Aufgabensammlung Werkstoffmechanik

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1 Institut für Mechanik und Fluiddynamik (IMFD) Lehrstuhl für Technische Mechanik Festkörpermechanik Prof. Dr. rer. nat. habil. Meinhard Kuna Aufgabensammlung Werkstoffmechanik Wintersemester 2013 Freiberg, 1. Oktober 2013

2 Die vorliegende Aufgabensammlung wurde für die Lehrveranstaltung "Werkstoffmechanikän der TU Bergakademie Freiberg konzipiert. Diese Aufgabensammlung ist urheberrechtlich geschützt. Vervielfältigung und Verbreitung sind nur mit vorheriger schriftlicher Genehmigung des Herausgebers erlaubt. Verantwortlicher Hochschullehrer: Bearbeitung: Prof. Dr. Meinhard Kuna Dr. Matthias Scherzer, Dr. Thomas Linse, Dr. Geralf Hütter, Stephan Roth 1. Auflage erschienen unter dem Titel Aufgabensammlung Werkstoffmechanik 2. überarbeitete und erweiterte Auflage September ins Englische übersetzte Auflage September Auflage im neuen Corporate Design September 2013

3 Inhaltsverzeichnis 0 Wiederholung Mathematik und Technische Mechanik 4 1 Rheologische Grundmodelle 7 2 Rheologische Modelle Elastisch-Plastisch 11 3 Rheologische Modelle Relaxations- und Kriechfunktionen 13 4 Mehrachsige Spannungs- und Verzerrungszustände 20 5 Elastische Materialgesetze 23 6 Elastisch-plastische Materialgesetze 27 7 Festigkeitshypothesen 31 3

4 0 Wiederholung Mathematik und Technische Mechanik 1. Blechstreifen mit schrägliegender Schweißnaht gegeben: σ 0, α = 60, siehe Abbildung 0.1 gesucht: σ α, τ α. σ 0 0 σ α Abbildung Spannungsmessung mittels Dehnmessstreifen gegeben: Dehnungsmessung siehe Abbildung 0.2: ε α1 = 0,6 10 3, ε α2 = 0, , ε α3 = 0, Variante A: α 2 = 60, α 3 = 120 Variante B: α 2 = 45, α 3 = 90 E = 2, MPa, ν = 0,3 gesucht: a) ε xx, ε yy, γ xy b) σ xx, σ yy, τ xy c) Hauptdehnungen d) Hauptspannungen (Größe, Richtung).. 3 α 3 2 α2 1 Abbildung

5 3. Gewöhnliche Differenzialgleichung erster Ordnung gegeben: gesucht: dv(t) dt + a v(t) = be t v(t) Methode: Variation der Konstante 4. Statisch bestimmtes Fachwerk gegeben: F, EA, H, α, siehe Abbildung 0.3 gesucht: Stabkräfte S 1, S 2, H (Annahme: H/H 1) 1 2 α H F ΔH Abbildung Statisch unbestimmtes Fachwerk gegeben: F, EA, H, α, siehe Abbildung 0.4, Fließspannung σ F gesucht: a) Stabkräfte S 1, S 2, S 3 Methode: kinematische Zwangsbedingungen an Knoten A b) Bei welcher Kraft F beginnt Stab 3 zu plastifizieren? α H A F ΔH Abbildung 0.4 5

6 0 Wiederholung Mathematik und Technische Mechanik 6. Balken mit Streckenlast gegeben: E, l, b, h, q(x) = ax, siehe Abbildung 0.5, Fließspannung σ F gesucht: Ort, wo die Plastifizierung einsetzt q(x) b x h y Abbildung 0.5 6

7 1 Rheologische Grundmodelle 1. Entwickeln Sie eindimensionale ε-σ-materialgleichungen (ε-gesamtdehnung, σ- Gesamtspannung) für die in Abbildung 1.1 gezeigten zusammengesetzten rheologischen Modelle mit den Steifigkeiten E, E 1, E 2 und E 3 sowie den Viskositäten η und η 1. Abbildung 1.1 7

8 1 Rheologische Grundmodelle 2. Ein Materialmodell besteht aus der Parallelschaltung von KELVIN- und MAX- WELL- Körpern (siehe Abbildung 1.2). Bestimmen Sie die eindimensionalen Materialgleichungen (ε-σ) für das Modell. Abbildung Ein Stab mit konstantem Querschnitt A und der Länge l ist fest in den Punkten A und B eingespannt, Abbildung 1.3. Im Punkt C (b > a) wirke die Kraft F. Berechnen Sie Reaktionskräfte F A und F B bei vorausgesetztem eindimensionalem linear elastischem Materialverhalten (σ = E ε). Abbildung 1.3 8

