( ) i. 6 Reale Feste und Flüssige Körper. F i F = F = grad E pot. Atomares Modell der Aggregatszustände. Kraft auf ein Atom:

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1 6 Reale Feste und Flüssige Körper Atomares Modell der Aggregatszustände Kraft auf ein Atom: F = i F i r ( ) i potentielle Energie hängt von der Anordnung der Atome ab F = grad E pot 1

2 Atomares Modell der Aggregatszustände Beschreibung des Festkörpers als Kristall: Ortsvektoren der Atome: r i = n 1i a + n 2i b + n 3i c a, b, c spannen die Einheitszelle auf. 2

3 Atomares Modell der Aggregatszustände Beschreibung der Kräfte im Kristall durch Federn: Atome schwingen bei der Temperatur T mit der mittleren kinetischen Energie E kin = 1 2 k T Kristall: E kin << Bindungsenergie 3

4 Atomares Modell der Aggregatszustände Phasenübergang ins Flüssige: Potentielle Energie wird vergleichbar mit kinetischer Energie Atome können Gitterplätze verlassen Mittlerer Abstand nimmt geringfügig zu Unordnung nimmt sprunghaft zu nur noch Aufenthaltswahrscheinlichkeiten für Atome beschreibbar Durch Fäden verbundene Punktteilchen (konstanter Abstand, variabler Winkel) eignen sich als Modell. 4

5 Atomares Modell der Aggregatszustände Phasenübergang zum Gasförmigen: potentielle Energie wird klein gegen die kinetische Energie Atome können sich frei bewegen Der mittlere Abstand benachbarter Teilchen ist abhängig vom zur Verfügung stehenden Volumen. 5

6 Deformierbare feste Körper Unterscheide: elastische Körper plastische Körper Hooke sches Gesetz Kraft auf einen elastischen Körper: Def.: Zugspannung: σ = F q Def.: Relativen Dehnung: ε = ΔL L F = E q ΔL L Hooke sches Gesetz: σ = E ε ε <<1 E Elastizitätsmodul [ ] = N m 2 6

7 Hooke sches Gesetz E pot Das lineare Kraftgesetz ist eine Näherung, besser: E pot ( r) = n= 0 ( r r 0 ) n n! ( r) = E 0 + r r 0 n r E n pot Taylorentwicklung von E um r 0 r= r ( r=r 0 2 r r 0) 2 2 r E 2 pot + 1 ( 6 r r 0) 3 3 r E 3 pot + r=r 0 r=r 0 ist Gleichgewichtslage ( ) r E pot r 0 F( r) = grad E pot ( r) Für kleine Auslenkungen ist F linear. P F Z Proportionalitätsgrenze Fließgrenze Zerreißgrenze Gaub

8 Hooke sches Gesetz Die Fließgrenze markiert das Ende der elastischen Verformbarkeit. Überschreitung: Gitterebenen verschieben sich Verschieben von Gitterebenen nicht mit beliebig kleiner Kraft möglich, weil Atome über Potentialwall gehoben werden müssen: 8

9 Querkontraktion Volumenänderung eines Stabes mit Länge L und quadratischem Querschnitt unter Einwirkung der Zugspannung σ: ΔV = ( d + Δd) 2 ( L + ΔL) Ld 2 => ΔV V = ( d 2 + 2dΔd + Δd 2 ) ( L + ΔL) Ld 2 d 2 = 2dΔdL + Δd 2 L + d 2 ΔL + 2dΔdΔL + Δd 2 ΔL 2dΔdL + d 2 ΔL ΔV V 2dΔdL V 2 Δd d + ΔL L + d 2 ΔL V = ΔL L Definition der Querkontraktionszahl: µ = Δd /d 1+ 2 => ΔV ΔL / L V = ΔL L Mit dem Hooke schen Gesetz: => ΔV V = σ E Δd /d ΔL / L ( 1 2µ ) ( 1 2µ ) 9 0 < µ < 1 2

10 Quer- Kontraktion bei Druck Druck statt Zug auf Fläche: Druck von allen Seiten: p = σ => Längenverkürzung durch Druck auf auf d 2 : ΔL = L p E => Dickenreduktion durch Druck auf auf Ld: Δd = d p E => Gesammtänderungen: ΔL = L p E zwei Seitenpaare! Δd = d p E => Für kleine Dehnungen: ΔV V = ΔL L + 2Δd d ΔL, ΔV < 0 Δd > 0 => µ>0 Quer kontraktion => Quer kontraktion => ( 1 2 µ ) ( 1 2 µ ) = 3p E κ = 1 K = 3 ( E 1 2 µ ) ( 1 2µ ) = p κ = p 1 K Δd = µ d p E ΔL = µ L p E Kompressibilität Kompressionsmodul 10

11 Scherung und Torsionsmodul Scherkraft: Angriff tangential an einer Fläche Scherspannung: τ = F d 2 Resultat der Scherspannung: Verkippen der Kanten um den Winkel α: τ = G α mit dem Schub- / Scher- / Torsionsmodul G Die behandelten Kräfte sind alle auf atomare Kräfte zurück zu führen und damit miteinander verknüpft. Für isotrope Körper kann folgende Beziehung hergeleitet werden: E 2 G = 1 + µ mit κ = 1 => 2 G 3 K = 1 2 µ K = 3 ( E 1 2 µ ) 1 + µ 11

