Stufe. Schraube. Materialphysik II Prof. Dr. Guido Schmitz Versetzungen

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Stufe. Schraube. Materialphysik II Prof. Dr. Guido Schmitz 05.07.2013. 12.4 Versetzungen"

Transkript

1 12.4 Versetzungen Versetzungen sind linienhafte Störungen des Kristallgitters, die den abgeglittenen Teil eines Kristalls von dem noch nicht abgeglittenen Teil auf einer Gleitebene voneinander trennen. Zwei geometrisch besonders klare Situationen sind in der Abbildung dargestellt. Im oberen Teilbild erfolgt die Verformung in horizontaler Richtung, der vordere Teil der Probe wird nach rechts, der hintere nach links gedrückt. Der Kristall ist auf der Gleitebene erst zur Hälfte eingeschoben, so dass innerhalb des Volumens eine Halbebene zu viel eingebaut wird. Die Versetzungslinie markiert den Rand dieser eingeschobenen Halbebene, sie wird in diesem Fall als Stufenversetzung bezeichnet. Im unteren Teilbild erfolgt die Verformung in vertikaler Richtung, der vordere Teil der Probe wird nach unten, der hintere nach oben gedrückt. Auch hier ist die Verformung erst zur Hälfte abgelaufen. Aufgrund der anderen Geometrie liegen jetzt Versetzungslinie und Verformungsrichtung parallel. Läuft man auf einer horizontalen Gitterebene um die Versetzungslinie herum, so bewegt man sich auf einer Art unendlicher Wendeltreppe. Diese Form der Versetzungslinie wird deshalb eine Schraubenversetzung genannt. (Es wird keine zusätzliche Halbebene eingeschoben!). Die beiden gezeigten Situationen markieren ausgezeichnete Extremfälle. Stufe Schraube Abb. 12.6: Die beiden besonders anschaulichen Typen von Versetzungen und ihre jeweiligen plastischen Verschiebungs- und elastischen Verzerrungsfelder. 1

2 Daneben gibt es beliebige Überlagerungen dieser beiden Fälle, die anschaulich nur schwer vorstellbar sind. Eine von der Anschauung losgelöste, mathematische Definition einer Versetzung gelingt durch den so genannten Burgersumlauf. Wird in einem Bereich des Gitters eine linienhafte Störung erwartet, so geht man in einer geschlossenen Bahn um den vermuteten Defekt herum und zählt die dazu erforderlichen gerichteten Basisschritte auf dem Gitter. Führt man die gleiche Zahl und Richtung dieser Basisschritte in einem ungestörten Vergleichsgitter aus, so ist die Bahn nicht mehr geschlossen. Der Differenzvektor, der zur Schließung des Umlaufs erforderlich ist wird als Burgersvektor ( b ) bezeichnet. Die Versetzungslinie selbst kann man lokal durch das gerichtete Linienelement dl definieren. Die Charakterisierung der beiden Extremtypen von Versetzungen ist jetzt ganz einfach: Falls der Burgersvektor lokal senkrecht zur Linienrichtung der Versetzung steht, b dl, (12.11) handelt es sich um eine Stufenversetzung, falls hingegen b dl, (12.12) um eine Schraubenversetzung. Da bei der Abgleitung die beiden Kristallteile überall um den gleichen Verschiebungsvektor gegeneinander verschoben werden, ist der Burgersvektor entlang einer Versetzungslinie notwendig b = const. (12.13) Daraus folgt unmittelbar, dass gekrümmte Versetzungslinien ihren Typ kontinuierlich ändern und beliebige Zwischenorientierungen mit einem Winkel von b zu dl zwischen 0 90 vorkommen können. Aus dieser grundsätzlichen Beziehung zwischen Abgleitung der Kristallhälften und der Versetzung folgt auch, dass Versetzungen niemals innerhalb des Kristalls einfach enden können. Sie enden an den Oberflächen des Kristalls oder kompensieren sich innerhalb des Kristalls mit anderen Versetzungen in einem Versetzungsknoten. Bewegung einer Versetzung Abb Nach Einführung des Konzepts der Versetzung, können wir jetzt die Abgleitung der Kristallteile und damit die plastische Verformung auch alternativ als Bewegung von Versetzungen in ihrer jeweiligen Gleitebne verstehen. Die dabei wichtigen Zusammenhänge werden wir im Folgenden ableiten. Die Bewegung eines Linienelementes dl der Versetzung um dr, von der gestrichelten Position in Abb zu der durch die durchgezogene Linie gekennzeichneten Endposition, bedeutet ein gegenseitiges Verschieben der 2

3 beiden an der Fläche dl dr angrenzenden Kristallhälften um den Burgersvektor b. Wenn die Verschiebung nicht parallel zur Bildebene erfolgt (d.h. der Burgervektor zeigt aus der Bildebene heraus), kommt es dabei zu einer Volumenänderung der Probe, welche mathematisch ausgedrückt werden kann durch: dv = b dl dr = dr b dl (12.14) Gleitebene Das Kreuzprodukt im letzten Term auf der rechten Seite der Gleichung definiert die Normale einer ausgezeichneten Ebene, die durch Linienelement und Burgersvektor aufgespannt wird. Erfolg die Bewegung der Versetzung innerhalb dieser Ebene, so sprechen wir von Gleiten. Dabei ist die auftretende Volumenänderung null, dv = 0. Man sagt, die Bewegung der Versetzung ist konservativ. Falls das Spatprodukt dv 0, d.h. alle Vektoren b, dl und dr linear unabhängig, spricht man von nicht konservativer Versetzungsbewegung, von Klettern. Folgerungen: - Eine Stufenversetzung besitzt eine ausgezeichnete Gleitebene b dl. - Die Schraubenversetzung hingegen kann auf jeder beliebigen Ebene, die dl enthält, gleiten. - Klettern bedeutet Erzeugung oder Vernichtung von Punktfehlern (Leerstellen, Zwischengitteratome). Anschaulich wird das am Beispiel einer Stufenversetzung klar. Beim Klettern der Stufenversetzung verlängert oder verkürzt sich die eingeschobene Halbebene, was auf atomarer Ebene durch Anlagerung von Atomen bzw. von Leerstellen an den Rand der Ebene geschieht. Abb. 12.7: Verkürzung einer Halbebene durch Anlagerung von Leerstellen. Versetzungen sind das wesentliches Vehikel der plastischen Verformung. Aus dem Abscherwinkel b dα1 l2 und dem Laufweg ds einer Versetzung bezogen auf die Länge l 1 b dl dα 1 des Kristalls multipliziert mit der Gesamtzahl N der Versetzungen lässt sich eine Beziehung zwischen der makroskopischen Verformung und der Versetzungsdichte ρ l 1 l 2 3

