Stufe. Schraube. Materialphysik II Prof. Dr. Guido Schmitz Versetzungen

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1 12.4 Versetzungen Versetzungen sind linienhafte Störungen des Kristallgitters, die den abgeglittenen Teil eines Kristalls von dem noch nicht abgeglittenen Teil auf einer Gleitebene voneinander trennen. Zwei geometrisch besonders klare Situationen sind in der Abbildung dargestellt. Im oberen Teilbild erfolgt die Verformung in horizontaler Richtung, der vordere Teil der Probe wird nach rechts, der hintere nach links gedrückt. Der Kristall ist auf der Gleitebene erst zur Hälfte eingeschoben, so dass innerhalb des Volumens eine Halbebene zu viel eingebaut wird. Die Versetzungslinie markiert den Rand dieser eingeschobenen Halbebene, sie wird in diesem Fall als Stufenversetzung bezeichnet. Im unteren Teilbild erfolgt die Verformung in vertikaler Richtung, der vordere Teil der Probe wird nach unten, der hintere nach oben gedrückt. Auch hier ist die Verformung erst zur Hälfte abgelaufen. Aufgrund der anderen Geometrie liegen jetzt Versetzungslinie und Verformungsrichtung parallel. Läuft man auf einer horizontalen Gitterebene um die Versetzungslinie herum, so bewegt man sich auf einer Art unendlicher Wendeltreppe. Diese Form der Versetzungslinie wird deshalb eine Schraubenversetzung genannt. (Es wird keine zusätzliche Halbebene eingeschoben!). Die beiden gezeigten Situationen markieren ausgezeichnete Extremfälle. Stufe Schraube Abb. 12.6: Die beiden besonders anschaulichen Typen von Versetzungen und ihre jeweiligen plastischen Verschiebungs- und elastischen Verzerrungsfelder. 1

2 Daneben gibt es beliebige Überlagerungen dieser beiden Fälle, die anschaulich nur schwer vorstellbar sind. Eine von der Anschauung losgelöste, mathematische Definition einer Versetzung gelingt durch den so genannten Burgersumlauf. Wird in einem Bereich des Gitters eine linienhafte Störung erwartet, so geht man in einer geschlossenen Bahn um den vermuteten Defekt herum und zählt die dazu erforderlichen gerichteten Basisschritte auf dem Gitter. Führt man die gleiche Zahl und Richtung dieser Basisschritte in einem ungestörten Vergleichsgitter aus, so ist die Bahn nicht mehr geschlossen. Der Differenzvektor, der zur Schließung des Umlaufs erforderlich ist wird als Burgersvektor ( b ) bezeichnet. Die Versetzungslinie selbst kann man lokal durch das gerichtete Linienelement dl definieren. Die Charakterisierung der beiden Extremtypen von Versetzungen ist jetzt ganz einfach: Falls der Burgersvektor lokal senkrecht zur Linienrichtung der Versetzung steht, b dl, (12.11) handelt es sich um eine Stufenversetzung, falls hingegen b dl, (12.12) um eine Schraubenversetzung. Da bei der Abgleitung die beiden Kristallteile überall um den gleichen Verschiebungsvektor gegeneinander verschoben werden, ist der Burgersvektor entlang einer Versetzungslinie notwendig b = const. (12.13) Daraus folgt unmittelbar, dass gekrümmte Versetzungslinien ihren Typ kontinuierlich ändern und beliebige Zwischenorientierungen mit einem Winkel von b zu dl zwischen 0 90 vorkommen können. Aus dieser grundsätzlichen Beziehung zwischen Abgleitung der Kristallhälften und der Versetzung folgt auch, dass Versetzungen niemals innerhalb des Kristalls einfach enden können. Sie enden an den Oberflächen des Kristalls oder kompensieren sich innerhalb des Kristalls mit anderen Versetzungen in einem Versetzungsknoten. Bewegung einer Versetzung Abb Nach Einführung des Konzepts der Versetzung, können wir jetzt die Abgleitung der Kristallteile und damit die plastische Verformung auch alternativ als Bewegung von Versetzungen in ihrer jeweiligen Gleitebne verstehen. Die dabei wichtigen Zusammenhänge werden wir im Folgenden ableiten. Die Bewegung eines Linienelementes dl der Versetzung um dr, von der gestrichelten Position in Abb zu der durch die durchgezogene Linie gekennzeichneten Endposition, bedeutet ein gegenseitiges Verschieben der 2

