliziter Form? cos r [ ± ] [ sin ] [ ± ] [ sin ] r cos Aufgabe 2 Klassifizieren Sie die folgenden Zwangsbedingungen. Beachte: Ω und L sind konstant, die Zeit wird durch t beschrieben und alle anderen Größen sind implizit zeitabhängig. geometrisch kinematisch holonom nichtholonom skleronom rheonom r + r Ωt Ω L x sin y cos cos sin

12 Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 6.1 Lagerung holonomer Mehrkörpersysteme Aufgabe 1 Klassifizieren Sie die Lagerungen der folgenden ebenen Mehrkörpersysteme: a) f u n c f n r b) f u n c f n r d) f u n c f n r

13 Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 6.2 Aufgabe 2 Geben Sie für folgende Systeme jeweils die Zahl der Freiheitsgrade und geeignete verallgemeinerte Koordinaten an. Tragen Sie die Koordinaten in die Zeichnung ein und benennen Sie diese. a) MKS des ITM-Logos f [ ] b) Räumlicher Manipulator f [ ] b) Unwuchterregte Maschine mit Schwingungstilger f [ ]

14 Kinematik gebundener Mehrkörpersysteme Aufgabe 1 Benennen Sie die Kinematikbeschreibungen eines starren Körpers, der in einem holonomen Mehrkörpersystemen gebunden ist. Lage: i i, t Geschwindigkeit: i i + i t i Ti + i Beschleunigung: i Ti + Ti i Ti + + i i i i, t i Ri + i i Ri + Ri + i i Ri + 1. i i ö i i 2. i aus der Anschauung i Aufgabe 2 Ein stehender Schaufelbagger mit elastischen Hydraulikzylindern soll als starres Mehrkörpersystems modelliert werden. a) Bestimmen Sie den Freiheitsgrad, geben Sie einen Satz verallgemeinerter Koordinaten an und zeichnen Sie diese in die Zeichnung ein. e f e, e Institut für Technische und Num. Mechanik Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 7.1

15 b) Beschreiben Sie aus der Anschauung die Winkelgeschwindigkeiten folgender Körper im Inertialsystem K{O, e, e, e } und bestimmen Sie die Jacobi-Matrizen der Rotationen durch Koeffizienten-Vergleich. F Führerstand: Ausleger: A Schaufel:! F + F +! A A ( + + )! + c) Wie ändern sich die Winkelgeschwindigkeiten, falls die Drehrichtung des Führerstands und der Winkel zwischen Ausleger 1&2 entgegengesetzt angenommen wären? F A + Institut für Technische und Num. Mechanik Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 7.2

16 Aufgabe 3 Eine Schwingbühne ist über einen Hauptlenker an der Decke befestigt und mit einem masselosen Hilfslenker gegen Kippen gesichert. Die Schwingbühne kann ebene Bewegungen ausführen. Auf der Schwingbühne befinden sich eine Maschine mit umlaufender Unwucht (Ω const.) und ein Schwingungstilger. Die Schwingbühne wird als Mehrkörpersystem modelliert. Die Federn sind für s und φ entspannt. e a) Wie viele Freiheitsgrade hat das System? e b) Welcher Lagevektor eignet sich zur Beschreibung des Mehrkörper systems? [φ] [φ s] [φ χ] [φ χ s] f g c) Geben Sie die Ortsvektoren zu den Massenmittelpunkten, die Drehmatrizen, die Geschwindigkeiten und die Beschleunigungen für die einzelnen Körper an: Hauptlenker:, + T + + Institut für Technische und Num. Mechanik Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 7.3

17 ! + Schwingbühne:, T ! + Maschine mit Unwucht: l φ sin φ [ l φ cos φ ], Institut für Technische und Num. Mechanik Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 7.4

18 Tilger: T + + +! l φ sin φ + ε Ω sinωt [ l φ cos φ ε Ω cosωt ] +, + T + l φ sin φ [ l φ cos φ ] + Institut für Technische und Num. Mechanik Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 7.5

19 Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 8 Aufgabe 1 a) Benennen Sie: Klassifizierung von Kräften f i f i + f i f i + f i b) Eine Zugmaschine zieht einen Auflieger mit blockierten Hinterrädern. Die Vorderräder der Zugmaschine rollen ideal. Wie werden die eingetragenen Kräfte bezeichnet? äußere Kraft innere Kraft eingeprägte Kraft Reaktionskraft ideale Kraft nichtideale Kraft P Kraft PD Kraft PID Kraft Aufliegergewicht GA Windwiderstand FW vertikale Aufliegerkraft FV horizontale Aufliegerkraft FH Normalkraft N1 Haftreibungskraft R1 Normalkraft N2 Gleitreibungskraft R2