9 4. Ermitteln Sie für die im Abbildung 1.4 dargestellte Kompositstruktur aus isotropen viskosen (η i ) und isotropen elastischen (E i ) Elementen (Schichten) bei gegebener Spannungsbelastung σ die entsprechende effektive Materialgleichung zwischen σ und ε (Deformation) bezüglich der Strukturenden. Beachten Sie dabei, dass die jeweiligen Querschnitte der Schichten, auf die die entsprechenden Normalspannungen wirken, für alle Schichten die gleichen Flächeninhalte haben. Die einzelnen Schichten haben die gleichen Dicken (h). Abbildung Ermitteln Sie aus der in Abbildung 1.5 dargestellten modifizierten Kompositstruktur mit isotropen viskosen (η i ) und isotropen elastischen (E i ) Elementen die dazugehörige effektive Beziehung zwischen σ und ε bezüglich der Strukturenden. Beachten Sie dabei wieder, dass die jeweiligen Querschnitte der Schichten, auf die die entsprechenden Normalspannungen wirken, für alle Schichten die gleichen Flächeninhalte haben. Abbildung 1.5 9

10 1 Rheologische Grundmodelle 6. Ermitteln Sie aus der folgenden Kompositstruktur Abbildung 1.6 mit dem isotropen viskosen (η) Element und den isotropen elastischen (E) Elementen die dazugehörige effektive Beziehung zwischen σ und ε bezüglich der Strukturenden. Beachten Sie dabei, dass die jeweiligen Elemente unterschiedliche Querschnittsflächen haben. Abbildung Ermitteln Sie aus der folgenden Kompositstruktur Abbildung 1.7 mit dem isotropen viskosen (η) Element und den isotropen elastischen (E) Elementen die dazugehörige effektive Beziehung zwischen σ und ε bezüglich der Strukturenden. Beachten Sie dabei, dass die Schichten unterschiedliche Dicken haben. Abbildung

11 2 Rheologische Modelle Elastisch-Plastisch 1. Gegeben ist die Spannungs-Dehnungs-Kurve eines elastoplastisch stückweise linear verfestigenden Werkstoffs mit den Messwerten: ε [%] σ [MPa] Bestimmen Sie die Parameter E, E 1 und E 2 des in Abbildung 2.1 dargestellten rheologischen Modells so, dass es die Spannungs-Dehnungs-Kurve beschreibt (σ F1 = 500 MPa, σ F2 = 600 MPa). Abbildung Gegeben ist ein Balken aus elastisch-idealplastischem Werkstoff mit E und σ F unter gerader Biegung. a) Bestimmen Sie die Größe des Biegemoments M b, damit in einem rechteckigen Querschnitt (h b) das obere und untere Viertel des Balkens plastifiziert werden. b) Wie groß ist für einen kreisförmigen Querschnitt das Traglastmoment (gesamter Querschnitt plastisch)? 11

12 2 Rheologische Modelle Elastisch-Plastisch 3. Berechnen Sie die Kräfte in den Stäben des in Abbildung 2.2 angegebenen Fachwerks, das mit der Kraft F belastet ist. Die Stäbe haben alle den gleichen Querschnitt A. Das Deformationsverhalten (Gummi) wird charakterisiert durch die Beziehung σ = C ε n. Abbildung Lösen Sie die Aufgabe 3 für elastisch, idealplastische Stäbe mit den Materialkonstanten σ F - Fließgrenze bei Zugbeanspruchungen E - Elastizitätsmodul Gehen Sie von kleinen Deformationen β β aus. a) Bestimmen Sie den Zustand, bei dem der mittlere Stab zu fließen beginnt. b) Bestimmen Sie die Traglast des Stabsystems. c) Bestimmen Sie die plastischen Deformationen zwischen den Zuständen a) und b) in Abhängigkeit von F. 12

