Repetitorium A: Newtonsche Mechanik, Schwingungen

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1 Faultät für Physi T: Klassische Mechani, SoSe 5 Dozent: Jan von Delft Übungen: Katharina Stadler, Fraue Schwarz, Dennis Schimmel, Luas Weidinger Repetitorium A: Newtonsche Mechani, Schwingungen Lösung Aufgabe : Vertial hängende Doppelfeder [4] (a) 3m z 3mg (z L) + (z z L) m z mg (z z L) (b) 3mg + (z z ) () mg + ( z + z + L) () () + () 5mg z + L z L + 5 mg () + () 7mg z + L z L + 7 mg z η + z, z η + z 3m η 3mg (η + z η z ) m η mg (η + z η z L) 3m η 3mg (η η ) (L + mg L 7mg ) (η η ) m η mg (η η ) (L + 7 mg (η η ) L 5mg L) 3 η + Ω(η η ) η + Ω(η η ), mit Ω m. (c) Ansatz η i ω η i 3ω η + Ω(η η ) ω η + Ω(η η )

2 ( ) ( ) 3ω + Ω Ω η Ω ω + Ω ( 3ω + Ω)( ω + Ω) Ω 6ω 4 7Ωω + Ω ω/ (7Ω ± ) 49Ω 4Ω η ( ) ω Ω, ω Ω 6 ( ) ( ) ( ) Ω Ω η ω : Ω Ω η ( ) ( ) η gegenphasige Schwingung. η ( 3 ω : Ω Ω ) ( ) ( ) η Ω Ω η 3 ( ) ( ) η 3 gleichphasige Schwingung. η Sizzen: ω : gegenphasige Schwingung mit gleicher Amplitude t η η m ω : gleichphasige Schwingung, wobei die Amplitude von η um einen Fator, 5 größer ist als die Amplitude von η t η η m Lösung Aufgabe : Gefederter Stab [8]

3 (a) -dimensionale Massendichte: ρ(x) m Θ (l x ) (3) l Drehmoment: I m l m l ˆ l l 3 l3 3 ml dxx + m l 3 x3 l l (b) Pot. Energie: V (z, z ) z + z ( z + zl sin θ + l sin θ ) + ( z zl sin θ + l sin θ ) (Linearisierung: sin θ θ) ( + ) z + ( ) lzθ + ( + ) l θ. Sei: K + und, dann: V K ( z + l θ ) + lzθ. (c) T T SP + T Rot mż + I θ 3 ml (d) Lagrangsche Funtion: L T V. Bewegungsgleichungen: dt( q L) q L Matrix-form: ( m) ) m + 3 ( z θ Für z : m z + (Kz + lθ) Für θ : 3 ml θ ( + Kl θ + lz ) ( K l /l K ) ( ) z θ (e) Charateristisches Polynom: (K ω m)(k ω 3 m) ( ) (f) Sei. Schwerpuntoszillazionen: ω K/m, Wineloszillationen: 3K ω m, ( z ) θ ( ) z θ ( ). ( ) 3

4 (g) Lösung Aufgabe 3: Überdämpfter harmonischer Oszillator [] (a) (b) Ansatz: mit und (dt + γdt + ω)g(t) δ(t) (4) G(t) Θ(t)x h (t) (dt + γdt + ω)x h (t) x h (), ẋ h () dtg(t) dt G(t) δ(t)x h (t) +Θ(t)ẋ h (t),dennx h () δ(t)ẋ h ()t +Θ(t)ẍ h ()t δ(t), dennẋ h () (dt + γdt + ω )G(t) δ(t) + Θ(t) ( dt + γdt + ω ) xh (t) 4