20 Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 9.1 Massengeometrie eines Quaders Aufgabe 1 Ermitteln Sie den Trägheitstensor für einen homogenen Quader (Masse m, Kantenlängen a, b und c) im körperfesten Koordinatensystem. dm ρ dx dy dz a) Bestimmen Sie das Massenträgheitsmoment I durch Integration (verwenden Sie dabei die Dichte ρ als Hilfsgröße). I ρ dx dy dz ρ 2 2 dy dz ρ dy dz ρ 2 2 dz ρ dz ρ 2 2 ρ b) Bestimmen Sie das Massendeviationsmoment I durch Integration. I ρ dx dy dz

21 Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 9.2 ρ 2 2 dy dz ρ dy dz I b) Was versteht man unter einem "Hauptachsensystem"? Ergänzen Sie den Lückentext. Für jeden Körper gibt es, bezüglich derer das Trägheitsmoment maximal bzw. minimal ist. Diese Achsen stehen zueinander und bilden mit einer dazu dritten Achse die. Das von diesen Achsen aufgespannte Koordinatensystem wird als bezeichnet. In diesem Koordinatensystem ist der Trägheitstensor. c) Geben Sie den vollständigen Trägheitstensor an. Aufgabe 2 Wie lautet der Trägheitstensor [ ] a) einer Platte (Masse m)? [ ]

22 Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 9.3 b) eines Stabes (Masse m)? Aufgabe 3 [ ] Bestimmen Sie den Trägheitstensor I im Inertialsystem. a) Wie lautet die Drehmatrix? [ ] K {O, x, y, z } I {O, x, y, z} b) Führen Sie die Transformation des körperfesten Trägheitstensors K ins raumfeste Koordinatensystem durch. I [ ] [ ] [ ] [ ] a 2 b 2 sin φ cos φ [ ]

23 Kinetik gebundener Mehrkörpersysteme Aufgabe 1 Wie berechnen sich die Gesamtkraft F in kombinierten Feder- Dämpfer-Elementen, wenn alle Federn für s 0 ungespannt sind? d d n d c d s F d n d c F c c n s F s c c n d c s s F F s F Institut für Technische und Num. Mechanik Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 10.1

24 Aufgabe 2 Die Schwingbühne aus Arbeitsblatt A7, Aufgabe 3, soll hinsichtlich ihrer Kinetik untersucht werden. [φ s] Die Abbildung auf ein Mehrkörpersystem ist unten dargestellt (Die Federn sind für s 0 und φ 0 entspannt). e e g a) Tragen Sie in das freigeschnittene System alle Kräfte und Momente ein und benennen Sie diese (Führen Sie eine ebene Betrachtung durch). Institut für Technische und Num. Mechanik Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 10.2

25 b) Formulieren Sie die Gesetze für die eingeprägten Kräfte und Momente: c) Wie lauten die Impuls und Drallsätze für die freigeschnittenen Körper? m T + m e R + + e m T e + r R + e + r m T + m e + r R + + e + r d) Geben Sie die resultierenden Kraftwinder der eingeprägten Kräfte auf die vier Körper bezüglich ihres Schwerpunkts an: e e [ ] [ ] e e [ ] [ ] e e [ ] e [ ] [ ] e) Wie lautet der Trägheitstensor des Hauptlenkers im körperfesten Koordinatensystem? im Inertialsystem? I 0 0 I 0 0 [ 0 I 0] [ ] I [ ] I 0 [ ] [ ] [ 0 ] I 0 0 I Institut für Technische und Num. Mechanik Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 10.3

26 f) Formulieren Sie den Impulssatz für den Hauptlenker. Hinweis: Verwenden Sie die kinematischen Beziehungen aus Arbeitsblatt A7, Aufgabe 3. Hauptlenker: + + r + g) Formulieren Sie den Drallsatz für den Hauptlenker. Hinweis: Verwenden Sie die kinematischen Beziehungen aus Arbeitsblatt A7, Aufgabe 3. Hauptlenker: oder r + r Institut für Technische und Num. Mechanik Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 10.4

