Physikalische Untersuchungen zum Verhalten von Flüssigkeiten in Natur und Alltag

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1 Physikalische Untersuchungen zum Verhalten von Flüssigkeiten in Natur und Alltag Schriftliche Hausarbeit im Rahmen der Ersten Staatsprüfung für das Lehramt für die Sekundarstufe I und II Themensteller: Prof. Dr. H. J. Schlichting Dem Staatlichen Prüfungsamt für Erste Staatsprüfungen für Lehrämter an Schulen vorgelegt von: Stefanie Stockmann Februar 2007

2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung Grundlagen Deformierbare Körper Normalkräfte und Scherkräfte Elastizität Kompressibilität Scherung Zusammenhang zwischen den elastischen Konstanten Definition einer Flüssigkeit Statische Eigenschaften von Flüssigkeiten Dichte Statischer Druck Schweredruck Auftrieb Newtonsche Flüssigkeiten Viskosität Strömungen Aufspulverhalten viskoser Flüssigkeiten Nicht-Newtonsche Flüssigkeiten Polymere Flüssigkeiten Zeitunabhängige Flüssigkeiten Bingham Plastics und plastische Flüssigkeiten Scherverdünnende Flüssigkeiten Blut Der Kaye-Effekt Scherverdickende Flüssigkeiten Treibsand Zeitabhängige Flüssigkeiten Thixotrope Flüssigkeiten Anti-Thixotrope Flüssigkeiten... 77

3 Inhaltsverzeichnis 4.4 Viskoelastische Flüssigkeiten Elastischer Rückfluss Spinnbarkeit Self-Siphoning Der Die-Swell-Effekt (Barus-Effekt) Der Weissenberg-Effekt Fazit Anhang A1. Polyox WSR A2. Herleitung der Gleichung zur minimalen Geschwindigkeit beim Kaye-Effekt. 98 A3.Versuchsbeschreibung zum Aufspulverhalten von Honig A4. Versuchsbeschreibung zum Kaye-Effekt A5. Versuchsbeschreibung zum stabilen Kaye-Effekt A6. Versuchsbeschreibung zum scherverdickenden Verhalten einer Wasser-Stärke-Suspension A7. Versuchsbeschreibung zur Demonstration des Verhaltens von Treibsand A8. Versuchsbeschreibung zum thixotropen Verhalten von Ketchup A9. Versuchsbeschreibungen zu Kurzversuchen mit viskoelastischen Flüssigkeiten A10. Versuchsbeschreibung zum Weissenberg-Effekt A11. DVD Literaturverzeichnis Erklärung

4 1. Einleitung 1 1. Einleitung Wir kommen jetzt zum schwierigsten Teil der klassischen Mechanik, zu den Bewegungen der Flüssigkeiten [...]. EINLEITUNGSWORTE ZUM KAPITEL MECHANIK DER FLUIDE in Bergmann- Schaefer (1) 1998 Wie im obigen Zitat angedeutet wird, handelt es sich bei dem Thema dieser Arbeit um ein vergleichsweise schwieriges und (im Sinne der Physik) schwer fassbares Teilgebiet der klassischen Mechanik. Im Gegensatz zu den Festkörpern sind Flüssigkeiten in ihren Bewegungen viel weniger eingeschränkt und die relativen Positionsänderungen zwischen den einzelnen Flüssigkeitspartikeln müssen bei den Untersuchungen stärker berücksichtigt werden. In der Schulphysik tauchen Grundaspekte der Hydrostatik wie der Schweredruck oder der Auftrieb (s. Abschnitt 2.3) im Unterricht der Sekundarstufe I auf (vgl. Lehrplan Sek I 2005, S. 63f). Die Hydrodynamik ist allerdings kein Gegenstand des Schulunterrichts, auch nicht in der Oberstufe, wie man gängigen Lehrbüchern entnehmen kann. Dabei spielen Flüssigkeiten in unserem Alltag und in unserer Lebenswelt eine sehr wichtige Rolle. Abgesehen davon, dass die Erde, unser Lebensraum, zu ca. 75% von Wasser bedeckt ist, gibt es im Alltag und in der Natur unzählige Vorgänge, bei denen Flüssigkeiten und ihr spezielles Verhalten beteiligt sind. Allerdings nehmen wir viele dieser Abläufe nicht war. Die alltäglichen Vorgänge sind uns gut bekannt und werden nicht hinterfragt, selbst wenn sie ein gewisses Ärgernis darstellen (Teig der am Mixer klebt, anstatt sich zu vermischen, s. Abschnitt 4.4.5). Wir nehmen die Abläufe einfach so hin. Dies liegt daran, dass unsere alltägliche Sichtweise keineswegs eine physikalische Sichtweise ist. Die physikalische Sichtweise stellt ein bewusstes Hinterfragen von Selbstverständlichkeiten und das Suchen der physikalischen

5 1. Einleitung 2 Aspekte in einem scheinbar unphysikalischen Vorgang dar (vgl. Schlichting 2006, S. 127). Ein Ziel dieser Arbeit ist es, auf diese im Alltag versteckten Abläufe hinzuweisen, sie zu beschreiben, die wichtigsten Faktoren aufzuzeigen und sie, soweit im Rahmen dieser Arbeit möglich, zu erklären. Schon Kant war bewusst: Wahrnehmung muss gelernt werden 1, aber wenn dieser Lernprozess vollzogen ist, ist es dem Beobachter auch tatsächlich möglich, das physikalische im Nichtphysikalischen zu erkennen. Für ihn sieht die Welt dann anders aus und beispielsweise das Kochen wird zu einem physikalischen Erlebnis. Die einfachen Flüssigkeiten sind die so genannten Newtonschen Flüssigkeiten (s. Kapitel 3). Diese weisen eine konstante Viskosität auf und lassen sich einigermaßen gut physikalisch beschreiben. Diese Gruppe der Flüssigkeiten macht aber (leider) nur einen kleinen Teil aller Flüssigkeiten aus. Der Großteil der Flüssigkeiten gehört zu den so genannten Nicht-Newtonschen Flüssigkeiten, die ein wesentlich komplexeres Verhalten zeigen. Ein Großteil dieser Arbeit widmet sich daher diesen Flüssigkeiten und zeigt einige überraschende Phänomene auf, die sogar auf den ersten Blick unseren Alltagserfahrungen zu widersprechen scheinen (es ist möglich, über Flüssigkeiten zu laufen, einige Flüssigkeiten fließen unter bestimmten Umständen gegen die Schwerkraft). Dieser Überraschungseffekt kann zu der oben angesprochenen Wahrnehmungsschulung wesentlich beitragen, da er zu einem Widerspruch führen und den Wunsch entstehen lassen kann, diesen Widerspruch aufzulösen. Ist dies erfolgreich geschehen, so kann dieser Aha- Effekt dafür sorgen, dass die neue Erkenntnis besser behalten wird und auf die nächste Situation angewendet werden kann. Um die angesprochenen Phänomene auch erklären zu können, ist ein gewisses Grundwissen nötig. Deshalb beginnt diese Arbeit in Kapitel 2 mit den physikalischen Grundlagen, zum einen mit dem Deformationsverhalten von Körpern und zum anderen mit dem hydrostatischen Verhalten von Flüssigkeiten. Danach werden die Newtonschen Flüssigkeiten behandelt und im vierten Kapitel die Nicht-Newtonschen. 1 Zitat entnommen: Schlichting 1996

6 1. Einleitung 3 An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, dass der Begriff Flüssigkeit in dieser Arbeit sehr großzügig ausgelegt wird. Es werden nicht nur die Flüssigkeiten im eigentlichen Sinne (s. Abschnitt 2.2) behandelt, sondern alle Substanzen, die fließen. Diese weite Auslegung lässt sich dadurch begründen, dass auch bei als fest klassifizierten Substanzen unter bestimmten Umständen ein Fließen zu beobachten ist, das dem der Flüssigkeiten sehr ähnlich ist bzw. diesem entspricht. Wie oben angesprochen ist es ein wesentliches Ziel dieser Arbeit, auf die behandelten Phänomene hinzuweisen und diese zu erklären. Dabei kommt dem Beobachten und Beschreiben eine große Bedeutung zu. Aus diesem Grund ist dieser Arbeit auch eine DVD mit Videos und Fotos von den durchgeführten Experimenten beigefügt. Die durchgeführten Experimente sind daher hauptsächlich qualitativer Natur und die wenigen gewonnen Messwerte dienen nur der Verdeutlichung eines bestimmten Zusammenhangs und sollten nicht als fundierte Größen betrachtet werden. Bei den Experimenten handelt es sich um einfach durchzuführende Versuche mit alltäglichen Substanzen. Um reliable Messwerte zu gewinnen, hätte eine starke Systematisierung und das Ausschalten von vielen Effekten stattfinden müssen, welches den Alltagscharakter zerstört hätte. Die systematische Untersuchung der einzelnen Phänomene kann Gegenstand einer anderen Arbeit mit einem anderen Zielaspekt sein.