13 3 Rheologische Modelle Relaxations- und Kriechfunktionen 1. Gegeben ist ein eingespannter Stab aus viskoelastischem Material mit dem linearen Standardmodell σ + T σ = L ε + M T ε, siehe Abbildung 3.1. a) Am Stabende (x = l) greift die Kraft P zum Zeitpunkt t = 0 an und bleibt im weiteren Zeitverlauf konstant. Der Stab habe die Querschnittsfläche A. Berechnen Sie die Verlängerung des Stabes l im Zeitverlauf. Benutzen Sie dabei die nach ε aufgelöste Beziehung für das gegebene Standardmodell. b) Wie verändert sich die Lösung für die Verlängerung l, wenn zum gleichen Zeitpunkt t = 0 eine zweite konstante Kraft F am Punkt B angreift? Abbildung Gegeben ist die Materialgleichung für das Standardmodell eines viskoelastischen Körpers σ + T σ = L ε + M T ε. Die Spannungen verhalten sich im Zeitverlauf nach den Diagrammen der Abbildung 3.2. Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf der Deformationen (jeweils für die Spannungen in a) bis d)) und tragen Sie die Resultate gemeinsam mit den gegebenen Spannungen in die Diagrammskizzen ein (T = s 4, L M = 1 4 ). 13

14 3 Rheologische Modelle Relaxations- und Kriechfunktionen Abbildung Entwickeln Sie die ε-σ-beziehung für das in Abbildung 3.3 gezeigte zusammengesetzte rheologische Modell. E 1 E 2 E 0 σ σ η 1 η 2 Abbildung Das Modell aus Aufgabe 3 wird mit konstanter Deformationsgeschwindigkeit ε = ε 0 t1 auseinander gezogen (siehe Abbildung 3.4). Bestimmen Sie die Spannung σ bei diesen vorgegebenen Deformationen. Abbildung

15 5. Gegeben ist das in Abbildung 3.5 dargestellte rheologische Modell mit den Materialparameter Elastizitätsmodul E, Fließspannung σ F0 und der Viskosität η. Gesucht ist die Entwicklung der Spannung σ(t), wenn der Dehnungsverlauf durch die Beziehung ε(t) = ε 0 H(t) mit ε 0 = α σ F 0 E = konst. und 0 für t 0 H(t) = 1 für t > 0 vorgeschrieben wird. Zur Bestimmung der exakten Lösung gehen Sie bitte wiefolgt vor: a) Stellen Sie die konstitutiven Gleichungen zusammen bestehend aus elastischem Materialgesetz, Fließbedingung und Fließregel. b) Diskutieren Sie das grundsätzliche Verhalten des Modells für 0 < α < 1 und α > 1. c) Geben Sie für beide Fälle die Spannungs-Dehnungsbeziehung σ ε an. (Hinweis: Verwenden Sie zur Lösung der Differentialgleichung im Fall α > 1 die Methode der Variation der Konstanten) d) Ermitteln Sie für den Fall α > 1 die asymptotische Antwort t. σ F0 σ E η σ Abbildung

16 3 Rheologische Modelle Relaxations- und Kriechfunktionen 6. Bestimmen Sie für das in Abbildung 3.6 angegebene rheologische Modell a) die ε-σ Beziehung b) die Relaxationsfunktion R(t) der Spannungen für ε = ε 0 H(t), ε 0 = const., H(t) = { 0 für t 0 1 für t > 0. (Bei gegebener Deformation ist R(t) definiert durch σ(t) = ε 0 R(t)) Abbildung Zeigen Sie anhand des viskoelastischen Standardmodells (σ + T σ = L ε + MT ε), dass für die entsprechende Kriechfunktion J(t) und für die entsprechende Relaxationsfunktion R(t) die folgenden Beziehungen gelten: R(0) J(0) = R( ) J( ) = 1 t 0 J(τ) R(t τ) dτ = t. (J(t) ist definiert anhand des Kriechversuchs bei konstanter Spannungsvorgabe σ 0 mit der Beziehung ε(t) = σ 0 J(t).) 8. Der fest eingespannte Stab der Abbildung 1.3 wird zum Zeitpunkt t = 0 mit der Kraft F im gleichen Punkt C belastet. Im weiteren Zeitverlauf bleibt diese Kraft konstant. Berechnen Sie den zeitlichen Verlauf der Reaktionskräfte F A und F B bei vorausgesetztem viskoelastischen Material mit dem linearen Standardmodell (σ + T σ = L ε + MT ε). 16

17 9. Gegeben ist das lineare Standardmodell der Viskoelastizität in der Form σ +T σ = L ε + MT ε für die Spannung σ und die Deformation (Dehnung) ε mit den Materialkonstanten T, L und M. a) Lösen Sie die gegebene Materialgleichung nach σ auf. b) Lösen Sie die gegebene Materialgleichung nach ε auf. 10. Der viskoelastische Stab (mit P = 0) aus der Aufgabe 1 wird im Punkt B mit der Kraft F = p t (linearer Zeitverlauf mit dem Anstieg p) belastet. Berechnen Sie die entstehende Reaktionskraft am Stabende, wenn dort die Verschiebungen für alle Zeiten verhindert werden. 11. Der im Abbildung 3.7 dargestellte viskoelastische Stab (Standardmodell) wird im Punkt C zum Zeitpunkt t = 0 mit konstanter Kraft F belastet. Diskutieren Sie das Verhalten der Reaktionskraft F B nachdem das Stabende die Wand im Punkt B erreicht hat. Abbildung

