1. Einleitung Theorie 8

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1 Inhalt: 1. Einleitung 5. Theorie 8.0. Kurze Einführung in die Festkörperphysik Der amorphe und der kristalline Festkörper Die Metallstrukturen Gitterfehler 1.1. Verformung von Festkörpern Der starre Körper Elastische und plastische Verformung Betrachtung der Verformung in der atomaren Ebene Das Spannungs-Dehnungs-Diagramm 0.. Das Hook sche Gesetz Das allgemeine Hook sche Gesetz 6... Der Elastizitätsmodul E Die Lamé-Konstanten λˆ und µˆ Die Poissonsche Zahl µ Der Schermodul G Der Kompressionsmodul K Balkenbiegung und Balkenschwingungen Die elastische Hysterese Biegung eines einseitig eingespannten Balkens Biegung eines doppelseitig gestützten Balkens Schwingung eines einseitig eingespannten Balkens Freie gedämpfte Schwingungen

2 3. Versuchsaufbau Allgemeines Die statische Messung Die dynamische Messung Datenblätter Das Programm Allgemeines Die Anmeldung Die Betreueroptionen Die Passwortabfrage Das Passwort Das Betreuermenü Das Hauptmenü Die statische Messung Kalibrierung Annäherung Messung Auswertung Das Speichermenü Version Version Anzeige temporärer Speicherung Version temp. Speicher Version Anzeige temp. Speicher Das Ladeprogramm Die dynamische Messung Messung Bereichsauswahl Frequenz-/ Dämpfungsbestimmung Auswertung Signalverlauf exportieren

3 4.13. Suchparameter Die Anzeige der Dämpfung Auswertung Allgemeines Dynamische Messung Statische Messung Zusammenfassung Danksagung Abbildungsverzeichnis Literaturverzeichnis 19 Anhang A (Kalibrierung Kraftsensor) 130 Anhang B (Messprogramm) 133 Erklärung letzte Seite - 3 -

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5 1. Einleitung: Die Frage, wo ich meine Zulassungsarbeit anfertigen wollte, war für mich, nachdem ich ein Semester in der Vorlesungssammlung der Physik gearbeitet hatte, eigentlich schon beinahe beantwortet, sollte es dort ein passendes Thema für mich geben. Als mir Herr Brackenhofer dann erzählte, dass zwei meiner Kommilitonen, als Zulassungsarbeit in der Physik, Versuche für das neue Anfängerpraktikum zur computergestützten Messwerterfassung entwerfen würden, war die Entscheidung endgültig auf die Physik gefallen. Bei der Rückbesinnung auf die von mir während meines Anfängerpraktikums durchgeführten Versuche, im Hinblick auf die Durchführbarkeit einer Umstellung auf computergestützte Messwerterfassung, fiel mir als einer der ersten Versuche die Bestimmung des Elastizitätsmoduls ein. Schon als ich den Versuch damals im Anfängerpraktikum durchführte, erschien mir die statische Messmethode, die Biegung eines einseitig eingespannten Balkens mit Hilfe von Gewichten und der gleichzeitigen Auftragung der Verbiegung auf Millimeterpapier, als nicht sonderlich zeitgemäß. Dies soll nicht bedeuten, dass die Methode schlecht funktioniert hatte oder kompliziert war, aber ich fand schon damals, dass es weniger mühselige Wege zur Bestimmung des Elastizitätsmoduls geben müsste, weswegen ich mich auch jetzt noch so gut an diesen Versuch erinnern konnte. Meine erste Idee, die Messung mittels einer Zugprüfvorrichtung zu realisieren, wurden von Herrn Marti mit Begeisterung aufgenommen, auch wenn diese erste Überlegung recht schnell zugunsten des jetzigen Versuchsaufbaus fallen gelassen wurde. Für diesen Schritt gab es zwei Gründe: Erstens ist der Bau einer Zugprüfvorrichtung recht aufwendig und langwierig, zumindest wenn sie verwertbare Ergebnisse für das Anfängerpraktikum liefern soll, und zweitens ist die Beschreibung des Zugversuches zwar an sich physikalisch sehr einfach, wenn aber Korrekturen aufgrund von messtechnischen Gegebenheiten wie Probenformen, Halterungen etc. berücksichtigt werden müssen, werden sie sehr schnell recht kompliziert, wodurch bei mir die Befürchtung aufkam, dass die Beschreibung zu kompliziert für das Anfängerpraktikum im. Semester werden könnte

6 Neben meinem Wunsch nach einem vereinfachten Messverfahren war das Thema Computergestützte Bestimmung des E-Moduls für mich auch noch aus zwei anderen Gründen sehr interessant: Die Elastizität und damit das Elastizitätsmodul scheinen zunächst nur eine physikalische Größe unter vielen zu sein, dabei ist eine korrekte Beschreibung der Elastizität für unseren Alltag enorm wichtig. Wird sie falsch berechnet, hat dies unter Umständen verheerende Folgen. Nicht auszudenken was passieren würde, wenn die Elastizität einer Flugzeugtragfläche oder einer Brückenstütze falsch berechnet würde und sie sich nicht mehr elastisch verformen könnte, sondern brechen sollte. Dabei muss nicht einmal die Elastizität der gesamten Tragfläche falsch sein, es genügt bereits, wenn die Elastizität der Nieten, die den Flügel am Flugzeug halten, zu klein ist. Auch wenn die korrekte Berechnung der auftretenden Kräfte und damit der notwendigen Elastizität eher Aufgabe von Ingenieuren ist, so sind wir Physiker doch auch an entscheidender Stelle beteiligt. Bei der Entwicklung und Überprüfung von neuen Werkstoffen werden wir Physiker herangezogen, wenn es um die Beurteilung der physikalischen Eigenschaften, darunter auch das Elastizitätsmodul, eines neuen Werkstoffes geht. Außerdem hat die computergestützte Messwerterfassung nicht nur in der Wirtschaft, sondern auch in der Schule mit dem Cassy-Lab -System längst schon Einzug erhalten. Als angehender Physiklehrer sollte man sich daher auch in diesem Bereich auskennen. Dass hier nicht das Cassy-Lab -System sondern Labview eingesetzt wurde, erachte ich dabei als Vorteil. Schließlich handelt es sich hier um ein professionelles Datenerfassungsprogramm, dass auch in der Wirtschaft zur Anwendung kommt. Die Erfahrungen mit diesem Programm, so wie mit der computergestützten Messwerterfassung außerhalb des Cassy-Lab -Systems werden meinem späteren Physikunterricht sicherlich bereichern. Zudem ist es immer gut eine Alternative zu kennen, für den Fall, dass das vorhandene Cassy-Lab -System nicht ausreicht. Allerdings ist dies mehr eine Alternative für mich als Lehrer, denn für die Schüler, da Programmieren mit Labview aufgrund seiner grafischen Oberfläche zwar sehr leicht erlernbar, das Erstellen eines Programms aufgrund der Vielzahl an Einstellungsmöglichkeiten bei den einzelnen Labview-Elementen aber doch recht schwer ist

7 Trotzdem kann Labview auch von Schülern eingesetzt werden, sofern man ihnen ein bereits fertiges Messprogramm zur Verfügung stellt, oder indem man ein einfaches Programm unter genauer Anleitung gemeinsam mit ihnen erstellt

