Soweit: starre Körper, imkompressibel, in Wirklichkeit sind alle Körper kompressibel (zusammendrückbar)

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1 I.12 Elastizität Soweit: starre Körper, imkompressibel, in Wirklichkeit sind alle Körper kompressibel (zusammendrückbar) Beispiele: Feder Balken Torsion Durch äußere Kraft wird Körper deformiert, nach der Kraftwirkung nimmt er wieder die ursprüngliche Gestalt an (elastisch). Bindungskräfte halten feste Körper und Flüssigkeiten zusammen. Amorphe Körper: Einkristall: Polykristall: Heterogen: keine Regelmäßigkeit bis in atomare Bereiche regelmäßige, streng geometrische Anordnung der Moleküle Zusammensetzung aus vielen kleinen, beliebig orientierten Einkristallen an verschiedenen Raumstellen herrschen verschiedene Eigenschaften (Gegenteil: homogen) 131

2 Anisotrop: das physikalische Verhalten ist richtungsabhängig (Gegenteil: isotrop) I.12.1 Elastische Verformung Makroskopische Verformung führt zu mikroskopischen Abstandsänderungen der Atome. Beispiele: Dehnung Dehnung eines Drahtes Folie Ergebnis: Δ ~ Δ ~ F Δ ~ A -1 Δ ~ F A = 1 E F A σ = F A heißt Zugspannung (tensile stress) Dimension: Kraft / Fläche Einheit: N m -2 E heißt Elastizitätsmodul ε = Δ heißt Dehnung (tensile strain) 132

3 Hooke sches Gesetz (Hooke s law): ε = σ E Dehnung für ein Metall Querkontraktion: Durch Dehnung wird eine Verringerung des Querschnittes bewirkt. µ Querkontraktionszahl = relative Änderung des Querschnitts / relative Längenänderung = ΔA/A Δ / auch Poisson-Zahl genannt 133

4 Tabelle: Stoff E [ N m -2 ] µ Aluminium 7.2 x Blei 1.7 x Stahl 2.1 x Wolfram 4.0 x Scherung: Schubspannung Fläche A α ~ F A α = 1 F G A G... Schubmodul, Torsionsmodul Torsion: α = rϕ α = 1 G F A αa = 1 G F daα = 2πrdr rϕ = df G 134

5 rdf = dt Drehmoment dt = 2πr 3 dr ϕ G T = 2π ϕ G r 0 r3 dr r 4 4 = π ϕ G r 4 2 G = 2T π r 4 ϕ Torsionsstab ϕ ~ Torsionsschwingung aus ω folgt G Biegung: Breite: b Dicke: d Länge: s = 4 E 3 bd 3 mg Balkendurchbiegung Tischdurchbiegung 135

6 I.13 Mechanik deformierbarer Medien Auswirkung von Kräften und Momenten auf Flüssigkeiten und Gase. Moleküle schwächer gebunden als im Festkörper, d. h. sie können sich relativ frei gegeneinander verschieben. Die Flüssigkeit nimmt die Form des Behälters an. Flüssigkeiten inkompressibel Gase stark kompressibel Druckerhöhung führt zu Volumenabnahme: ΔV V = ΚΔp Κ heißt Kompressibilität (sehr klein für Flüssigkeiten) I.13.1 Der hydrostatische Druck Druck (pressure) = Kraft / Fläche = F / A Einheit: N m -2 = 1 Pa = 10-5 bar (1 atm = 760 Torr = bar; 1 Torr = 1mm Hg-Säule) (Pascal ) Die Kraft steht senkrecht zur Begrenzungsfläche. Annahme: ideale Flüssigkeit a) keine innere Reibung b) inkompressibel Der Druck innerhalb der ruhenden Flüssigkeit ist der sogenannte hydrostatische Druck. ohne Schwerkraft: Druck auf Würfel unabhängig von Position und Richtung. 136

7 Bodendruckapparat p(α) = const. Pascal sches Prinzip: Der Druck, der auf eine eingeschlossene, inkompressible Flüssigkeit angewendet wird, wird gleichmäßig auf alle Teile der Flüssigkeit übertragen. Ein auf eine Flüssigkeit ausgeübter Druck verteilt sich durch die gesamte Flüssigkeit nach allen Seiten mit gleicher Stärke (Hydrostatischer Druck). Anwendung: Hydraulische Hebebühnen hydraulische Presse p 1 = p 2 F 1 A 1 = F 2 A 2 V 1 = A 1 h 1 V 1 = V 2 A 1 A 2 = h 2 h 1 F 2 = A 2 A 1 F 1 V 2 = A 2 h 2 F 1 F 2 = h 2 h 1 F 1 h 1 = F 2 h 2 W 1 = W 2 137

8 I.13.2 Schweredruck und Auftrieb Im Schwerefeld wirkt zusätzlich die Gewichtskraft auf die Moleküle. horizontale Oberfläche Flüssigkeit Auf Boden A wirkt die Kraft F 0 =p 0 A und die Gewichtskraft der d. h. F ges =p 0 A +hρga Säule hρga Also ist der Druck: p ges =p 0 +hρg p G =hρg heißt Schweredruck Er steigt linear mit der Tiefe an. Bodendruckapparat p(h) Hydrostatisches Paradoxon p G ist unabhängig von der Gefäßform, sog. Hydrostatisches Paradoxon. 138