5 (c) Ansatz für Lösung Anfangsbedingungen: x h (t) c e λ t + c e λ t x h () c + c c + c c c ẋ h () c (λ λ ) c c λ λ Exp.-Ansatz: (dt + γdt + ω ))e λt λ + γλ + ω λ γ ± γ ω, λ, λ < (d) Getriebener gedämpfter HO, (dt + γdt + ω )x(t) f(t), Allgemeine Lösung x(t) x h (t) + ˆ dt G(t t )f(t ). Allg. Lösung der homogener Gl. x h ( ), deswegen ignorieren wir diesen Term im Folgenden. Für f(t ) Θ(t )f gilt, x h (t) eingesetzt: x(t) ˆ t dt x h (t t )f x(t) f λ λ f λ λ x( ) f λ λ ˆ t [ ] dt e λ (t t ) e λ (t t ) [ λ ( ) e λ t + λ ( )] e λ t [ λ + λ ] f λ λ f ω (e) Sinnvoll: für t gilt, wegen Dämpfung, ẍ, ẋ. Also folgt aus () ωx( ) f x( ) f. ω Lösung Aufgabe 4: Unterdämpfter harmonischer Oszillator [7] 5

6 (a) (b) x h (t) (A cos Ωt + B sin Ωt)e γt, Ω x(t) x hom (t) + ˆ dt G(t t )f(t ) ω γ (c) x(t) x h (t) ˆ ˆ t dt G(t t )f(t ) dt sin Ω(t t ) e γ(t t ) sin ω t Ω ˆ t dt sin ω (t t ) sin ω t, weil γ Ω ω ω [cos(ω t ω t ) cos(ω t)] [ ω x(t) ω x(t ) ; x(t ) sin(ω (t t )) ] cos(ω t) t t ω [ ] sin ω t t cos(ω t) ω t x(t) erfüllt Anfangsbedingungen fürx h (t). (d) Divergenz/Resonanzatastrophe für γ Wir fanden eben, dass die Amplitude linear ansteigt, also divergiert. Lösung Aufgabe 5: Ball in ugelförmiger Schale [7] Man ann diese Aufgabe auf zwei verschiedene Arten lösen (mittels Newtons. Satz oder Lagrange-Formalismus). Wir beginnen mit Newton. Zunächst benutzten wir den. Newtonschen Satz zweimal, einerseits für die Rotation des Ballschwerpunts Schalenzentrum) mit Rotationswinel φ, und andrerseit für die Rotation des Balls um seinen Schwerpunt mit Rotationswinel α: (I + m(r r) ) φ mg(r r) sin φ + F r R I α F r r, 6

7 Dabei ist I 5 mr das Trägheitsmoment des Balls, und F r die Reibungsraft, die schlupfloses Rollen gewährleistet. Letzteres liefert die Zwangsbedingung r α R φ. Daraus folgt r α R φ, somit lassen sich die obigen zwei Newtonschen Gleichungen zu einer Bewegungsgleichung für die Variable φ ombinieren. In der Kleinwinelnäherung φ, also sin φ φ ergibt sich: ( 5 mr + m(r r) + 5 mr) φ + mg(r r)φ, (5) Daraus lässt sich die Schwingungsfrequenz ω ablesen: ω g(r r) (R r) + 5 R + 5 r (6) Alternativ, ergibt sich die Bewegungsgleichung (5) im Lagrange-Formalismus wie folgt: Kinetische Energie: T (I + m(r r) ) φ + I α, mit r α R φ, (7) Potentielle Energie: V mg(r r)( cos φ), (8) Lagrange-Funtion: L ( 5 mr + m(r r) ) φ + 5 mr φ mg(r r)( cos φ) Die Lagrange-Gleichung φl φ L reproduziert Gl. (5). Man beachte: Im Limes r folgt ω 5 g, anders als für eine mathematischem Pendel 7 R mit Länge R und Masse m, für welches ω m/r gilt. Der Grund für den Unterschied ist die Rotationsenergie des Balls um seinen Schwerpunt, gegeben durch I α ( 5 mr )(R φ/r) 5 mr φ. Sie ist r-unabhängig, trägt also auch im Limes r bei. [Gesamtpuntzahl Aufgaben: 46] (9) 7