Experimentalphysik E1

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Albert Pfeiffer
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1 Experimentalphysik E1 Elastizitätslehre Alle Informationen zur Vorlesung unter : Jan. 2016

2 Elastizitätsgrenze und Plastizität Zugfestigkeit Versuch Biegung

3 Atomares Bild der plastischen Deformation Gitterfehler Versetzungen

4 Zugspannung und Dehnung σ D = F A Zugspannung (stress) ε = Δl l Dehnung (strain) E σ = ε D = F Δl A l Elastizitätsmodul (Young-Modulus) σ D = E ε & $ % N 2 m # = Pa! " Hooksches Gesetz

5 SW carbonnanotubes

6 Elastische Hysterese, Deformationsarbeit Unter Einwirkung der Zugspannung σ erfährt ein Körper die Elongation ε. Im ε-σ-diagramm wird dabei der Weg 0A zurückgelegt. Wird σ danach wieder auf 0 gesetzt, so verbleibt eine Elongation (Punkt B). elastische Hysterese Durch temporäres Ausüben des Druckes p = -σ auf den Körper gelangt dieser über Punkt C zu Punkt D.

7 Elastische Hysterese, Deformationsarbeit Beim Durchlaufen der (geschlossenen) Kurve ABCDA, genannt elastische Hysterese-Schleife, wird die Arbeit W verrichtet. Für einen Quader mit dem Querschnitt q ist die Arbeit W: W = ΔL F dl = q σ dl 0 ε ΔL = q σ L dε = V σ dε 0 0 ε 0 pro Volumeneinheit zu verrichtende Arbeit Im Geltungsbereich des Hooke schen Gesetzes gilt: σ = E ε => W elast = 1 2 E V ε 2 Außerhalb des Bereiches σ ~ ε gilt: σ dε 0 => Die pro Volumen in Wärme umgesetzte Arbeit entspricht der Fläche des Graphen.

8 Querkontraktion d - Δd µ = Δd d ΔL L Poisson-Zahl L L + ΔL d ΔV = ( d + Δd) 2 ( L + ΔL) dl 2 = d 2 ΔL + 2LdΔd + LΔd 2 + 2dΔdΔL + ΔLΔd 2 δ ΔV V ΔL L + 2 Δd d ΔV V = ΔL L ΔV V = p E # 2Δd & 1+ d % ΔL ( $ L ' = ε ( 1 2µ ) ( 1 2µ ) Allseitige Deformation: z.b. Druck δ = -p Bemerkung: µ < 0,5 ΔV > 0

9 Kompressibilität p 1 p 2 Δp = K ΔV V K : Kompressionsmodul V 1 V 2 ΔV V = κ Δp κ = 1 K Kompressibilität Festkörper und Flüssigkeiten sind inkompressibel (K ist groß)

10 Schubspannung und Scherung l γ Δl A F σ S γ = = Δl l F A : Schubspannung : Scherwinkel Δl l Definition Schubmodul, G: Einheit [τ,g]=pa σ S = G γ

Scherung und Torsionsmodul Scherkraft: Angriff tangential an einer Fläche Scherspannung: τ = F d 2 Resultat der Scherspannung: Verkippen der Kanten um den Winkel α: τ = G α mit dem Schub- / Scher- /

11 Scherung und Torsionsmodul Scherkraft: Angriff tangential an einer Fläche Scherspannung: τ = F d 2 Resultat der Scherspannung: Verkippen der Kanten um den Winkel α: τ = G α mit dem Schub- / Scher- / Torsionsmodul G Die behandelten Kräfte sind alle auf atomare Kräfte zurück zu führen und damit miteinander verknüpft. Für isotrope Körper kann folgende Beziehung hergeleitet werden: E 2 G = 1 + µ mit κ = 1 => 2 G 3 K = 1 2 µ K = 3 ( E 1 2 µ ) 1 + µ

