1 Grundlagen und Definitionen

Transkript

1 Die lassische Mechani beschreibt die Bewegung von Körpern und Bewegungsänderungen durch wirende Kräfte. Dies geschieht auf der Grundlage der Newtonschen Axiome (lassisch) und ist gültig im Bereich leiner Geschwindigeiten und marosopischer großer Systeme. Historisch ist die Mechani das Ursprungsgebiet vieler anderer physialisch-technischer Disziplinen. Mit dem Lagrange-Formalismus wurde eine sehr elegante Formulierung entwicelt, die auch Ausgangspunt weiterer physialischer Theorien ist. 1 Grundlagen und Definitionen 1.1 Vetoroperationen Definition 1.1 Der Nabla-Operator ist definiert als x = y. z Definition 1.2 Der Gradient einer salaren Funtion φ ist gegeben durch grad φ = φ = xφ y φ. z φ Man beachte: φ ist ein Vetorfeld. Definition 1.3 Die Divergenz eines Vetorfeldes A ist gegeben durch Man beachte: A ist ein Salarfeld. div A = A = x A x + y A y + z A z. Definition 1.4 Die Rotation eines Vetorfeldes A ist gegeben durch y F z z F y rot A = A = z F x x F z. x F y y F z Für eine Komponente lässt sich das auch gut mit dem ɛ Tensor schreiben Man beachte: A ist ein Vetorfeld. ( A) i = ɛ ij j A 1

2 1.2 Bahnurve Die Bewegung eines Teilchens im Raum ann durch eine Bahnurve in Abhängigeit von der Zeit t beschrieben werden (Ortsvetor). r(t) = x(t) y(t) z(t) Wir definieren die Geschwindigeit v(t) und die Beschleunigung a(t) = x(t)e x + y(t)e y + z(t)e z v(t) = dr(t) a(t) = d2 r(t) 2 = ṙ(t) = r(t). Man beachte, dass es sich hierbei um totale Zeitableitungen handelt 1. Die artesischen Einheitsvetoren sind onstant e x = 1, e y = deshalb gilt die einfache Beziehung 1, e z =, 1 v(t) = ẋ(t)e x + ẏ(t)e y + ż(t)e z a(t) = ẍ(t)e x + ÿ(t)e y + z(t)e z. Für andere Koordinatensysteme ist dies nicht der Fall, wie wir gleich sehen werden. 1.3 Koordinatensysteme Im Prinzip önnen wir jedes Problem in artesischen Koordinaten lösen, allerdings ist das oft unnötig schwer. Deshalb ann man sich alternative Koordinatensysteme wählen mit einem geeigneten Set an Einheitsvetoren. Oft wählt man sich ein System was der Symmetrie des Problems angepasst ist, welches man lösen möchte. Hier stellen wir zwei häufig genutzte Koordinatensysteme vor, es wird empfohlen diese ggf. auswendig zu lernen, damit man sie jederzeit sicher anwenden ann. 1 df(φ,t) = f t + f φ φ 2

3 1.3.1 Zylinderoordinaten Wir beschreiben die Position im Raum mit einem Radius ρ in der Ebene, einem Winel φ in der Ebene und einer z Koordinate. 2 Diese Koordinaten sollte man immer verwenden wenn es ein Problem mit einer Rotationssymmetrie um eine Achse gibt. Der Ortsvetor in Zylinderoordinaten lautet ρ cos φ r(t) = ρ sin φ z = ρ(t)e ρ + z(t)e z mit den Einheitsvetoren cos φ sin φ e ρ = sin φ, e φ = cos φ, e z = 1 Wenn wir jetzt die Geschwindigeit berechnen, müssen wir auch den Einheitsvetor e ρ (φ) differenzieren. Es ergibt sich v(t) = ṙ = d (ρe ρ) + ż(t)e z = dρ e ρ + ρ de ρ +ż(t)e z }{{} Analog erhalten wir für die Beschleunigung Kugeloordinaten φ e ρ φ = ρ(t)e ρ + ρ φ(t)e φ + ż(t)e z ρ(t)e ρ + φ(t)e φ + ż(t)e z. a(t) = ( ρ ρ φ 2 )e ρ + (ρ φ + 2 ρ φ)e φ + ze z. Bei einem ugelsymmetrischen Problem (z.b. Puntmasse bewegt sich auf Erdoberfläche) bietet es sich an Kugeloordinaten zu verwenden. Der Ortsvetor lässt sich dann mit r, φ, θ schreiben r cos φ sin θ r(t) = r sin φ cos θ r cos θ = r(t)e r 2 Ohne die z-koordinate handelt es sich um Polaroordinaten, die für zweidimensionale Probleme verwendet werden önnen. 3