4 angeben (Orowan-Beziehung): Materialphysik II Prof. Dr. Guido Schmitz ds b dα1 = N = ρ b ds (12.15) l1 l2 Der makroskopische Abscherwinkel ist proportional zur Dichte der Versetzungen pro Fläche mal ihrer mittleren Lauflänge Kraft auf eine Versetzung Abb. 12.8: Vollständiges Abgleiten der oberen Kristallhälfte nach rechts um den Burgersvektor b. Definition der Kanten wie in der Figur bezeichnet. Aufgrund der Analogie zwischen makroskopischer Verformung und Bewegung von Versetzungen äußert sich die verformende Kraft als eine Kraft die die Bewegung der Versetzungen antreibt. Diese Kraft auf die Versetzung errechnen wir durch eine Energiebilanz: Betrachten wir die geometrische Situation aus Abb Die bei Verschiebung der oberen Kristallhälfte um die Länge eines Burgersvektors b nach rechts geleistete Arbeit ist gegeben durch τ A = l1 l3 b, (12.16) wobeiτ für die Schubspannung in der Gleitebene und l 1 und l 3 für deren geometrische Abmaße stehen. Die geleistete Arbeit kann man aber auch ausdrücken als A = K l3 l1 (12.17) mit K der zunächst unbekannten Kraft auf die Versetzung pro Linienlänge, der Länge der Versetzung l 3 und ihrer Lauflänge l 1 von links nach rechts wie sie bei vollständiger Abgleitung der Kristallhälften um den Burgersvektor b erfolgt. In beiden Betrachtungsweisen muss die geleistete Arbeit gleich sein. Gleichsetzen von Gl. (12.13) und (12.14) liefert konsequenterweise für die Kraft auf die Versetzung K = τ b Peach-Köhler-Kraft (12.18) Geben wir abschließend im Folgenden noch eine allgemeinere, für alle möglichen Kristallorientierungen und Richtungsbeziehung gültige Formulierung der Peach-Köhler-Kraft an. (Dazu benutzen wir einige grundlegende Definitionen aus der Elastizitätstheorie, die bei Interesse in einem klassischen FK-Physikbuch, z.b. Hellwege nachgelesen werden müssen.) Ein doppelter Unterstrich symbolisiert einen Tensor 2. Stufe, d.h. hier eine 3x3 Matrix. Betrachtet wird ein kleines Flächenelement da = ds dr, an dem die Kristallhälften gegeneinander um b verschoben werden. ds ist das Linienelement der Versetzung und dr ihre Verschiebung. Für die Kraft auf das 4

5 Versetzungssegment gilt dann nach allgemeiner linearer Elastizitätstheorie: f = σ da = da σ oder in Komponentenschreibweise: f = σ da = σ da i ij j ij i j i Die geleistete Arbeit ergibt sich als Skalarprodukt aus Kraft auf das Flächenstückchen und seinem Verschiebungsweg b:. dw = ( da σ ) b = da ( σ b ) ds dr ( σ b ) = = ( σ b ) ds dr (Bei Matrix und Vektormultiplikation gilt das Assoziativgesetz, außerdem ist ein Spatprodukt invariant gegen zyklische Permutation). Schließlich ergibt sich die Kraft als Ableitung der Energie nach dem zurückgelegten Versetzungsweg dw K = = ( σ b ) ds (12.19) dr Diese Formel gibt eine richtungsallgemeine Formulierung der Peach-Köhler-Kraft mit dem beliebigen Spannungstensor σ, dem Burgersvektor b und dem Linienelement ds. Wie zuvor bedeutet K hier eine Kraft pro Linienlänge der Versetzung. Übersteigt die so durch das Spannungsfeld erzeugte Kraft eine gewisse kritische Größe, gleitet die Versetzung in der Gleitebene weiter. Um diese kritische Kraft zu erreichen, muss im Gleitsystem eine kritische Schubspannung anliegen. Diese wird als Peierlsspannung bezeichnet. Für diese lässt sich der folgende Zusammenhang ableiten (nicht gezeigt in der Vorlesung): 2G 2π d τ p = exp 1 ν b elastische Eigenschaften Kristallographie, d.h. Geometrie des Gleitsystems (12.20) 5

11.2.4 Der Burgers Vektor

11.2.4 Der Burgers Vektor 174 11. KRISTALLBAUFEHLER Abbildung 11.7: Detailansicht auf atomarer Ebene einer Stufenversetzung. 11.2.4 Der Burgers Vektor Der Burgers Vektor charakterisiert eine Versetzungslinie. Hierzu wird das gestörte

Mehr

Plastische Verformung von LiF-Einkristallen, polykristallinem Kupfer und Stahl

Plastische Verformung von LiF-Einkristallen, polykristallinem Kupfer und Stahl Plastische Verformung von LiF-Einkristallen, polykristallinem Kupfer und Stahl Zulassungsarbeit zum ersten Staatsexamen für das Lehramt an Gymnasien im Bereich Physik durchgeführt am Lehrstuhl für Experimentalphysik

Mehr

Das Verformungsverhalten metallischer Werkstoffe

Das Verformungsverhalten metallischer Werkstoffe σ w in N/mm² Das Verformungsverhalten metallischer Werkstoffe Das Spannungs-Dehnungs-Diagramm Das Spannungs-Dehnungs-Diagramm (Abb.1) beschreibt das makroskopische Veformungsverhalten metallischer Werkstoffe

Mehr

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt - 17 - Die Frage ist hier also: Für welche x R gilt x = x + 1? Das ist eine quadratische Gleichung für x. Es gilt x = x + 1 x x 3 = 0, und man kann quadratische Ergänzung machen:... ( ) ( ) x x + = 3 +

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der

Mehr

Eindimensionale Fehlordnung (Versetzung) Wie lässt sich eine plastische Verformung von mehreren Prozent erzielen?