8 . Theorie:.0. Kurze Einführung in die Festkörperphysik.0.1. Der amorphe und der kristalline Festkörper Diese kurze Einführung in die Festkörperphysik stellt in stark verkürzter Form die zum Verständnis in den folgenden Kapiteln notwendigen Erkenntnisse und Begriffe vor. Für eine ausführliche Behandlung sei auf die Fachliteratur zum Thema Festkörperphysik, beispielsweise [3], verwiesen. Beim amorphen Festkörper handelt es sich um einen Festkörper, den man nach ([7], S. 1336) auch als unterkühlte Flüssigkeit bezeichnen kann, da sie wie eine Flüssigkeit fließen, allerdings nur sehr langsam, weil ihre Viskosität laut ([5],S. 810) sehr hoch ist. Auch haben amorphe Festkörper nach ([7], S. 1336) keinen scharfen Schmelzpunkt, der Übergang fest-flüssig geschieht in einem ganzen Temperaturbereich. Eine wichtige Eigenschaft von amorphen Festkörpern ist, dass sie bezüglich ihrer physikalischen Eigenschaften isotrop, also richtungsunabhängig, sind und zudem nur eine Nahordnung besitzen. Das bekannteste Beispiel eines amorphen Festkörpers ist Glas. Bei der Alltagsvorstellung von dem festen Aggregatzustand der Materie wird dagegen meist an den kristallinen Festkörper gedacht. Kristalline Festkörper haben einen scharfen Schmelzpunkt, wie etwa Eis, dass bei 0 C schmilzt. Sie bestehen, wie der Name schon sagt, oder wie man am Beispiel Kochsalz sehr schön sehen kann, aus Kristallen und haben zusätzlich zur Nahordnung der amorphen Festkörper auch eine Fernordnung. Bei den beiden Metallen Kupfer und Aluminium, die im Praktikum zur Anwendung kommen, handelt es sich jeweils um kristalline Festkörper. Nach ([7], S.1336) bestehen kristalline Festkörper meist aus vielen kleinen Kristallen, die so miteinander verbunden sind, dass sie den Festkörper bilden. Diese kleinen Kristalle, die auch Einkristalle genannt werden, weisen eine symmetrische Anordnung und eine periodische Struktur auf. Bei näherer Betrachtung dieser - 8 -

9 Struktur sieht man, dass es sich dabei um ein regelmäßiges Gitter, das so genannte Kristallgitter handelt. Aufgrund der Periodizität des Kristallgitters kann man nach ([7], S.1337) das Gitter als Vielfaches einer Einheit, der sogenannten Elementarzelle, zu beschreiben. Man unterscheidet nach Bravais 14 verschiedene Elementarzellen oder auch Bravaisgitter (Abbildung 1): Abb. 1:Die 14 Bravaisgitter Mit diesen Bravaisgittern lassen sich nun die Einkristalle zusammenbauen, indem man die Elementarzellen immer wieder aneinander hängt. So können im Prinzip beliebig große Einkristalle entstehen. Meistens entstehen die Einkristalle jedoch beim Übergang von flüssig nach fest an unterschiedlichen Punkten, und wachsen, genügend Flüssigkeit vorausgesetzt, in einer Richtung solange weiter, bis sie einen Nachbareinkristall berühren und damit kein Platz zum Weiterwachsen vorhanden ist. Daher ist ein Festkörper meist auch aus vielen Einkristallen aufgebaut. Unter - 9 -

10 bestimmten Voraussetzungen ist es aber auch möglich, dass die Kristallisation nur an einem einzigen Punkt beginnt. Dann können sehr große Einkristalle entstehen..0.. Die Metallstrukturen Da im Praktikum Metalle (Aluminium und Kupfer) zur Messung benutzt werden, sollen hier die typischen Kristallstrukturen von Metall näher betrachtet werden. Laut ([7], S. 1339) lassen sich Metallstrukturen, sofern die Metalle chemisch rein sind, durch die Anordnungsmöglichkeiten von gleich großen Kugeln veranschaulichen. Dabei steht je eine Kugel für ein Atom. Es lassen sich zwei Anordnungsmöglichkeiten, oder wie man auch sagt, Packungsarten finden, bei denen man bei gegebenem Volumen möglichst viele Kugeln in dieses Volumen packen kann. Die erste Möglichkeit ist die hexagonal dichteste Kugelpackung. Bei ihr lautet die Schichtfolge von übereinander gestapelten Kugeln ABABAB, wobei die Schichten, bei denen die Kugeln senkrecht übereinander liegen, jeweils den gleichen Buchstaben tragen. In Abbildung ist dies schematisch dargestellt: Abb. : Schematische Darstellung der Schichten einer hexagonal dichtesten Kugelpackung In 3 Dimensionen ergibt sich dann folgendes Bild (Abbildung 3): Abb. 3: Hexagonal dichteste Kugelpackung in drei Dimensionen: a) real b) schematisch

11 Beispiele für Metalle mit hexagonal dichtester Kugelpackung sind laut ([7], S. 1339) Magnesium, Mangan oder Zink. Die zweite Möglichkeit ist die kubisch dichteste Kugelpackung mit Schichtfolge ABCABCABC (Schichtbezeichnung wie oben). Eine schematische Darstellung zeigt Abbildung 4: Abb. 4: Schematische Darstellung der Schichten einer kubisch dichtesten Kugelpackung und in 3 Dimensionen zeigt sich nun folgendes Bild (Abbildung 5): Abb. 5: Hexagonal dichteste Kugelpackung in drei Dimensionen: a) real b) schematisch Beispiele für Metalle mit kubisch dichtester Kugelpackung sind laut ([7], S. 1339) Gold, Silber oder Platin, aber auch die im Praktikum verwendeten Metalle Kupfer und Aluminium. Bei beiden Packungen ist die Koordinationszahl, also die Zahl nächster Nachbarn 1. Den Raumanteil, den die Kugeln einnehmen bezeichnet man auch als Packungsdichte. Sie beträgt in beiden fällen 74%. In der Mathematik kann bewiesen werden, dass eine Packung mit höherer Packungsdichte als 74% nicht mit Kugeln realisiert werden kann, und die beiden oben beschrieben Packungsarten die einzigen sind, die eine derart hohe Packungsdichte aufweisen

12 .0.3. Gitterfehler Beim Aufbau von Kristallen aus Elementarzellen ist man von einer strengen Periodizität der Kristallgitterstruktur ausgegangen. Da es sich hierbei aber um eine idealisierte Vorstellung handelt, nennt man einen solchen Kristall Idealkristall. In der Realität hingegen weist jeder Kristall Abweichungen vom Idealkristall, die so genannten Gitterfehler, auf. Zunächst einmal können Atome der gleichen Sorte, wie die Atome des Kristallgitters an den falschen Stellen sitzen. Laut ([5], S.87) spricht man dann von Schottky- Fehlordnung, wenn die Atome an Gitterstellen fehlen, an denen eigentlich nach der Theorie welche sitzen müssten. Der umgekehrte Fall, dass sich zwischen dem Gitter noch zusätzliche Atome befinden, wird nach ([5], S.87) Anti-Schottky-Fehlordnung genannt. Tritt eine Kombination dieser beiden Fälle auf, also das Atome an einer Stelle fehlen und dafür an einer anderen Stelle zusätzlich eingebaut werden, spricht man laut ([5], S.87) von Frenkel-Fehlordnung. Werden statt der Gitteratome Fremdatome eingebaut, also Atomsorten, die nicht zum Kristall gehören, so spricht man gemäß ([5], S.874) von chemischer Fehlordnung. Nach ([5], S.875) kann es bei Kristallen mit Ionengittern auch vorkommen, dass fehlende Anionen durch den Einbau von Elektronen ausgeglichen werden. Dieser Fehler heißt dann Farbzentrum. Während bei den obigen Fehlern nur einzelne Atome den Fehler erzeugen, sind bei Versetzungen ganze Atomreihen und bei Kleinwinkel-Korngrenzen sogar Teile der Gitterebenen beteiligt. Man unterscheidet nach ([5], S.876f) zwei Versetzungsarten: Die Stufenversetzung, die entsteht, wenn man in ein störungsfreies Gitter eine unvollständige Gitterebene einfügt, so dass sich am Ende der unvollständigen Ebene eine so genannte Versetzungslinie bildet, und die Schraubenversetzung, deren Entstehung man sich gemäß ([5], S.877) so vorstellen kann, als würde man ein reguläres Gitter bis zur Hälfte aufschneiden und dann die beiden Schnitthälften gegeneinander verschieben. Es kann zudem auch vorkommen, dass Versetzungen auftreten, deren Entstehung als Kombination von Stufen- und Schraubenversetzung aufgefasst werden kann. Kleinwinkel-Korngrenzen entstehen laut ([5], S.876f) dagegen wenn zwei Kristallebenen mit leicht unterschiedlicher Orientierung aufeinander treffen