4 mit den Einheitsvetoren cos φ sin θ sin φ cos φ cos θ e r = sin φ sin θ, e φ = cos φ, e θ = sin φ cos θ cos θ sin θ Wir berechnen beispielhaft die Ableitung für e r und erhalten analog ė r = de r = e r ṙ + e r }{{} r φ φ + e r θ θ = = φ sin φ sin θ cos φ cos θ cos φ sin θ + sin φ cos θ } {{ } sin θe φ = sin θ φe φ + θe θ Damit ergibt sich die Geschwindigeit Näherungen ė θ = θe r + φ cos θe φ } sin θ {{ } e θ ė φ = φ (sin θe r + cos θe θ ). v(t) = ṙe r + r θe θ + r sin θ φe φ. Oft önnen wir die DGL nicht lösen aber wir önnen Näherungen vornehmen, die eine Lösung einfacher machen. Dafür ist die Annahme, dass die Variable nur leine Werte annimmt (z.b. leine Auslenungen beim Fadenpendel). Dann önnen wir Teile der Lösung mit einer Taylorentwiclung vereinfachen, indem wir nur bis zum linearen (oder quadratischen Term) entwiceln. Häufig ommen dabei folgende Situationen vor sin(x) = x 3! + x5 5! +... }{{} x Terme höherer Ordnung x3 cos(x) = 1 2! + x4 4! +... }{{} 1 Terme höherer Ordnung + x2 e x = 1 + x + x2 2! + x3 3! x (1 + x) n 1 + nx 4

5 Als Spezialfälle der letzten Gleichung ergeben sich 2 Newton sche Axiome x = (1 + x) x x = (1 + x) 1 1 x. 1. Galilei sches Trägheitsprinzip: Es gibt ausgezeichnete Koordinatensysteme, sogenannte Inertialsysteme, in denen sich ein räftefreier Körper mit onstanter Geschwindigeit bewegt, d.h. ṙ(t) = const., r =. 2. Newton sches Bewegungsgesetz: In einem Inertialsystem ist die Änderung des Impulses p dem Einwiren einer Kraft proportional und geschieht in Richtung der Kraft, d.h. dp = F mit Impuls p = mv. Die Masse ist gerade der Widerstand, den der Körper der Änderung des Bewegungszustands entgegensetzt. Meist bleibt die Masse onstant und wir schreiben m r = F. 3. Actio = Reactio : Der Kraft, mit der die Umgebung auf einen Massenpunt wirt, entspricht stets eine gleichgroße, entgegengesetzt gerichtete Kraft, mit der der Massenpunt auf seine Umgebung zurücwirt, F 12 = F 21. Kräfte zwischen zwei Massepunten wiren entlang der Verbindungslinie: r 12 F 12 =. Superpositionsprinzip: wiren n Kräfte auf einen Massepunt ein, so ist die Gesamtraft die vetorielle Summe der Einzelräfte (hiervon ann es Abweichungen geben). In der Mechani beschränen wir uns auf Kräfte, die von Ort, Geschwindigeit und Zeit abhängen (eine höheren Ableitungen) F = F(r, ṙ, t). Oft beschränt man sich auch auf eindimensionale Bewegungen. Typische Probleme sind Bewegung im Gravitationsfeld mẍ = mg Bewegung mit Reibung mẍ = γẋ Freie gedämpfte Schwingung mẍ = x γẋ Erzwungene Schwingung Es wird empfohlen sich intensiv mit diesen Problemen auseinander zu setzen. 5

6 2.1 Kochrezept: Newtonsche Axiome 1. Bestimmen der Kräfte und Aufstellen der DGL m r = F. 2. Lösen der DGL durch Integration oder mit Erhaltungsgrößen 3. Bestimmung der Integrationsonstanten durch die Anfangsbedingungen (DGL 2. Ordnung benötigt 2 Anfangsbedingungen). 4. Disussion und physialische Interpretation der Lösung 2.2 Beispiel: Freier Fall im Schwerefeld der Erde mit Reibung Anna lässt einen Ball senrecht fallen (Puntmasse m). Zur Zeit t = gilt z() = h, v() =. Auf den Ball wiren das Schwerefeld der Erde und eine Reibungsraft F R = γv (Luftwiderstand). Lösung Da der Ball senrecht nach unten fällt handelt es sich um eine eindimensionale Bewegung r(t) =. z(t) Wir brauchen also nur die Differentialgleichung für z zu betrachten. Auf den Ball wiren die Schwerraft F g = mg und die Reibungsraft F R = γv. Damit lautet die Differentialgleichung m z = mg γż. Um diese zu lösen setzen wir v = ż und gehen über zu einer DGL 1. Ordnung. m v = mg γv. Diese önnen wir durch Trennung der Variablen lösen dv = g γ m v v dv t 1 + γ = g mg }{{ v } Anfangsbedingung eingesetzt ( ) mg γ ln 1 + γ mg v = gt 1 + γ mg v =e γ m t v = mg γ ( 1 e γ m t). 6