Eindimensionale Fehlordnung (Versetzung) Wie lässt sich eine plastische Verformung von mehreren Prozent erzielen? Eindimensionale Fehlordnung (Versetzung) Wie lässt sich eine plastische Verformung von mehreren Prozent erzielen? Warum verhält sich unter bestimmten Bedingungen ein duktiler Werkstoff spröde? Warum verändern

Mehr

Physik 1 für Ingenieure

Physik 1 für Ingenieure Physik 1 für Ingenieure Othmar Marti Experimentelle Physik Universität Ulm Othmar.Marti@Physik.Uni-Ulm.de Skript: http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/physing1 Übungsblätter und Lösungen: http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/physing1/ueb/ue#

Mehr

3. Struktur des Festkörpers

3. Struktur des Festkörpers 3. Struktur des Festkörpers 3.1 Kristalline und amorphe Strukturen Amorphe Struktur - Atombindung ist gerichtet - unregelmäßige Anordnung der Atome - keinen exakten Schmelzpunkt, sondern langsames Erweichen,

Mehr

Kapitel 0. Einführung. 0.1 Was ist Computergrafik? 0.2 Anwendungsgebiete

Kapitel 0. Einführung. 0.1 Was ist Computergrafik? 0.2 Anwendungsgebiete Kapitel 0 Einführung 0.1 Was ist Computergrafik? Software, die einen Computer dazu bringt, eine grafische Ausgabe (oder kurz gesagt: Bilder) zu produzieren. Bilder können sein: Fotos, Schaltpläne, Veranschaulichung

Mehr

Vektorgeometrie. 1. Vektoren eingeben, Norm, Skalarprodukt. 2 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Vektoren. , v. und. gegeben.

Vektorgeometrie. 1. Vektoren eingeben, Norm, Skalarprodukt. 2 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Vektoren. , v. und. gegeben. Vektorgeometrie 1. Vektoren eingeben, Norm, Skalarprodukt 2 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Vektoren u 14, 5 11 10 v 2 und w 5 gegeben. 10 10 a) Zeigen Sie, dass die Vektoren einen Würfel

Mehr

Grenzflächen-Phänomene

Grenzflächen-Phänomene Grenzflächen-Phänomene Oberflächenspannung Betrachtet: Grenzfläche Flüssigkeit-Gas Kräfte Fl Fl grösser als Fl Gas im Inneren der Flüssigkeit: kräftefrei an der Oberfläche: resultierende Kraft ins Innere

Mehr

Gitterherstellung und Polarisation

Gitterherstellung und Polarisation Versuch 1: Gitterherstellung und Polarisation Bei diesem Versuch wollen wir untersuchen wie man durch Überlagerung von zwei ebenen Wellen Gttterstrukturen erzeugen kann. Im zweiten Teil wird die Sichtbarkeit

Mehr

Grundlagen der Elektrotechnik 1

Grundlagen der Elektrotechnik 1 Grundlagen der Elektrotechnik 1 Kapitel 5: Elektrisches Strömungsfeld 5 Elektrisches Strömungsfeld 5.1 Definition des Feldbegriffs 5. Das elektrische Strömungsfeld 3 5..1 Strömungsfeld in einer zylindrischen

Mehr

Analytische Geometrie mit dem Voyage 1

Analytische Geometrie mit dem Voyage 1 Analytische Geometrie mit dem Voyage. Vektoren Vektoren lassen sich definieren in eckigen Klammern. Setzt man ein Semikolon zwischen die einzelnen Komponenten, so ergibt sich ein Spaltenvektor. Ein Spaltenvektor

Mehr

& sind die Vektorkomponenten von und sind die Vektorkoordinaten von. A x. a) Der Betrag eines Vektors

& sind die Vektorkomponenten von und sind die Vektorkoordinaten von. A x. a) Der Betrag eines Vektors Einführu hnung Was ist ein Vektor? In Bereichen der Naturwissenschaften treten Größen auf, die nicht nur durch eine Zahlenangabe dargestellt werden können, wie Kraft oder Geschwindigkeit. Zur vollständigen

Mehr

Vektoralgebra Anwendungen der Vektorrechnung VEKTORRECHNUNG. Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet. Hochschule Esslingen 1/64

Vektoralgebra Anwendungen der Vektorrechnung VEKTORRECHNUNG. Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet. Hochschule Esslingen 1/64 1/64 VEKTORRECHNUNG Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Hochschule Esslingen März 2011 2/64 Overview Vektoralgebra 1 Vektoralgebra 2 Was sind Vektoren? 3/64 Vektoren werden geometrisch definiert als Pfeilklassen:

Mehr

Positronenspektroskopie an plastischen Zonen in Al-Legierungen und GaAs-Wafern

Positronenspektroskopie an plastischen Zonen in Al-Legierungen und GaAs-Wafern Positronenspektroskopie an plastischen Zonen in Al-Legierungen und GaAs-Wafern Dissertation zur Erlangung des Doktorgrades (Dr. rer. nat.) der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät der Rheinischen

Mehr

4 Vorlesung: 21.11. 2005 Matrix und Determinante

4 Vorlesung: 21.11. 2005 Matrix und Determinante 4 Vorlesung: 2111 2005 Matrix und Determinante 41 Matrix und Determinante Zur Lösung von m Gleichungen mit n Unbekannten kann man alle Parameter der Gleichungen in einem rechteckigen Zahlenschema, einer

Mehr

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Aufgabe 35: Thema: Singulärwertzerlegung und assoziierte Unterräume Sei A eine m n Matrix mit Rang r und A = UDV T ihre Singulärwertzerlegung.