13 .1. Verformung von Festkörpern.1.1. Der starre Körper Häufig wird in der Mechanik die Verformung der Festkörper gänzlich vernachlässigt und stattdessen mit der Idealisierung eines starren Körpers gearbeitet. In ([1], S.7) wird ein starrer Festkörper wie folgt definiert: Ein starrer Festkörper ist dadurch gekennzeichnet, dass er sein Volumen und seine Form unter dem Einfluss äußerer Kräfte überhaupt nicht verändert. die Abstände der Atome und die Winkel zwischen diesen Abständen sind nicht durch äußere Kräfte beeinflussbar. Nun zeigt schon die Alltagserfahrung, dass nicht auf alle Festkörper die Idealisierung des starren Körpers angewandt werden kann. Gummi beispielsweise zeichnet sich unter anderem dadurch aus, dass er sich schon unter Einwirkung relativ kleiner Zugkräfte sehr stark dehnen lässt. Aber auch Festkörper, die man üblicherweise als starr bezeichnen würde, wie Stahlträger beispielsweise, verändern ihre Form unter Einwirkung von Kräften. Im schlimmsten Fall kann so ein Stahlträger sogar genügend große, angreifende Kräfte vorausgesetzt eine recht drastische Verformung erfahren: er kann brechen. Bleiben die Kräfte aber klein, so entstehen auch nur kleine Formänderungen, meist sogar so klein, dass sie vernachlässigt werden können. So weißt nach ([], S. 357) ein vertikaler Stahlstab von 1 m Länge und 1 cm Durchmesser nur eine Längenänderung von ca. 0,5 mm oder 0,05% auf, wenn ein Kleinwagen an ihn gehängt wird. Daher ist das Ideal des starren Körpers in solchen Fällen durchaus gerechtfertigt. Solche Fälle sollen jedoch im weiteren Verlauf nicht betrachtet werden, sondern es sollen nicht vernachlässigbar kleine Verformungen vorliegen..1.. Elastische und plastische Verformung Durch die Definition des starren Körpers hat man zugleich auch eine Definition für den Begriff der Verformung gefunden. Eine Verformung findet statt, wenn sich durch den Einfluss äußerer Kräfte eine Volumen- oder Formänderung vollzieht. Dies

14 geschieht durch eine Veränderung der Abstände zwischen den Atomen und/oder einer Veränderung zwischen den Winkeln dieser Abstände. Somit liefert die Definition des starren Körpers zudem noch einen Anhaltspunkt dafür, wie die Verformung auf atomarer Ebene abläuft. Eine genauere Betrachtung erfolgt später. Zunächst sollen noch die wichtigen Begriffe der elastischen und der plastischen Verformung definiert werden. a) Plastische Verformung Eine plastische Verformung liegt dann vor, wenn ein Festkörper bei einer durch äußere Kräfte verursachten Verformung auch nach dem Verschwinden dieser Kräfte nicht wieder in den Ausgangszustand zurückkehrt, sondern eine (Rest-)Verformung dauerhaft bestehen bleibt. Der plastischen Verformung voraus geht die elastische Verformung (s.u.). Erst wenn die wirkenden Kräfte eine gewisse Grenze überschreiten, setzt plastische Verformung ein. Die genaue Festlegung dieser Grenze ist nicht ganz leicht und wird im Zusammenhang mit dem Spannungs-Dehnungs-Diagramm (s..1.4.) besprochen. Nach oben hin wird die plastische Verformung ebenfalls begrenzt, werden die wirkenden Kräfte zu groß, so bricht der Festkörper. Ursache für die plastische Verformung ist ein Gleiten der Kristallgitterebenen des Festkörpers (vgl. ([4], S.168f.) und ([3], S.4f.)). Nach dem Modell, das auf Frenkel zurückgeht, gleiten die verschiedenen Gitterebenen bei Krafteinwirkung wie Spielkarten aneinander vorbei. Dies allein genügt aber nicht, denn die plastische Verformung dürfte dann eigentlich erst bei viel höheren Kräften einsetzen. Jedoch hat jeder reale Kristall Gitterfehler und Versetzungen. Diese Versetzungen sorgen dafür, dass nicht die ganzen Gitterebenen gleiten, sondern nur die Versetzungen selbst wandern. Dieses Gleiten der Versetzungen ist energetisch aber viel günstiger, da hier sehr viel weniger Atome bewegt werden müssen (vgl. auch.1.3). Wie groß der Bereich der plastischen Verformung ist, hängt stark vom Material des Festkörpers ab. Bei keramischen Werkstoffen ist der plastische Bereich sehr klein. Sie zeigen ein sehr sprödes Verhalten. Ursache sind die bei Keramiken auftretenden Ionenbindungen, die ein Gleiten der Gitterebenen

15 verhindern. Bei Polymeren ist die Sache nicht ganz so einfach. Je nach Polymerart ist eine ganz unterschiedliche plastische Verformbarkeit gegeben. Eine genauere Untersuchung würde jedoch den Rahmen dieser Zulassungsarbeit sprengen. Hauptsächlich zu finden ist die plastische Verformung aber bei Metallen, wozu auch die im Anfängerpraktikum verwendeten Materialien Kupfer und Aluminium zählen. Das Gleiten der Gitterebenen wird bei ihnen durch die metallische Bindung ermöglicht. Der plastische Bereich ist für das Anfängerpraktikum aber eher uninteressant, da in diesem Bereich der lineare Zusammenhang zwischen Dehnung und zur Dehnung aufgewandter Kraft nicht mehr, oder nur noch näherungsweise gilt. Somit kann auch die zu dieser Beziehung gehörige Proportionalitätskonstante, der Elastizitätsmodul E, nicht mehr, oder nur noch näherungsweise bestimmt werden. b) Elastische Verformung Eine elastische Verformung liegt dann vor, wenn eine durch äußere Kräfte verursachte Verformung nach dem Verschwinden dieser Kräfte wieder vollständig verschwindet. Geschieht dies nicht sofort, sondern erst nach einiger Zeit, so spricht man von elastische Nachwirkung oder auch anelastisches Verhalten. In ([1], S. 376) ist eine Definition zu finden, die angibt, wann noch normales elastisches Verhalten vorliegt und wann es sich schon um elastische Nachwirkung handelt: Demnach liegt eine elastische Nachwirkung vor, wenn der Festkörper zur Rückbildung der Verformung nach Beendigung der Krafteinwirkung länger braucht, als der Schall um diesen Körper zu durchqueren. Gekennzeichnet wird die Zeitabhängigkeit der Verformung nach Änderung der wirkenden äußeren Kräfte durch die Relaxationszeit T rel. Dabei ist der Anteil X der sich nach der Zeit t in ihrer neuen Position befindlichen Atome nach ([3], S. 405) gegeben durch X t 1 exp ( 1 ) T = rel