7 2. Grundlagen 4 2. Grundlagen Dieses Kapitel dient der kurzen Einführung in die theoretischen Grundlagen, auf denen die Erläuterungen der nachfolgenden Kapitel teilweise aufbauen. Die einzelnen Gesetzmäßigkeiten werden in den meisten Fällen nur genannt und nur so ausführlich hergeleitet, wie dies im Rahmen dieser Arbeit notwendig war. Außerdem handelt es sich um Grundlagen, die in vielen Lehrbüchern nachgelesen werden können (vgl. Bergmann-Schäfer (1) 1998, Paus 1995, auf die im Wesentlichen bei der Erstellung dieses Kapitels zurückgegriffen wurde) und die bei Physikinteressierten größtenteils vorausgesetzt werden können. In diesem Kapitel werden an einigen Stellen Anwendungen aus Natur und Alltag genannt, da dieser Bezug ein wesentlicher Aspekt dieser Arbeit ist. Allerdings werden die Beispiele ebenfalls nur kurz erläutert, da das Hauptaugenmerk dieser Arbeit auf dem Fließverhalten von Flüssigkeiten liegt. 2.1 Deformierbare Körper Bevor man sich mit dem Verhalten von Flüssigkeiten beschäftigt, ist es sinnvoll, sich zunächst mit den generellen Vorgängen bei Deformationen von Körpern vertraut zu machen, da das Fließen einer Flüssigkeit letztendlich durch das Einwirken von Kräften und damit durch Deformationen hervorgerufen wird Normalkräfte und Scherkräfte In dieser Arbeit wird, ganz allgemein ausgedrückt, das Verhalten von Körpern untersucht, die unterschiedlichen Krafteinwirkungen unterworfen sind. Eine äußere Kraft, die an einer Körperoberfläche angreift, lässt sich in zwei Komponenten zerlegen. Die senkrechte Komponente der Kraft wird als Normalkraft bezeichnet. Sie greift senkrecht zur Fläche an (s. Abbildung 2.1(a)). Die zweite Komponente greift tangential an der Fläche an und wird Tangentialkraft oder auch Scherkraft genannt, da durch diese Kraft der Körper geschert wird (s. Abbildung 2.1b)). Ein Körper wird durch die Einwirkung von Normalkräften und von Scherkräften, bzw. durch die daraus resultierenden Normal- und Scherspannungen (das Verhältnis der jeweiligen Kraft zur Angriffsfläche A) unterschiedlich deformiert. (vgl. Paus 1995, S. 172)

8 2. Grundlagen 5 Abbildung 2.1: Einwirkung von Kräften auf einen Körper: (a) Einwirkung einer Normalkraft; (b) Einwirkung einer Tangentialkraft (Scherkraft) (Paus 1995, S. 172) Elastizität Ein Körper ändert bei der Einwirkung einer Normalkraft F n seine Länge und wird je nach Richtung der Kraft gedehnt oder gestaucht. In einem gewissen Rahmen ist diese Längenänderung elastisch. Das bedeutet, dass die Längenänderung reversibel ist und der Körper nach Ende der Krafteinwirkung wieder in seinen ursprünglichen Zustand zurückkehrt. Innerhalb dieses elastischen Bereichs sind die einwirkende Normalspannung F n l σ = und die relative Längenänderung ε = (bezogen auf die A l Ausgangslänge l) proportional und es gilt das Hookesche Gesetz ε = α σ oder σ = E ε (2.1) mit einer materialspezifischen Dehnungsgröße α und dem Elastizitätsmodul (englisch: Young s Modulus nach Thomas Young, vgl. Bergmann-Schaefer (1) 1998, S.379) E = 1/α (vgl. Paus 1995, S. 172 f ). Wird die Elastizitätsgrenze überschritten, so wird der Körper plastisch, er beginnt zu fließen und bleibt auch nach Ende der Krafteinwirkung deformiert. Wird schließlich die Zerreißgrenze überschritten, so reißt der Körper (s. Abbildung 2.2).

9 2. Grundlagen 6 Abbildung 2.2: Darstellung der notwendigen Normalspannung σ in Abhängigkeit von Längenänderung ε des gestauchten Körpers. Bei geringen Längenänderungen ist das Verhältnis linear, oberhalb der Proportionalitätsgrenze beginnt der Bereich des plastischen Fließens, bevor der Körper bei noch größeren Längenänderungen reißt. (Kuchling 2001, S. 176) Im plastischen Bereich verhält sich ein Festkörper so wie eine Flüssigkeit (s. Abschnitt 2.2), so dass man in vielen Fällen die Gesetze der Fluidmechanik anwenden kann. Durch die Längenänderung des Körpers tritt gleichzeitig eine Änderung der Querabmessung des Körpers ein. Bei einer Dehnung des Körpers tritt also eine Querkontraktion d ein (s. Abbildung 2.3). Abbildung 2.3: Die angreifende Normalkraft hat eine relative Dehnung ε = l/l und eine relative Querkontraktion d/d zur Folge. (Paus 1995, S. 173)

10 2. Grundlagen 7 Diese Querkontraktion ist im Elastizitätsbereich proportional zur Dehnung d d l = µ (2.2) l mit der Proportionalitätskonstante µ, der so genannten Poisson-Zahl 2. Zahlenwerte für µ liegen ungefähr im Bereich von 0,2 bis 0,5. (vgl. Kuchling 2001, S. 178 f., Paus 1995, S172 f.). Durch die Änderungen in der Länge und der Breite ergibt sich eine Volumenänderung. Wenn es sich um einen quadratischen Stab handelt, so beträgt die Volumenänderung 2 2 ( d + d ) d l] V = [( l + l). Multipliziert man den Ausdruck aus und vernachlässigt die Produkte der Längen- und Querabmessungsänderungen, so erhält man für die Volumenänderung V = d ² l + 2dl l Die relative Volumenänderung beträgt damit V V = 2 ( d l + 2dl d ) d 2 l d l = 1+ 2 d. l l l Mit der Poisson-Zahl µ ergibt sich für die relative Volumenänderung V V ( 1 ) = ε 2µ. (2.3) Wenn µ = ½ ist, dann ändert sich das Volumen nicht. Für elastische Festkörper gilt: 0 < µ < 0,5. (vgl. Kuchling 2001, S. 179) Kompressibilität Wird auf einen Körper ein allseitiger Druck ausgeübt (s. Abbildung 2.4), so verringert der Körper sein Volumen. Im elastischen Bereich ist diese Volumenänderung V zur Änderung des aufgewendeten Drucks p. im Verhältnis zum Ausgangsvolumen V proportional 2 Bei der Poisson-Zahl sowie dem Elastizitäts-, dem Schub- und dem Kompressionsmodul handelt es sich nicht um Konstanten im eigentlichen Sinn. Diese Stoffgrößen sind ihrerseits von der Temperatur, dem Druck, etc. abhängig (vgl. Bergmann-Schäfer (1) 1998, S. 379).