Mehr

Länge, Skalarprodukt, Vektorprodukt

Länge, Skalarprodukt, Vektorprodukt Länge, Skalarprodukt, Vektorprodukt Jörn Loviscach Versionsstand: 20. April 2009, 19:39 1 Überblick Ein Vektorraum muss nur eine Minimalausstattung an Rechenoperationen besitzen: die Addition zweier Vektoren

Mehr

Zusammenfassung Mathe III. Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (ean) 1. Rechenregeln mit Vektoren

Zusammenfassung Mathe III. Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (ean) 1. Rechenregeln mit Vektoren Zusammenfassung Mathe III Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (ean) 1. Rechenregeln mit Vektoren Definition: (1) anschaulich: Ein Vektor ist eine direkt gerichtete Verbindung zweier

Mehr

Definition: Euklidischer Raum mit Skalarprodukt. Die kanonische Basis von Einheitsvektoren sind paarweise orthogonal zueinander:

Definition: Euklidischer Raum mit Skalarprodukt. Die kanonische Basis von Einheitsvektoren sind paarweise orthogonal zueinander: Definition: Euklidischer Raum mit Skalarprodukt Einsteinsche Summenkonvention (ES): über doppelt vorkommende Indizes wird summiert. Die kanonische Basis von Einheitsvektoren sind paarweise orthogonal zueinander:

Mehr

Mechanische Spannung und Elastizität

Mechanische Spannung und Elastizität Mechanische Spannung und Elastizität Wirken unterschiedliche Kräfte auf einen ausgedehnten Körper an unterschiedlichen Orten, dann erfährt der Körper eine mechanische Spannung. F 1 F Wir definieren die

Mehr

VIII.1.4 Magnetisches Feld induziert durch einfache Ladungsströme

VIII.1.4 Magnetisches Feld induziert durch einfache Ladungsströme V. Grundbegriffe und -ergebnisse der Magnetostatik 5 V..4 Magnetisches Feld induziert durch einfache Ladungsströme m Fall eines Ladungsstroms durch einen dünnen Draht vereinfacht sich das ntegral im Biot

Mehr

Serie 10: Inverse Matrix und Determinante

Serie 10: Inverse Matrix und Determinante D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 5 Dr Ana Cannas Serie 0: Inverse Matrix und Determinante Bemerkung: Die Aufgaben dieser Serie bilden den Fokus der Übungsgruppen vom und 5 November Gegeben sind die

Mehr

1 Arbeit und Energie. ~ F d~r: (1) W 1!2 = ~ F ~s = Beispiel für die Berechnung eines Wegintegrals:

1 Arbeit und Energie. ~ F d~r: (1) W 1!2 = ~ F ~s = Beispiel für die Berechnung eines Wegintegrals: 1 Arbeit und Energie Von Arbeit sprechen wir, wenn eine Kraft ~ F auf einen Körper entlang eines Weges ~s einwirkt und dadurch der "Energieinhalt" des Körpers verändert wird. Die Arbeit ist de niert als

Mehr

Grundsätzliches Produkte Anwendungen in der Geometrie. Vektorrechnung. Fakultät Grundlagen. Juli 2015

Grundsätzliches Produkte Anwendungen in der Geometrie. Vektorrechnung. Fakultät Grundlagen. Juli 2015 Vektorrechnung Fakultät Grundlagen Juli 205 Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Übersicht Grundsätzliches Grundsätzliches Vektorbegriff Algebraisierung der Vektorrechnung Betrag 2 Skalarprodukt Vektorprodukt

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Eines der am häufigsten auftretenden Standardprobleme der angewandten Mathematik ist das Lösen linearer Gleichungssysteme, etwa zur Netzwerkberechnung in der Elektrotechnik oder

Mehr

Das Skalarprodukt zweier Vektoren

Das Skalarprodukt zweier Vektoren Beim Skalarprodukt zweier Vektoren werden die Vektoren so multipliziert, dass sich ein Skalar eine Zahl ergibt. Die Berechnung des Skalarproduktes ist ziemlich einfach, aber die weiteren Eigenschaften

Mehr

u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u.

u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u. Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Prof. Dr. C. Hesse PD Dr. P. H. Lesky Dipl. Math. D. Zimmermann Msc. J. Köllner FAQ 3 Höhere Mathematik I 4..03 el, kyb, mecha, phys Vektorräume Vektorräume

Mehr

5. Arbeit und Energie

5. Arbeit und Energie Inhalt 5.1 Arbeit 5.2 Konservative Kräfte 5.3 Potentielle Energie 5.4 Kinetische Energie 5.1 Arbeit 5.1 Arbeit Konzept der Arbeit führt zur Energieerhaltung. 5.1 Arbeit Wird Masse m mit einer Kraft F von

Mehr

Das Werkzeug Verschieben/Kopieren wird über die Symbolleiste oder im Pull-Down-Menü Tools > Verschieben aktiviert.

Das Werkzeug Verschieben/Kopieren wird über die Symbolleiste oder im Pull-Down-Menü Tools > Verschieben aktiviert. Verschieben/Kopieren-Werkzeug 95 Die Änderungswerkzeuge In den Kapiteln zuvor haben Sie gelernt, wie Sie mit den Zeichnen-Werkzeugen die in SketchUp vorhandenen Grundformen (Rechteck, Kreis, Bogen, Linie

Mehr

00. Einiges zum Vektorraum R n

00. Einiges zum Vektorraum R n 00. Einiges zum Vektorraum R n In diesem einleitenden Kapitel werden die in der LV Einführung in die mathematischen Methoden erwähnten Konzepte über Vektoren (im R 2 und R 3 ) im Rahmen des n-dimensionalen

Mehr

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 $Id: jordan.tex,v.6 /6/7 8:5:3 hk Exp hk $ 5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform 5.4 Die Jordansche Normalform Wir hatten bereits erwähnt, dass eine n n

Mehr

Graphen: Einführung. Vorlesung Mathematische Strukturen. Sommersemester 2011

Graphen: Einführung. Vorlesung Mathematische Strukturen. Sommersemester 2011 Graphen: Einführung Vorlesung Mathematische Strukturen Zum Ende der Vorlesung beschäftigen wir uns mit Graphen. Graphen sind netzartige Strukturen, bestehend aus Knoten und Kanten. Sommersemester 20 Prof.

Mehr

In ein quadratisches Blech werden Löcher gestanzt. Insgesamt sind es 85 Löcher. Wie viele Löcher sind in der untersten Reihe?