9 Beispiel: U-Rohr Linke Seite: p 1 =p Q1 + ρgh 1 Rechte Seite: p 2 =p Q2 + ρgh 2 wegen statischen Verhaltens: p 1 =p 2 p Q1 + ρgh 1 = p Q2 + ρgh 2 Sonderfälle: a) p Q1 = p Q2 h 1 = h 2 b) p Q1 - p Q2 = ρg(h 2 h 1 ) Auf b) beruhen Druckmessgeräte zur Bestimmung des Differenzdrucks p Q1 - p Q2 Allgemein: Die Oberfläche der Flüssigkeit stellt sich senkrecht zur Resultierenden der wirkenden Kräfte ein. 139 rotierende Flüssigkeit x ist der Abstand des betrachteten Teilchen von Rot.achse

10 Auftrieb Nach Archimedes ( v. Chr.): Ein Körper, der in eine Flüssigkeit eintaucht, erfährt eine Auftriebskraft, die dem Betrage nach gleich der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit ist. buoyant force = weight of fluid displaced F A = ρ Fl Vg V Volumen der verdrängten Flüssigkeit Beweis: p 0 Zylinder in der Tiefe H von oben beträgt der Druck: p oben = p 0 + ρ Fl gh von unten beträgt der Druck: p unten = p 0 + ρ Fl g(h+ ) Resultierende Kraft: (p unten p oben )A = ρ Fl g A = ρ Fl gv =m Fl g Ist leicht auf beliebige Körperform übertragbar. 140

11 Archimedes Waage F A >F G Ein Körper schwimmt, wenn sein Auftrieb größer ist als sein Gewicht. F A <F G Körper sinkt F A =F G Körper schwebt Beispiel zum Auftrieb: Gewicht der Königskrone von Syrakus ist in Luft 3.5 N und in Wasser 3.1 N. Dichte von Wasser: 1000 kg/m 3 Dichte von Kupfer: 8900 kg/m 3 Dichte von Gold: kg/m 3 Gewicht der Krone in Luft: G = ρ c Vg 1) Gewicht der Krone in Wasser: G Nach Archimedes: G - G ʹ = ρvg 2) 1) / 2): G G - G ʹ = ρ c ρ 141

12 ρ c = ρg G - G ʹ = ( ) = kgm 3 Krone ist aus Kupfer! Auftrieb in Luft Glasballon Cartesischer Taucher Heißluftballon Luftballon Seifenblasen Aräometer Dichte der Flüssigkeit (Dichtemessung) Eis in Wasser (Titanic) Eisblock hat Masse: m E = ρ E Ah ' verdrängtes Wasser: m W = ρ W Ah nach Archimedes: m E g = m W g ρ E h ' = ρ W h h h ' = ρ E ρ W = ρ W von Meerwasser = 1025 kg m -3 ρ E = kg m

13 I.13.3 Strömende ideale Flüssigkeiten und Gase, Dynamik Gegenstand sogenannter Strömungslehre oder Hydrodynamik. Strömung ist die Bewegung von Molekülen, für jede Strömung sind äußere Kräfte notwendig, z. B. Schwerkraft, Druckdifferenzen. Flüssigkeiten sind nahezu inkompressibel: Κ 0 ρ = const. ideale Flüssigkeiten (keine innere Reibung) reale Flüssigkeiten (Berücksichtigung der Reibung, besonders in Wandnähe) I Geschwindigkeitsfeld und Stromlinien Was ist Flüssigkeiten und Gase sind Systeme von vielen Massenteilchen mit individueller Bewegung. Die individuelle Bewegung ist nicht sichtbar. Strömungslehre studiert gemittelte gerichtete Bewegung; Angaben makroskopischer Größen wie ρ( r,t),,, V( r,t) v Betrag v = vδt vδtδa = ΔV v = ΔV ΔtΔA Volumen/ZeiteinheitxFlächeneinheit 143

14 Angabe von in jedem Punkt zu jeder Zeit liefert Geschwindigkeitsfeld der Strömung. Def.: Eine Strömung heißt stationär, wenn die Geschwindigkeit der Strömung nicht von der Zeit abhängt: Beispiel: Rohrströmung, Windkanal bildet stationäres Vektorfeld Stromlinien: Die Tangenten an die Stromlinien eines Strömungsfeldes geben die Richtung der lokalen Strömungsgeschwindigkeit. Die Dichte der Stromlinien ist ein Maß für den Geschwindigkeitsbetrag hohe Geschwindigkeit Bahnlinien: Sie beschreiben die tatsächliche Bewegung von Masseteilchen, Sichtbarmachung mittels Farbe. Sromlinien 144