11 2. Grundlagen 8 Diese Proportionalität wird mit dem Kompressionsmodul (englisch: Bulk Modulus, vgl. Bergmann-Schaefer (1) 1998, S. 380) K ausgedrückt p K = V (2.4). V Da ein ausgeübter Druck immer eine Abnahme des Volumens zur Folge hat, wird K mit einem negativen Vorzeichen definiert, damit der Kompressionsmodul einen positiven Wert annimmt. Abbildung 2.4: Auf den Körper wird ein allseitiger Druck F p = ausgeübt, wobei die Kraft A auf die ganze wirksame Fläche bezogen wird (Paus 1995, S. 172) Besonders bei Flüssigkeiten wird oft der reziproke Wert des Kompressionsmoduls, die Kompressibilität κ angegeben 1 1 V κ = = (2.5). K V p Da diese im Allgemeinen selbst vom Druck abhängig ist, verwendet man die differentielle Schreibweise.(vgl. Paus 1995, S. 174) = 1 dv κ V (2.6) dp Scherung Wirkt eine Tangentialkraft F t auf einen Körper ein, so wird dieser geschert (s. Abbildung 2.5). Die beiden gegenüberliegenden Flächen des Körpers werden um den Winkel γ gegeneinander verschoben.

12 2. Grundlagen 9 Abbildung 2.5: Wirkt eine Tangentialkraft (Scherkraft) auf einen Körper ein, so wird der Körper um den Winkel γ geschert. (Paus 1995, S. 174) Im elastischen Bereich ist dieser Winkel nur sehr klein, so dass die Näherung γ tan γ = angewandt werden darf. Außerdem ist im elastischen Bereich der Scherwinkel x a γ proportional zur einwirkenden Tangentialspannung (Scherspannung) τ = γ = β τ oder τ = G γ (2.7) mit materialspezifischen Schubgröße β und dem Schubmodul (Schermodul, englisch: Shear Modulus, vgl. Bergmann-Schaefer 1998 (1), S. 380) G, welcher das Verhältnis von aufgewendeter Scherspannung zur resultierenden Scherung darstellt. (vgl. Paus 1995, S. 174) F t A Zusammenhang zwischen den elastischen Konstanten Die vier elastischen Konstanten E, K, G und µ sind nicht unabhängig von einander. Der Spannungszustand eines homogenen, isotropen Körpers kann durch zwei dieser Konstanten vollständig beschrieben werden. Dies bedeutet, dass es zwei Relationsgleichungen zwischen den Konstanten gibt. (vgl. Paus 1995, S. 175) Die erste Relation drückt den Elastizitätsmodul durch den Kompressionsmodul und die Poisson-Zahl aus. Hierzu betrachtet man die Volumenänderung bei einer allseitigen Druckänderung p = σ. Die relative Volumenänderung ist dreimal so groß wie bei der einseitigen Dehnung (s. Abschnitt 2.1.2), so dass sich hierfür aus Gleichung (2.3) ergibt V V = 3 ε (1 2µ ).

13 2. Grundlagen 10 Mit Gleichung (2.1) kann man diesen Ausdruck umschreiben zu V V p V - V σ p = 3 (1 2µ ) = 3 (1 2µ ) ε E E = 3(1 2µ ) Der linke Ausdruck dieser Gleichung ist gerade durch den Kompressionsmodul definiert, so dass sich damit die erste Relation zwischen den elastischen Konstanten ergibt E = 3K(1-2µ). (2.8) (vgl. Kuchling 2001, S. 179f.) Die zweite Relation drückt den Elastizitätsmodul durch den Schermodul und die Poisson-Zahl aus. Hierzu muss man die Vorgänge bei der Scherung genauer betrachten (s. Abbildung 2.6). Abbildung 2.6: Die mit einer Tangentialspannung hervorgerufene Formänderung eines würfelförmigen Körpers (s. a)), kann auch durch Zug- und Druckspannungen in diagonaler Richtung hervorgerufen werden (s. b)). (Paus 1995, S. 175) In Abbildung 2.6a) ist ein Würfel der Kantenlänge a dargestellt, der durch eine Scherkraft F t geschert wird. Die anliegende Scherspannung beträgt also τ = 2. a F t

14 2. Grundlagen 11 Der Würfel wird durch diese Scherspannung wie abgebildet um den Winkel γ deformiert, für den gilt (s. Abschnitt 2.1.4) a τ γ = (2.9) a G Dieselbe Deformation lässt sich auch erreichen, wenn wie in Abbildung 2.6b) eine Zugspannung σ in die Richtung der Flächendiagonalen und eine Druckspannung p senkrecht dazu wirkt. Für die Zugspannung ergibt sich σ = 2 d a F t mit der Diagonalen Gleichung ein, so erhält man d = 2 a (s. Abbildung 2.6a). Setzt man dies in die F σ = t 2 = τ. a Senkrecht zur Zugspannung wirkt die Druckspannung, die denselben Betrag hat p = τ. Die gesamte Längenänderung entlang der Diagonalen d, in deren Richtung die Zugspannung anliegt, ergibt sich also aus der Längenänderung durch den Zug d d Zug σ = E nach der Definition für den Elastizitätsmodul (2.1) und der Elongation, die durch den Druck hervorgerufen wird d d Druck p = µ. E Die letzte Gleichung ergibt sich ebenfalls aus der Definition für den Elastizitätsmodul, allerdings findet hier keine Dehnung entlang der einen Diagonale statt, sondern eine Kompression entlang der anderen Diagonalen. Die Poisson-Zahl gibt gerade das Verhältnis zwischen den beiden daraus resultierenden Längenänderungen. Wenn man die beiden Längenänderungen addiert und berücksichtigt, dass σ = p = τ ist, so erhält man für die gesamte Längenänderung d d ges τ = 1. (2.10) ( + µ ) E

15 2. Grundlagen 12 Aus Abbildung 2.6a) kann man ablesen, dass d = d a 2 a 2 = 1 a. (2.11) 2 a Aus den Gleichungen (2.9), (2.10) und (2.11) ergibt sich dann die zweite Relation zwischen den elastischen Konstanten (vgl. Paus 1995, s. 175 f.) ( + µ ) E = 2G 1. (2.12) 2.2 Definition einer Flüssigkeit Flüssigkeiten gehören zu den Fluiden. Als Fluid werden alle Substanzen klassifiziert, die Fließverhalten zeigen. Das bedeutet, dass die einzelnen Partikel der Substanz kontinuierlich ihre Position relativ zu den anderen Partikeln verändern können. In Feststoffen bleiben die einzelnen Moleküle an ihrem Platz und schwingen nur auf der Stelle aufgrund der Brownschen Molekularbewegung, die eine [...] sichtbare Manifestation der Natur der Wärme als eine ungeordnete kinetische Energie der Bestandteile der Materie (Bergmann-Schaefer (1) 1998, S. 1244) darstellt. Fluide unterscheiden sich außerdem von Feststoffen durch ihr Verhalten bei der Einwirkung von Scherkräften. Dieses wird in Abbildung 2.7 deutlich. Abbildung 2.7: Verhalten eines festen (a) und eines fluiden (b) Stoffes unter dem Einfluss einer Scherkraft F. (Fox 1985, S. 3) In beiden Fällen sind zwei parallele Platten dargestellt, zwischen denen sich der Festkörper bzw. das Fluid befindet. Auf die obere Platte wirkt eine konstante Scherkraft F r. Abbildung 2.7 (a) zeigt, wie der Festkörper, der mit den beiden Platten verbunden ist, deformiert wird 3. Wirkt die Kraft über einen längeren Zeitraum auf den Festkörper ein, so wird dieser nicht weiter 3 In diesem Fall wird von der Annahme ausgegangen, die Scherung innerhalb des elastischen Bereichs stattfindet.