18 3 Rheologische Modelle Relaxations- und Kriechfunktionen 12. Das in Abbildung 3.8 dargestellte Zweistabsystem wird zum Zeitpunkt t = 0 mit konstanter Kraft F belastet. Beide Stäbe haben die gleiche Querschnittsfläche A und verhalten sich linear viskoelastisch nach dem Standardmodell: σ +T σ = Lε+MT ε. Berechnen Sie die Verschiebung u des Lastangriffspunktes der Kraft F im Zeitverlauf. Benutzen Sie dabei die nach ε aufgelöste Beziehung für das gegebene Standardmodell. Abbildung Ein Biegebalken (BERNOULLI-Balken) besteht aus viskoelastischem Material (Standardmodell) und wird auf gerade Biegung belastet. Ermitteln Sie die Beziehung zwischen dem Biegemoment und der dazugehörigen Krümmung. 14. Berechnen Sie das Biegeverhalten des in Abbildung 3.9 dargestellten mit zwei Kräften belasteten Balkens aus viskoelastischem Material (Standardmodell). Die beiden Kräfte F 1 und F 2 werden nicht gleichzeitig, sondern nach den in den beiden Diagrammen angegebenen Zeitverläufen wirksam. Abbildung

19 15. Für einen zum Zeitpunkt t = 0 mit konstanter Streckenlast q belasteten viskoelastischen (Modell MAXWELL) Balken der Länge 2l (siehe Abbildung 3.10) sind die Biegespannungen σ 11 und die Durchbiegungen w zu berechnen. Die Streckenlast q bleibt im weiteren Zeitverlauf unverändert. Abbildung Betrachten Sie Aufgabe 15 mit einem zeitlich linearem Verhalten der Streckenlast q(t) = q 0 t. 19

20 4 Mehrachsige Spannungs- und Verzerrungszustände 1. Ein Spannungszustand sei charakterisiert durch das Verschwinden aller Normalspannungskomponenten (σ xx = σ yy = σ zz = 0). Von den Schubspannungskomponenten ist bekannt, dass τ xy auch verschwindet (τ xy = 0). Bestimmen Sie die Hauptspannungen. Welchem einfachen Deformationszustand entspricht der betrachtete Spannungszustand? 2. Der Spannungstensor hat die Komponenten σ xx = σ yy = τ xy = 0, σ zz = 2000 MPa, τ xz = τ yz = 1000 MPa. Berechnen Sie die Hauptspannungen. 3. Die Spannungskomponenten sind gegeben durch σ xx = 500 MPa σ yy = 0 MPa σ zz = 1100 MPa τ xy = 300 MPa τ yz = 100 MPa τ xz = 800 MPa Bestimmen Sie die Normalspannung, die Tangentialspannung und den Betrag der Gesamtspannung für eine Ebene, die gleich geneigt ist zu allen drei Koordinatenachsen des kartesischen Systems 0 xyz Abbildung 4.1. Abbildung

21 4. Die Komponenten des Spannungstensors sind durch σ xx = 500 MPa, σ yy = 0 MPa, σ zz = 300 MPa τ xy = 500 MPa, τ yz = 700 MPa, τ xz = 800 MPa bezüglich des kartesischen Koordinatensystems 0 xyz gegeben. Bestimmen Sie für eine Ebene, die durch die Richtungskosinusse cos α = 1 (bezüglich der x-achse) 2 n = cos β = 1 (bezüglich der y-achse) 2 cos γ = 1 2 (bezüglich der z-achse) des Normaleneinheitsvektors n bestimmt ist, die Normalspannung, die Tangentialspannung und den Betrag der Gesamtspannung (siehe Abbildung 4.2). Abbildung Der Spannungstensor sei definiert durch: [σ ij ] = σ 0 Bestimmen Sie den Kugelanteil und den Deviator von [σ ij ] sowie die zweite Invariante des Deviators von [σ ij ]. 6. Für einen Spannungszustand ist die erste Invariante des Spannungstensors (I1 σ = 30 MPa) bekannt. Der Deviator-Spannungstensor ist ebenfalls gegeben mit [σij] D = MPa Bestimmen Sie die Gleichung zur Berechnung der Hauptspannungen. 21