In ein quadratisches Blech werden Löcher gestanzt. Insgesamt sind es 85 Löcher. Wie viele Löcher sind in der untersten Reihe? Aufgabe 1: Das Stanzblech: Löcher In ein quadratisches Blech werden Löcher gestanzt. Insgesamt sind es 85 Löcher. Wie viele Löcher sind in der untersten Reihe? Bei dieser Aufgabe kann rückwärts gearbeitet

Mehr

11. Vorlesung Wintersemester

11. Vorlesung Wintersemester 11. Vorlesung Wintersemester 1 Ableitungen vektorieller Felder Mit Resultat Skalar: die Divergenz diva = A = A + A y y + A z z (1) Mit Resultat Vektor: die Rotation (engl. curl): ( rota = A Az = y A y

Mehr

Analytische Geometrie - Schnittwinkel. u 1, u 2 Richtungsvektoren der Geraden

Analytische Geometrie - Schnittwinkel. u 1, u 2 Richtungsvektoren der Geraden Analytische Geometrie - Schnittwinkel. Möglichkeiten und Formeln Gerade / Gerade: cos( ) = u u 2 u u 2 Gerade / Ebene: sin( ) = n u n u Ebene / Ebene: cos( ) = n n 2 n n 2 u, u 2 Richtungsvektoren der

Mehr

254 15. ORDNUNG UND UNORDNUNG

254 15. ORDNUNG UND UNORDNUNG 54 15. ORDNUNG UND UNORDNUNG 15.4 Ordnungsdomänen Da die verschiedenen Untergitter im llgemeinen gleichwertig sind, können die - oder B-tome bei einer an verschiedenen Stellen beginnenden Keimbildung das

Mehr

3. Akustische Energie und Intensität

3. Akustische Energie und Intensität Aus der Energiebilanz lässt sich durch Berücksichtigung von Gliedern zweiter Ordnung eine Bilanzgleichung für die akustische Energie gewinnen. Etwas einfacher kann diese Energiegleichung aus der linearisierten

Mehr

Polarisation des Lichts

Polarisation des Lichts PeP Vom Kerzenlicht zum Laser Versuchsanleitung Versuch 4: Polarisation des Lichts Polarisation des Lichts Themenkomplex I: Polarisation und Reflexion Theoretische Grundlagen 1.Polarisation und Reflexion

Mehr

Wasserstoffeinlagerung an Ermüdungsrissen der Aluminiumlegierung 6013 unter korrosiver Umgebung

Wasserstoffeinlagerung an Ermüdungsrissen der Aluminiumlegierung 6013 unter korrosiver Umgebung Wasserstoffeinlagerung an Ermüdungsrissen der Aluminiumlegierung 6013 unter korrosiver Umgebung Dissertation zur Erlangung des Doktorgrades (Dr. rer. nat.) der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät

Mehr

5. Wie bringt man einen Vektor auf eine gewünschte Länge? Zuerst bringt man ihn auf die Länge 1, dann multipliziert man mit der gewünschten Länge.

5. Wie bringt man einen Vektor auf eine gewünschte Länge? Zuerst bringt man ihn auf die Länge 1, dann multipliziert man mit der gewünschten Länge. 1. Definition von drei Vektoren sind l.u. 2. Wie überprüft man 3 Vektoren mit Hilfe eines LGS auf lineare Unabhängigkeit? 3. Definition von Basis?... wenn sich der Nullvektor nur als triviale LK darstellen

Mehr

Kennen, können, beherrschen lernen was gebraucht wird www.doelle-web.de

Kennen, können, beherrschen lernen was gebraucht wird www.doelle-web.de Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis... 1 Vollfarben-Muster... 2 Die Eigenschaftsleiste INTERAKTIVE MUSTERFÜLLUNG... 2 Eigene Muster... 3 Fraktale Füllmuster... 3 Füllmuster speichern... 4 Das Hilfsmittel

Mehr

Kriechfestigkeit: Der Einfluss der Werkstoffauswahl und des Gefüges anhand von Beispielen

Kriechfestigkeit: Der Einfluss der Werkstoffauswahl und des Gefüges anhand von Beispielen Kriechfestigkeit: Der Einfluss der Werkstoffauswahl und des Gefüges anhand von Beispielen Tobias Bollhorst Frank Gansert 13.07.2009 Tobias Bollhorst, Frank Gansert () Kriechfestigkeit 13.07.2009 1 / 17

Mehr

Charakteristikenmethode im Beispiel

Charakteristikenmethode im Beispiel Charakteristikenmethode im Wir betrachten die PDE in drei Variablen xu x + yu y + (x + y )u z = 0. Das charakteristische System lautet dann ẋ = x ẏ = y ż = x + y und besitzt die allgemeine Lösung x(t)

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Sei K ein Körper, a ij K für 1 i m, 1 j n. Weiters seien b 1,..., b m K. Dann heißt a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2... a m1

Mehr

Vektorprodukt. Institut für Mathematik Humboldt-Universität zu Berlin & &

Vektorprodukt. Institut für Mathematik Humboldt-Universität zu Berlin & & Vektorprodukt Institut für Mathematik Humboldt-Universität zu Berlin 18.02.2004 & 17.02.2005 & 11.07.2005 zu den Vorlesungen Lineare Algebra und analytische Geometrie I (L) im WS 2003/2004, Mathematik

Mehr

Achim Rosch, Institut für Theoretische Physik, Köln. Belegt das Gutachten wesentliche fachliche Fehler im KPK?

Achim Rosch, Institut für Theoretische Physik, Köln. Belegt das Gutachten wesentliche fachliche Fehler im KPK? Impulsstrom Achim Rosch, Institut für Theoretische Physik, Köln zwei Fragen: Belegt das Gutachten wesentliche fachliche Fehler im KPK? Gibt es im Gutachten selbst wesentliche fachliche Fehler? andere wichtige

Mehr

Vektorgeometrie - Teil 1

Vektorgeometrie - Teil 1 Vektorgeometrie - Teil 1 MNprofil - Mittelstufe KZN Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch Name: Vorname: 14. März 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung & die analytische Darstellung der

Mehr

Vektoren. Kapitel 3. 3.1 Skalare, Vektoren, Tensoren. 3.2 Vektoren

Vektoren. Kapitel 3. 3.1 Skalare, Vektoren, Tensoren. 3.2 Vektoren Kapitel 3 Vektoren 31 Skalare, Vektoren, Tensoren Viele physikalische Größen lassen sich bei bekannter Maßeinheit durch Angabe ihres Betrages als reelle Zahl vollständig angeben Solche Größen nennt man

Mehr

Übungen zur Vorlesung. Verformungsverhalten technischer Werkstoffe

Übungen zur Vorlesung. Verformungsverhalten technischer Werkstoffe Institut für Werkstofftechnik Lehrstuhl für Materialkunde und Werkstoffprüfung Prof. Dr.-Ing. Hans-Jürgen Christ Übungen zur Vorlesung Verformungsverhalten technischer Werkstoffe Aufgabe 1: Dargestellt