16 2. Grundlagen 13 deformiert und befindet sich durch seine Elastizität im Kräftegleichgewicht. Da der elastische Grenzwert nicht überschritten wurde, nimmt der Festkörper nach Ende der Krafteinwirkung seine ursprüngliche Form wieder ein. Fluide verhalten sich anders. Wenn die Kraft F r einwirkt, so wird das Fluid solange deformiert, wie diese Krafteinwirkung andauert. Die Deformation des Fluids zu unterschiedlichen Zeiten nach Beginn der Krafteinwirkung ist in Abbildung 2.7 (b) zu erkennen. Zur Zeit t = t 0 setzt die Krafteinwirkung ein und zu den Zeiten t = t 1 und t = t 2 hat sich das Fluid entsprechend der gestrichelten Linien verformt. (vgl. Fox 1985, S. 3) Wirkt die Scherkraft nicht mehr, so nimmt das Fließverhalten zwar ab, das Fluid behält aber seine neue Form. Da unter dem Einfluss von Scherkräften bei Fluiden das Fließverhalten anhält, kann ein Fluid auch als Substanz definiert werden, die nur dann im Ruhezustand ist, wenn keinerlei Scherkräfte auf sie einwirken. Ein Feststoff kann im Gegensatz dazu im Ruhezustand ein gewisses Maß an Scherung tolerieren, ohne seine Form zu verändern. Ein weiteres Unterscheidungskriterium zwischen Fluiden und Festkörpern ist die Tatsache, dass ein Fluid immer die Form des Gefäßes annimmt, in dem es sich befindet bzw. seine Form durch die einwirkenden Kräfte, die es am freien Fließen hindern, bestimmt wird. Ein Fluid hat keine eigenständige, charakteristische Form. Das unterschiedliche Verhalten von Festkörpern und Fluiden ist in ihrem jeweiligen molekularen Aufbau begründet. Die einzelnen Moleküle, aus denen ein Stoff aufgebaut ist, üben eine Anziehungskraft aufeinander aus, die für den Zusammenhalt des Stoffes sorgt. In einem Feststoff ist diese Anziehungskraft sehr groß, in Fluiden ist sie deutlich geringer. Da die Stoffe entsprechend dieser Anziehungskraft unterschiedlich eng gepackt sind, führt dies dazu, dass Feststoffe bei gleicher Anzahl von Molekülen bei gleicher Temperatur und gleichem Druck ein kleineres Volumen und somit eine größere Dichte im Vergleich zu einem Fluid haben. Sind die Moleküle allerdings zu dicht nebeneinander, so wirken Abstoßungskräfte, die verhindern, dass die Moleküle in sich zusammenfallen und die den Stoff so im Gleichgewicht halten.

17 2. Grundlagen 14 Die einzelnen Moleküle bewegen sich innerhalb des Stoffes, wobei in einem Feststoff die Bewegung auf die Brownsche Molekularbewegung beschränkt ist. In Fluiden können sich die einzelnen Moleküle relativ zueinander bewegen (s. oben). Die unterschiedlich starken Anziehungskräfte zwischen den Molekülen sind auch für den Widerstand gegenüber einwirkenden Kräften verantwortlich. Wenn die Anziehungskräfte in einem Feststoff größer sind als die einwirkende Kraft, so wird der Stoff zwar bis zu einem gewissen Grad verformt, er nimmt aber wieder seine ursprüngliche Form ein, sobald die Kraft nicht mehr einwirkt. Dies erklärt seine Elastizität. Bei Fluiden ist diese Elastizität in den meisten Fällen nicht oder nur in sehr geringem Maß vorhanden, wobei Flüssigkeiten elastischer reagieren als Gase (s. unten). Es gibt allerdings einige Flüssigkeiten, die sehr elastisch reagieren. Diese werden in Abschnitt 4.4 behandelt. Die Unterscheidung von Flüssigkeiten und Feststoffen ist in den meisten Fällen einfach. Es gibt aber eine Grauzone, in die einerseits sehr zähflüssige Flüssigkeiten und andererseits plastische Festkörper (s ) fallen. Sie verhalten sich sehr ähnlich und man kann sie nur unterscheiden, indem man überprüft, ob es einen Grenzwert für die angewendete Kraft gibt. Wenn der Stoff unterhalb dieser Grenze nicht fließt, so handelt es sich um einen Festkörper, da Flüssigkeiten bei jeder noch so kleinen Scherkraft bereits zu fließen beginnen. Wenn dieser Grenzwert allerdings sehr niedrig ist, ist es sehr schwierig eine Einteilung vorzunehmen. Für diese Arbeit spielt diese Unterscheidung aber nur eine untergeordnete Rolle (s. Kapitel 1). Fluide selbst werden in Flüssigkeiten und Gase eingeteilt. Der Hauptunterschied zwischen Flüssigkeiten und Gasen ist der, dass eine bestimmte Menge an Flüssigkeit ein festes Volumen hat, wenn man von kleinen Variationen durch Temperatur- und/oder Druckveränderungen absieht. Ist ein Gefäß größer als dieses Volumen, so nimmt die Flüssigkeit nur einen Teil dieses Behälters ein und bildet eine Grenzschicht zwischen der Flüssigkeit und der drüber liegenden Gasschicht. Ein Gas nimmt immer den ganzen ihm zur Verfügung stehenden Raum ein. In Flüssigkeiten können sich die Moleküle relativ zueinander bewegen, allerdings halten die Anziehungskräfte die Moleküle zusammen, so dass das Volumen konstant bleibt. In Gasen ist die

18 2. Grundlagen 15 Anziehungskraft zwischen den Molekülen aufgrund ihres relativ großen Abstands so gering, dass sich die einzelnen Moleküle fast unbeeinflusst bewegen können und somit den ganzen zur Verfügung stehenden Raum ausfüllen. Der zweite wichtige Unterschied zwischen Flüssigkeiten und Gasen ist die Tatsache, dass Flüssigkeiten unter normalen Umständen nur sehr schwer komprimiert werden können. Selbst bei großen Drucksteigerungen nimmt das Volumen in den meisten Fällen nur geringfügig ab. Dies ist auf die molekulare Struktur zurückzuführen. Wenn eine Flüssigkeit komprimiert wird, verringern sich die Abstände zwischen den einzelnen Molekülen und durch die Abstoßungskräfte erhöht sich der Widerstand gegen eine weitere Kompression. Daher werden Flüssigkeiten in den meisten Fällen als inkompressibel angesehen. Auf diese geringen Kompressionen reagieren sie allerdings auf Grund der starken Abstoßungskräfte der Moleküle elastisch. In Gasen ist sehr viel leerer Raum, so dass bei Kompression des Gases dieser Raum erst teilweise ausgefüllt wird, bevor die abstoßenden Kräfte der Moleküle wirken. Daher können Gase bis zu einem gewissen Grad komprimiert werden. Wenn man das Verhalten von Flüssigkeiten analysieren möchte, ist es nicht nötig, das Verhalten jedes einzelnen Moleküls zu untersuchen. Da die Molekülabstände sehr klein sind, können sie vernachlässigt werden und die Flüssigkeit kann als Kontinuum angesehen werden mit gemittelten Eigenschaften wie Temperatur, Dichte, etc., die sich innerhalb der Flüssigkeit kontinuierlich verändern können. An dieser Stelle sei erwähnt, dass im Folgenden von einer konstanten Temperatur ausgegangen wird, es sei denn, etwas anderes wird angegeben. Temperaturänderungen haben die Änderung vieler charakteristischer Parameter wie Volumen, Dichte, Viskosität etc. zur Folge, die in den Berechnungen berücksichtigt werden müssten. 4 4 Für den ganzen Abschnitt 2.2: vgl. Massey 1998, S. 1 ff.