27 Aufgabe 3 Ein Autokran hebt eine schwingende Last (Massenpunkt). Der Ausleger (Gelenklager, Antriebsmoment M A ) wird als Starrkörper betrachtet. Das Seil wird als masselos und elastisch (ungespannte Länge ) modelliert Es wird vorausgesetzt, daß die Bewegung auf die xy Ebene beschränkt ist. a) Wie groß ist die Zahl der geometrischen Bindungen bei der gewählten Modellierung? (Führen Sie eine räumliche Betrachtung durch!) Summe der Freiheitsgrade des freien Kranauslegers und Massenpunkts: Zahl der Freiheitsgrade des gebundenen Mehrkörpersystems: Zahl der geometrischen Bindungen: f u f n b) Tragen Sie die verallgemeinerten Zwangskräfte und Zwangsmomente auf den Kranausleger, das Lager und die Last ein, und bezeichnen Sie diese. c) Geben Sie den Vektor der verallgemeinerten Zwangskräfte/momente an: [ ] Institut für Technische und Num. Mechanik Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 10.5

28 d) Wie lauten die Reaktionskraftvektoren und die zugehörigen Verteilungsmatrizen? Ausleger: r Last: r [ ] [ ]!! [ ] [ ] e) Bestimmen Sie den Reaktionsmomentenvektor des Auslegers zuerst aus der Anschauung (1) und anschließend formal, mittels des Kreuzproduktes (2). Wie lautet die zugehörige Verteilungsmatrix? (1) aus der Anschauung: r [ ] r (2) formal mittels Kreuzprodukt [ ] + r r [ ] r + C [ ] f) Wie lautet die zugehörige Verteilungsmatrix? r! [ ] [ ] Institut für Technische und Num. Mechanik Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 10.6

29 Aufgabe 1 Institut für Technische und Num. Mechanik Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 11.1 Virtuelle Arbeit der Reaktionskräfte am Doppelpendel a) Eine virtuelle Verschiebungen eines Körpers mit den verallgemeinerten Koordinaten und dem Ortsvektor i lässt sich bestimmen mit δ i. b) Für ein Doppelpendel findet man mit dem Lagevektor [α α ] und den Ortsvektoren und Jacobi-Matrizen, T, T für die virtuellen Verschiebungen die Beziehungen δ, δ. c) Mit den verallgemeinerten Zwangskräften und Zwangsmomenten [g g g g ] ergeben sich die Reaktionskräfte und Verteilungsmatrizen zu r! r!.

30 Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 11.2 d) Die virtuelle Arbeit der Zwangskräfte r ist damit δw r e) Das Verschwinden der virtuellen Arbeit δw r δ T der Reaktionskräfte lässt sich auch mit der Orthogonalitätsbeziehung T [ ] [ sin α sin α cos α cos α sin α cos α ] prüfen.

31 Aufgabe 1 Institut für Technische und Num. Mechanik Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 12.1 Lagerkräfte am Einzylindermotor Das Modell eines Einzylindermotors (rechte Abbildung) wurde mit folgenden verallgemeinerten Zwangskräften und Zwangsmomenten freigeschnitten (linke Abbildung). [F F F F F F F F F F M M M M ] Freischnitt

32 Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 12.2 a) Wie lauten die Zwangskräfte und Zwangsmomente bezüglich der Schwerpunkte? r, r, r r + + [ F s cos + F s sin F r s cos + F r s sin ] r + + [ F b cos F b sin F l b cos F l b sin ] b) Wie lautet die Verteilungs-Matrix der Reaktionskräfte und Reaktionsmomente mit r r r r [ r ]?

33 [ F F F F F F F F F F M M M M ] Institut für Technische und Num. Mechanik Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 12.3

34 Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 12.4 c) Überprüfen Sie das Ergebnis mit der Orthogonalitätsbeziehung T. Hinweis: Die globale Jacobi-Matrix ergibt sich mit der verallg. Koordinate [ ] als T [ s sin s cos r sin b sin r cos b cos r sin l sin ] T d) Ermitteln Sie die globale Massen-Blockdiagonalmatrix e) Durch Links-Multiplikation der Newton Euler Gleichungen mit T ergeben sich die Reaktionsgleichungen, mit dessen Hilfe sich die Lagerkräfte und momente ermitteln lassen. Benennen Sie die Komponenten der Gleichung.,, t,, t +, t