16 In Abbildung 6 findet sich eine schematische Darstellung der Zeitabhängigkeit der elastischen Verformung, so wie weitere im Festkörper ablaufende Relaxationsprozesse. Abb. 6: Schematische Darstellung einiger Relaxationsprozesse. Die zeitliche Abhängigkeit der elastischen Verformung kann der roten Kurve entnommen werden. Die hier dargestellte Abhängigkeit gilt nach ([3], S.406) jedoch nur für keramische Werkstoffe und Metalle, bei Polymeren sind Abweichungen zur vorliegenden Abbildung möglich Betrachtung der Verformung in der atomaren Ebene In diesem Abschnitt soll die Betrachtung der Verformung auf kristalline Werkstoffe beschränkt werden, da mit Aluminium und Kupfer auch nur derartige Werkstoffe im Praktikum eingesetzt werden. Um die elastische Verformbarkeit von kristallinen Werkstoffen besser verstehen zu können, muss man den Potentialverlauf für die Kräfte zwischen den Atomen des Festkörpers mit den elastischen Eigenschaften des Festkörpers in einen Zusammenhang bringen. Der Einfachheit halber soll zunächst der Potentialverlauf zwischen zwei Atomen untersucht werden, wie er in Abbildung 7 dargestellt ist:

17 Abb. 7: Potentialverlauf in der Nähe eines Atoms 1 für ein weiteres Atom, wobei noch die Näherungsparabel in der Umgebung des Gleichgewichtsabstands r 0 eingezeichnet wurde. (Näheres siehe Text) In rot eingezeichnet ist der Verlauf des Gesamtpotentials U ges in der Nähe eines Atoms 1 für ein weiteres Atom, der sich aus einem abstoßenden Anteil U ab und einem anziehenden Anteil U an zusammensetzt. Atom 1 befindet sich hierbei im Ursprung der Grafik. Da man mit einer elastischen Verformung die Abstände zwischen den Atomen verändert, genügt es, auch nur die Abstandsabhängigkeit von abstoßendem bzw. anziehendem Anteil zu betrachten. Man findet folgende Proportionalitäten: U U n ab 1/ r n > m an 1/ r Dabei sind n und m Konstanten. Zudem findet man zwischen dem Bereich der Abstoßung und dem Bereich der Anziehung eine Gleichgewichtsabstand r 0 an dem sich das zweite Atom befindet, solange keine äußeren Kräfte wirken. Die Bedingung der Elastizität macht es erforderlich, dass an der Gleichgewichtslage r 0, zumindest für kleine Abstandsänderungen, ein stabiles Gleichgewicht, also ein Minimum von U ges herrscht, sonst könnten sich die Verformungen nicht zurückbilden. Daher kann man davon ausgehen, dass der Verlauf des Gesamtpotentials r0 in erster Näherung parabelförmig ist. m ( ) U ges in der Nähe von

18 Die negative Ableitung der Potentialfunktion ergibt nun die Wechselwirkungskraft F zwischen den beiden Atomen 1 und. Unter Berücksichtigung der Annahme für den parabelförmigen Verlauf von Verlauf in der Umgebung von r 0. U ges in der Nähe von r 0 erhält man für F einen linearen Solange die bei der Verformung durch äußere Kräfte verursachte Auslenkung r des zweiten Atoms aus der Gleichgewichtslage r 0 so klein bleibt, dass man die Näherung des parabelförmigen Verlaufs von U ges verwenden kann, hat man es mit einer elastischen Verformung zu tun. Hört die Wirkung der äußeren Kräfte auf, so treibt die Wechselwirkungskraft F das zweite Atom wieder in die Gleichgewichtslage r 0 zurück, was makroskopisch einem Verschwinden oder besser einer Rückbildung der Verformung gleichkommt, was genau die Definition einer elastischen Verformung ist. Was passiert nun, wenn die Auslenkung des zweiten Atoms aus der Gleichgewichtslage r 0 so groß wird, dass die Näherung eines parabelförmigen Potentials nicht mehr gilt? Bewegt sich das zweite Atom nach links von r 0 weg, und nähert sich somit dem ersten Atom, so wird die Steigung des Potentialverlaufs immer steiler. Wirkt die äußere Kraft nur in eine Richtung, so genügen nach ([5], S. 135) schon kleinste Querkräfte, sobald eine gewisse äußere Kraft F Kn, die Knicklast, überschritten wurde und der Festkörper knickt zusammen. Wirken hingegen gleich große äußere Kräfte aus allen Richtungen auf den Festkörper ein, wirkt also ein allseitiger Druck p auf den Festkörper, so wird er komprimiert. Aufgrund des steilen Anstieges von U ges sind jedoch sehr große Kräfte bzw. Drücke notwendig um einen Festkörper merklich zu komprimieren, so dass man Festkörper meist auch als inkompressibel ansieht. Bei sehr hohen Drücken allerdings, wie sie etwa in Sternen vorkommen, können laut ([6], S.186) Festkörper auch soweit komprimiert werden, dass die Elektronenhüllen der Festkörperatome in die Atomkerne gequetscht werden und ein superdichter Stern aus einem einheitlichen Material, ein Neutronenstern entsteht

19 Bewegt sich das zweite Atom nach rechts von r 0 weg, und entfernt sich somit vom ersten Atom, so wird die Steigung des Potentialverlaufs von U ges immer flacher. Man gerät in den Übergangsbereich zwischen elastischer und plastischer Verformung. Die Abnahme der zur Dehnung notwendigen Kräfte im plastischen Bereich im Vergleich zum elastischen Bereich (s..1.4) lässt sich mit der Betrachtung von nur zwei Atomen noch erklären: Die Steigung von U ges und damit die rücktreibende Wechselwirkungskraft F wird immer geringer, also genügen auch geringere äußere Kräfte um den Festkörper zu Verformen. Um die eigentliche Plastizität, also das Andauern der Verformung nach dem Verschwinden der äußeren Kräfte, verstehen zu können benötigt man aber die Tatsache, dass die Atome in einen Kristall eingebunden sind. Wie in.1.. schon angesprochen beruht die Plastizität auf dem Gleiten von Gitterebenen bzw. Versetzungen. In Abbildung 8 ist dazu schematisch der Potentialverlauf für ein Atom A in einer Gitterebene dargestellt, in Abhängigkeit von der Verschiebung s gegenüber der Nachbarebene. Abb. 8: Schematische Darstellung des Potentialverlauf für ein Atom A dessen Gitterebene gegenüber der Nachbarebene verschoben wird in Abhängigkeit der Verschiebung s, wobei s=0 der Lage von A vor der Verschiebung entspricht. Der gezeigte Potentialverlauf erklärt sich wie folgt: Man denke sich einen Schnitt durch die beiden Gitterebenen, der senkrecht auf beiden steht. Befindet sich nun Atom A über der Mitte zwischen zwei Atomen der Nachbarebene, so befindet sich A in einem stabilen Gleichgewicht, d.h. das Potential muss an dieser Stelle ein Minimum aufweisen, da die Steigung des Potentialverlaufs und damit die wirkenden Kräfte Null sein müssen und zugleich kleine Auslenkungen aus dieser Position rücktreibende Kräfte bewirken müssen. Ist das Atom A aber genau über einem Atom der Nachbarebene, so ist es in einem labilen Gleichgewicht