3 beiden an der Fläche dl dr angrenzenden Kristallhälften um den Burgersvektor b. Wenn die Verschiebung nicht parallel zur Bildebene erfolgt (d.h. der Burgervektor zeigt aus der Bildebene heraus), kommt es dabei zu einer Volumenänderung der Probe, welche mathematisch ausgedrückt werden kann durch: dv = b dl dr = dr b dl (12.14) Gleitebene Das Kreuzprodukt im letzten Term auf der rechten Seite der Gleichung definiert die Normale einer ausgezeichneten Ebene, die durch Linienelement und Burgersvektor aufgespannt wird. Erfolg die Bewegung der Versetzung innerhalb dieser Ebene, so sprechen wir von Gleiten. Dabei ist die auftretende Volumenänderung null, dv = 0. Man sagt, die Bewegung der Versetzung ist konservativ. Falls das Spatprodukt dv 0, d.h. alle Vektoren b, dl und dr linear unabhängig, spricht man von nicht konservativer Versetzungsbewegung, von Klettern. Folgerungen: - Eine Stufenversetzung besitzt eine ausgezeichnete Gleitebene b dl. - Die Schraubenversetzung hingegen kann auf jeder beliebigen Ebene, die dl enthält, gleiten. - Klettern bedeutet Erzeugung oder Vernichtung von Punktfehlern (Leerstellen, Zwischengitteratome). Anschaulich wird das am Beispiel einer Stufenversetzung klar. Beim Klettern der Stufenversetzung verlängert oder verkürzt sich die eingeschobene Halbebene, was auf atomarer Ebene durch Anlagerung von Atomen bzw. von Leerstellen an den Rand der Ebene geschieht. Abb. 12.7: Verkürzung einer Halbebene durch Anlagerung von Leerstellen. Versetzungen sind das wesentliches Vehikel der plastischen Verformung. Aus dem Abscherwinkel b dα1 l2 und dem Laufweg ds einer Versetzung bezogen auf die Länge l 1 b dl dα 1 des Kristalls multipliziert mit der Gesamtzahl N der Versetzungen lässt sich eine Beziehung zwischen der makroskopischen Verformung und der Versetzungsdichte ρ l 1 l 2 3

4 angeben (Orowan-Beziehung): Materialphysik II Prof. Dr. Guido Schmitz ds b dα1 = N = ρ b ds (12.15) l1 l2 Der makroskopische Abscherwinkel ist proportional zur Dichte der Versetzungen pro Fläche mal ihrer mittleren Lauflänge Kraft auf eine Versetzung Abb. 12.8: Vollständiges Abgleiten der oberen Kristallhälfte nach rechts um den Burgersvektor b. Definition der Kanten wie in der Figur bezeichnet. Aufgrund der Analogie zwischen makroskopischer Verformung und Bewegung von Versetzungen äußert sich die verformende Kraft als eine Kraft die die Bewegung der Versetzungen antreibt. Diese Kraft auf die Versetzung errechnen wir durch eine Energiebilanz: Betrachten wir die geometrische Situation aus Abb Die bei Verschiebung der oberen Kristallhälfte um die Länge eines Burgersvektors b nach rechts geleistete Arbeit ist gegeben durch τ A = l1 l3 b, (12.16) wobeiτ für die Schubspannung in der Gleitebene und l 1 und l 3 für deren geometrische Abmaße stehen. Die geleistete Arbeit kann man aber auch ausdrücken als A = K l3 l1 (12.17) mit K der zunächst unbekannten Kraft auf die Versetzung pro Linienlänge, der Länge der Versetzung l 3 und ihrer Lauflänge l 1 von links nach rechts wie sie bei vollständiger Abgleitung der Kristallhälften um den Burgersvektor b erfolgt. In beiden Betrachtungsweisen muss die geleistete Arbeit gleich sein. Gleichsetzen von Gl. (12.13) und (12.14) liefert konsequenterweise für die Kraft auf die Versetzung K = τ b Peach-Köhler-Kraft (12.18) Geben wir abschließend im Folgenden noch eine allgemeinere, für alle möglichen Kristallorientierungen und Richtungsbeziehung gültige Formulierung der Peach-Köhler-Kraft an. (Dazu benutzen wir einige grundlegende Definitionen aus der Elastizitätstheorie, die bei Interesse in einem klassischen FK-Physikbuch, z.b. Hellwege nachgelesen werden müssen.) Ein doppelter Unterstrich symbolisiert einen Tensor 2. Stufe, d.h. hier eine 3x3 Matrix. Betrachtet wird ein kleines Flächenelement da = ds dr, an dem die Kristallhälften gegeneinander um b verschoben werden. ds ist das Linienelement der Versetzung und dr ihre Verschiebung. Für die Kraft auf das 4

5 Versetzungssegment gilt dann nach allgemeiner linearer Elastizitätstheorie: f = σ da = da σ oder in Komponentenschreibweise: f = σ da = σ da i ij j ij i j i Die geleistete Arbeit ergibt sich als Skalarprodukt aus Kraft auf das Flächenstückchen und seinem Verschiebungsweg b:. dw = ( da σ ) b = da ( σ b ) ds dr ( σ b ) = = ( σ b ) ds dr (Bei Matrix und Vektormultiplikation gilt das Assoziativgesetz, außerdem ist ein Spatprodukt invariant gegen zyklische Permutation). Schließlich ergibt sich die Kraft als Ableitung der Energie nach dem zurückgelegten Versetzungsweg dw K = = ( σ b ) ds (12.19) dr Diese Formel gibt eine richtungsallgemeine Formulierung der Peach-Köhler-Kraft mit dem beliebigen Spannungstensor σ, dem Burgersvektor b und dem Linienelement ds. Wie zuvor bedeutet K hier eine Kraft pro Linienlänge der Versetzung. Übersteigt die so durch das Spannungsfeld erzeugte Kraft eine gewisse kritische Größe, gleitet die Versetzung in der Gleitebene weiter. Um diese kritische Kraft zu erreichen, muss im Gleitsystem eine kritische Schubspannung anliegen. Diese wird als Peierlsspannung bezeichnet. Für diese lässt sich der folgende Zusammenhang ableiten (nicht gezeigt in der Vorlesung): 2G 2π d τ p = exp 1 ν b elastische Eigenschaften Kristallographie, d.h. Geometrie des Gleitsystems (12.20) 5

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