22 4 Mehrachsige Spannungs- und Verzerrungszustände 7. Die Komponenten des Spannungstensors sind bekannt durch die Werte σ xx = 1000 MPa, σ yy = 500 MPa, σ zz = 100 MPa, τ xy = 400 MPa, τ yz = 200 MPa, τ xz = 300 MPa. Bestimmen Sie die Hauptspannungen und die Hauptspannungsrichtungen. 8. Die Verzerrungskomponenten sind im EVZ wie folgt festgelegt: ε xx 0, ε xy 0, ε yy 0, ε zz = 0, ε xz = 0, ε yz = 0. Bestimmen Sie die Invarianten des Verzerrungstensors und die Hauptdehnungen. 9. Die Komponenten des Verzerrungstensors sind gegeben durch ε xx = 0.001, ε yy = , ε zz = , ε xy = , ε yz = , ε xz = Bestimmen Sie die Hauptdehnungen sowie ihre Orientierung bezüglich des Koordinatensystems 0 xyz. 22

23 5 Elastische Materialgesetze 1. Zerlegen Sie den Verzerrungstensor und den Spannungstensor jeweils in den Kugelanteil und in den Deviatoranteil. Setzen Sie diese in die Formel für die elastische Energiedichte U = 1 2 σ ij ε ij ein und spalten Sie U damit in die Energiedichte der Volumendehnungen und in die Energiedichte der Gestaltsänderung (Distorsionsenergie) auf. 2. Der Spannungstensor habe die Form σ ij = p δ ij. Beschreiben Sie den Spannungszustand. Berechnen Sie die Verzerrungen bei Annahme isotropen Materialverhaltens. 3. Schreiben Sie das isotrope linear-elastische Materialgesetz auf (Beziehung zwischen dem Spannungstensor und dem Verzerrungstensor). Führen Sie den Spannungsdeviator und den Verzerrungsdeviator ein und schreiben Sie das obige isotrope Materialgesetz für die Deviatoren auf. Beachten Sie dabei, dass die Deviatoren nur 5 unabhängige Komponenten haben und somit zur vollständigen Beschreibung des Materialverhaltens (6 unabhängige Gleichungen) noch eine Beziehung zwischen den ersten Invarianten des Spannungstensors und des Verzerrungstensors notwendig ist. 4. Bestimmen Sie die Spannungen, Verzerrungen und Verschiebungen eines isotropen prismatischen (quadratischen) Stabes unter homogenem einachsigem Zug (siehe Abbildung 5.1). a) Diskutieren Sie den Spannungszustand. b) Verwenden Sie das HOOKEsche Gesetz in der dreidimensionalen Form: ε ij = 1 + ν E σ ij ν { 1 für i = j E Iσ 1 δ ij mit δ ij = 0 für i j. c) Integrieren Sie die Gleichungen mit ε ij = 1 2 (u i,j +u j,i ) und berechnen Sie die Komponenten der Verschiebungen u i für den betrachteten Spannungszustand (Randbedingungen: bei u x (x = 0) = 0, u y (y = 0) = 0, u z (z = 0) = 0). 23

24 5 Elastische Materialgesetze Abbildung Für einen isotropen linear-elastischen Festkörper, der durch die Materialgleichungen { 1 für i = j σ ij = λ I1 ε δ ij + 2 µ ε ij mit δ ij = 0 für i j charakterisiert wird, soll die elastische Energiedichte U ausgedrückt werden a) durch die Komponenten von ε ij b) durch die Kompontenten von σ ij c) durch die Invarianten von ε ij. 6. Das isotrope HOOKEsche Gesetz sei in der folgenden Form gegeben: σ ij = λ I ε 1 δ ij + 2 µ ε ij mit δ ij = { 1 für i = j 0 für i j. Für den Fall des einachsigen Zugs werden folgende Annahmen postuliert: σ xx 0, τ xy = τ xz = τ yz = σ zz = σ yy = 0. Berechnen Sie die Komponenten des Verzerrungstensors. ε xx, ε yy, ε zz, ε xy, ε xz, ε yz. 7. Der Elastizitätsmodul E ist für den Fall des einachsigen Zuges definiert durch σ xx = E ε xx a) Bestimmen Sie E in Abhängigkeit von λ und µ (Aufgabe 6). b) Die POISSONsche Zahl (Querkontraktionszahl) ν ist für den Fall des einachsigen Zuges definiert durch ε yy = ν ε xx. Bestimmen Sie ν in Abhängigkeit von λ und µ (siehe Aufgabe 6). 24

