12 Lineare Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten

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1 56 Gewöhnliche Differentialgleichungen / Sommersemester Lineare Differentialgleichungen mit eriodischen Koeffizienten 12.1 Homogene lineare Systeme mit eriodischen Koeffizienten haben für > die Form ẋ = At x, A CR, M K n, At + = At für t R. 1 a Es sei Φ C 1 R, M K n die Fundamentalmatrix von 1 mit Φ = I. Dann ist auch t Φt + eine Fundamentalmatrix von 1, und aus Bemerung 9.4c folgt Φt + = Φt C mit C = Φ GL K n. 2 b Eine Lösung Φtv von 1 ist genau dann -eriodisch, wenn v ein Eigenvetor von C zum Eigenwert 1 ist. In der Tat stimmt Φt+v = ΦtCv genau dann mit Φtv überein, wenn Cv = v ist. c Die Matrix C = Φ GL K n heißt Übergangs- oder Periodizitätsmatrix oder auch Monodromie-Matrix. Sie ann nach Satz 1.14 in der Form C = e B mit B M C n geschrieben werden Satz Floquet. Die Fundamentalmatrix Φ von 1 mit Φ = I besitzt die Floquet-Darstellung Φt = Qt e B t, 3 wobei Q C 1 R, GL C n die Periode hat und e B = C = Φ ist. Beweis. Man wählt B M C n wie angegeben und definiert Qt durch 3. Dann gilt Φt + = Qt + e B t+ und andererseits auch Φt + = Φt C = Qt e B t C = Qt e B t+ ; daraus folgt sofort Qt + = Qt Analyse der Floquet-Darstellung. a Die Matrix B mit e B = C ist nicht 2πi eindeutig bestimmt, so gilt z.b. ex = I für alle, q Z. 2πiq b Nach 1.8 gilt e σb = σc. Die Eigenwerte {ρ 1,...,ρ r } von B heißen charateristische Exonenten des Systems 1. Dann gilt also σc = {λ 1 = e ρ 1,..., λ r = e ρr } =: {µ 1,...,µ s }, 4 wobei die µ j die verschiedenen Eigenwerte von C sind. Wählt man seziell B = 1 gc, wobei g ein geeigneter Zweig des Logarithmus ist, so hat man r = s.

2 12 Lineare DGLn mit eriodischen Koeffizienten 57 Für allgemeine B sei I j := { λ = µ j } für j {1,..., s}. c Nach Satz 1.9 hat man C n = r V B; ρ und B = r B mit B = ρ I S und S =, S 1 =1 =1 mit = B; ρ. Folglich gilt C = e B = r e B = e ρ e S 1 = λ 1 Sj j! =: λ I R mit R Folglich sind V µ j ; C = j= e B =1 und =, R 1. I j V B; ρ die Hauträume von C, und man hat C; µ j = max {B; ρ I j }. 5 Insbesondere ist µ j genau dann ein halbeinfacher Eigenwert von C, wenn alle ρ für I j halbeinfache Eigenwerte von B sind. d Wegen der Periodizität von Qt haben Φt = Qt e Bt und e Bt das gleiche Stabilitätsverhalten. Man hat genau dann asymtotische Stabilität, wenn sb < rc < 1 6 gilt. Stabilität liegt genau dann vor, wenn sb rc 1 gilt und alle rein imaginären Eigenwerte von B bzw. alle Eigenwerte von C mit µ = 1 halbeinfach sind Inhomogene lineare Systeme mit eriodischen Koeffizienten. a Für -eriodische Funtionen A CR, M K n, b CR, K n sei xt die Lösung des Systems ẋ = At x + bt 7 mit x = x. Gilt dann x = x, so folgt xt + = xt für alle t R ; in der Tat löst dann auch ξt := xt + das System 7 und erfüllt ξ = x. Nach Satz 9.9 hat man xt = Φt x + t Φs 1 bs ds, t R, 8 und daher ist die Gleichung x = x äquivalent zu C 1 I x = Φs 1 bs ds. 9 b Es sei R der Raum aller Funtionen b C R, K n, für die Gleichung 9 lösbar ist. Es ist genau dann b R, wenn der Vetor Φs 1 bs ds im Bild des Oerators C 1 I liegt. Da der Integraloerator aus 9 von C R, K n nach K n surjetiv ist, ist codim R = codim RC 1 I = dim EC; 1 =: ν 1 die Dimension des Eigenraums von C oder C 1 zum Eigenwert 1. c Insbesondere ist 9 für alle b C R, K n lösbar, wenn C 1 I invertierbar ist, also 1 σc gilt. In diesem Fall hat das homogene System 1 nur eine eriodische Lösung, nämlich xt =. Folglich besitzen dann alle inhomogenen Systeme 7 eine eindeutig bestimmte -eriodische Lösung.