19 2. Grundlagen Statische Eigenschaften von Flüssigkeiten Dichte Eine wichtige charakteristische Größe für eine Flüssigkeit ist das Verhältnis der Masse einer bestimmten Menge der Flüssigkeit zum zugehörigen Volumen, die Dichte m ρ = (2.13). V Da Flüssigkeiten im Allgemeinen als inkompressibel angesehen werden (s. Abschnitt 2.2), kann das Volumen bei konstanter Temperatur als konstant angesehen werden und die Dichte als vom herrschenden Druck unabhängig (vgl. Massey, S. 12) Statischer Druck In jeder Flüssigkeit herrscht ein gewisser Druck, der durch Zusammenstöße der einzelnen Moleküle untereinander oder durch Stöße gegen die festen Begrenzungen, innerhalb derer sich die Flüssigkeit befindet, entsteht (vgl. Massey 1998, S. 12 f.). Wie in Abschnitt definiert wurde, wird Druck als das Verhältnis des Betrags der auf eine Fläche A wirkenden Normalkraft F zu dieser Fläche bezeichnet, es gilt F p =. A Innerhalb einer Flüssigkeit ist der Druck an einer Stelle in alle Richtungen gleich groß. Diese Isotropie des Drucks lässt sich geometrisch herleiten. In Abbildung 2.8 ist ein großes Gefäß mit einer Flüssigkeit dargestellt. Es wird ein kleines Volumenelement betrachtet, welches die Form eines Prismas hat. In der folgenden Betrachtung wird von der Annahme ausgegangen, dass sich das Fluid im schwerelosen Zustand befindet und daher die Scherkraft nicht berücksichtigt werden muss.

20 2. Grundlagen 17 Abbildung 2.8: Zur geometrischen Erklärung der Isotropie des Druckes in Flüssigkeiten. (Bergmann-Schaefer (1) 1998, S. 414) An den Seitenflächen des Prismas herrschen die Drücke p a, p b und p c. Im Folgenden wird gezeigt, dass diese Drücke gleich sind. Aus der Abbildung ergeben sich die folgenden Zusammenhänge: p a Fya =, p a h b Fxb =, p b h c Fc = c h F F xc yb = Fc = sinα cosα Die Flüssigkeit befindet sich im Gleichgewichtszustand, so dass sich aus der Definition eines Fluids (also insbesondere der einer Flüssigkeit) ergibt, dass die Summen der auf das Prisma wirkenden Kräfte in jeder Richtung null ergeben müssen. Damit gilt: x-richtung: 0 = F F = p c h sinα p xc xb c b b h y-richtung: 0 = F F = p a h p h c cosα ya yc a c

21 2. Grundlagen 18 Mit sin α = b und c cosα = a c ergibt sich p a = p c = p b Hiermit ist zunächst gezeigt, dass der Druck in der x-y-ebene überall gleich ist. In z-richtung heben sich die wirkenden Kräfte aus Symmetriegründen auf. Da man gedanklich das Prisma in der x-z-ebene beliebig rotieren lassen oder entlang der y-achse verschieben kann und die Kräftebilanz gleich bleibt (es wirkt keine Schwerkraft), ist hiermit gezeigt, dass in einer ruhenden schwerelosen Flüssigkeit der herrschende Druck überall gleich ist. (vgl. Bergmann Schäfer (1) 1998, S. 413 f.) Diese Tatsache ist die Grundlage für viele hydraulische Maschinen. Das Prinzip ist in Abbildung 2.9 zu sehen. Auf einen kleinen Kolben mit der Querschnittsfläche A 1 wird eine kleine Kraft F 1 ausgeübt. In der Flüssigkeit F1 hinter dem Kolben herrscht damit ein Druck p =. Dieser Druck ist in alle A Richtungen gleich groß und drückt einen großen Kolben mit der Querschnittsfläche A 2 heraus. Dieser erfährt eine Kraft F 2. Es gilt also auch F A 2 p = und daher F 1 A = 1. (2.14) F 2 A Man kann also eine kleine Kraft im Verhältnis der Flächen der Kolben in eine große Kraft transformieren. (vgl. Paus 1995, S. 182) Abbildung 2.9: Das Prinzip der Krafttransformation in vielen hydraulischen Maschinen: Eine kleine Kraft an einem kleinen Kolben bewirkt eine große Kraft an einem großen Kolben. (Paus 1995, S. 182)

22 2. Grundlagen 19 In hydraulischen Pressen (s. Abbildung 2.10) findet die Krafttransformation Abbildung 2.10: Schnittzeichnung einer hydraulischen Presse (Bergmann-Schaefer (1) 1998, S. 415) durch zwei verbundene Zylinder Z 1 und Z 2 statt, in denen sich zwei bewegliche Kolben mit unterschiedlichem Querschnitt und die Hydraulik-Flüssigkeit (Wasser oder Öl) befinden. Mit dem Hebel H wird der Kolben S 1 heruntergedrückt, über die Rohrleitung R wird der Druck auf den zweiten Zylinder übertragen und der Kolben S 2 angehoben. Dann wird der Kolben S 1 wieder angehoben und aus dem Vorratsgefäß G Flüssigkeit in den Zylinder Z 1 geleitet. Dadurch kann man die Presse mehrfach betätigen. Eine hydraulische Bremse (hydraulisches Gestänge) nutzt die gleichförmige Druckverteilung, um die Richtung von Kräften zu verändern. Ein Beispiel stellt das Bremssystem im Kraftfahrzeug dar. Wird mit dem Fuß das Bremspedal betätigt, welches Druck auf die Bremsflüssigkeit ausübt, so wird dieser Druck über eine Rohrleitung gleichmäßig auf die Bremsbacken an den Rädern übertragen. (vgl. Bergmann-Schaefer (1) 1998, S. 414 ff.) Schweredruck Bisher wurde die Schwerkraft in den Überlegungen zum Druck nicht berücksichtigt. In den meisten Anwendungen spielt der Schweredruck allerdings keine vernachlässigbare Rolle.

23 2. Grundlagen 20 In Flüssigkeiten nimmt der herrschende Druck mit zunehmender Tiefe zu. Dies lässt sich durch das Gewicht der Flüssigkeitsschichten erklären, die sich oberhalb eines Punktes in einer bestimmten Tiefe befinden. Dieser Gewichtskraft ist eine zweite Kraft entgegen gesetzt, die auf denselben Punkt wirkt. Dies ist der Schweredruck. Er verhindert, dass oben liegende Schichten ständig nach unten absinken. In Abbildung 2.11 ist ein zylindrisches Gefäß mit der Querschnittsfläche A und einer Tiefe h 0 (von der Oberfläche aus gemessen) dargestellt, in dem sich eine Flüssigkeit der Dichte ρ befindet. Abbildung 2.11: Schematische Darstellung des Einflusses der einzelnen Flüssigkeitsschichten der Dicke dh auf den Druck p(h) in der Tiefe h. (Paus 1995, S. 183) Um den Schweredruck p(h) in einer Tiefe h zu berechnen, wird die Flüssigkeit gedanklich in dünne Schichten mit einer Masse dm und einer Dicke dh unterteilt. Jede Flüssigkeitsschicht trägt aufgrund ihrer Gewichtskraft F G den Beitrag dp zum Druck p(h) bei: dfg dm g ρ dv g dp = = = = ρ dh g A A A Da sich die Dichte nur bei sehr hohen Drücken relevant verändert (s. Abschnitt 2.3.1), darf man von einer konstanten Dichte ausgehen. Integriert man die obige Gleichung, so erhält man den Schweredruck in der Tiefe h p( h) h p( h) = dp = ρ g dh = ρ g h. (2.15) 0 0 (vgl. Paus 1995, S. 183) Eine Konsequenz des Schweredrucks ist das Prinzip der kommunizierenden Röhren. In Röhren, die untereinander verbunden sind, ist der Flüssigkeitspegel