20 und das Potential weist dort ein Maximum auf. Die Periodizität des Kristalls überträgt sich auch auf den Potentialverlauf. Zu beachten ist laut ([4], S. 169) noch, dass die Abstandsänderung der Atome bei einer Verschiebung sehr klein ist und damit auch die Minima in dem Potentialverlauf in Abbildung 8 flacher sind als das Minimum in Abbildung 7. Die Plastizität lässt sich nun so erklären, dass auf Atom A, wenn es von seiner Ruhelage aus über das erste Maximum gebracht wurde keine rücktreiben Kräfte mehr wirken, da der Potentialverlauf keine Steigungen und damit auch keine rücktreibenden inneren Kräfte mehr aufweist, die A wieder zurück über das Maximum bringen können. Dieses Fehlen von rücktreibenden inneren Kräften bewirkt das Andauern der Restverformung, da die Verformung nur vollständig zurückgebildet werden kann, wenn auch Kräfte da sind, die eine Rückkehr von A in seine Ausgangslage bewirken. Zudem wird sichtbar, warum es energetisch günstiger ist, wenn die Versetzungen gleiten und nicht die ganzen Gitterebenen: Beim Gleiten der Versetzung müssen nämlich nur ein paar Atome über die Maxima gebracht werden, beim Gleiten von Gitterebenen hingegen alle Atome der Ebenen, was natürlich mehr Energie benötigt. Zu beachten ist zudem, dass die Potentialverläufe für viele Festkörper richtungsabhängig sind. Dies führt automatisch auch zu einer Richtungsabhängigkeit der Dehnung und damit auch des Elastizitätsmoduls E Das Spannungs-Dehnungs-Diagramm Der nun folgende Abschnitt bildet eine Art Zusammenfassung der wichtigsten Punkte aus dem Kapitel.1. Verformung von Festkörpern, da diese für die Erklärung des Verlaufs des Spannungs-Dehnungs-Diagramms notwendig sein werden. Zugleich werden die wichtigen Begriffe der Spannung und der Dehnung definiert, die für das Hook sche Gesetz notwendig sein werden, welches das Thema des nächsten Kapitels ist

21 Als (makroskopische) Dehnung ε oder auch relative Längenänderung wird der Quotient aus Längenänderung l und der Ausgangs- oder Anfangslänge l 0 bezeichnet: l ε = ( 3 ) l 0 Bei Längenänderungen außerhalb des elastischen Bereichs, sowie bei Dehnungen auf atomarer Ebene ist statt Sowohl bei l die differentielle Längenänderung dl zu verwenden. l als auch bei dl wird die Längenänderung immer auf die Ausgangslänge l 0 bezogen. Wenn man mit l 1 die Länge nach der Verformung bezeichnet so kann man auch l = l 1 l0 schreiben. Übt man nun eine Zugkraft auf einen Festkörper aus, so verlängert sich dieser. Man erhält eine positive Längenänderung l negativ wird. l. Eine Druckkraft bewirkt hingegen eine Verkürzung, so dass Unter der (mechanischen) Spannungσ versteht man den Quotienten aus angreifender Kraft und der senkrecht dazu stehenden Querschnittsfläche eines Festkörpers. F σ = ( 4 ) A Eigentlich müsste man bei σ von Normalspannung sprechen, da auch der Fall einer angreifenden Kraft parallel zur Ebene möglich ist. Man schreibt dann: F = A τ ( 5 ) Da die Tangentialspannung τ jedoch eine Scherung des Festkörpers bewirkt, wird sie auch als Scherspannung bezeichnet (s. auch..5). Somit erübrigt sich der Zusatz Normal im Falle einer senkrecht zu A angreifenden Kraft, da bei parallel angreifenden Kräften der Begriff Scherspannung zur Anwendung kommt

22 Je nach Kraftrichtung muss jedoch, zwischen Zugspannung Druckspannung σd σz für Zugkräfte und für Druckkräfte unterschieden werden. Für allseitige Druckkräfte spricht man auch nur vom Druck p, der ebenfalls als Kraft pro Fläche definiert ist: Die Einheit von Spannung, Scherspannung und Druck ist Pascal (Pa) findet dagegen nur beim Druck p Anwendung. F p = ( 6 ) A N m. Die Einheit Spannungs-Dehnungs-Diagramme werden meist mit Hilfe von Zugversuchen bestimmt, für Druckspannungen sind sie unüblich. In Abbildung 9 sind die Spannungs-Dehnungs-Kurven verschiedener Materialien aufgetragen, wobei zu beachten ist, dass nicht die tatsächlich Spannung aufgetragen ist, sondern der Quotient aus tatsächlich wirkender Kraft zur anfänglichen Querschnittsfläche. Abb. 9: Spannungs-Dehnungs-Kurven verschiedener Materialien, wobei allerdings nicht die tatsächliche Spannung aufgetragen ist (näheres siehe Text). Die Dehnung wurde dabei für Auftragungszwecke außer beim Gummi gestreckt. Für Gummi ist eine extra Skalierung angebracht (rechts bzw. oben) Da sich bei der Verlängerung des Festkörpers der Querschnitt des Festkörpers verringert (s...3), kann bei dieser Auftragung das Spannungs-Dehnungs- - -

23 Diagramm auch eine Spannungsabnahme aufweisen, obwohl die für die Verlängerung notwendige Kraft immer noch zunimmt. Dies ist beispielsweise für Metalle in der Nähe der Bruchspannung der Fall, wo sich der Festkörper immer mehr einschnürt, bevor es dann irgendwann zum Bruch an der dünnsten Stelle kommt. Man erkennt in Abbildung 9 zudem, dass der Verlauf der Kurven vom Material abhängt. So weist das Aluminiumoxid als keramischer Werkstoff einen so kleinen plastischen Bereich auf, dass er in Abbildung 9 gar nicht eingezeichnet ist. Die beiden Polymere PMMA (Plexiglas) und Gummi weisen hingegen ein sehr unterschiedliches Verhalten auf. So ist Gummi so dehnbar, dass für ihn rechts und oben in Abbildung 9 gesonderte Skalen angebracht sind. Baustahl als Metall hingegen weist einen ausgeprägten plastischen Bereich auf. Somit sind an dem Spannungs-Dehnungs-Diagramm die in.1.. getroffenen Aussagen über die Verformung direkt ablesbar. Die im Rahmen der plastischen Verformung angesprochene Schwierigkeit, die Grenze zwischen plastischem und elastischem Bereich zu bestimmen, lässt sich anhand von Abbildung 10 erklären: Abb. 10: schematische Spannungs-Dehnungs-Kurve für ein Metall mit kubisch-flächenzentriertem Gitter Zuvor noch ein Hinweis für den Vergleich von Abbildung 9 mit Abbildung 10. Der Kurvenverlauf des in Abbildung 10 gegebenen schematischen Spannungs- Dehnungs-Diagramms eines Metalls, weicht deutlich von dem in Abbildung 9 gegebenen Kurvenverlauf von Baustahl ab. Ursache hierfür ist die aufgetragene Spannung σ. Wie oben schon erläutert, wird in Abbildung 9 nicht die tatsächliche Spannung aufgetragen, sondern der Quotient aus tatsächlich wirkender Kraft zur anfänglichen Querschnittsfläche. In Abbildung 10 hingegen ist die tatsächliche Spannung aufgetragen, wie sie in ( 4 ) definiert wurde