Mehr

Grundlagen der Monte Carlo Simulation

Grundlagen der Monte Carlo Simulation Grundlagen der Monte Carlo Simulation 10. Dezember 2003 Peter Hofmann Inhaltsverzeichnis 1 Monte Carlo Simulation.................... 2 1.1 Problemstellung.................... 2 1.2 Lösung durch Monte

Mehr

6 Allgemeine Theorie des elektromagnetischen Feldes im Vakuum

6 Allgemeine Theorie des elektromagnetischen Feldes im Vakuum 6 ALLGEMEINE THEORIE DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES IM VAKUUM 25 Vorlesung 060503 6 Allgemeine Theorie des elektromagnetischen Feldes im Vakuum 6.1 Grundaufgabe der Elektrodynamik Gegeben: Ladungsdichte

Mehr

T-Shirts mit Ornamenten

T-Shirts mit Ornamenten T-Shirts mit Ornamenten (Christian Liedl) Ziel ist es möglichst schicke T-Shirts durch ein eigenes Ornament zu verzieren. Dazu benötigen wir ein T-Shirt, eine T-Shirt Transferfolie zum Bedrucken und Aufbügeln,

Mehr

Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme

Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Wir befassen uns nun mit der Lösung im allgemeinen nichthomogener linearer Gleichungssysteme in zweifacher Hinsicht. Wir studieren

Mehr

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 25. April 2016 Die Dimensionsformel Definition 3.9 Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen. Der Kern

Mehr

Arbeit, Energie, Leistung. 8 Arbeit, Energie, Leistung 2009 1

Arbeit, Energie, Leistung. 8 Arbeit, Energie, Leistung 2009 1 Arbeit, Energie, Leistung 8 Arbeit, Energie, Leistung 2009 1 Begriffe Arbeit, Energie, Leistung von Joule, Mayer und Lord Kelvin erst im 19. Jahrhundert eingeführt! (100 Jahre nach Newton s Bewegungsgesetzen)

Mehr

Mechanik der Kontinua Guido Schmitz, 15.02.02

Mechanik der Kontinua Guido Schmitz, 15.02.02 Mechani der Kontinua Guido Schmitz, 15.0.0 4.10 Smart Materials Bisher hatten wir die Verformung von ondensierter Materie ausschließlich als Antwort auf äußere mechanische Kräfte disutiert. Es gibt edoch

Mehr

Aufgabe S 1 (4 Punkte)

Aufgabe S 1 (4 Punkte) Aufgabe S 1 (4 Punkte) In einem regelmäßigen Achteck wird das Dreieck ABC betrachtet, wobei C der Mittelpunkt der Seite ist, die der Seite AB gegenüberliegt Welchen Anteil am Flächeninhalt des Achtecks

Mehr

JAHRESPRÜFUNG MATHEMATIK. 1. Klassen Kantonschule Reussbühl Luzern. 27. Mai 2014 Zeit: 13:10 14:40 (90 Minuten)

JAHRESPRÜFUNG MATHEMATIK. 1. Klassen Kantonschule Reussbühl Luzern. 27. Mai 2014 Zeit: 13:10 14:40 (90 Minuten) KLASSE: NAME: VORNAME: Mögliche Punktzahl: 51 48 Pte. = Note 6 Erreichte Punktzahl: Note: JAHRESPRÜFUNG MATHEMATIK 1. Klassen Kantonschule Reussbühl Luzern 7. Mai 014 Zeit: 1:10 14:40 (90 Minuten) Allgemeines

Mehr

Einführung in die Kristallographie

Einführung in die Kristallographie Einführung in die Kristallographie Gerhard Heide Institut für Mineralogie Professur für Allgemeine und Angewandte Mineralogie Brennhausgasse 14 03731-39-2665 oder -2628 gerhard.heide@mineral.tu-freiberg.de

Mehr

Wiederholungsblatt Elementargeometrie LÖSUNGSSKIZZE

Wiederholungsblatt Elementargeometrie LÖSUNGSSKIZZE Wiederholungsblatt Elementargeometrie im SS 01 bei Prof. Dr. S. Goette LÖSUNGSSKIZZE Die Lösungen unten enthalten teilweise keine vollständigen Rechnungen. Es sind aber alle wichtigen Zwischenergebnisse

Mehr

Trägheit, Masse, Kraft Eine systematische Grundlegung der Dynamik

Trägheit, Masse, Kraft Eine systematische Grundlegung der Dynamik Trägheit, Masse, Kraft Eine systematische Grundlegung der Dynamik Die grundlegenden Gesetze der Physik sind Verallgemeinerungen (manchmal auch Extrapolationen) von hinreichend häufigen und zuverlässigen

Mehr

Lernmaterialblatt Mathematik. Vektorrechnung eine Einführung. Anwendung Mathematik I. Einleitung:

Lernmaterialblatt Mathematik. Vektorrechnung eine Einführung. Anwendung Mathematik I. Einleitung: Vektorrechnung eine Einführung Einleitung: Um beispielsweise das Dreieck ABC in der Abbildung an die Position A'B'C' zu verschieben, muss jeder Punkt um sieben Einheiten nach rechts und drei nach oben

Mehr

B H 0 H definieren, die somit die Antwort des Ordnungsparameters auf eine Variation der dazu konjugierten

B H 0 H definieren, die somit die Antwort des Ordnungsparameters auf eine Variation der dazu konjugierten In Anwesenheit eines äußeren magnetischen Felds B entsteht in der paramagnetischen Phase eine induzierte Magnetisierung M. In der ferromagnetischen Phase führt B zu einer Verschiebung der Magnetisierung

Mehr

Lehrskript Mathematik Q12 Analytische Geometrie

Lehrskript Mathematik Q12 Analytische Geometrie Lehrskript Mathematik Q1 Analytische Geometrie Repetitorium der analytischen Geometrie Eine Zusammenfassung der analytischen Geometrie an bayerischen Gymnasien von Markus Baur, StR Werdenfels-Gymnasium

Mehr

Kristallstruktur der Metalle

Kristallstruktur der Metalle Bedeutung Metallische Werkstoffe sind in der Regel kristallin aufgebaut. Die vorliegende Kristallstruktur hat einen erheblichen Einfluss auf die Eigenschaften des Werkstoffs, wie z.b. die Festigkeit, Verformbarkeit,

Mehr

6 Conways Chequerboard-Armee

6 Conways Chequerboard-Armee 6 Conways Chequerboard-Armee Spiele gehören zu den interessantesten Schöpfungen des menschlichen Geistes und die Analyse ihrer Struktur ist voller Abenteuer und Überraschungen. James R. Newman Es ist sehr

Mehr

1. Methode der Finiten Elemente

1. Methode der Finiten Elemente 1. Methode der Finiten Elemente 1.1 Innenraumprobleme 1.2 Außenraumprobleme 1.3 Analysen 1.4 Bewertung Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-1 1.1 Innenraumprobleme 1.1.1 Schwache Formulierung

Mehr

2.3. Das Vektorprodukt

2.3. Das Vektorprodukt 2.3. Das Vektorprodukt In sehr vielen mathematischen und physikalisch-technischen Problemstellungen geht es darum, zu einer gegebenen Fläche deren Inhalt und auf ihr senkrecht stehende Vektoren zu bestimmen.