24 2. Grundlagen 21 immer gleich hoch, unabhängig von der jeweiligen Form der Röhren. Bei einem unterschiedlich hohen Flüssigkeitsstand würde am Boden der Röhren ein unterschiedlicher Druck herrschen, der durch die Isotropie des Drucks ein Druckgefälle in der Verbindungsröhre verursachen würde. Die Flüssigkeit würde so lange in Bewegung gesetzt, bis ein Druckgleichgewicht, d.h. gleich hohe Pegel, vorliegen würde. Ein einfaches Beispiel für kommunizierende Röhren ist eine Gießkanne (s. Abbildung 2.12). Abbildung 2.12: Das Prinzip der kommunizierenden Röhren am Beispiel einer Gießkanne (Bergmann-Schaefer (1) 1998, S. 425) Auch ein Wasserturm oder ein Springbrunnen (s. Abbildung 2.13) funktionieren aufgrund des Schweredrucks und der Isotropie des Drucks. In beiden Fällen liegen ebenfalls kommunizierende Röhren vor, in denen es allerdings unmöglich ist, einen gleichen Pegelstand zu erreichen. Die oben angesprochene Druckdifferenz und die resultierende Bewegung der Flüssigkeit sorgen dann für das Ausströmen des Wassers. (vgl. Bergmann-Schaefer (1) 1998, S. 424 f.) Abbildung 2.13: Wirkungen des Schweredrucks am Beispiel eines Wasserturms und eines Springbrunnens (Bergmann-Schaefer (1) 1998, S. 425)

25 2. Grundlagen Auftrieb Wenn ein Körper in eine Flüssigkeit getaucht wird, scheint es, als ob er leichter würde. Dieser Eindruck entsteht, weil ein Teil seiner Gewichtskraft in der Flüssigkeit durch eine Gegenkraft kompensiert wird. Diese Gegenkraft ist die Auftriebskraft. In Abbildung 2.14 ist ein Körper K zu sehen, der sich vollständig in einer Flüssigkeit der Dichte ρ F befindet. In dieser Flüssigkeit wirken abhängig von der Tiefe und somit des herrschenden Schweredrucks unterschiedlich große Kräfte auf die Flächen des Körpers. Die Kräfte, die auf die Seitenflächen des Quaders wirken, kompensieren sich gegenseitig, da sie aufgrund derselben Tiefe denselben Betrag haben. Auf die Oberseite des Körpers wirkt eine Kraft F o = A ρ F g h 1, auf die Unterseite die Kraft F u = A ρ F g h 2. Die Auftriebskraft ist die Differenz dieser beiden Kräfte F A ( ) = A ρ F g h 2 h 1 (2.16). Abbildung 2.14: Ein Körper K, der in eine Flüssigkeit eingetaucht ist, erfährt eine Auftriebskraft. (Paus 1995, S. 184) Durch den Körper, der ein Volumen von V = A (h 2 -h 1 ) besitzt, wird eine Flüssigkeitsmenge desselben Volumens verdrängt. Diese Flüssigkeitsmenge hat die Masse m verdrängte Fl = ρ F V. Setzt man dies in die obige Gleichung ein, so erhält man nach Umformungen für die Auftriebskraft F A = m g (2.17). verdrängte Fl Dieser Sachverhalt wird Archimedisches Prinzip genannt. Es besagt, dass die Auftriebskraft eines Körpers der Gewichtskraft der von ihm verdrängten Flüssigkeitsmenge entspricht. (vgl. Paus 1995, S. 183 f.)

26 2. Grundlagen 23 Das Verhältnis von der Auftriebskraft F A und der Gewichtskraft F G des Körpers gibt an, welchen Gleichgewichtszustand der Körper in der Flüssigkeit einnimmt: F G F = ( ρ ρ ) g V (2.18) A K mit der Dichte des Körpers ρ K. Je nach dem Verhältnis der Kräfte bzw. dem der Dichten der Flüssigkeit und des Körpers gibt es drei Möglichkeiten für den Gleichgewichtszustand des Körpers: 1. Fall: F A < F G Die Gewichtskraft wird nur teilweise von der Auftriebskraft kompensiert und der Körper sinkt zu Boden. 2. Fall: F A = F G Die Gewichtskraft und die Auftriebskraft gleichen sich aus, der Körper bleibt vollständig eingetaucht und schwebt in der Flüssigkeit. 3. Fall: F A > F G Die Auftriebskraft ist größer als die Gewichtskraft, der Körper steigt nach oben und schwimmt nur noch teilweise in die Flüssigkeit eingetaucht. Dieser Gleichgewichtszustand ist in der Tiefe erreicht, in der die Gewichtskraft des Körpers und die der verdrängten Flüssigkeit sich kompensieren. (vgl. Bergmann-Schaefer (1) 1998, S. 435) Das Archimedische Prinzip gilt nicht nur für regelmäßig geformte Körper wie in Abbildung 2.13, sondern für jeden beliebig geformten Körper. Jeder Körper verdrängt eine Flüssigkeitsmenge der Größe seines Volumens, welche vorher in der ruhenden Flüssigkeit genau von ihrer eigenen Auftriebskraft in der Schwebe gehalten wurde (vgl. Paus 1995, S. 184). F

27 3. Newtonsche Flüssigkeiten Newtonsche Flüssigkeiten 3.1 Viskosität The resistance which arises from the lack of slipperiness of the parts of the liquid, other things being equal, is proportional to the velocity with witch the parts of the liquid are separated from one another. SIR ISAAC NEWTON in Philosophiae Naturalis Principia Mathematica 5 Das Fließverhalten von Flüssigkeiten hängt stark von diesem lack of slipperiness ab, wie Newton die Viskosität (von lateinisch viscum: Vogelleim) beschreibt. Sie ist ein Maß für die Effektivität, mit der die angewandte Scherkraft die jeweilige Flüssigkeit in Bewegung setzen kann. In Abbildung 3.1 ist noch einmal die Situation aus Abschnitt 2.2 dargestellt, in der eine Flüssigkeit, die sich zwischen zwei parallelen Platten befindet, durch die Einwirkung der Kraft F r auf die obere Platte geschert wird. Abbildung 3.1: Einwirkung einer Scherkraft F auf eine Flüssigkeit und deren Bewegungszustand zu Zeiten t 0, t 1 und t 2. (Fox 1985, S. 3) Für die meisten Substanzen gilt die so genannte Haftbedingung (englisch: noslip). Das bedeutet, dass die an die jeweilige Platte angrenzende Flüssigkeitsschicht diese benetzt und daher dieselbe Geschwindigkeit wie die Platte hat. Das bedeutet in diesem Fall, dass die unterste Flüssigkeitsschicht die Geschwindigkeit v = 0 aufweist und die oberste Flüssigkeitsschicht die 5 Zitat entnommen: Barnes 1989, S. 1

28 3. Newtonsche Flüssigkeiten 25 Geschwindigkeit der Platte v = v P. Für die Flüssigkeitsschichten dazwischen bildet sich ein Geschwindigkeitsgradient senkrecht zur Fließrichtung aus. Im Idealfall 6 ist dieses Geschwindigkeitsprofil annähernd linear, ansonsten ist es verformt wie beispielsweise in Abbildung 3.2 zu sehen ist. (vgl. Bergmann- Schaefer (1) 1998, S, 502 f.) Es ist die Geschwindigkeit v dargestellt, die mit der Entfernung y von der unteren Platte zunimmt. Betrachtet man zwei benachbarte Flüssigkeitsschichten mit den Geschwindigkeiten v und v + δv, so lässt sich der Geschwindigkeitsgradient als das Verhältnis der δv Geschwindigkeitsänderung zur Änderung des Abstands darstellen. Wenn δy man den Grenzübergang δy 0 macht, so ergibt sich der Gradient als die v partielle Ableitung der Geschwindigkeit in y-richtung. y Abbildung 3.2: Geschwindigkeitsprofil einer Flüssigkeit (leicht verändert nach Massey 1998, S. 23) Betrachtet man diese beiden Schichten genauer (s. Abbildung 3.3), so erkennt man, dass die Schichten gegenseitig eine Kraft aufeinander ausüben. Die obere, schnellere Schicht übt eine beschleunigende Kraft auf die untere Schicht aus, wogegen nach Newtons drittem Axiom (actio = reactio) die untere Schicht eine, vom Betrag gleiche, aber in entgegengesetzte Richtung wirkende Kraft auf die obere Schicht ausübt, welche diese bremst. (vgl. Massey 1998, S. 21ff.) Abbildung 3.3: Zwei benachbarte, unterschiedlich schnelle Flüssigkeitsschichten üben gegenseitig Kräfte auf einander aus (leicht verändert nach Massey 1998, S. 23) 6 Im Idealfall heißt hier: 1. kein horizontaler Druckgradient und 2. ein hinreichend geringer Abstand zwischen den beiden Platten

