7.1 Kraftwirkung von Rotoren

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1 49 Beim Massenpunkt haben der Impuls p mv und die Geschwindigkeit v aufgrund der skalaren Masse stets die gleiche Richtung. Äußere Kräfte führen daher auf Impuls- und gleichzeitig Geschwindigkeitsänderungen in Kraftrichtung. Wegen des tensoriellen Charakters der Drehträgheit haben der Drall L O I O und der Winkelgeschwindigkeitsvektor nicht notwendig die gleiche Richtung. Ein Kreisel gibt daher einem äußeren Moment nicht unmittelbar nach, was zu unerwarteten Phänomenen führt. Zwingt man einen Rotor zu einer Drehung um eine vorgegebene Achse, die keine Hauptachse ist, versucht er rechtwinklig dazu auszuweichen und erzeugt ein Kreiselmoment, das über die Lager abgefangen werden muss. Die Richtung des Kreiselmoments hängt vom Verhältnis der Trägheitsmomente ab: Ein abgeplatteter Rotor versucht, sich zu zentrieren, während ein gestreckter Rotor eine vorhandene Schrägstellung weiter verstärkt. Der Drall eines momentenfreien Kreisels bleibt konstant, sein Drallvektor ist raumfest. Dreht der Kreisel dabei um eine seiner Hauptachsen, fallen Winkelgeschwindigkeits- und Drallrichtung zusammen, der Kreisel führt dann permanente Drehungen aus. Stößt man ihn leicht aus dieser Situation, entstehen bei Drehungen um Achsen seines kleinsten und größten Hauptträgheitsmoments stabile Schwingungen, die man als Nutation bezeichnet, während Drehungen um die Achse des mittleren Hauptträgheitsmoments instabil sind. Symmetrische Kreisel drehen um ihre Symmetrieachse stets stabil. Äußere Momente auf einen Kreisel bewirken eine Dralländerung. Wird das Moment mit dem Kreisel mitgeführt, entsteht eine Präzessionsbewegung, bei welcher der Kreisel stets senkrecht zum Moment ausweicht. Dieses Phänomen lässt sich z.b. beim schweren Kreisel, beim Bumerang oder bei fliegenden Diskus- und Frisbeescheiben beobachten.

2 Kraftwirkung von Rotoren Drallsatz I O. ~ I O M O im körperfesten Hauptachsensystem. x (B O ) y z M Ox B O. y ( ) z x M Oy. z ( B O ) x y M Oz dynamische Eulergleichungen Gelagerter Rotor const Freischneiden B O z y a

3 51 Kreiselmoment Ann.: 0 2 abgeplatteter Rotor gestreckter Rotor 0 z L O FL z y FL y L O elastische Welle elastische Welle Gleichsinniger Parallelismus: Das Kreiselmoment sucht stets, den Drallvektor L O zum Winkelgeschwindigkeitsvektor hin zu drehen.

4 Nutation Momentenfreier Kreisel momentenfrei: M O 0 O C Drallsatz: dl O dt 0 L O const Drehungen um Hauptachsen Drallsatz im körperfesten Hauptachsensystem (dynamische Eulergleichungen). x (B O ) y z 0 B O. y ( ) z x 0. z ( B O ) x y 0 z const stationäre Lösung: K 0 0 const. O y x Permanente Drehungen: Der momentenfreie Kreisel kann permanente Drehungen um seine Hauptachsen ausführen. Nachbarbewegungen Ansatz: K ~ x (t) ~ y (t) ~ z (t), ~ x, ~ y, ~ z eingesetzt: ~. x (B O )~ y 0 B O ~. y ( )~ x 0 ~. z 0

5 53 Entkopplung: ~.. x 2 ( )( B O ) B O ~ x 0 ~.. y 2 ( )( B O ) B O ~ y 0 Fall I: ( )( B O ) 0 Fall II: ( )( B O ) 0 Dgl.: ~.. 2 ~ 0 Dgl.: ~.. 2 ~ 0 Lsg.: ~ k 1 sinh t k 2 cosh t Lsg.: ~ k 1 sin t k 2 cos t cosh t et e t 2 1 sin t 1 t t sinh t et e t 2 cos t Anmerkung: Integrationskonstanten k 1, k 2 folgen aus den Anfangsbedingungen Stabilitätscharakter der permanenten Drehungen Trägheitsmomente Drehachse Fall Stabilität B O B O kleinstes Hauptträgheitsmoment II stabil B O B O mittleres Hauptträgheitsmoment I instabil B O B O größtes Hauptträgheitsmoment II stabil B O B O Symmetrieachse eines symmetrischen Kreisels II stabil

6 54 Nutation des symmetrischen Kreisels ( B O ) allg. Lösung: K ~ 0 ~ 0 cos(t ) sin(t ), mit ~ 0,, const, L OK I OK K ~ 0 cos(t ) ~ 0 sin(t ) K CO ez z N L O const. N F K 1 LOK CO ez e L 1 e z y N e L F e z Eigendrehung um Figurenachse mit F 1 x Nutation: Umlauf der Figurenachse auf raumfestem Kegel mit Nutationsfrequenz N

7 Präzession Schwerer symmetrischer Kreisel Koordinatensystem: geneigtes, um die vertikale Achse mitpräzedierendes Koordinatensystem K mit der Winkelgeschwindigkeit z Präzession Pr Drallsatz: stationäre Lösung: K dl O dt Pr sin 0 Pr cos Ableitungsregel dl O L dt O M O Pr, const. Eigendrehung x C s O m, B O, M O y Präzessionsfrequenz für 90 o : Pr mgs Paradoxon der Kreisellehre: Ein Kreisel gibt einem äußeren Moment nicht nach, sondern weicht rechtwinklig dazu aus

8 56 Beispiele: Diskus, Frisbee, Bumerang, Bierfilz linkshändiger Wurf: Wegkippen nach rechts Pr v M L rechtshändiger Wurf: Wegkippen nach links Pr v M L