Physik für Biologen und Zahnmediziner

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1 Physik für Biologen und Zahnmediziner Kapitel 6: Drehimpuls, Verformung, Hydrostatik Dr. Daniel Bick 16. November 2012 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

2 Folien zur Vorlesung Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

3 Übersicht 1 Drehungen Drehimpuls 2 Mechanik deformierbarer Körper Verformung Hydrostatik Ruhende Gase Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

4 Drehstuhl Beobachtung: Ursache: Es wird kein zusätzliches Drehmoment ausgeübt Anziehen der Arme erhöht Winkelgeschwindigkeit ω Das Trägheitsmoment wird durch die geänderte Massenverteilung kleiner. Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

5 Drehstuhl Beobachtung: Ursache: Es wird kein zusätzliches Drehmoment ausgeübt Anziehen der Arme erhöht Winkelgeschwindigkeit ω Das Trägheitsmoment wird durch die geänderte Massenverteilung kleiner. Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

6 Drehimpuls Wir nehmen an, es liegt kein äußeres Drehmoment vor: M = 0 Es gilt: M = I α Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

7 Drehimpuls Wir nehmen an, es liegt kein äußeres Drehmoment vor: Es gilt: M = 0 M = I α Mdt = I α dt d ω 0 dt = I dt dt konst. = I }{{} ω L Der Drehimpuls L = I ω ist eine Erhaltungsgröße. L ist parallel zur Drehachse. Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

8 Drehstuhl mit Schungrad Ein sich schnell in der Vertikalen rotierendes Objekt wird verdreht Der Stuhl dreht sich ω Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

9 Drehstuhl mit Schungrad Ein sich schnell in der Vertikalen rotierendes Objekt wird verdreht Der Stuhl dreht sich ω ω ω Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

10 Drehstuhl mit Schungrad Ein sich schnell in der Vertikalen rotierendes Objekt wird verdreht Der Stuhl dreht sich ω L ω ω L Drehimpulserhaltung gilt vektoriell! Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

11 Drehimpuls als Vektorgröße ω ist ein Axialvektor Auch L = I ω ist ein Axialvektor Ausserdem: d L dt = I d ω dt = I α = M Es gilt für einen Massepunkt: Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

12 Drehimpuls als Vektorgröße ω ist ein Axialvektor Auch L = I ω ist ein Axialvektor Ausserdem: d L dt = I d ω dt = I α = M Es gilt für einen Massepunkt: M = r F = d L dt r d p dt = d L dt ( r d p dt r ) dt = d p dt dt = L r p = L d L dt dt Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

13 Unfolgsamer Koffer Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

14 Vergleich Translation Rotation Ort s Winkel ϕ Zeit t Zeit t Geschwindigkeit Beschleunigung v = d s dt Winkelgeschwindigkeit ω = dϕ dt a = d v dt Winkelbeschleunigung α = d ω dt Masse m Trägheitsmoment I = i m i r 2 i Kraft F = m a Drehmoment M = I α Kinetische Energie W kin = 1 2 mv2 Rotationsenergie W Rot = 1 2 Iω2 Impuls p = m v Drehimpuls L = I ω Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

15 Formelsammlung Schwerpunkt Drehmoment Hebelgesetz Trägheitsmoment Satz von Steiner Dynamisches Grundgesetz der Rotation Rotationsenergie Rollreibung Drehimpuls Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

16 Aggregatzustände Festkörper Bestimmte Gestalt formstabil Bestimmtes Volumen volumenstabil Bei kleinen Kräften formelastisch Flüssigkeiten Festes Volumen volumenstabil Aber nicht formstabil Gase Nehmen zur Verfügung stehenden Raum ein Volumen leicht veränderbar Weder feste Gestalt noch festes Volumen Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

17 Übergang zwischen den Aggregatzuständen Jeder Körper hat eine Temperatur T T ist ein Maß für die Bewegungsenergie der Moleküle/Atome Mit höherer Bewegungsenergie können die Bindungen der Moleküle überwunden werden Phasenübergang Mit steigernder Temperatur: fest flüssig gasförmig Dichte ρ = m V nimmt dabei in der Regel ab Ausnahme: Anomalie des Wassers Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

18 Verformung eines Festkörpers Ein fester Körper ist kein starrer Körper! Abstand der Bestandteile (Moleküle) ändert sich durch Einwirkung einer Kraft Elastische Verformung kehrt sich von alleine wieder um (wenn die Kraft wieder loslässt) Plastische Verformung ist dauerhaft Übergang fließend Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

19 Elastizität Verformung σ Verhältnis der ziehenden Kraft zur Querschnittsfläche: Spannung Relative Längenänderung: Dehnung ɛ Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