13 Torsion eines Kreiszylinders R ϕ r ϕ Δr ϕ r A = 2 π r Δr γ γ F γ = ϕ r l Torsion= Scherung F A = G γ M = F x R (Drehmoment) Seitenansicht einer Zelle M = G ϕ R4 2l π Richtmoment M = D * ϕ D * = G R4 2l π

14 Beispiel: Torsion eines Drahtes Der Draht wird aufgeteilt in Hohlzylinder mit Radius r und Dicke dr, außerdem in Segmente der Winkelbreite dφ. Um den Draht um den Winkel φ zu verdrillen ist die Scherspannung τ nötig: τ = G rϕ L = df da α rϕ L => df = G r ϕ L da = G rϕ L 2πr dr => dd = r df = 2πr 3 ϕ G dr L R 2πr 3 ϕ G D( ϕ) = dr = π R4 G L 2 L 0 ϕ = D r ϕ => D r = π R4 G 2 L Richtmoment

15 Biegung eines Balkens Ein Balken mit rechteckigem Querschnitt q = d b wird an einem Ende fest eingespannt und am anderen belastet. Lokal kann die Krümmung durch Kreisbogen mit Radius r beschrieben werden. Die Länge in der Mitte des Balkens bleibt unbeeinflusst (neutrale Faser). Eine Schicht in Höhe z des Balkens (z=0 entspricht der neutralen Faser) wird also verlängert um: Δl = z ϕ = z l r Für diese Längenänderung nötige Zugspannung: σ = E Δl l = E z r

16 Biegung eines Balkens Die auf eine rechteckige Schicht des Balkens mit der Breite b, der Höhe dz und dem Abstand z von der neutralen Faser, wirkende Kraft ist : b dz z z = 0 df = σ b dz = b E r z dz Dementsprechend wirkt das Drehmoment: dd = z df = b E z 2 dz r Über die gesamte Balkenhöhe ergibt sich: D = b E r d 2 d 2 z 2 dz = b E r d 3 12

17 Biegung eines Balkens Ursache der Biegung ist eine Kraft bei L, die an der Stelle x das Drehmoment D erzeugt: D = F 0 L x ( ) Der Balken biegt sich so lange, bis die beiden Drehmomente entgegengesetzt gleich groß sind: b E r d 3 12 = F 0 L x ( ) Die Krümmung am Ort x ist also: 1 r = 12 F 0 b E d 3 ( L x) Bei x=0 wird die Krümmung und damit die Zugspannung an der Oberseite (z=d/2)maximal. σ max = E d 2r = 6 F 0 L d 2 b => Einkerbung und nachfolgend Bruch des Balkens wenn σ max die Zerreissspannung des Materials überschreitet

18 Biegung eines Balkens Allgemein gilt für die Krümmung einer beliebigen Funktion z (x) ( Teubner): 1 r = z"" ( x) 3 ( 1+ z" ( x) 2 ) 2 z(x)=0 beschreibt die neutrale Faser des unbelasteten Balkens In der Näherung kleiner Durchbiegungen gilt: z" ( x) <<1 => z"" ( x) = 1 r = a ( L x ) a = 12 F 0 b E d 3 Zweimalige Integration mit den Randbedingungen z(0) = z (0) = 0 => z" ( x) = a L x 1 2 a x2 => z( x) = 1 2 a L x2 1 6 a x 3 Das Balkenende x=l biegt sich um s (Biegungspfeil) nach unten: s = z( L) = 1 3 a L3 = 4 F 0 b E L 3 d 3

Biegung eines Balkens Die Biegung eines Balkens mit beliebigem Querschnitt a lässt sich mit der Einführung des Biegemoments B (auch Flächenträgheitsmoment genannt) analog behandeln: x Längsachse des

19 Biegung eines Balkens Die Biegung eines Balkens mit beliebigem Querschnitt a lässt sich mit der Einführung des Biegemoments B (auch Flächenträgheitsmoment genannt) analog behandeln: x Längsachse des Balkens, Querschnittsfläche: Quader: Def. Biegemoment: B = d 2 b 2 A = B = dy dz z 2 dy dz z 2 dy dz = 1 12 d 3 b z= d 2 y= b 2 Der Biegungspfeil s ist dann allgemein gegeben durch: s = L3 3 E B F Andere Beispiele:

