Experimentalphysik E1

Transkript

1 Experimentalphysik E1 Kreisel, Trägheitstensor, Präzession Statisches Gleichgewicht Harmonische Schwingungen Alle Informationen zur Vorlesung unter : Dez. 016

2 Kreiselbewegungen Rotation um freie Achsen Drehimpuls eines Massenelements Δm i : v i = ω r i L i = Δm i r i v i ( ) ( ) = Δm i r i ( ω r ) i mit : A ( B C) = ( A C) B - ( A B ) C L i = Δm i r i ω (( ) ( r i ω) r ) i L = V (( r ω) ( r ω) r) dm Bei freier Rotation ist L i. a. nicht ll zu ω

3 Der Trägheitstensor L x L y L z I xx I xy I xz = I yx I yy I yz I zx I zy I zz ω x ω y ω z Hauptachsentransformation Ausdrücke sind: (r I xx = x ) dm I xy = I yx = xy dm (r I yy = y ) dm I yz = I zy = yz dm (r I zz = z ) dm I xz = I zx = xz dm. Man prüft (5.34b) leicht nach, Ĩ = I a I b I c I c ω c ω c c β α ω I a ω T T ω Abb. 5.33a,b. Figurenachse c L

4 Asymmetrische Kreisel: I a I b I c Sphärischer Kreisel I a = I b = I c Bsp: Kugel, Würfel

5 Symmetrische Kreisel: oblat: I a = I b < I c prolat: I a < I b = I c

6 Freie Achsen stabile Rotation um Achse mit größtem Trägheitsmoment instabile Rotation um Achse mit mittlerem Trägheitsmoment und Ausweichbewegung

7 Freie Achsen rotierende Kette maximiert ihr Trägheitsmoment Diskus rotiert stabil um Achse mit größtem Trägheitsmoment

8 Nutation des freien Kreisels Rastpolkegel (raumfest) ( β α) L Ω nut β α S prolater Kreisel ω Gangpolkegel (körperfest) Figurenachse Rastpolkegel (raumfest) momentane Drehachse ω α L Ω nut β S Figurenachse Nutationskegel Nutationskegel Figurenachse Gangpolkegel (körperfest) oblater Kreisel Eulerschen Gleichungen I a dω a dt I b dω b dt I c dω c dt Figurenachse + (I c I b ) ω c ω b = D a + (I a I c ) ω a ω c = D b + (I b I a ) ω b ω a = D c Diese Gleichungen sollen nun an ein momentane Drehachse a) b) Lösung für Spezialfall I a =I b Nutationsfrequenz: ω a = AcosΩt ω b = AsinΩt ω c = const Ω = I c I a I a ω c

9 Rotationsenergie: 1 Δm v i i ( ) = 1 Δm ( ω r ) ( i i ω r ) i = 1 Δm i ω r i ( ω r ) i mit: ( A B) ( A B) = A B ( A B) => E rot = ω = ω x +ω y +ω z r dm - 1 V ( ω r) dm ( x + y + z ) dm - 1 V V V ( ω x x +ω y y +ω z z) dm = 1 ( ω x I xx +ω y I yy +ω z I ) zz +ω x ω y I xy +ω y ω z I yz +ω x ω z I xz

10 tensoriell: E rot = 1 ( ω x ω y ω ) z # I xx I xy I xz & % ( I yx I yy I yz % $ I zx I zy I ( zz ' # % % $ ω x ω y ω z & ( ( ' E rot = 1 ωt I ~ ω = 1 3 i,j=1 ω i I i j ω j Bei beliebiger Drehachse tragen alle Momente des Trägheitstensors zur Rotationsenergie bei E rot = 1 ( ω ai a +ω b I b +ω c I ) c

11 Kräftefreier symmetrischer Kreisel Momentane Drehachse ω L Drehmomentachse - Raumfest C Figurenachse - Körperfest Drehimpulserhaltung L = L x + L y + L z = const. Kugeloberfläche im Raumfesten Koordinatensystem Energieerhaltung L a /I a + L b /I b + L c /I c = const Ellipsoid im Körperfesten Koordinatensystem

12 Kreisel im Schwerefeld : Präzession Kreisel unter Wirkung eines Drehmoments M => L ändert sich von oben: ΔL ΔΦ L d L dt = M d L = L dφ Das Rad läuft um die Aufhängung mit Präzessionsfrequenz ω P = dφ dt = M L = r mg L

13 Präzession des Kreisels d L dt = M = sinα r mg d L = Lsinα dφ ω P = = r mg L r mg sinα L sinα = r mg Iω Die Präzessionsfrequenz ist unabhängig vom Neigungswinkel der Kreiselachse

14 Präzession des symmetrischen Kreisels I 1 = I Ι 3 + ausseres Drehmoment Rotation um Figurenachse keine Nutation D L ω c D = dl/dt L const r mg dφ C dl L,ω D = r x m*g D r L = const D = L * dϕ/dt D = L * ω p ω D L = = p D ω I Bsp: Präzession der Erde durch asymmetrie + WW Mond/Sonne Drehmoment T D 6000A Platonisches Jahr

15 Der Kreiselkompass Die Erdrotation übt ein Drehmoment auf den Kreisel aus, solange bis dieser in Nord-Süd Richtung ausgerichtet ist.