25 8. Das isotrope HOOKEsche Gesetz ist in der folgenden Form gegeben: σ ij = λ I ε 1 δ ij + 2 µ ε ij mit δ ij = Der Belastungsfall hydrostatischer Druck ist definiert durch { 1 für i = j 0 für i j. σ xx = σ yy = σ zz = p 3, τ xy = τ xz = τ yz = 0. a) Charakterisieren Sie den Spannungs- und Dehnungszustand. b) Bestimmen Sie die Invarianten des Verzerrungstensors und des Spannungstensors. c) Der Kompressionsmodul K wird aus diesem Spannungszustand mit der Beziehung I1 σ = 3 K I1 ε abgeleitet. Bestimmen Sie K in Abhängigkeit von λ und µ. 9. Das isotrope HOOKEsche Gesetz ist in der folgenden Form gegeben: σ ij = λ I ε 1 δ ij + 2 µ ε ij mit δ ij = Reine Schubbeanspruchung ist definiert durch Bestimmen Sie { 1 für i = j 0 für i j. σ xx = σ yy = σ zz = τ xz = τ yz = 0; τ xy = τ 0. a) Die Komponenten des Verzerrungstensors, b) Die Hauptspannungen und Hauptspannungsrichtungen, c) Die Hauptdehnungen und Hauptdehnungsrichtungen. 10. Schreiben Sie die dreidimensionalen Gleichungen für lineares orthotropes Materialverhalten in den Achsen der Orthotropie anhand der Ingenieurkonstanten (E- Moduli und POISSONzahlen) nieder. a) Welche Beziehungen bestehen zwischen den Nichtdiagonalelementen der Elastizitätsmatrix? b) Reduzieren Sie dieses Materialverhalten auf den ebenen Spannungszustand (ESZ) und auf den ebenen Verzerrungszustand (Die Richtung der dritten Achse der Orthotropie sei für die Annahmen des ESZ und EVZ wirksam). c) Welche prinzipiellen Unterschiede und welche Gemeinsamkeiten bestehen zwischen dem EVZ und ESZ? 25

26 5 Elastische Materialgesetze 11. Entwickeln Sie die Transformationsbeziehungen zwischen den ebenen Spannungsbzw. Dehnungskomponenten (EVZ,ESZ) bezüglich zweier um den Winkel ϕ zueinander gedrehter rechtwinkliger Koordinatensysteme. 12. Verwenden Sie die Transformationsbeziehungen aus der Aufgabe 11. und schreiben Sie die Materialgleichungen aus Aufgabe 10 für den ESZ in einem Koordinatensystem, das um den Winkel ϕ = π in Gegenuhrzeigerichtung bezüglich der 2 Orthotropieachsen gedreht ist, nieder. a) Analysieren Sie die Änderung des Materialverhaltens im gedrehten Koordinatensystem. b) Welcher Unterschied besteht zum isotropen Material. mit den konkreten Materialpara- 13. Lösen Sie die Aufgabe 12 für den Winkel ϕ = π 4 metern: E 1 = MPa, E 2 = MPa, G 12 = MPa, ν 21 = 0.3. Welcher prinzipielle Unterschied besteht zur Lösung aus 12? 26

27 6 Elastisch-plastische Materialgesetze 1. Die Fließbedingung ist gegeben durch die Beziehung Φ(σ ij ) = 1 2 (σxx σ yy ) 2 + (σ zz σ xx ) 2 + (σ yy σ zz ) 2 + 6(τ 2 xy + τ 2 xz + τ 2 yz) σ F = 0 mit σ F - Materialkonstante (Zugfließspannung). a) Schreiben Sie diese Bedingung für den ebenen Spannungszustand auf. b) Schreiben Sie diese Bedingung für den ebenen Verzerrungszustand unter der Voraussetzung auf, dass die Querkontraktionszahl ν den Wert 1 2 annimmt. 2. Ein Spannungszustand sei gegeben durch die Komponenten: σ xx = 700 MPa, σ yy = 50 MPa, σ zz = 300 MPa, τ xy = 100 MPa, τ yz = 200 MPa, τ xz = 600 MPa. a) Berechnen Sie den multiplikativen Faktor f, mit dem diese Komponenten multipliziert werden müsssen, damit die Fließbedingung aus der Aufgabe 1. mit σ F = 2000 MPa erfüllt wird. b) Ermitteln Sie die Komponenten der plastischen Deformationsgeschwindigkeiten, die dann bei aktiver plastischer Belastung auftreten können (jeweils bezogen auf den plastischen Multiplikator λ). 3. Schreiben Sie die v. MISESsche Fließbedingung anhand der Hauptspannungen auf. 27