35 Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 13.1 Nichtlineare und Lineare Bewegungsgleichungen holonomer Mehrkörpersysteme Aufgabe 1 Benennen Sie die folgenden Gleichungen, Matrizen und Vektoren. Erklären Sie die Zusammenhänge und die angewandten Prinzipe der Mechanik. T + T c + T e + T + c e + m T m m T m + R + [ ] [ ] [ ] e e e [ ] + [ ] T + T c T e + T +, t + + +,, t,, t, t T + T + T + T

36 Aufgabe 2 Die Bewegungsgleichungen der Schwingbühne aus den Arbeitsblättern A7 und A10 sollen im Folgenden aufgestellt werden. a) Stellen Sie zunächst die Newton-Eulerschen Gleichungen auf. [ + ] [ ] [ ] [ ] + c e + b) Welchen Einfluss haben die Zwangskräfte des Systems auf die Bewegungsgleichungen? + Institut für Technische und Num. Mechanik Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 13.2

37 c) Wie lautet die transponierte globale Jacobi-Matrix? T [ ] d) Ermitteln Sie die nichtlineare Bewegungsgleichung für m m m m m + Aufgabe 3 Die nichtlinearen Bewegungsgleichungen aus Aufgabe 2 sollen nun für kleine Auslenkungen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen um die Gleichgewichtslage,, linearisiert werden. Es gilt +, wobei der Vektor der linearen verallgemeinerten Koordinaten darstellt. Darüber hinaus soll auch die Unwucht als vernachlässigbar klein angenommen werden (ε ). Hinweis: Im Allgemeinen lautet die lineare Form der oben dargestellten Bewegungsgleichungen: ( s, t) t + s, s s, s t + s a) Berechnen Sie die folgenden Terme., t φ s s s s + s, s s, s t ( s, s, t) ( s, s, t) ( s, t) s. t,, t s,s s,s Institut für Technische und Num. Mechanik Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 13.3

38 ,, t s,s s,s b) Wie lauten die Matrix der geschwindigkeitsabhängigen Kräfte und die Matrix der lageabhängigen Kräfte? c) Geben Sie die lineare Bewegungsgleichung mit der linearen Massenmatrix, der Dämpfung-Matrix, der Matrix der gyroskopischen Kräfte, der Steifigkeits-Matrix, der Matrix der konservativen Kräfte sowie dem Erregervektor an. + + [ ] ( [ ] ( + ) + ) Institut für Technische und Num. Mechanik Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 13.4

39 Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 14 Linearisierung und Transformation der Bewegungsgleichungen des Doppelpendels Aufgabe 1 Die nichtlinearen Bewegungsgleichungen eines Doppelpendels ergeben sich zu cosα α α ml α [ ] + ml sinα α [ ] mgl [ cosα α α α sinα α sin α sin α ]. Diese Gleichungen sollen um die Ruhelage s [ ], s [ ], s [ ] linearisiert werden. Es gilt s +, wobei der Vektor der linearen verallgemeinerten Koordinaten darstellt. a) Berechnen Sie die folgenden Terme. s, t s, s, t α s s,s α s s,s,, t,, b) Die linearisierten Bewegungsgleichungen lauten somit ml [ α ] + mgl [ α ] [ ]. α α c) Verwendet man anstelle der Winkel die horizontalen Auslenkungen x und x als verallgemeinerte Koordinaten, so erhält man für kleine Winkel die Beziehungen sin α x L α und sin α x x α, bzw. L [ α ] α L [ ] [ x ]. x d) Führen Sie eine Kongruenztransformation auf die neuen Koordinaten durch. m [ T ] + mg L [ ] e) Ändern sich dadurch die Eigenfrequenzen des Doppelpendels? α L x x α L

40 Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 15.1 Zustandsgleichungen von Mehrkörpersystemen Aufgabe 1 Wie lauten die Zustandsraumdarstellungen und die zugehörigen Blockschaltbilder von idealisierten zwangserregten Schwingungssystemen, die durch a) nichtlineare Bewegungsgleichungen beschrieben werden? t t +,,, t,,, t [ t ],, t b) lineare Bewegungsgleichungen beschrieben werden? t t + t t + t t, t t Blockschaltbild von a) t [ t ] + t [ ], t t t t Hinweis: Da es sich um ein lineares System handelt, kann, t auch durch die Eingangsmatrix t und den Vektor der Eingänge t dargestellt werden. Aufgabe 2 Um hohe Kräfte bei stoßartigen Störungen (z.b. bei einem Fahrwerk) zu verhindern, können Federn & Dämpfer in Reihe und zusätzlich parallel geschaltet werden. Das resultierende Koppelelement hat eine Eigendynamik (PID-Kraft). Die Koordinaten y und w bezeichnen jeweils Auslenkungen aus der Gleichgewichtslage für den Eingang u 0. a) Schneiden Sie das System frei. t Blockschaltbild von b) yt wt t ut