16 Die Erde als Kreisel Aufgrund der Abweichung von der Kugelform wirkt ein Drehmoment auf die Erde, welches zu einer Präzession der Erdachse um den ekliptischen Pol führt. Die Umlaufzeit der Präzession beträgt Jahr (platonisches Jahr)

17 Harmonische Schwingungen Auslenkung x(t) ϕ A 0 π A π 3π π 5π 3π ϕ Phase x( t) = A sin ( ω t +ϕ0) A : Amplitude ω : Kreisfrequenz ϕ 0 : Phase f = ω π : Frequenz

18 Die Bewegungsgleichung des Federpendels Differentialgleichung d x m dt Lösung = Dx x( t) = A sin ( ω t +ϕ0) F D = Dx Rücktreibende Kraft d x F = m dt Trägheitskraft mit fester Eigenfrequenz ω und frei wählbaren Konstanten A, ϕ ω = D m Bei der harmonischen Schwingung hängen Frequenz und Schwingungsdauer nicht von der Amplitude ab. Versuch: Federpendel

19 Das physikalische Pendel & Torsionspendel (Drehschwingungen) Die Auslenkung ϕ bewirkt ein rücktreibendes Drehmoment M, welches bei gegebenem Trägheitsmoment I eine der Auslenkung entgegengesetzte Winkelbeschleunigung hervorruft. M = mgd sinϕ = I ω = mgd I d ϕ dt M ω = = Dϕ = D I I d ϕ dt

20 Das mathematische Pendel Bewegungsgleichung : mg sinϕ = m d s dt Näherung für kleine ϕ : sinϕ ϕ = s l g l s = d s dt ω = g l Die Eigenfrequenz des Pendels ist unabhängig von der Masse! Versuch: 1:4 Pendel

21 Energiebilanz bei harmonischen Schwingungen E + E = kin pot E ges 1 m ( ω x ) cos ( ω t) + Dx ( ω t) sin verwende D ω = und cos ϑ + sin ϑ = 1 m 1 Dx 0 = E ges E kin + E pot = 1 E ges Die Gesamtenergie einer harmonischen Schwingung ist dem Quadrat der Amplitude proportional

22 Gedämpfte Schwingungen m d x dt + b dx dt + D x = 0 Lösung : gedämpfter Oszillator x t ( ) = A 0 e γ t sin ω t ( ) Einhüllende Zeit γ = b m τ A = 1 γ Abklingkoeffizient Abklingzeit der Amplitude

23 Gedämpfte Schwingungen Weitere Eigenschaften des gedämpften Oszillators 1.) Die Kreisfrequenz ist etwas kleiner als die Kreisfrequenz im ungedämpften Fall & ω " = ω 0 1 γ ) ( + ' ω 0 *.) Die Energie nimmt exponentiell ab mit der Abklingzeit. τ E =1 γ E ( ) t τ E t E e = 0 3.) Die Dämpfung wird durch den Gütefaktor (Q-Faktor) gekennzeichnet, welcher umgekehrt zum relativen Energieverlust pro Periode ist. Q = π E ΔE

24 Der freie gedämpfte Oszillator z.b.: Federpendel + Dämpfer (Wahl des Ursprungs??? ) Stokessche Reibung: F r m x + b x + D x = 0 b D x + x + x = 0 m m x + γ x + ω x mit = 6 π η r v 0 = 0 D ω0 = ; γ = m b b m

25 λ t Ansatz für die DGL: x( t) = c e λ + γλ + ω 0 = 0 λ 1/ = γ ± γ ω0 x & # ( ) = γ t γ ω0 t γ ω0 t t e c e + c e! " $ % 1 Amplitude fällt exponentiell Im x( t) Re

26 Schwache Dämpfung: γ < ω 0 λ ist komplex mit ω = ω 0 γ λ 1/ = γ ± - ω = γ ± i ω x( t) = e γ t ( c e i ωt + c* e i ωt ) x γ t ( t) = e A cos( ωt + ϕ) wie gehabt: A = ( c c *) i c ; tan ϕ = = c + c * Imc Rec Frequenz wird durch Reibung reduziert

27 Amplitude fällt exponentiell x ( t + T ) x( t) = e γ T ; nach A e 1 τ = γ abgefallen ist die Amplitude auf x( t) T = ω π 0 γ A e A e γ t t τ = 1 γ

28 Elastische Hysterese, Deformationsarbeit Unter Einwirkung der Zugspannung σ erfährt ein Körper die Elongation ε. Im ε-σ-diagramm wird dabei der Weg 0A zurückgelegt. Wird σ danach wieder auf 0 gesetzt, so verbleibt eine Elongation (Punkt B). elastische Hysterese Durch temporäres Ausüben des Druckes p = -σ auf den Körper gelangt dieser über Punkt C zu Punkt D.

29 Elastische Hysterese, Deformationsarbeit Beim Durchlaufen der (geschlossenen) Kurve ABCDA, genannt elastische Hysterese-Schleife, wird die Arbeit W verrichtet. Für einen Quader mit dem Querschnitt q ist die Arbeit W: W = ΔL F dl = q σ dl 0 ε ΔL = q σ L dε = V σ dε 0 0 ε 0 pro Volumeneinheit zu verrichtende Arbeit Im Geltungsbereich des Hooke schen Gesetzes gilt: σ = E ε => W elast = 1 E V ε Außerhalb des Bereiches σ ~ ε gilt: σ dε 0 => Die pro Volumen in Wärme umgesetzte Arbeit entspricht der Fläche des Graphen.

30 Die Härte eines Festkörpers Die Härte gibt den Widerstand eines Körpers beim Eindringen eines anderen an. Ritzverfahren: Der härtere Körper ritzt den anderen. Mohshärte Härteprüfung in der Technik: Brinellverfahren Die Eindrucktiefe h misst die Brinellhärte. Keine analytischen Beschreibungen mehr! - numerische Verfahren, - finite Elemente Rechnungen

31 Härteskalen Ritzverfahren nach Mohs Härteprüfung nach Brinell A: Eindruckfläche h : Eindrucktiefe A = 1 πd ( D D d ) H B = F A Def.: Brinell-Härte

32 Atomares Bild der plastischen Deformation Gitterfehler Versetzungen