20 Biegung=Dehnung(Stauchung) L Δh Obere Hälfte wird gedehnt untere Hälfte gestaucht b a neutrale Faser s = 4L 3 E a 3 b F s = L3 3E B F B = z 2 dydx

21 Biegung eines Balkens Liegt der Balken auf beiden Enden und die Kraft F wirkt in der Mitte, so wird die maximale Durchbiegung s: s = L 3 4 E d 3 b F Die Kraft F verteilt sich je zur Hälfte auf beide Balkenhälften der Länge L/2 s wird um den Faktor 16 kleiner!

22 Beispiel: Torsion eines Drahtes Der Draht wird aufgeteilt in Hohlzylinder mit Radius r und Dicke dr, außerdem in Segmente der Winkelbreite dφ. Um den Draht um den Winkel φ zu verdrillen ist die Scherspannung τ nötig: τ = G rϕ L = df da α rϕ L => df = G r ϕ L da = G rϕ L 2πr dr => dd = r df = 2πr 3 ϕ G dr L R 2πr 3 ϕ G D( ϕ) = dr = π R4 G L 2 L 0 ϕ = D r ϕ => D r = π R4 G 2 L Richtmoment

23 Torsion Biegung => Federkonstants: k k = G r nR

25 Rasterkraftmikroskop und Kraftspektroskopie

, Science 275, 1295 (1997)): Deflection Piezopath intermolecular forces

26 AFM experiments with single molecules custom-built instrument (M. Rief, H. Gaub et al., Science 275, 1295 (1997)): Deflection Piezopath intermolecular forces (binding interactions) intramolecular forces (polymer elasticity) Force [pn] Extension [nm]

27 Die Erde als deformierbarer Körper 3 Dichte / kg / m Druck / N / m Kruste ρ(r) p(r) Mantel r / km 6000 Tiefe / km flüssiger Kern Kern = ω Geoid 6000 fester Kern 1000 b= m F G F R F Z Abplattung ε = (a b) / a = 3, M a= m

28 Spannungstensor ik xx yx zx xy yy zy xz yz zz Hook sches Gesetz in Tensorschreibweise: C ijkl 1 j kl Spannungstensor Tensor 2. Stufe elastische Tensor Konstanten 4. Stufe Verzerrungstensor Tensor 2. Stufe

29 Verzerrungstensor r r u ' ik 1 u 2 x i k u x k i tensor, d.h. d.h. ein ein Tensor Tensor SS ik xx xy xz xy yy yz xz yz zz Hook sches Gesetz in Tensorschreibweise: C ijkl 1 j kl Spannungstensor Tensor 2. Stufe elastische Tensor Konstanten 4. Stufe Verzerrungstensor Tensor 2. Stufe

Die Härte eines Festkörpers Die Härte gibt den Widerstand eines Körpers beim Eindringen eines anderen an. Ritzverfahren: Der härtere Körper ritzt den anderen.

30 Die Härte eines Festkörpers Die Härte gibt den Widerstand eines Körpers beim Eindringen eines anderen an. Ritzverfahren: Der härtere Körper ritzt den anderen. Mohshärte Härteprüfung in der Technik: Brinellverfahren Die Eindrucktiefe h misst die Brinellhärte. Keine analytischen Beschreibungen mehr! - numerische Verfahren, - finite Elemente Rechnungen

31 Härteskalen Ritzverfahren nach Mohs Härteprüfung nach Brinell A: Eindruckfläche h : Eindrucktiefe A = 1 2 πd ( D D2 d 2 ) H B = F A Def.: Brinell-Härte

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Mechanische Eigenschaften Die mechanischen Eigenschaften von Festkörpern werden im Wesentlichen von folgenden Einflussgrößen bestimmt: Art und Stärke der interatomaren Bindungen Verteilung von Verunreinigungen