15 Bei stationären Strömungen: Bahnlinie = Stromlinie I Die Kontinuitätsgleichungen für Masse und Energie a) Massenbilanz Def. Massenfluss = Masse / Zeit Φ m = Δm Δt = ρ ΔV Δt = ρvδa (vδtδa = ΔV) Dimension: Masse / Zeit Einheit: kg s -1 Verfolge eine sog. Stromröhre für inkompressible Strömung ρ=const. v 1 v 2 Φ m = const. (Massenerhaltung) ρv 1 A 1 = ρv 2 A 2 d. h. v 1 v 2 = A 2 A 1 heißt Kontinuitätsgleichung Die Strömungsgeschwindigkeiten verhalten sich umgekehrt wie die Querschnitte. b) Energiebilanz: 145

16 Die Energiedifferenz ist gleich der durch den äußeren Druck geleistete Arbeit. W = F 1 Δx 1 F 2 Δx 2 F = pa = (p 1 - p 2 )ΔV, da ΔV = A 1 Δx 1 = A 2 Δx 2 Arbeit von äußeren Kräften = Änderung der Energie W = ΔW kin + ΔU = 1 2 Δm(v v 2 1 ) + Δmg( h 2 - h 1 ) ( p 1 - p 2 )ΔV = 1 2 Δm(v v 2 1 ) + Δmg( h 2 - h 1 ) ρ = Δm ΔV ( p 1 - p 2 ) = 1 2 ρ(v v 2 1 ) + ρg( h 2 - h 1 ) p ρv ρgh 1 = p ρv ρgh 2 = const. (bezieht sich auf Strömung in einer Röhre) Die Gleichung heißt Bernoulli-Gleichung (D. Bernoulli ) 1 2 ρv2 heißt dynamischer Druck oder Staudruck. 146

17 in Worten: dynamischer Druck + hydrostatischer Druck = const. (für reibungsfreie, inkompressible Flüssigkeit) I.13.4 Anwendungen der Erhaltungsgleichungen für ideale Strömungen a) Hydrostatik v 1 = v 2 = 0 p 1 + ρgh 1 =p 2 + ρgh 2 p 1 =p 2 + ρg( h 2 h 1 ) =p 2 + ρgh p 2 =p außen ρgh Schweredruck b) Strömung im waagerechten Rohr p ρv 2 1 =p ρv 2 2 ρgh = 0 147

18 wegen A 1 v 1 = A 2 v 2 v 1 = v 2 A 2 A 1 p ρv 2 2( A 2 /A 1 ) 2 =p ρv 2 2 p 1 - p 2 = 1 2 ρv A 2 2 ( 2 /A 1 ) ( ) ( ) v 2 2 ist positiv v 2 2 = 2A 2 1 p 1 - p 2 ρ A A 2 v 2 2 > 0 p 1 >p 2 c) Ausströmen aus einem Loch: Behälter so groß v 1 0 p ρv ρgh 1 =p ρv ρgh 2 =0 =0 p 1 =p 2, h 1 =h ρgh = 1 2 ρv

19 v 2 = 2gh h = 1 2 v 2 2 g Toricelli sches Ausströmungsgesetz: Die Ausflussgeschwindigkeit ist so als sei das ausgeströmte Volumen um die Höhe h gefallen (wie im freien Fall). (Obwohl Teilchen, die aus dem Loch kommen, nicht identisch mit den Teilchen der Oberfläche sind.). d) Druckmessung: 1. Hydrostatischer Druck P stat Öffnung senkrecht zur Stromlinien 2. Hydrostatischer Druck plus Staudruck = Gesamtdruck: p Stat +p stau Pitot Rohr misst p 0 + ½ ρv 2 149

20 3. Staudruck: Prandtl Rohr v = 2p Stau ρ e) Geschwindigkeitsmessung: p ρv 2 1 =p ρv 2 2 A 1 v 1 = A 2 v 2 heißt Venturidüse v 1 = 2Δp ρ A A 1 2 Praktische Anwendungen: a) Zerstäuber Luftstrom Druck fällt durch Luftströmung und ist kleiner als im Behälter Flüssigkeit steigt hoch und wird zerstäubt. 150

21 Zerstäuber b) Bunsenbrenner Luft Strömendes Gas saugt Luft an, hohe Strömungsgeschwindigkeit erzeugt Unterdruck Gas Bild: Campingkocher Wasserstrahlpumpe Wasserstrahlpumpe c) Hydrodynamisches Paradoxon v 1 > v 2, d. h. p 1 < p 2 die Platte wird angedrückt Hydrodynamisches Paradoxon Hydrodynamisches Paradoxon 151

22 d) Hohe Strömungsgeschwindigkeit am Dachfirst kann Dach abheben. außen: p 0, v 0 starker Wind Unterdruck horizontal: p ρv 2 2 = const. p ρv 2 0 =p i Druckunterschied: p i - p 0 = 1 2 ρv 2 0 =F/A e) Schweben eines Balles im Luftstrom Tischtennisball mit Staubsauger kleiner stat. Druck hoher Druck drückt Ball nach oben. Ball wandert in Bereich mit größerer Stromliniendichte. 152

23 f) Flugzeug Flügel Auftrieb v größer an der Oberseite größer als an Unterseite des Flügels Auftrieb Druck groß 153