Mehr

Satz v. Gauß: Volumenintegral der Divergenz = Flussintegral über Fläche. suggestive Notation. "Ausfluss pro Volumenelement"

Satz v. Gauß: Volumenintegral der Divergenz = Flussintegral über Fläche. suggestive Notation. Ausfluss pro Volumenelement Zusammenfassung: Satz v. Gauß Satz v. Gauß: Volumenintegral der Divergenz = Flussintegral über Fläche Volumen Rand des Volumens = Oberfläche Symbolisch: suggestive Notation Geometrische Definition der

Mehr

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Übungsbuch für die optimale Vorbereitung in Analysis, Geometrie und Stochastik mit verständlichen Lösungen

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Übungsbuch für die optimale Vorbereitung in Analysis, Geometrie und Stochastik mit verständlichen Lösungen H. Gruber, R. Neumann Erfolg im Mathe-Abi Übungsbuch für die optimale Vorbereitung in Analysis, Geometrie und Stochastik mit verständlichen Lösungen Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Analysis Von der

Mehr

Füllstand eines Behälters

Füllstand eines Behälters Füllstand eines Behälters Der Behälter ist eines der häufigsten Apparate in der chemischen Industrie zur Aufbewahrung von Flüssigkeiten. Dabei ist die Kenntnis das Gesamtvolumens als auch des Füllvolumens

Mehr

Einführung in die Tensorrechnung

Einführung in die Tensorrechnung 1. Definition eines Tensors Tensoren sind Grössen, mit deren Hilfe man Skalare, Vektoren und weitere Grössen analoger Struktur in ein einheitliches Schema zur Beschreibung mathematischer und physikalischer

Mehr

Animation ist das Erzeugen von Filmen mit Hilfe der Computergrafik. Objekte bewegen sich hierbei oder Beleuchtung, Augpunkt, Form,... ändern sich.

Animation ist das Erzeugen von Filmen mit Hilfe der Computergrafik. Objekte bewegen sich hierbei oder Beleuchtung, Augpunkt, Form,... ändern sich. Kapitel 1 Animation (Belebung) Animation ist das Erzeugen von Filmen mit Hilfe der Computergrafik. Objekte bewegen sich hierbei oder Beleuchtung, Augpunkt, Form,... ändern sich. Anwendungen findet die

Mehr

3 Elektrische Leitung

3 Elektrische Leitung 3.1 Strom und Ladungserhaltung 3 Elektrische Leitung 3.1 Strom und Ladungserhaltung Elektrischer Strom wird durch die Bewegung von Ladungsträgern hervorgerufen. Er ist definiert über die Änderung der Ladung

Mehr

Lineare Algebra - alles was man wissen muß

Lineare Algebra - alles was man wissen muß Statistik für Bioinformatiker SoSe 3 Rainer Spang Lineare Algebra - alles was man wissen muß Der Titel ist natürlich gelogen, aber was wir hier zusammengetragen haben ist zumindest ein Anfang. Weniger

Mehr

2.3. Vektorprodukt und Spatprodukt

2.3. Vektorprodukt und Spatprodukt .3. Vektorprodukt und Spatprodukt Das Vektorprodukt In sehr vielen mathematischen und physikalisch-technischen Problemstellungen geht es darum, zu einer gegebenen Fläche deren Inhalt und auf ihr senkrecht

Mehr

Formel X Leistungskurs Physik 2005/2006

Formel X Leistungskurs Physik 2005/2006 System: Wir betrachten ein Fluid (Bild, Gas oder Flüssigkeit), das sich in einem Zylinder befindet, der durch einen Kolben verschlossen ist. In der Thermodynamik bezeichnet man den Gegenstand der Betrachtung

Mehr

1.4 Gradient, Divergenz und Rotation

1.4 Gradient, Divergenz und Rotation .4 Gradient, Divergenz und Rotation 5.4 Gradient, Divergenz und Rotation Die Begriffe Gradient, Divergenz und Rotation erfordern die partiellen Ableitung aus Abschnitt.. sowie das Konzept des Differentialoperators.

Mehr

Computer Vision: 3D-Geometrie. D. Schlesinger () Computer Vision: 3D-Geometrie 1 / 17

Computer Vision: 3D-Geometrie. D. Schlesinger () Computer Vision: 3D-Geometrie 1 / 17 Computer Vision: 3D-Geometrie D. Schlesinger () Computer Vision: 3D-Geometrie 1 / 17 Lochkamera Modell C Projektionszentrum, Optische Achse, Bildebene, P Hauptpunkt (optische Achse kreuzt die Bildebene),

Mehr

www.mathe-aufgaben.com

www.mathe-aufgaben.com Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit sin() f() =. Aufgabe : ( VP) Berechnen Sie das Integral ( )

Mehr

Mathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 5

Mathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 5 Mathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 5 Prof. Dr. Norbert Pietralla/Sommersemester 2012 c.v.meister@skmail.ikp.physik.tu-darmstadt.de Aufgabe 1: Berechnen Sie den Abstand d der Punkte P 1 und

Mehr

6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen

6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag. $Id: quadrat.tex,v.5 9//5 ::59 hk Exp $ $Id: orthogonal.tex,v.4 9// ::54 hk Exp $ $Id: fourier.tex,v. 9// :: hk Exp $ Symmetrische Matrizen und quadratische

Mehr

V 2 B, C, D Drinks. Möglicher Lösungsweg a) Gleichungssystem: 300x + 400 y = 520 300x + 500y = 597,5 2x3 Matrix: Energydrink 0,7 Mineralwasser 0,775,

V 2 B, C, D Drinks. Möglicher Lösungsweg a) Gleichungssystem: 300x + 400 y = 520 300x + 500y = 597,5 2x3 Matrix: Energydrink 0,7 Mineralwasser 0,775, Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang V B, C, D Drinks Ein gastronomischer Betrieb kauft 300 Dosen Energydrinks (0,3 l) und 400 Liter Flaschen Mineralwasser und zahlt dafür 50, Euro. Einen

Mehr

Demo: Mathe-CD. Vektorrechnung. Vektorprodukt. Teil 1. Einführung INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK.