28 6 Elastisch-plastische Materialgesetze 4. Gegeben sind die Fließspannungen für ein Material bei einachsigem Zug mit σ FZ und bei einachsigem Druck mit σ FD. Angenommen wird eine reine ebene Schubbeanspruchung. Berechnen Sie die Größe der Schubspannung τ bei der die Fließbedingungen erfüllt werden. a) MOHR-COULOMB: b) DRUCKER-PRAGER: (σ FZ + σ FD ) 2 σ V = σ I σ FZ σ FD σ III = σ FZ (σ V - v. MISESsche Vergleichsspannung) [ σ FZ σfd + σ FD σfz 3( σ FD ] 2 σ FZ ) Iσ Berechnen Sie die Verhältnisse zwischen den auftretenden plastischen Deformationsgeschwindigkeiten bei Annahme des Fließgesetzes von PRANDTL-REUSS a) bei einachsigem Zug, wenn σ xx = σ F gilt, b) im Falle des zweiachsigem Spannungszustandes, für den σ xx = σ F 3, σ yy = 3 σ F und σ zz = τ xy = τ xz = τ yz = 0 gelten und c) für den einfachen Schubversuch, wenn τ xy = σ F 3 gilt. 6. Bei einem Zugversuch sollen die Materialcharakteristika anhand des RAMBERG- OSGOOD-Gesetzes bestimmt werden. ε = σ E + ( σ C ) n, (σ-spannung, ε-dehnung) a) Bestimmen Sie mit der Kenntnis von E (Elastizitätsmodul, E = 200 GPa) die Konstanten n und C aus den folgenden Punkten der nichtlinearen Verformungskurve: (ε = 1 % σ = 880 MPa), (ε = 2.5 % σ = 880 MPa). b) Ermitteln Sie aus dem durch E, C und n konkretisierten RAMBERG-OSGOOD- Gesetz die Streckgrenze R p0.2 bei 0.2 % Dehnung. 28

29 7. Das nichtlineare Materialverhalten ist durch die eindimensionale Spannungs-Dehnungskurve mittels σ = C ε n zu beschreiben (σ-spannung, ε-dehnung, siehe Abbildung 6.1). Berechnen Sie die Materialparameter A und n aus der Kenntnis der in Abbildung 6.1 angegebenen Parameter ω 1, ω 2, σ 0 und ε 0 eines Zugversuches. ω 1 - Fläche über der Kurve (Ergänzungsarbeit von σ auf ε) ω 2 - Fläche unter der Kurve (Arbeit von σ auf ε) Abbildung Unter den gleichen Bedingungen der Aufgabe 7 soll die Spannungs-Dehnungsbeziehung anhand von σ = C ε m (1 β ε) angepasst werden. Als zusätzliche Annahme ist die Bedingung dσ = 0 zu dε ε=ε0 verwenden. Bestimmen Sie C, m und β aus ω 1, ω 2, ε 0 und σ Entwickeln Sie für eine einachsige Belastung (σ xx = σ, ansonsten σ ij = 0) die Fließbedingung und die Entwicklungsgleichungen der inneren Variablen ausgehend von der dreidimensionalen Formulierung des elastisch-plastischen Materialgesetzes mit kombiniert isotrop-kinematischer Verfestigung. Leiten Sie die Sonderfälle rein isotroper bzw. rein kinematischer Verfestigung ab. 29