41 Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 15.2 b) Wie lautet die Newtonsche Gleichung für den starren Körper mit der Masse m? m y c) Stellen Sie die Gleichgewichtsbedingung für den masselosen Knotenpunkt P auf. d) Wie lautet der Zustandsvektor des Schwingers? e) Welche Form haben die Zustandsgleichungen? + t t t t Die Einführung von u in die Zustandsgleichung ist beim Auftreten von Unstetigkeiten wie Sprüngen in ut für die numerische Simulation ungünstig. Durch eine andere Wahl der Zustandsgrößen lässt sich dies vermeiden: [y y ŵ] mit ŵ w u t f) Welche Form haben nun die Zustandsgleichungen? + t t t t t

42 Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 16.1 Fundamentalmatrix des Doppelpendels Aufgabe 1 Die linearisierten Zustandsgleichungen eines vereinfachten Doppelpendels (siehe auch A14) lauten für g und mit [x ], L x [ ], [ ], [ 3 ]. a) Wie lautet die Fundamentalmatrix t + t + t + t + bei einer Reihenentwicklung bis zum Glied dritter Ordnung? x α L α L x [ t t + t t + t t ] t [ t t t + t t ] b). Führen Sie die Berechnung der Fundamentalmatrix bis zu Gliedern 3. Ordnung aus. c). Welche Form hat die allgemeine Lösung zu Beginn der Bewegung, t, für die Anfangsbedingung [ ]? t t t t t t t t 3t + t [ t ] [ Hinweis: Verwenden Sie das Ergebnis von Frage b). t t ]

43 Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 16.2 d) Durch numerische Integration mit dem Computer findet man folgende Lösungskurven. Ordnen Sie diese mit Hilfe des Ergebnisses von Frage c) den Zustandsgrößen zu. x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t

44 Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 17.1 Freie Schwingungen, Modalanalyse und Entkopplung von Teilschwingungen Aufgabe 1 Freie Schwingungen von gewöhnlichen MKS können durch das Lösen von Eigenwert- Problemen (EWP) analysiert werden. Hierbei kann das System entweder transformiert im Zustandsraum oder in Form der linearen mechanischen Bewegungsgleichung betrachtet werden. Stellen Sie beide Vorgehensweisen gegenüber und ergänzen Sie die fehlenden Angaben. R t t + t t + t t R i i e λ it i i [ i ] i i i i e λit i i i e λ it i e λ it charakteristisches Polynom charakteristisches Polynom (schwache Dämpfung) p det EW i & EV p det q q det EW & EV i Ähnlichkeitstransformation Massennormierung & spezielle Transformation [ i ] i i [ i ], mit it i + +, mit

45 Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 17.2 Aufgabe 2 Die linearisierten Zustandsgleichungen eines vereinfachten Doppelpendels (siehe auch A14) lauten für und mit [x ], L x [ ], [ ], [ ]. a) Stellen Sie das charakteristische Polynom auf. x α L α L p det x b) Wie lautet die charakteristische Gleichung? p p + + p + + p + + c) Die Eigenwerte des Doppelpendels sind durch i ω, i ω, i ω, i ω gegeben. Wie groß sind die Eigenfrequenzen? ω, ± ω, ± ω, ± ω, d) Aus welchen Standardfunktionen setzt sich die allgemeine Lösung zusammen? e iω t, e iω t, e iω t, e iω t e iω t, t e iω t, e iω t, t e iω t sin ω t, cos ω t, sin ω t, cos ω t