29 3. Newtonsche Flüssigkeiten 26 Wirkt diese Kraft auf eine Kontaktfläche der Größe A, so gilt für die F Scherspannung, wie in Abschnitt beschrieben, τ =. A Diese Kraft stellt den Widerstand dar, den die Flüssigkeitsschichten der Fließbewegung entgegenstellen. Nach Newton (s. Zitat) ist diese Kraft und somit die Scherspannung für eine laminare Strömung (s. Abschnitt 3.2) proportional zum Geschwindigkeitsgradienten der Flüssigkeitsschichten F v τ = = η (3.1). A y Dieser lineare Zusammenhang mit einem konstanten, zeitunabhängigen η ist für viele Flüssigkeiten in guter Näherung experimentell bestätigt worden. Da diese Relation auf Newton zurückgeht, werden diese Flüssigkeiten als Newtonsche Flüssigkeiten bezeichnet. (vgl. Bergmann-Schaefer (1) 1998, S. 502 f.) Es gibt allerdings auch viele Flüssigkeiten, für die dieser lineare Zusammenhang nicht gilt. Diese werden als Nicht-Newtonsche Flüssigkeiten bezeichnet und sind Gegenstand des nächsten Kapitels. Da in einer Flüssigkeit meistens nicht nur eine Kraft wirkt, ist der allgemeine Spannungszustand einer Flüssigkeit durch einen Spannungstensor ausgedrückt. Dieser Tensor t σ xx σ = τ yx τ zx τ σ τ xy yy zy τ τ σ xz yz zz beschreibt alle Deformationen der Flüssigkeit. Der erste Index gibt die Richtung der Normalen auf die Angriffsfläche A der Kraft an, der zweite Index gibt die Richtung der angelegten Spannung an. Bei den Diagonalelementen handelt es sich um Normalspannungen, bei den Nebendiagonalelementen um Scherspannungen. (vgl. Bergmann-Schaefer (1) 1998, S. 384) Um diesen Unterschied deutlich zu machen, wurden diese Spannungen mit unterschiedlichen Variablen σ und τ bezeichnet. Da man von einer inkompressiblen Flüssigkeit ausgeht, wird der äußere Druck nicht berücksichtigt. Wenn man also den Fall der eindimensionalen Strömung wie in Abbildung 3.1 betrachtet, so ist dort nur die Spannungskomponente τ yx von null verschieden und man betrachtet den

30 3. Newtonsche Flüssigkeiten 27 v Geschwindigkeitsgradienten x, also die Änderung der Geschwindigkeit (in y x-richtung) senkrecht zur Fließrichtung (in y-richtung). In der Rheologie, der Wissenschaft der Deformation und Strömung von Substanzen (vgl. Bergmann-Schaefer (5) 2006, S. 391), wird normalerweise nicht der Geschwindigkeitsgradient, sondern die so genannte Scherrate betrachtet, die die zeitliche Änderung der Deformation γ angibt. Im bisher betrachteten Fall entspricht diese Scherrateγ& genau dem Geschwindigkeitsgradienten und es gilt v γ& = x. y Im allgemeinen Fall trifft dies nicht notwendigerweise zu. Im Falle einer rotierenden Flüssigkeit gilt für die tangentiale Geschwindigkeit in Abhängigkeit vom Abstand zur Rotationsachse r: v = ω r. Der Geschwindigkeitsgradient entlang des Radius ergibt sich damit zu: Hier trägt allerdings nur der Anteil v ω = ω + r. r r ω r zur Scherung bei. Wäre ω konstant, r so würde die gesamte Flüssigkeit wie ein fester Block mit dieser Winkelgeschwindigkeit rotieren, wobei aber keine Scherung auftreten würde. Daher ist in diesem Fall die Scherrate ω γ& = r und sie stimmt nicht mit dem r Geschwindigkeitsgradienten überein. (vgl. Massey 1998, S. 230) Mit diesen Verallgemeinerungen kann Gleichung (3.1) für den vorliegenden Fall folgendermaßen geschrieben werden τ η & yx = γ (3.2) Die Proportionalitätskonstante η wird als Viskositätskoeffizient oder kürzer (dynamische) Viskosität (Zähigkeit) bezeichnet. Je größer die Viskosität ist, desto größer muss die anliegende Scherspannung sein, um einen gegebenen Geschwindigkeitsgradienten zu erreichen. In vielen Gleichungen kommt das Verhältnis der Viskosität zur Dichte der Flüssigkeit vor, so dass eine eigene Größe, die kinematische η Viskositätν =, eingeführt wurde. Diese Größe sei an dieser Stelle der ρ

31 3. Newtonsche Flüssigkeiten 28 Vollständigkeit halber aufgeführt, sie wird im Folgenden aber nicht weiter verwendet. Vergleicht man die Gleichungen (3.1) und (2.7), so erkennt man eine Analogie zwischen dem Verhalten eines Festkörpers und einer Flüssigkeit (eines Fluids) bei der Einwirkung von Scherkräften. Bei beiden gibt es einen linearen Zusammenhang zwischen der aufgewandten Schubspannung und der Reaktion des jeweiligen Körpers. Man muss allerdings beachten, dass es sich bei beiden Körpern um unterschiedliche Reaktionen handelt. Der Festkörper befindet sich bei einer konstanten Schereinwirkung in einem statischen Gleichgewicht zwischen der einwirkenden Kraft und der elastischen Rückstellkraft des Körpers. Der Körper ist deformiert und bewegt sich nicht mehr. Der Schubmodul ist ein Maß für die statische Reaktion des Festkörpers auf die einwirkende Kraft. Im Gegensatz dazu bewirken Scherkräfte bei Flüssigkeiten einen stationären (zeitunabhängigen) Bewegungszustand (d.h. Nicht-Gleichgewichtszustand). Die Flüssigkeit bewegt sich während der gesamten Zeit, in der die Scherkraft wirkt. Daher kann man die Viskosität nicht als Schubmodul einer Flüssigkeit bezeichnen. Außerdem sind die Vorgänge, die bei der Einwirkung von Scherprozessen in dem Körper vorgehen, sehr unterschiedlich. Bei einer Deformation eines Festkörpers werden die einzelnen Moleküle nur in geringem Maße aus ihrer ursprünglichen Gleichgewichtsposition verschoben. Wenn es sich um eine elastische Deformation handelt, so wird bei diesem Vorgang keine Energie dissipiert. Bei Flüssigkeiten stellt das viskose Fließen der einzelnen Flüssigkeitsschichten aneinander vorbei einen Impuls- und Energietransport zwischen den Schichten dar. Die Viskosität ist also ein Transportkoeffizient. Abbildung 3.4 zeigt den Impulstransport bei einer Scherströmung. Durch die einwirkende Kraft F werden die Flüssigkeitsmoleküle je nach Position zwischen den Platten mit unterschiedlicher Geschwindigkeit v in x-richtung verschoben. Zusätzlich findet durch die thermische Bewegung der einzelnen Moleküle ein Impulsaustausch zwischen den einzelnen Flüssigkeitsschichten statt.