30 6 Elastisch-plastische Materialgesetze 10. Gegeben ist der in Abbildung 6.2 vorgegebenen Dehnungsverlauf ε(t) mit t i = i t, i = Das Material verhält sich elastisch-plastisch mit rein isotroper, linearer Verfestigung R(p) = E p p. Der Elastizitätsmodul beträgt E = 4σ F0 und die Verfestigung ist durch E p = σ F0 gegeben. Die Belastungsamplitude beträgt ˆε = 1. Gesucht ist die Entwicklung der Spannung σ(t) unter diesen Bedingungen. a) Lösen Sie die Aufgabe zunächst graphisch in einem σ-ε-diagramm. Bestimmen Sie nun die exakte Lösung rechnerisch. Gehen Sie dazu wiefolgt vor: b) Stellen Sie die konstitutiven Gleichungen zusammen bestehend aus elastischem Materialgesetz, Fließbedingung, Fließregel und Entwicklungsgleichung der akkumulierten plastischen Dehnung p. c) Eliminieren Sie aus diesen Gleichungen den plastischen Multiplikator λ und vereinfachen Sie die Fließregel (Hinweis: d x /dx = sgn(x)). d) Bestimmen Sie in jedem Belastungsschritt i i + 2 i. den Punkt der Plastifizierung am Anfang bzw. nach der jeweiligen Entlastung. ii. Integrieren Sie unter Zuhilfenahme entsprechender Anfangsbedingungen die Entwicklungsgleichung. Berechnen Sie mit dem Ergebnis den Spannungsverlauf σ(t) im Belastungsschritt aus der Fließbedingung und dem Materialgesetz. Was lässt sich über den Einfluss der Dehnrate ε = ˆε/ t sagen? iii. Werten Sie die plastische Dehnung und akkumulierte plastische Dehnung am Umkehrpunkt der Belastung aus. Diese stellen die Anfangsbedingungen im nächsten Schritt dar. e) Diskutieren Sie, wie die stabilisierte Spannungs-Dehnungskurve σ ε aussieht. (d.h. zwischen t i and t i+2 für i ) Hinweis: Geben Sie alle Spannungen relativ zu σ F0 an: σ/σ F0 =... Abbildung

31 7 Festigkeitshypothesen 1. Benutzen Sie das MOHR-COULOMBsche Kriterium (lineare Grenzkurve) für einen Spannungszustand mit den Hauptspannungen σ I = 150 MPa, σ II = 400 MPa, σ III = 600 MPa zur Abschätzung der Festigkeit. Die zulässigen Spannungen haben folgende Werte: σ cz = 300 MPa (Zug), σ cd = 1000 MPa (Druck). 2. Ein Würfel wird mit Druckspannungen homogen (in einer Richtung) belastet. Bei einem Druck von 6300 MPa zerbrach der Würfel in der Oktaederebene, d. h. in der Ebene die zu den drei Seitenflächen des Würfels gleich geneigt ist. Berechnen Sie die Normalspannung, die Tangentialspannung und den Betrag der Gesamtspannungen in dieser Ebene im Versagensfall. 3. Es sei ein ebener Spannungszustand (ESZ) gegeben mit σ xx = 150 MPa, σ yy = 50 MPa, τ xy = 75 MPa. Berechnen Sie den Faktor f, um den die Schubspannung τ xy multipliziert werden muss, damit Versagen nach dem Schubspannungskriterium (τ c = 500 MPa) auftritt. 4. Für den gleichen Spannungszustand der Aufgabe 3. sollen die Normalspannungen (σ xx, σ yy ) bis zum Versagen nach der Normalspannungshypothese (σ c = 1000 MPa) erhöht werden. Berechnen Sie den entsprechenden Faktor. 31

32 7 Festigkeitshypothesen 5. Ein Spannungszustand ist gegeben durch die Komponenten des Spannungstensors anhand von σ xx = 500 MPa, σ yy = 100 MPa, σ zz = 0 MPa, τ xy = 90 MPa, τ xz = 0 MPa, τ yz = 0 MPa. Weiterhin ist bekannt, dass der betrachtete Werkstoff nach der MOHR-COULOMBschen Festigkeitshypothese (lineare Grenzkurve in der R-σ M -Ebene, R-Radius, σ M -Mittelpunkt im MOHRschen Diagramm) versagt. Die Grenzkurve wird charakterisiert durch ihren negativen Anstieg (tan ρ) mit ρ = 3 π und ihren Schnittpunkt 16 mit der R-Achse, d. h. τ c0 = 1500 MPa. Berechnen Sie den Faktor f, mit dem alle oben angegebenen Spannungskomponenten multipliziert werden müssen, damit der dann erreichte Spannungszustand zum Versagen führt. 6. Gegeben sind die Hauptspannungen mit σ I = 200 MPa, σ II = 100 MPa, σ III = 50 MPa. Die Festigkeitseigenschaften des Materials werden charakterisiert durch σ cz = 245 MPa (Zug), σ cd = 615 MPa (Druck). Diskutieren Sie anhand der MOHR-COULOMBschen Festigkeitshypothese (lineare Grenzkurve) das Versagen des Materials. 7. Beurteilen Sie die Sicherheit gegen Versagen bei folgendem Spannungszustand: σ I = 1300 MPa, σ II = 1200 MPa, σ III = 1050 MPa. Verwenden Sie als Versagenshypothese das MOHR-COULOMBsche Kriterium mit der Grenzkurve τ = τ c0 1 σ σ cz in der τ-σ-ebene der MOHRschen Kreise (τ c0 = 270 MPa, σ cz = 1500 MPa). 32

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