3 58 Gewöhnliche Differentialgleichungen / Sommersemester Fourier-Entwiclung. a Wir untersuchen inhomogene Systeme 7 mit onstanter Matrix A M K n, und der Einfachheit wegen sei = 2π. Dann ist C = Φ2π = e 2πA, und nach 12.3 hat man EC; 1 = EA; i. 1 Z b Die Funtion b C 2π R, K n hat die gleichmäßig Cesàro-onvergente Fourier- Entwiclung bt = = b e it. Eine 2π -eriodische Lösung x C 1 2π R, Kn hat die sogar gleichmäßig onvergente Fourier-Entwiclung xt = = x e it. Aus 7 ergibt sich dann sofort i x = A x + b i I A x = b. 11 c Für b R muß also b R := Ri I A für alle Z gelten. Wegen 1 sind dies genau ν 1 linear unabhängige Bedingungen, so daß diese nicht nur notwendig, sondern auch hinreichend für b R sind. d Für 1 σc ist also xt = = i I A 1 b e it 12 die eindeutig bestimmte 2π -eriodische Lösung von Homogene lineare DGLn 2. Ordnung mit eriodischen Koeffizienten ẍ + 2at ẋ + bt x =, a, b C R, R, 13 önnen in ein System 1. Ordnung 1 transformiert werden; hierbei ist At = 1 bt at. 14 a Für das charateristische Polynom der Monodromie-Matrix C = Φ hat man χ C λ = detλi C = λ 2 trc λ + det C. 15 Die Wronsi-Determinante γ := det C = ex tras ds = ex as ds > 16 ist nach Satz 9.1 aus dem Koeffizienten a von 13 berechenbar, und aus χ C λ = λ λ 1 λ λ 2 folgt γ = det C = λ 1 λ 2. 17

4 12 Lineare DGLn mit eriodischen Koeffizienten 59 b Mit α := 2 trc R gilt auch 2α = λ 1 + λ 2, und man hat λ 1,2 = α ± α 2 γ. 18 Aus dem Satz von Floquet ergibt sich die Strutur der Lösungen: c Es sei α 2 γ. Dann hat C zwei Eigenwerte λ = e µ, und 13 hat ein Fundamentalsystem der Form x 1 t = q 1 t e µ 1t, x 2 t = q 2 t e µ 2t, q 1, q 2 C R, R. 19 d Nun sei α 2 = γ, und der Eigenwert α von C sei halbeinfach. Dann gibt es wieder ein Fundamentalsystem der Form 19 mit µ 1 = µ 2 =: µ und e µ = α. Genau für α = 1 sind alle Lösungen von 13 -eriodisch. e Schließlich sei α 2 = γ, und der Eigenwert α = e µ von C sei nicht halbeinfach. Dann hat 13 ein Fundamentalsystem der Form x 1 t = q 1 t e µt, x 2 t = q 2 t + q 3 t t e µt, q j C R, R Die Hillsche Differentialgleichung ist der Fall a = von 13 : ẍ + bt x =, b C R, R. 21 a Nach 16 ist nun γ = det C = 1, und man hat λ 1,2 = α ± α 2 1, λ 1 λ 2 = Somit ann asymtotische Stabilität nicht auftreten es fehlt der Dämfungsterm 2atẋ aus 13. b Im Fall α = 1 2 tr C > 1 ist λ 1 > 1, und man hat Instabilität. c Im Fall α < 1 gilt λ 1,2 = α ± iβ, also λ 2 = λ 1 und somit λ 1 = λ 2 = 1. Folglich ist die DGL 21 stabil. d Im Fall α = 1 gilt λ 1 = λ 2 = 1 oder λ 1 = λ 2 = 1. Ist der Eigenwert ±1 halbeinfach, hat man Stabilität, sonst Instabilität Parametrische Resonanz. a Der Aufhängeunt eines schwingenden Pendels der Länge l > werde vertial durch t, ε ct mit einer -eriodischen Funtion c bewegt. Die Lagrange-Funtion L = m 2 ẋ2 1 + ẋ2 2 mg x 2 lautet wegen x 1 = l sin ϕ, x 2 = l cosϕ + ε c mit dem Auslenungswinel ϕt L = m 2 l2 ϕ 2 + 2lε ϕċ sin ϕ + ε 2 ċ 2 + mg l cosϕ ε c. Daraus folgt die Bewegungsgleichung d dt L L =, also ϕ ϕ = d dt m 2 2l2 ϕ + 2lε ċ sin ϕ m 2lε ϕċ cosϕ + mgl sin ϕ 2 = ml 2 ϕ + mlε c sin ϕ + mgl sinϕ. Wie in 5.5 setzt man ω 2 := g l > und erhält ϕ + ω ε c sin ϕ =. 23 g