46 Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 17.3 Aufgabe 3 Die Bewegungsgleichungen eines ungedämpften Zweimassenschwingers, der zwangserregt wird, ergeben sich zu [ ] +[ 6 ] [ 6Ω cosωt ]. a) Bestimmen Sie zunächst das charakteristische Polynom. q det + b) Durch die Substitution ergeben sich die Nullstellen. c) Wie lauten somit die Eigenwerte? d) Berechnen Sie die zugehörigen Eigenvektoren. [ ], [ ], [ ], [ ] e) Geben Sie alle linear unabhängigen Eigenvektoren in der Modalmatrix mit der Form [ i ] an, wobei die Eigenvektoren i zuvor mit i i massennormiert werden sollen. it i 6 f) Wie lauten die modal transformierten Bewegungsgleichungen + in den Normalkoordinaten? +

47 Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 17.4

48 Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 18.1 Eigenschwingungen und freie Schwingungen eines allgemeinen Mehrkörpersystems Aufgabe 1 Die Zustandsgleichungen eines Schwingers mit elastischem Dämpfer lauten für m kg, c N/m, d Ns/m und k N/m [ ] mit [ y y ] w yt a) Formulieren Sie die Eigenwertaufgabe. wt 0 b) Bestimmen Sie die charakteristische Gleichung. c) Berechnen Sie die Eigenwerte. λ + i, λ, λ d) Bestimmen Sie einen Eigenvektor zum Eigenwert. 0 x [ ] e) Wie lautet die Modalmatrix? [ [ [.. i. +. i. i +. i ]. +. i.. i +. i. i ]. +. i +. i.. i. i ]

49 Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 18.2 f) Wie lautet die Zustandsgleichung in Normalkoordinaten? Damit lautet die allgemeine homogene Lösung t e Λt c e + it + c e it + c e t g) Von welchem Typ müssen die Konstanten sein, um einer reellen Anfangsbedingung zu genügen? c R c R c R c C c C c C h) Unter welcher Bedingung ergibt sich die zum Eigenwert Schwingungseigenform? c c c c c c 3 gehörige aperiodische i) Geben Sie die Anfangsbedingungen an, die zu der aperiodischen Schwingungseigenform führen. y x [ y ] w j) Welche Bewegung stellt sich ein?

50 Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 19 Stabilität Aufgabe 1 a) Gegeben sind ein asymptotisch stabiles, ein stabiles und ein instabiles Schwingungssystem zweiter Ordnung. Ordnen Sie die Lösungen den entsprechenden Systemklassen zu. b) Welches Stabilitätsverhalten weisen die linearen Systeme mit den folgenden Eigenwerten auf? asympt. grenz stabil stabil instabil λ, λ, λ, ± λ, λ, ±, λ λ,, λ, ±, d, λ,, λ, ±, d, λ,,,, d,,, λ,,,, d,,, λ, λ, λ, λ λ, ±, λ, ± λ,, λ, ±, λ λ,, λ, λ, d,

51 Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 20.1 Schwingungsanalyse einer Fördereinrichtung Eine Fördereinrichtung wird durch das skizzierte mechanische Ersatzsystem modelliert. Das Laufrad (Radius R, Masse m, Trägheitstensor I diag {B, B, A} bezüglich des Massenmittelpunktes C ) trägt über ein masseloses, elastisches Seil (Steifigkeit c, entspannte Länge r ) eine punktförmige Last (Masse m ). Das Laufrad rollt entlang der raumfesten x Koordinate (Winkel φ bzgl. der skizzierten Stellung). φ Die Bewegung soll für kleine Schwingungen um die stabile Gleichgewichtslage analysiert werden. Die Bewegungsgleichungen sind mit Hilfe der Newton Eulerschen Gleichungen zu ermitteln. Erstellen der Bewegungsgleichungen a) Wie lautet der Lagevektor? [φ, ] φ [φ,, r] [, r] b) Beschreiben Sie die Lage der beiden Körper im Inertialsystem in Abhängigkeit der verallgemeinerten Koordinaten.,,

52 Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 20.2 c) Wie lauten die Jacobi Matrizen? J T, J R, J T d) Welche Beschleunigungen ergeben sich?, e) Welche eingeprägten Kräfte und Momente wirken auf die freigeschnittenen Körper des Systems bezüglich ihrer Schwerpunkte? Skizze:

53 Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 20.3 f) Damit erhält man für die Newton Eulerschen Gleichungen (nur gegebene Größen verwenden!)