24 Der Bereich in Abbildung 10 vom Startpunkt A bis zum Punkt P wird elastischer Bereich genannt. Der Punkt P stellt die Proportionalitätsgrenze dar. Bis zu diesem Punkt ist der Körper streng elastisch, somit ist man im Bereich der in.1.3. beschriebenen parabelförmigen Näherung und hat daher auch einen linearen Zusammenhang zwischen Spannung σ und Dehnung ε. Der Bereich zwischen P und der Streckgrenze S stellt ein Übergangsbereich dar, der Gestalt, dass der Körper nur noch näherungsweise in seine Ausgangslage zurückkehrt. Die bleibende Verformung ist aber noch so klein, dass er noch als elastisch angesehen werden kann, obwohl eigentlich schon eine plastische Verformung eingesetzt hat. Per Definition wird der elastische Bereich bis zur Streckgrenze S ausgedehnt, da diese genau festgelegt ist (s.u.), der Punkt P hingegen im Experiment nicht genau bestimmbar ist. Die Schwierigkeiten bei der Bestimmung von P sind in der Ursache für die Plastizität begründet: das Gleiten der Versetzungen. Da es sich dabei um einen Vorgang auf atomarer Ebene handelt, ist die durch das Gleiten einer einzelnen Versetzung bewirkte Verformung makroskopisch nicht messbar. Erst das Gleiten einer großen Zahl von Versetzungen, wie sie in einem Festkörper gegeben sind, bewirkt eine makroskopisch messbare Verformung. Daher wurde für die Technik anstelle der Proportionalitätsgrenze P die Streckgrenze S als Hilfsgröße eingeführt. Sie ist laut ([3], S.40) definiert als die Spannung, bei der eine bestimmte bleibende Dehnung nach Entlastung auftritt. Die bleibende Dehnung wird dabei in Prozent angegeben, üblich sind 0,01% oder 0,%. Bei der (quantitativen) Angabe der Streckgrenze werden diese Prozentsätze immer als Index von σ vermerkt, damit die bestimmte bleibende Dehnung aus der Definition festgelegt ist. Kubisch-raumzentrierte Metalle wie Eisen (s. Tabelle in ([3], S. 45) weisen sogar zwei Streckgrenzen auf. Nach ([3], S.47) sind hierfür Fremdatome verantwortlich, die sich bei diesem Kristallgitter an den Versetzungen sammeln und somit ein Gleiten derselben Verhindern. Erst wenn die Spannung die obere Streckgrenze überschreitet, lösen sich Versetzungen von diesen Verunreinigungen. Dadurch - 4 -

25 können die Versetzungen plötzlich frei gleiten und die Spannung sinkt zunächst auf den für diesen Gleitvorgang nötigen Wert, die untere Streckgrenze. Wird die Dehnung aufgrund des Gleitens immer größer, so steigt die Spannung dann auch wieder an. Da Stahl, und somit auch Baustahl im Prinzip nichts weiter ist, als mit Kohlenstoff verunreinigtes Eisen, sind die beiden in Abbildung 9 eingetragenen Streckgrenzen damit erklärt. Die im Praktikum verwendeten Metalle, Aluminium und Kupfer sind kubischflächenzentrierte Metalle (s. Tabelle in ([3], S. 45) und weisen nach ([3], S.46f) nur eine Streckgrenze auf. Da vom Punkt P bis zum Punkt S die Plastizität durch eine immer größere Anzahl von gleitenden Versetzungen auch immer stärker zunimmt, kann der Körper nach dem Überschreiten von S auch nicht mehr näherungsweise als elastisch betrachtet werden. Somit ist der Bereich zwischen S und Z der plastische Bereich. Bei einer Auftragung wie in Abbildung 9 haben die Spannungs-Dehnungs-Kurven von Metallen ein Maximum, das bei der Spannung auftritt, an der die Kraft bezogen auf den Anfangsquerschnitt den höchsten Wert erreicht. Diesen Punkt bezeichnet man als Zugfestigkeit R M, die insbesondere in der Technik eine wichtige Rolle spielt. Wird dieser Punkt erst einmal überschritten, so dehnt sich der Festkörper nicht mehr gleichmäßig aus, sondern es bilden sich Einschnürungen, die sich immer weiter verengen, bis der Körper schließlich an der dünnsten Stelle reißt, was auch in Abbildung 10 als Punkt Z eingezeichnet ist. Diese Einschnürungen sorgen auch dafür, dass bei einer Auftragung wie in Abbildung 9 die Spannung nach dem erreichen der Zugfestigkeit wieder abnimmt, da die Querschnittsänderungen in diesem Bereich signifikant größer sind als die Kraftänderung. Das Abflachen der Spannungs-Dehnungs-Kurve in Abbildung 10 nach dem Punkt P ist im Übrigen darauf zurückzuführen, dass hier der Bereich der parabelförmigen Näherung in Abbildung 8 verlassen wird und sich das Potential in Abbildung 8 nach rechts neigt, also bei größeren Atomabständen zunehmend abflacht. Dieses Abflachen des Potentials ist gleichbedeutend mit einer Verringerung der rücktreibenden Kraft, was auch zu einer Verringerung der zur weiteren Dehnung - 5 -

26 notwendigen Kraft und damit auch der Spannung führt. In Abbildung 9 ist ein Abflachen der Spannungs-Dehnungs-Kurve im plastischen Bereich im Vergleich zum elastischen Bereich zu beobachten, allerdings fällt es dort nicht so auf, da der elastische Bereich ziemlich nahe an der linken Skala eingezeichnet ist... Das Hook sche Gesetz..1. Das allgemeine Hook sche Gesetz In.1.3. und.1.4. wurde im elastischen Bereich ein linearer Zusammenhang zwischen Spannung σ und Dehnung ε festgestellt. Die Gesetzmäßigkeit, die sich aus dieser Linearität ableitet wird Hook sches Gesetz genannt, nach dem Physiker Robert Hooke. Dabei handelt es sich jedoch um einen Spezialfall eines viel allgemeineren Gesetzes, bei dem durch eine bestimmte Art der Spannung, einer Zugspannung eine bestimmte Formänderung, eine Dehnung hervorgerufen wird. Dieses viel allgemeinere Gesetz heißt allgemeines Hook sches Gesetz und ist in ( 7 ) gegeben: t t t σ = ε C ( 7 ) Es beschreibt die elastische Verformung, die ein Festkörper erfährt, wenn beliebige Spannungen und damit Kräfte aus beliebigen Richtungen an beliebigen Stellen des Körpers angreifen, wobei in diesem Zusammenhang ausnahmsweise auch die Scherspannungen mit dem Begriff Spannung gemeint sein können. Zur Definition des Spannungstensors σ t wird ein würfelförmiger Körper herangezogen, der in einem kartesischen Koordinatensystem eingebetet ist, wie er in Abbildung 11 dargestellt ist. Der erste Index an den Spannungen in Abbildung 11 bezeichnet dabei die Kraftrichtung, der zweite die Richtung der Flächennormalen. Die hier in Abbildung 11 eingezeichneten drei Seiten liefern insgesamt 9 Beiträge für den Spannungstensor. Die drei nicht eingezeichneten Seiten liefern ebenfalls insgesamt 9 Beiträge, so dass der Spannungstensor insgesamt aus 18 Komponenten besteht