Demo: Mathe-CD. Vektorrechnung. Vektorprodukt. Teil 1. Einführung INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. Vektorrechnung Vektorprodukt Teil Einführung Datei 66 Stand 6. Juli 2009 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK Inhalt Datei 66 Einführung des Vektorprodukts Datei 662. Vorbemerkungen.2 Das wichtigste

Mehr

Analytische Geometrie Seite 1 von 6. Die Addition von Vektoren kann veranschaulicht werden durch das Aneinanderhängen von Pfeilen.

Analytische Geometrie Seite 1 von 6. Die Addition von Vektoren kann veranschaulicht werden durch das Aneinanderhängen von Pfeilen. Analytische Geometrie Seite 1 von 6 1. Wichtige Formeln AB bezeichnet den Vektor, der die Verschiebung beschreibt, durch die der Punkt A auf den Punkt B verschoben wird. Der Vektor, durch den die Verschiebung

Mehr

Anwendungsbeispiel Strahlensatz

Anwendungsbeispiel Strahlensatz Anwendungsbeispiel Strahlensatz L5 Das berühmteste Beispiel der Proportionalität ist der Strahlensatz aus der Geometrie (siehe dazu auch Geometrie). Hier noch einmal die Hauptsätze des Strahlensatzes:

Mehr

Bildverarbeitung Herbstsemester 2012. Kanten und Ecken

Bildverarbeitung Herbstsemester 2012. Kanten und Ecken Bildverarbeitung Herbstsemester 01 Kanten und Ecken 1 Inhalt Einführung Kantendetektierung Gradientenbasierende Verfahren Verfahren basierend auf der zweiten Ableitung Eckpunkterkennung Harris Corner Detector

Mehr

Arbeit und Energie. Brückenkurs, 4. Tag

Arbeit und Energie. Brückenkurs, 4. Tag Arbeit und Energie Brückenkurs, 4. Tag Worum geht s? Tricks für einfachere Problemlösung Arbeit Skalarprodukt von Vektoren Leistung Kinetische Energie Potentielle Energie 24.09.2014 Brückenkurs Physik:

Mehr

Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen

Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung Matrizen Definition einer Matrix Unter einer (reellen) m x n Matrix A versteht man ein rechteckiges Schema aus reellen Zahlen, die wie folgt angeordnet sind:

Mehr

Installation. Arbeiten mit der MATLAB-Entwicklungsumgebung. MATLAB als Taschenrechner mit Matrix- und Vektorrechnung.

Installation. Arbeiten mit der MATLAB-Entwicklungsumgebung. MATLAB als Taschenrechner mit Matrix- und Vektorrechnung. Installation. Arbeiten mit der MATLAB-Entwicklungsumgebung. MATLAB als Taschenrechner mit Matrix- und Vektorrechnung. Die heutige Sitzung dient dem ersten Kennenlernen von MATLAB. Wir wollen MATLAB zuerst

Mehr

1.9 Eigenwerte und Eigenvektoren

1.9 Eigenwerte und Eigenvektoren .9. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 0.9 Eigenwerte und Eigenvektoren Alles in diesem Abschnitt bezieht sich auf quadratische reelle oder komplexe n n-matrizen. Statt E n (n n-einheitsmatrix) wird kurz E geschrieben..

Mehr

Gewöhnliche Differentialgleichungen Aufgaben, Teil 1

Gewöhnliche Differentialgleichungen Aufgaben, Teil 1 Gewöhnliche Differentialgleichungen Aufgaben, Teil 1 4-E1 4-E2 4-E3 Gewöhnliche Differentialgleichung: Aufgaben Bestimmen Sie allgemeine und spezielle Lösungen der folgenden Differentialgleichungen Aufgabe

Mehr

Das Mathematikabitur. Abiturvorbereitung Geometrie. Autor: Claus Deser Abiturvorbereitung Mathematik 1

Das Mathematikabitur. Abiturvorbereitung Geometrie. Autor: Claus Deser Abiturvorbereitung Mathematik 1 Das Mathematikabitur Abiturvorbereitung Geometrie Autor: Claus Deser Abiturvorbereitung Mathematik 1 Gliederung Was sind Vektoren/ ein Vektorraum? Wie misst man Abstände und Winkel? Welche geometrischen

Mehr

Grundregeln der Perspektive und ihre elementargeometrische Herleitung

Grundregeln der Perspektive und ihre elementargeometrische Herleitung Vortrag zu Mathematik, Geometrie und Perspektive von Prof. Dr. Bodo Pareigis am 15.10.2007 im Vorlesungszyklus Naturwissenschaften und Mathematische Wissenschaften im Rahmen des Seniorenstudiums der LMU.

Mehr

Hydrostatik auch genannt: Mechanik der ruhenden Flüssigkeiten

Hydrostatik auch genannt: Mechanik der ruhenden Flüssigkeiten Hydrostatik auch genannt: Mechanik der ruhenden Flüssigkeiten An dieser Stelle müssen wir dringend eine neue physikalische Größe kennenlernen: den Druck. SI Einheit : Druck = Kraft Fläche p = F A 1 Pascal

Mehr

Zerstörungsfreie Abschätzung der Restlebensdauer metallischer Werkstoffe

Zerstörungsfreie Abschätzung der Restlebensdauer metallischer Werkstoffe Zerstörungsfreie Abschätzung der Restlebensdauer metallischer Werkstoffe Dissertation zur Erlangung des Doktorgrades (Dr. rer. nat.) der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät der Rheinischen Friedrich-Wilhelms-Universität

Mehr

Vektoren - Basiswechsel

Vektoren - Basiswechsel Vektoren - Basiswechsel Grundprinzip Für rein geometrische Anwendungen verwendet man üblicherweise die Standardbasis. Damit ergibt sich in den Zahlenangaben der Koordinaten kein Unterschied zu einem Bezug

Mehr