5 6 Gewöhnliche Differentialgleichungen / Sommersemester 28 Für leine Winel setzt man sin ϕ ϕ und schreibt wieder x für ϕ. Mit at := ct g erhält man dann die Hillsche Differentialgleichung ẍ + ω ε at x =, 24 und hierbei gilt as ds =. 25 b Für ε = hat man offenbar cosωt sinωt Φt = ω ω sin ωt cosωt 26 und daher tr C = trφ = 2 cosω. 27 Folglich gilt trc < 2 für ω ω := π, Z. Nach 1.3d hängt die Fundamentalmatrix Φ = Φt, ε, ω stetig von den Parametern ε und ω ab. Bei festem ω ω gibt es daher ρω >, so daß für ε < ρω noch immer trcε, ω < 2 gilt, also Stabilität vorliegt. Für ω = ω dagegen hat man noch Stabilität für ε =, für alle ε aber Instabilität, und es gilt ρω für ω ω : 12.9 Störungsrechung. a Nach 14 ist 1 At = ω ε at 28 die Koeffizientenmatrix des 24 entsrechenden Systems 1. Ordnung. Für N, leine δ := ω ω und leine ε setzt man At = A + Rt mit 1 A = ω 2, Rt = mit 29 rt rt = ω 2 ω2 1 + ε at = ω 2 ω + δ ε at = δω δ 2 εω 2 2δεω εδ 2 at. 3 b Nun sei Φ t die Fundamentalmatrix zu A mit Φ = I, nach 26 also sin ω cosω t t ω Φ t =, 31 ω sin ω t cosω t und es sei Ψt := Φ t 1 Φt. Dann ist Ψ = I, und aus Φ = Φ Ψ folgt dann Φ = Φ Ψ + Φ Ψ = A Φ Ψ + Φ Ψ = A R Φ + Φ Ψ, wegen Φ = AΦ also Φ Ψ = RΦ = RΦ Ψ oder Ψ = StΨt mit St = Φ 1 R Φ t = 1 rt Dt, 32 2 ω 1 sin 2ω t ω 1 cos 2ω t Dt = 1 + cos 2ω t ω sin 2ω t

6 12 Lineare DGLn mit eriodischen Koeffizienten 61 Man beachte, daß S -eriodisch ist und für leine ε, δ ebenfalls lein ist. c Wegen Φ = 1 I gilt tr C = trφ = 1 trψ ; 34 man hat also die Sur der Monodromie-Matrix des Systems 32 Ψ = StΨ zu berechnen. Dies wird nun aroximativ durchgeführt, wobei Terme o ε + δ 2 vernachlässigt werden. d Die Monodromie-Matrix Ψ wird mittels Picard-Iteration aroximiert vgl Man hat Ψ t = I, Ψ 1 t = I + t Ss ds, Ψ 2 t = I + t Ss Ψ 1s ds = I + Ut + t Ss Us ds 35 mit Ut := Ψ 1 t I = t Ss ds. Nun gilt tri = 2 und tr U = wegen tr Ss = für alle s R vgl. 33. Weiter liefert artielle Integration t Ss Us ds = Us2 t t Us Ss ds, wegen trsu = trus also tr t Ss Us ds = t trss Us ds = 1 2 trut2. 36 Zur Aroximation von trφ = trψ durch tr Ψ 2 bleibt also tru 2 zu berechnen. e Mittels 33 berechnet man zunächst ω Ds ds =, 1 as Ds ds = 2 mit den Fourier-Koeffizienten a = 2 as cos 2π s ds, b = 2 der Funtion a. Mit 32 und 3 folgt schließlich 1 2 tru2 = 1 8 tr rs Ds ds2 = 1 8 tr = 1 tr ω 2δω 8 1 Insgesamt erhält man b ω 1 2δω + εω 2 as Ds ds εω 2 = δ ε2 ω 2 2 a 2 + b2 +. a a ω b ω π as sin s ds 38 2 b ω 1 a a ω b ω tr C = tr Ψ = 2 δ ε2 ω 2 2 a 2 + b f Die DGL 24 ist also für ω nahe ω stabil im Fall ω ω = δ > 1 ε ω 4 a 2 + b2 4 und instabil im Fall <. Im Fall a = b = müssen in der Störungsrechnung auch Terme höherer Ordnung berücsichtigt werden. Die Instabilitätszone ist dann sehr schmal, hat nach 4 die Breite.

7 62 Gewöhnliche Differentialgleichungen / Sommersemester Beisiel. Die Mathieusche DGL ẍ + λ + γ cos t x = 41 tritt bei der Untersuchung der zweidimensionalen Schwingungsgleichung in ellitischen Koordinaten auf. Hier ist = 2π und nur a 1. Eine Stabilitätsarte findet man in [SW2], 2.B.4.