27 Abb. 11: Spannungen an einem würfelförmigen Körper im statischen Gleichgewicht zur Definition des Spannungstensors Setzt man ein statisches Gleichgewicht voraus, so liefert das 3 Newtonsche Axiom ( actio=reactio ) eine Beziehung für die (Normal-)Spannungen σ für gilt dann τ ij σ = σ = σ = σ für i x, y, z ii i, i i, i i, i ii i x, y, z =. Es =. Für die Scherspannungen ; i, j = x, y, z i j liefert das zweite Newtonsche Axiom ebenfalls ein ähnliches Ergebnis. Es gilt hier τ = τ = τ = τ für i j = x, y, z i j ij i, j i, j i, j dieser Beziehungen reduziert sich der Spannungstensor auf:,. Mit Hilfe σ t σ = τ τ xx yx zx τ σ τ xy yy zy τ τ σ xz yz zz ( 8 ) Dabei gilt es zu beachten, dass es sich hierbei um einen symmetrischen Tensor handelt, da die Drehmomentefreiheit des statischen Gleichgewichts noch eine weitere Beziehung liefert. Man erhält τ = τ für i, j = x, y, z i j. ij ji Für die Definition des Verzerrungstensors ε t betrachtet man wieder einen würfelförmigen Körper in einem kartesischen Koordinatensystem. In Abbildung 1 sind die durch die Komponenten des Spannungstensorsσ t hervorgerufenen Verformungen abgebildet: - 7 -

28 Abb. 1: a) Durch die (Normal-)Spannungskomponenten des Spannungstensors hervorgerufenen Verformungen zur Definition des Verzerrungstensors b) Durch die Scherspannungskomponenten des Spannungstensors hervorgerufenen Verformungen zur Definition des Verzerrungstensors (Die Angriffsfläche der Scherspannungskomponenten sind jeweils schraffiert dargestellt) In Abbildung 1 a) sind dabei die durch die Normalspannungskomponenten des Spannungstensors hervorgerufenen relativen Längenänderungen i x, y, z = durch Dehnung bzw. Stauchung eingezeichnet. Die durch die ii l = l ε für Scherspannungskomponenten hervorgerufenen Scherungen des Körpers sind in den Abbildungen 1 b) dargestellt, wobei die Angriffsfläche der Scherspannung jeweils schraffiert ist. Die Scherspannungen rufen dabei eine Verkippung des Körpers um den Scherwinkel γ ij für i, j = x, y, z i j hervor, der ebenfalls in Abbildung 1 b) eingezeichnet ist (zur Scherung, Scherwinkel siehe auch..5). Somit ergibt sich folgender Verzerrungstensor ε t : i i ε t ε = γ γ xx yx zx γ ε γ xy yy zy γ γ ε xz yz zz ( 9 ) - 8 -

29 Dabei handelt es sich ebenfalls um einen symmetrischen Tensor, da sich die Überlegungen zur Symmetrie vom Spannungstensorσ t übertragen, also i, j = x, y, z i j gilt. γ = γ für ij ji Somit lautet das allgemeine Hook sche Gesetz ( 7 ) nach ([1], S. 385) vollständig ausgeschrieben: σ σ σ τ τ τ xx yy zz yz zx xy = C = C = C = C = C = C ε ε ε ε ε ε xx xx xx xx xx xx + C + C + C + C + C + C ε ε ε ε ε ε yy yy yy yy yy yy + C + C + C + C + C + C 13 ε ε ε ε ε ε zz zz zz zz zz zz + C + C + C + C + C + C 14 γ γ γ γ γ γ yz yz yz yz yz yz + C + C + C + C + C + C γ 5 35 γ γ γ γ zx γ zx zx zx zx zx + C + C + C + C + C 16 + C γ γ γ γ γ xy γ xy xy xy xy xy ( 10 ) Wobei sich die Symmetrie von σ t und ε t sich auf C t überträgt, d.h. von den in ( 10 ) dargestellten 36 Komponenten sind nur 1 Komponenten, die Komponenten C nm n, m = 1,,3,4,5,6 n munabhängig. Die C nm heißen Elastizitätskonstanten oder Elastizitätsmoduln. Meist benötigt man jedoch nicht alle 1 Komponenten, sondern kann wegen Kristallsymmetrien mit wesentlich weniger Komponenten auskommen. So benötigen laut ([1], S.386) Polykristalle zu denen auch Metalle gehören, so wie isotrope Festkörper nur die beiden KomponentenC 11 und C 44, bei kubischen Kristallen die drei Komponenten C11,C1 und C 44 und bei hexagonalen Kristallen die fünf 11,,, C Komponenten C C1 C13 33und C 44. Allgemein gilt: Je niedriger die Symmetrie der Kristalle desto mehr Elastizitätsmoduln sind notwendig.... Der Elastizitätsmodul E Eine der in..1. eingeführten Elastizitätsmoduln C nm ist der Elastizitätsmodul E, der im englischsprachigen Raum auch Young s modulus heißt. Er ergibt sich als - 9 -

30 Proportionalitätskonstante für den linearen Zusammenhang zwischen einer Zugbzw. Druckspannung und einer Dehnung bzw. Stauchung: σ = E ε ( 11 ) Die Ähnlichkeit zu ( 7 ) ist nicht weiter verwunderlich, handelt es sich dabei doch um den in..1. beschriebenen Spezialfall des allgemeinen Hook schen Gesetzes, der unter dem Namen Hook sches Gesetz bekannt ist. Unter Berücksichtigung der Definitionen ( 3 ) und ( 4 ) wird die Beziehung ( 1 ) ebenfalls als Hook sches Gesetz bezeichnet: F A l = E l 0 ( 1 ) Für die meisten Materialien sind der Elastizitätsmodul für Zug- und Druckbe- anspruchung gleich groß. Wichtige Ausnahmen sind laut ([7], S. 344) Beton und Knochen...3. Die Lamé-Konstanten λˆ und µˆ Bei den Lamé-Konstanten λˆ und µˆ handelt es sich um Elastizitätskonstanten, die hauptsächlich im Bereich der theoretischen Physik Anwendung finden. Für sie gelten laut ([8], S. 369) folgende Beziehungen: σ σ σ xx yy zz = ˆ µε = ˆ µε = µε ˆ xx yy zz + λˆ ( ε + λˆ ( ε + λˆ ( ε xx xx xx + ε + ε + ε yy yy yy + ε + ε + ε zz zz zz ) ) ) τ τ τ xy yz zx = ˆ µγ = ˆ µγ = ˆ µγ xy yz zx ( 13 ) Einen Zusammenhang zwischen λˆ,µˆ und der Elastizitätskonstante E findet man nun (vgl. ([8], S. 370f.)), indem man den Fall eines einseitigen Zuges an einem prismatischen Stabes der Ausgangslänge l 0 und der quadratischen Grundfläche A = d 0 betrachtet, wie er in Abbildung 13 dargestellt ist:

31 Abb. 13: Einseitiger Zug an einem eingespannten Balken (Die Haltekraft ist blau eingezeichnet) Dabei ist die y-richtung in Abbildung 13 nicht dargestellt. Die blau eingezeichnete Kraft F r stellt dabei die Haltekraft dar, die von der Befestigung des Stabes aufgebracht wird. Somit wirkt auf den Stab als äußere Kraft nur die Zugkraft in z-richtung was dazu führt, dass σ τ xx xy = σ = τ yz yy = 0 = τ zx = 0 ( 14 ) und mit ( 13 ) auch γ = γ = γ = 0 xy yz zx ( 15 ) ist. Die Elimination von ε xx und ε yy ist etwas aufwendiger. Man addiert hierfür zunächst die ersten drei Gleichungen von ( 13 ): σ xx σ + σ zz yy + σ zz = µ ˆ( ε = (ˆ µ + 3ˆ)( λ ε xx xx + ε + ε yy yy + ε + ε zz ) zz ) + 3ˆ( λ ε xx + ε yy + ε zz ) ( 16 ) Für die linke Seite von ( 16 ) ist der erste Teil von ( 14 ) zu beachten. Stellt man das Ergebnis aus ( 16 ) nun nach ε + ε + ε ) um und setzt es in die dritte ( xx yy zz Gleichung von ( 13 ) ein, so ergibt sich: σ = σ + λˆ ˆ µ + 3ˆ λ µε ˆ zz zz zz ( 17 ) Um ( 17 ) mit ( 11 ) vergleichen zu können stellt man ( 17 ) noch nach σ zz um

32 σ µ ˆ(ˆ µ + 3ˆ λ) = µ ˆ + λˆ zz ε zz ( 18 ) Somit ergibt sich folgender Zusammenhang zwischen der Elastizitätskonstanten E und den Lamé-Konstanten µˆ undλˆ : µ ˆ(ˆ µ + 3ˆ λ) = µ ˆ + λˆ E ( 19 ) Zugleich liefert ( 13 ) zusammen mit ( 14 ) noch eine weitere Erkenntnis, wenn man die erste Gleichung von ( 13 ) nach ε xx auflöst (analog für die zweite Gleichung undε yy ): λˆ λˆ σzz ε xx = ( ε xx + ε yy + ε zz ) = ( 0 ) ˆ µ ˆ µ (ˆ µ + 3ˆ) λ Dies bedeutet, obwohl in x-richtung keine äußeren Kräfte wirken, findet dennoch eine negative Längenänderung also eine Verkürzung statt. Hierbei handelt es sich um die so genannte Querkontraktion...4. Die Poissonsche Zahl µ In..3. führte eine Zugspannung in z-richtung zu einer Querkontraktion in x- und y-richtung. Das negative Verhältnis von Querkontraktion zu Längenänderung heißt Poissonsche Zahlµ und bildet eine weitere Elastizitätskonstante. Es gilt: d l : l µ = ( 1 ) d0 0 Mit Hilfe von ( 18 ) und ( 0 ) lässt sich die Poissonsche Zahl auch durch die Lamé- Konstanten darstellen: λˆ µ = ( ) ( λ ˆ + µ ˆ ) Anhand von ( ) sieht man, dass die Poissonsche Zahlµ für Zugspannungen immer positiv ist, obwohl Gleichung ( 1 ) zunächst etwas anderes suggeriert. Dies - 3 -

33 liegt daran, dass die Querkontraktion d / d0 < 0 ist. Allerdings gibt es laut ([1], S. 388f.) Materialien, die bis unterhalb einer gewissen Spannung σ eine negative Poissonsche Zahlµ aufweisen. Grund dafür ist ihre spezielle Struktur, die in Abbildung 14 schematisch dargestellt ist: Abb. 14: a) -Dimensionale bzw. b) 3-dimensionale schematische Darstellung von Materialien mit negativer Poissonschen Zahl für * σ < σ Anhand der -dimensionalen Darstellung (Abb. 14a)) sieht man, dass diese Struktur eine besondere Verwinkelung aufweist, bei der sich aufgrund einer Zugspannung einige Winkel vergrößern können, was zunächst zu einer Verbreiterung der Struktur führt. So führt beispielsweise die Vergrößerung des rot eingezeichneten Winkels so lange zu einer Zunahme des Abstands zwischen Gitterpunkt 1 und Gitterpunkt und damit zu einer Verbreiterung der Struktur, bis dieser Winkel 90 erreicht. Daher ist bis zu diesem Punkt auch die Poissonsche Zahlµ negativ. Danach führt jede weitere Winkelvergrößerung wieder zu einer Verringerung der Breite, was eine positive Poissonsche Zahlµ zur Folge hat. Das Material verhält sich ab diesem Punkt also normal. Die Spannung, bei der der rot eingezeichnete Winkel 90 wird, ist also nach Definition σ. Man sieht anhand von Abbildung 14a) zudem, dass man eine negative Poissonsche Zahl bei diesen Strukturen nur für ganz bestimmte Richtungen erhält. Zu den Materialien, die diese spezielle Struktur aufweisen, gehören ([1], S. 388f.) biologische Stoffe wie Holz, Knochen oder Korallen, aber auch Schaumstoffe aus Polyurethan oder Kupfer, sowie einige Gläser

34 Man kann auch eine obere Grenze für den Wert der Poissonschen Zahlµ für Zugspannungen abschätzen. Dazu benötigt man die relative Volumenänderung eines prismatischen Festkörpers mit quadratischer Grundfläche A = d 0 und Ausgangslänge l 0. Dafür muss zunächst die absolute Volumenänderung von Anfangsvolumen auf Volumen nach der Dehnung abgeschätzt werden. Es ist: V = ( l = ( l = d l)( d + l)( d 0 + d + d) d d + d ) d l + d l d + d d l + l d l0 0 0l0 + d l ( 3 ) Für l << l0; d << d0 kann man laut ([7], S. 344) die Produkte von l und vernachlässigen und somit erhält man für ( 3 ) die folgende Abschätzung: d 0 Damit ergibt sich eine relative Volumenänderung von V d0 l + d0l d ( 4 ) V V d0 l 0 0 d0 l0 0 0 d0l0 d l d l d l + = + = 1 + ( 5 ) d l l0 d0 l0 d0 l Setzt man nun die Definitionen ( 3 ) und ( 1 ) ein so findet man: V V 0 ε(1 µ ) ( 6 ) Da eine Zugspannung betrachtet wurde istε als Dehnung positiv, und weil eine Zugspannung laut ([9], S. 179) keine Volumenverkleinerung bewirken kann, folgt für die obere Grenze der Poissonschen Zahlµ 0, Der Schermodul G Wie schon in..1. anhand ( 10 ) zu sehen ist, gilt auch für Scherspannung τ und den Scherwinkel γ ein linearer Zusammenhang, allerdings auch nur für kleine Winkel, wie anhand von Abbildung 15 zu erkennen ist:

35 Abb. 15: Scherung eines würfelförmigen Körpers Es gilt: F a τ = = G ( 7 ) A d Für kleine Winkel kann man linearen Zusammenhang: γ tan γ = a / d setzen und somit erhält somit den τ = G γ ( 8 ) Laut ([5], S. 13) lässt sich durch die Betrachtung der Scherung eines Würfels mit Kantenlänge d durch vier Kräfte, wie es in Abbildung 16 dargestellt ist, ein Zusammenhang zwischen dem Schermodul G, dem Elastizitätsmodul E und der Poissonschen Zahlµ finden. Abb. 16: Deformation eines Würfels über die Kanten zur Bestimmung des Zusammenhangs zwischen E, G und µ Der Würfel wird einerseits durch die schwarz eingezeichneten Kräftepaare geschert, andererseits wird durch die blau eingezeichneten Kräftepaare eine Diagonale gestaucht und die andere gedehnt. Unter Berücksichtigung von ( 7 ) und ( 8 ) ergibt sich für die zwei schwarzen Scherkräftepaare folgender Scherwinkel γ :