20 Elastizität Verformung σ Verhältnis der ziehenden Kraft zur Querschnittsfläche: Spannung A B C σ = F A Relative Längenänderung: Dehnung ɛ = l l ɛ A Proportionalitätsgrenze B Elastizitätsgrenze C Reißpunkt Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

21 Elastizitätsmodul Im linearen Bereich gilt das Hookesche Gesetz ɛ σ Die Dehnung ist proportional zur Spannung Elastizitätsmodul E Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

22 Elastizitätsmodul Im linearen Bereich gilt das Hookesche Gesetz ɛ σ Die Dehnung ist proportional zur Spannung Elastizitätsmodul E σ = F A = E l = Eɛ l E ist ein Maß für die Festigkeit verschiedener Materialien Stahl Kupfer Blei Knochen 200 GN m GN m 2 16 GN m 2 9 GN m 2 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

23 Scherung und Torsion Bei parallel zu einer Fläche ansetzenden Kräften gilt Scherung: Kraft im Mittelpunkt Verkippen Torsion: Kraft erzeugt Drehmoment Rotation Normalform Scherung Torsion L Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

24 Scherung und Torsion Bei parallel zu einer Fläche ansetzenden Kräften gilt F A = G x L Scherung: Kraft im Mittelpunkt Verkippen Torsion: Kraft erzeugt Drehmoment Rotation G wird Scher-(/Schub-) oder Torsionsmodul genannt Normalform L Scherung x Torsion x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

25 Kompressibilität Eine Kraft F, die senkrecht auf eine Fläche A ausgeübt wird, erzeugt einen Druck p Wird auf ein Gas oder eine Flüssigkeit ein Druck ausgeübt, so ändert sich das Volumen Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

26 Kompressibilität Eine Kraft F, die senkrecht auf eine Fläche A ausgeübt wird, erzeugt einen Druck p p = F A Wird auf ein Gas oder eine Flüssigkeit ein Druck ausgeübt, so ändert sich das Volumen p = K V V Das Kompressibilitätsmodul K ist ein Maß für die Komprimierbarkeit eines Stoffes in Abhängigkeit des Drucks p Negatives Vorzeichen: höherer Druck kleineres Volumen 1 K = κ nennt man die Kompressibilität Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

27 Kompressibilität einiger Materialien Aluminium κ = m 2 N 1 Wasser κ = m 2 N 1 Ideales Gas κ = 1 P 10 5 m 2 N 1 Flüssigkeiten und Festkörper nahezu nicht komprimierbar Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

28 Hydrostatik Die Lehre von ruhenden Flüssigkeiten Betrachtet wird eine ideale Flüssigkeit: Inkompressibel Keine innere Reibung (Viskosität) Keine Oberflächenspannung Eigene Masse wird zunächst ignoriert Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

29 Stempeldruck A p F Eine Kraft F senkrecht zur Fläche A übt den Druck p = F/A aus Hydrostatischer Druck Allseitiger Druck Unabhängig von Form des Gefäßes Schwerkraft vernachlässigt Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

30 Hydraulische Presse Bei konstantem Druck gilt: F F Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

31 Hydraulische Presse Bei konstantem Druck gilt: Welche Arbeit wird geleistet? F p 1 = p 2 F 1 A 1 = F 2 A 2 F 1 = A 1 A 2 F 2 F Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

32 Volumenarbeit Durch den hydrostatischen Druck wird eine Kraft auf den Kolben ausgeübt. Der Kolben bewegt sich um s Die geleistete Arbeit kann als Volumenarbeit umgeschrieben werden: Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

33 Volumenarbeit Durch den hydrostatischen Druck wird eine Kraft auf den Kolben ausgeübt. Der Kolben bewegt sich um s Die geleistete Arbeit kann als Volumenarbeit umgeschrieben werden: W = F s = p A s W = p V Wenn in einem Rohr das Flüssigkeitsvolumen V transportiert wird ist dafür die Volumenarbeit erforderlich: W = p V Energieerhaltung: Der große Kolben gewinnt an Kraft, verliert aber an Schubweg Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

34 Volumenarbeit Durch den hydrostatischen Druck wird eine Kraft auf den Kolben ausgeübt. Der Kolben bewegt sich um s Die geleistete Arbeit kann als Volumenarbeit umgeschrieben werden: W = F s = p A s W = p V Wenn in einem Rohr das Flüssigkeitsvolumen V transportiert wird ist dafür die Volumenarbeit erforderlich: W = p V Energieerhaltung: Der große Kolben gewinnt an Kraft, verliert aber an Schubweg W = F 1 s 1 = F 2 s 2 s 2 s 1 = F 1 F 2 Druck spielt in Flüssigkeiten die Rolle von Kraft (Arbeit = Druck Volumen) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