12 12

13 SW carbonnanotubes 13

14 Beispiel: Torsion eines Drahtes Der Draht wird aufgeteilt in Hohlzylinder mit Radius r und Dicke dr, außerdem in Segmente der Winkelbreite dφ. Um den Draht um den Winkel φ zu verdrillen ist die Scherspannung τ nötig: τ = G rϕ L = df da α rϕ L => df = G r ϕ L da = G rϕ L 2πr dr => dd = r df = 2πr 3 ϕ G L R 2πr 3 ϕ G dr L D( ϕ) = 0 dr = π R4 G 2 L ϕ = D r ϕ => D r = π R4 G 2 L Richtmoment 14

15 Biegung eines Balkens Ein Balken mit rechteckigem Querschnitt q = d b wird an einem Ende fest eingespannt und am anderen belastet. Lokal kann die Krümmung durch Kreisbogen mit Radius r beschrieben werden. Die Länge in der Mitte des Balkens bleibt unbeeinflusst (neutrale Faser). Eine Schicht in Höhe z des Balkens (z=0 entspricht der neutralen Faser) wird also verlängert um: Δl = z ϕ = z l r Für diese Längenänderung nötige Zugspannung: σ = E Δl l = E z r

16 Biegung eines Balkens Die auf eine rechteckige Schicht des Balkens mit der Breite b, der Höhe dz und dem Abstand z von der neutralen Faser, wirkende Kraft ist : b dz z z = 0 df = σ b dz = b E r z dz Dementsprechend wirkt das Drehmoment: dd = z df = b E r z 2 dz Über die gesamte Balkenhöhe ergibt sich: D = b E r d 2 d 2 z 2 dz = b E r d

17 Biegung eines Balkens Ursache der Biegung ist eine Kraft bei L, die an der Stelle x das Drehmoment D erzeugt: D = F 0 L x ( ) Der Balken biegt sich so lange, bis die beiden Drehmomente entgegengesetzt gleich groß sind: b E r d 3 12 = F 0 L x ( ) Die Krümmung am Ort x ist also: 1 r = 12 F 0 b E d 3 ( L x) Bei x=0 wird die Krümmung und damit die Zugspannung an der Oberseite (z=d/2)maximal. σ max = E d 2r = 6 F 0 L d 2 b => Einkerbung und nachfolgend Bruch des Balkens wenn σ max die Zerreissspannung des Materials überschreitet 17

18 Biegung eines Balkens Allgemein gilt für die Krümmung einer beliebigen Funktion z (x) ( Teubner): 1 r = zʹ ʹ ( x) 3 ( 1+ zʹ ( x) 2 ) 2 z(x)=0 beschreibt die neutrale Faser des unbelasteten Balkens In der Näherung kleiner Durchbiegungen gilt: zʹ ( x) <<1 => zʹ ʹ ( x) = 1 r = a ( L x ) a = 12 F 0 b E d 3 Zweimalige Integration mit den Randbedingungen z(0) = z (0) = 0 => zʹ ( x) = a L x 1 2 a x2 => z( x) = 1 2 a L x2 1 6 a x 3 Das Balkenende x=l biegt sich um s (Biegungspfeil) nach unten: s = z( L) = 1 3 a L3 = 4 F 0 b E 18 L 3 d 3

19 Biegung eines Balkens Die Biegung eines Balkens mit beliebigem Querschnitt a lässt sich mit der Einführung des Biegemoments B (auch Flächenträgheitsmoment genannt) analog behandeln: x Längsachse des Balkens, Querschnittsfläche: Quader: Def. Biegemoment: B = d 2 b 2 A = B = dy dz z 2 dy dz z 2 dy dz = 1 12 d 3 b z= d 2 y= b 2 Der Biegungspfeil s ist dann allgemein gegeben durch: s = L3 3 E B F Andere Beispiele: Gaub

20 Biegung eines Balkens Liegt der Balken auf beiden Enden und die Kraft F wirkt in der Mitte, so wird die maximale Durchbiegung s: s = L 3 4 E d 3 b F Die Kraft F verteilt sich je zur Hälfte auf beide Balkenhälften der Länge L/2 s wird um den Faktor 16 kleiner! 20

21 Elastische Hysterese, Deformationsarbeit Unter Einwirkung der Zugspannung σ erfährt ein Körper die Elongation ε. Im ε-σ-diagramm wird dabei der Weg 0A zurückgelegt. Wird σ danach wieder auf 0 gesetzt, so verbleibt eine Elongation (Punkt B). elastische Hysterese Durch temporäres Ausüben des Druckes p = -σ auf den Körper gelangt dieser über Punkt C zu Punkt D. 21

22 Elastische Hysterese, Deformationsarbeit Beim Durchlaufen der (geschlossenen) Kurve ABCDA, genannt elastische Hysterese-Schleife, wird die Arbeit W verrichtet. Für einen Quader mit dem Querschnitt q ist die Arbeit W: W = ΔL F dl = q σ dl 0 ε ΔL = q σ L dε = V σ dε 0 0 ε 0 pro Volumeneinheit zu verrichtende Arbeit Im Geltungsbereich des Hooke schen Gesetzes gilt: σ = E ε => W elast = 1 2 E V ε 2 Außerhalb des Bereiches σ ~ ε gilt: σ dε 0 => Die pro Volumen in Wärme umgesetzte Arbeit entspricht der Fläche des Graphen.

23 Die Härte eines Festkörpers Die Härte gibt den Widerstand eines Körpers beim Eindringen eines anderen an. Ritzverfahren: Der härtere Körper ritzt den anderen. Mohshärte Härteprüfung in der Technik: Brinellverfahren Die Eindrucktiefe h misst die Brinellhärte. Keine analytischen Beschreibungen mehr! - numerische Verfahren, - finite Elemente Rechnungen 23