7 Dabei haben wir die Anfangsbedingung v() = verwendet. Erneute Integration liefert uns z(t). dz(t) = mg γ (1 e γ m t) ( z(t) = m2 g γ 1 e γ 2 m t) mg γ t + h Dabei wurde die Anfangsbedingung z() = h verwendet. Im Unterschied zum freien Fall hängen sowohl z(t) als auch die Geschwindigeit von der Masse des Balls ab. Für t ergibt sich ein Gleichgewicht und es stellt sich die Grenzgeschwindigeit mg lim v(t) = t γ ein. Man beachte: Da die Reibungsraft nicht onservativ ist, ann man das Problem nicht mit dem Energierhaltungssatz lösen. 2.3 Beispiel: Harmonischer Oszillator Wir betrachten einen Ball der Masse m der an einer Feder hängt. Zur Zeit t = wird am Ball gezogen und die Feder um die Strece x gedehnt. Bestimme die Trajetorie x(t). Lösung Die DGL für die eindimensionale Bewegung lautet mẍ = x. Wir machen den Lösungsansatz x(t) = Ae αt und setzen dies ein mα 2 Ae αt = Ae αt α = ±i m. Die Lösung lautet also x(t) = Ae i m t + Be i m t. Wir bestimmen A und B durch die Anfangsbedingungen x() = x, ẋ() =. ẋ() = i m A i m B = A = B 7

8 Dies setzen wir ein und benutzen die zweite Anfangsbedingung Damit ergibt sich x(t) = x 2 x() = 2A = x ( A = x 2 e i ( = x cos m t + e i ) m t ) m t Der Ball führt also eine Schwingungsbewegung aus. 3 Erhaltungssätze Eine Erhaltungsgröße ist eine physialische Größe des Systems, deren Wert sich nicht mit der Zeit ändert. Wir werden später den Zusammenhang zwischen Erhaltungsgrößen und den Symmetrien eines Systems betrachten. Es gilt 3.1 Impulserhaltung da = A = const. Wirt auf ein Teilchen eine resultierende Kraft F =, so folgt aus dem 2. Newton schen Axiom diret dp =. Damit ist der Impuls p = const. eine Erhaltungsgröße. Dies ann genauso für einzelne Komponenten von p betrachtet werden. 3.2 Drehimpulserhaltung Der Drehimpuls L ist gegeben durch L = r p und das Drehmoment M durch Es gilt M = r F. dl = M. 8

9 Verschwindet das Drehmoment, so gilt Drehimpulserhaltung M = dl = L = const. Für Zentralräfte gilt F r (vgl. Übungen). Dann gilt und es folgt die Drehimpulserhaltung. 3.3 Energieerhaltung M = r F r r = Die Arbeit W, die beim Zurüclegen eines Weges C in einem Kraftfled F(r) geleistet wird ist gegeben durch W = F(s)ds. Definition 3.1 Für eine Kraft F(r) sind folgende Aussagen äquivalent F ist onservativ Es existiert ein Potential U(r) sodass F(r) = U(r) F(r) = C Die zwischen zwei Punten P 1 und P 2 verrichtete Arbeit ist unabhängig vom Weg bzw. die Arbeit über einen beliebigen geschloßenen Weg ist =. F(r)ds = U(r 2 ) U(r 1 ) C F(r)ds = Für onservative Kraftfelder ist die Energie E = T + U eine Erhaltungsgröße mit T = 1 2 mṙ2. Damit ergibt sich ein weiterer Lösungsansatz um die Trajetorie zu bestimmen E = 1 2 mṙ2 + U(r) 2(E U(r) ṙ = m dr 2(E U(r)) = m dr = 2(E U(r)) m 9

10 3.4 Beispiel: Bewegung im Zentralpotential Wir betrachten die Bewegung einer Puntmasse im Zentralpotential V (r) = V (r). Es gilt Energieerhaltung und Drehimpulserhaltung E = 1 2 mṙ2 + V (r) = const. Die Drehimpulserhaltung folgt aus der Form des Zentralpotentials. Wir legen also das Koordinatensystem sodass die z-achse in Richtung des Drehimpulsvetors zeigt. Dann findet die Bewegung in der Ebene senrecht dazu statt und wir önnen Zylinderoordinaten verwenden. In Zylinderoordinaten berechnen wir L Dies önnen wir nach φ auflösen. L = mr ṙ = m re }{{} r (ṙe r + r φe φ ) }{{} =r =ṙ = mr 2 φez In Zylinderoordinaten gilt φ = L mr 2 ṙ 2 = ṙ 2 + r 2 φ2. Nun setzen wir diese beiden Beziehungen in die inetische Energie ein E = 1 2 mṙ2 + V (r) = 1 2 m(ṙ2 + r 2 φ2 ) + V (r) = 1 2 mṙ2 + L2 2mr 2 + V (r) = 1 2 mṙ2 + U eff (r) Wir önnen alle Zentralpotentialprobleme auf diese Art mit dem effetiven Potential U eff (r) umschreiben. 1