54 Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 20.4 g) Wie lautet die globale Jacobi-Matrix des Systems? J T Durch Anwenden des d'alembertschen Prinzips ergibt sich die Bewegungsgleichung +, mit ] m R + ε m R ε cos φ + m R + A m R r cos m R sin [ m R r cos m r m R sin m m R ε φ sin ϕ + m R r cos m R r sin [ m r r ] m r [ R Ft ε m g sin φ m g r sin ] c r r + m g cos Linearisierung der Bewegungsgleichungen h) Linearisieren Sie die Bewegungsgleichung um die freie Gleichgewichtslage mit [,, r ], r r + m 2 g t + t, [φ,, r ] Geben Sie die Matrizen und den Erregervektor der linearen Bewegungsgleichung an:

55 Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 20.5,, Für eine spezielle Wahl der Parameter m m m, ε R, r 8 R, A m R, F t f m R cos Ω t und mit den Abkürzungen g g R, m erhält man die lineare Bewegungsgleichung 8 g / f o cos Ω t [ 8 64 ] + [ 8 g ] [ ] Analyse der freien Schwingungen i) Wie lauten die Bewegungsgleichungen für die freien Schwingungen? + j) Welcher Schwingungstyp liegt vor? zirkulatorisch nichtzirkulatorisch gyroskopisch konservativ nichtgyroskopisch konservativ gyroskopisch gedämpft nichtgyroskopisch gedämpft

56 Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 20.6 k) Stellen Sie das charakteristische Polynom auf. p λ l) Geben Sie die Eigenfrequenzen des Systems an.,, m) Ermitteln Sie die zugehörigen Eigenvektoren. ỹ ỹ ỹ ] [ ỹ ỹ ỹ ] [ ỹ ỹ ỹ ] [ n) Skizzieren Sie die Eigenschwingungsformen. 1. Eigenschwingung 2. Eigenschwingung 3. Eigenschwingung

57 Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 20.7 Analyse der erzwungenen Schwingungen o) Formulieren Sie den Erregervektor in den verschiedenen Darstellungen. t cos Ω t + sin Ω t e iωt + e iωt [ _ cos Ω t - _ ] p) Zur Bestimmung der Frequenzgangmatrix werden folgende Größen und Matrizen benötigt. + det + adj +

58 Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 20.8 q) Wie berechnet sich die Frequenzgangmatrix? M + M M + M M adj adj + r) Wie lautet der Amplitudenvektor der stationären Antwort H e iωt + e iωt? s) Welche Phänomene treten bei einer harmonischen Anregung mit verschiedenen Frequenzen Ω auf? (Annahme: alle Eigenwerte sind einfach, g / 8 ) Erregerfrequenz strenge Resonanz Resonanzerscheinung Scheinresonanz Tilgung g / 8

59 Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 21.1 Hubschwingungen eines Automobils Die vertikalen Hubschwingungen eines Automobils lassen sich durch ein sogenanntes Viertelfahrzeugmodell beschreiben. Vernachlässigt man die Reifendämpfung, so erhält man die Bewegungsgleichung t + t + t t mit den Systemmatrizen [ m ], [ d d ], m d d [ k k ], [ ] ut. k k + k k Bei Überfahrt einer Wellenbahn (Wellenlänge, Amplitude u ) mit variabler Geschwindigkeit ergibt sich eine sinusförmige Anregung ut u cos Ω E t mit geschwindigkeitsabhängiger Erregerfrequenz Ω E π /. a) Wie lautet die Zustandsgleichung des Systems für die Zahlenwerte Aufbaumasse m kg Achsmasse m kg, Aufbaufederkonstante k N/ m, Dämpferkonstante d 6 N/ m, Reifenfederkonstante k 8 N/ m Fahrbahnamplitude u. m? + cos Ω E t

60 [deg] Institut für Technische und Num. Mechanik Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 21.2 b) Wie lautet der komplexe Erregervektor der harm. Anregung t e iωet + e iωet? c) Wie berechnet sich der komplexe Amplitudenvektor der stationären harmonischen Antwort t e iωet + e iω Et? d) Wie ergeben sich daraus Amplituden- und Phasengang für die beiden Lagegrößen y 1 (t) und y 2 (t)? y a Ω E, ψ Ω E y a Ω E, ψ Ω E e) Durch numerische Berechnung findet man die folgenden Frequenzgänge. Interpretieren Sie die Verläufe. Ω E Ω E

61 Prof. Dr.-Ing. Prof. E.h. P. Eberhard Dr.-Ing. F. Fleißner WS 16/17 A 21.3 f) Im Bode-Diagramm erkennt man die Feinheiten des Amplitudengangs besser. [deg] log logω E logω E