32 3. Newtonsche Flüssigkeiten 29 Wenn ein Molekül aus einer schnelleren Schicht in die darunter liegende, langsamere Schicht gerät, wirkt es als Impulsträger und durch Kollisionen mit den umliegenden Molekülen wird dieser Impuls auf die langsamere Schicht übertragen und die Geschwindigkeit dieser Schicht nimmt zu. Wenn ein Molekül aus einer langsameren Schicht in eine schnellere gerät, wird diese abgebremst. Insgesamt fließt ein Impulsstrom innerhalb der Flüssigkeit von den schnelleren Schichten zu den langsameren. (vgl. Bergmann-Schaefer (1) 1998, S. 502 ff) Abbildung 3.4: Impulstransport bei einer Scherströmung (leicht verändert nach Bergmann- Schaefer (1) 1998, S. 507) In Durst 2006 ist ein anschauliches Beispiel für diesen Impulstransport aufgeführt (s. Abbildung 3.5). Zwei Personenzüge fahren mit unterschiedlicher Geschwindigkeit neben einander her. Auf jedem Zug befinden sich Fahrgäste und eine Anzahl an Sandsäcken. Diese Säcke werden von den Fahrgästen des einen Zuges auf den jeweils anderen Zug geworfen und von den dortigen Personen aufgefangen. Dies findet in der Form statt, dass die Massen der Züge m A und m B sich nicht ändern. Dadurch kommt ein Impulsübertrag zustande und der langsamere Zug wird durch das Auffangen der schnelleren Säcke beschleunigt, während der schnellere Zug abgebremst wird. Bei Gasen stellt dieser Prozess die Hauptursache für die Viskosität dar und weil durch einen Anstieg der Temperatur die thermische Bewegung der Moleküle zunimmt, nimmt die Viskosität eines Gases mit Zunahme der Temperatur zu. Bei Flüssigkeiten nimmt die Viskosität aber mit Zunahme der

33 3. Newtonsche Flüssigkeiten 30 Temperatur ab. Dies deutet darauf hin, dass ein zweiter, einflussreicherer Faktor die Viskosität von Flüssigkeiten bestimmt. Abbildung 3.5: Anschauliches Beispiel für den Impulstransport innerhalb einer gescherten Flüssigkeit (leicht verändert nach Durst 2006, S. 63) In Flüssigkeiten sind die Moleküle im Vergleich zu Gasen viel enger gepackt, so dass die Bewegung zwischen den einzelnen Schichten eine weniger große Rolle spielt. Der entscheidende Faktor sind Kohäsionskräfte zwischen den einzelnen Molekülen. Diese Anziehungskräfte nehmen mit zunehmender Temperatur ab, so dass die Viskosität ebenfalls mit ansteigender Temperatur abnimmt. (vgl. Fox 1985, S. 29f.) In Tabelle 3.1 ist eine Auswahl von Flüssigkeiten und ihrer jeweiligen Viskosität zu sehen. Es wird deutlich, dass es eine große Spanne von Viskositätswerten gibt. So gibt es hochviskose Flüssigkeiten, die nur auf sehr langen Zeitskalen fließen wie Eis, zähflüssige Flüssigkeiten wie Honig und Sirup und dünnflüssige Flüssigkeiten wie Wasser. Substanz Dynamische Viskosität in 10-3 Pa s Eis (-20 C) Teer Lava ( C) Honig 3000 Mineralöl (Mittelwert) 400 Olivenöl 84 Quecksilber 1,55 Wasser 1,002 Tabelle 3.1: Viskosität einiger Fluide bei 20 C (falls nicht anderes angegeben) (entnommen (unvollständig) aus Bergmann-Schaefer (1) 1998, S. 505)

34 3. Newtonsche Flüssigkeiten 31 Ein Beispiel für eine extrem viskose Flüssigkeit ist Pech. Pech ist ein schmelzbarer Rückstand, der bei der Destillation von Erdöl oder Baumharz entsteht. Bei der Destillation wird ein Flüssigkeitsgemisch erhitzt, um es in seine einzelnen Bestandteile aufzuspalten. Pech wurde früher oft verwendet, um Schiffe abzudichten. (vgl. WDR Pech URL und Schröder URL) Bei 20 C macht Pech auf den ersten Blick den Eindruck, ein Feststoff zu sein. Wenn man mit einem Hammer auf ein Stück Pech schlägt, zerspringt es in viele kleine Stücke (s. Abbildung 3.6). Abbildung 3.6: Pech, bevor und nachdem mit einem Hammer darauf geschlagen wurde (Pitchdrop URL) Tatsächlich ist Pech bei Raumtemperatur flüssig. Der Physikprofessor Thomas Parnell der Universität von Queensland (Australien) startete 1927 ein Experiment, welches die Fluidität von Pech verdeutlichen sollte (s. Abbildung 3.7). Abbildung 3.7: Versuchsaufbau des Pechtropfen-Experiments (Die Batterie links unten dient dem Größenvergleich) (Pitchdrop URL)

35 3. Newtonsche Flüssigkeiten 32 Er erhitzte eine kleine Menge an Pech, füllte sie in einen Glastrichter, dessen Auslauf verschlossen wurde. Parnell wartete drei Jahre, bis das Pech abgekühlt war und sich gesetzt hatte. Dann öffnete er den Auslauf und überließ das Pech der Schwerkraft. Langsam bildete sich der erste Pechtropfen, der im Dezember 1938 in das darunter stehende Becherglas fiel. Seitdem sind insgesamt 8 Pechtropfen gefallen (s. Tabelle 3.2). Jahr Ereignis 1927 Start des Experiments 1930 Öffnung des Trichter-Auslaufs 1938 (Dezember) 1. Tropfen 1947 (Februar) 2. Tropfen 1954 (April) 3. Tropfen 1962 (Mai) 4. Tropfen 1970 (August) 5. Tropfen 1979 (April) 6. Tropfen 1988 (Juli) 7. Tropfen 2000 (November) 8. Tropfen Tabelle 3.2: Die bisherigen Ereignisse seit Beginn des Pechtropfen-Experiments (erweiterte Tabelle nach Edgeworth 1984, S. 199) Der Fall der Tropfen ist sehr unregelmäßig, was auch darauf zurückzuführen ist, dass die klimatischen Verhältnisse nicht kontrolliert wurden. Das Experiment, welches inzwischen im Guinnes-Buch der Rekorde aufgeführt wird als das am längsten andauernde Laborexperiment, steht im Foyer des Fachbereichs Physik an der Universität Queensland und ist den saisonalen Temperaturschwankungen unterworfen. Aus den langen Zeitspannen zwischen den Tropfen konnten Parnell und seine Nachfolger einen ungefähren Wert für die Viskosität von Pech ermitteln, sie errechneten einen Wert von η = (2,3 ± 0,5) 10 8 Pa s. Dieser Wert ist allerdings keineswegs ungewöhnlich hoch. Er liegt ca. in der Größenordnung des geometrischen Mittels der von Physikern betrachteten Viskositätswerte. Wie aus Tabelle 3.1 ersichtlich wird, gibt es durchaus Substanzen, deren Viskosität um zehn Größenordnungen höher liegt. Geophysiker gehen davon aus, dass die Viskosität des Erdmantels, der auf sehr langen geologischen Zeitskalen auch ein Fließverhalten aufweist, bei einer Größenordnung von Pa s liegt. (vgl. Edgeworth 1984, S. 199) Lange Zeit wurde auch Glas als ein Beispiel für eine hochviskose Flüssigkeit genannt. Ein Beleg für das Fließverhalten von Glas wurde in alten Kirchenfenstern gesehen. Diese haben eine unregelmäßige Dicke und in vielen