35 Schweredruck F Die Flüssigkeit erfährt Schwerkraft Eigengewicht führt zu Druck Druck am Boden: p = F A = Gewicht der Flüssigkeitssäule Fläche des Bodens Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

36 Schweredruck F Die Flüssigkeit erfährt Schwerkraft Eigengewicht führt zu Druck Druck am Boden: p = F A = Gewicht der Flüssigkeitssäule Fläche des Bodens p = F A = mg A = ρv g A = ρahg A = ρhg ρhg ist der Schweredruck der Flüssigkeit. Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

37 Hydrostatisches Paradoxon Der Schweredruck ist unabhängig von der Form des Gefäßes und hängt nur von h ab. Beispiel: Würfel mit dünnem Rohr 1 m 3 Würfel voll mit Wasser Druck am Boden p 1 Fülle Rohr bis h = 10 m Druck am Boden? Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

38 Hydrostatisches Paradoxon Der Schweredruck ist unabhängig von der Form des Gefäßes und hängt nur von h ab. Beispiel: Würfel mit dünnem Rohr 1 m 3 Würfel voll mit Wasser Druck am Boden p 1 Fülle Rohr bis h = 10 m Druck am Boden : p 2 = 10 p 1 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

39 Hydrostatisches Paradoxon Gefäße haben alle die selbe Grundfläche Trotz unterschiedlicher Wassermengen ist der Druck in allen drei Gefäßen gleich gleiche Kraft auf Boden Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

40 Kommunizierende Röhren p 0 p 0 h 1 h 2 A Druck ist allseitig An jeder Stelle in den Röhren ist der Druck von oben gleich der von unten bzw. der von links gleich dem von rechts. Bei Gleichgewicht gilt also am untersten Verbindungspunkt: F 1 F 2 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

41 Kommunizierende Röhren p 0 p 0 h 1 h 2 Druck ist allseitig An jeder Stelle in den Röhren ist der Druck von oben gleich der von unten bzw. der von links gleich dem von rechts. Bei Gleichgewicht gilt also am untersten Verbindungspunkt: A F 1 = p 1 A = F 2 = p 2 A ρ g h 1 A = ρ g h 2 A F 1 F 2 Nur erfüllt für h 1 = h 2 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

42 Schweredruck beim Menschen Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

43 Flüssigkeitsmanometer p p l Flüssigkeitsmanometer Druckmessung bei Gasen Z.B. mit Quecksilber gefüllt Druck für jeden Füllstand konstant h Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

44 Flüssigkeitsmanometer p p l Flüssigkeitsmanometer Druckmessung bei Gasen Z.B. mit Quecksilber gefüllt Druck für jeden Füllstand konstant h p = p l + h ρ g p = h ρ g Druckdifferenz entspricht Höhendifferenz Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

45 Manometer zur Luftdruckmessung P l h p 0 Geschlossenes Flüssigkeitsmanometer Oberes Ende eines Schenkels evakuiert p 0 = 0 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

46 Manometer zur Luftdruckmessung P l h p 0 Geschlossenes Flüssigkeitsmanometer Oberes Ende eines Schenkels evakuiert p 0 = 0 p l = h ρ g Anhand der Steighöhe kann der Luftdruck gemessen werden Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

47 Auftrieb Seitliche Kräfte kompensieren sich Kraft auf obere Fläche F 1 a Kraft auf untere Fläche F s F s Resultierende Kraft F 2 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

48 Auftrieb Seitliche Kräfte kompensieren sich Kraft auf obere Fläche F 1 F 1 = p 1 a 2 = h 1 ρ g a 2 F s a F s Kraft auf untere Fläche F 2 = p 2 a 2 = h 2 ρ g a 2 Resultierende Kraft F 2 F = F 2 F 1 = ρ g (h 2 h 1 ) a 2 = ρ g a 3 F = ρ V K g Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

49 Archimedisches Prinzip Dichte des Körpers > als Dichte der Flüssigkeit Körper sinkt Dichte des Körpers = als Dichte der Flüssigkeit Körper schwebt Dichte des Körpers < als Dichte der Flüssigkeit Körper steigt Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

50 Archimedisches Prinzip Dichte des Körpers > als Dichte der Flüssigkeit Körper sinkt Dichte des Körpers = als Dichte der Flüssigkeit Körper schwebt Dichte des Körpers < als Dichte der Flüssigkeit Körper steigt F = ρ F l V K g = m F l,v g Der Auftrieb entspricht der Gewichtskraft der durch den Körper verdrängten Flüssigkeitsmenge. Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

51 Eintauchtiefe Ein Körper taucht so weit in eine Flüssigkeit ein, bis das verdrängte Volumen seine Gewichtskraft kompensiert. Körper: Volumen V K, Dichte ρ K Flüssigkeit: Dichte ρ F l > ρ K Volumenanteil V der eintaucht? Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

52 Eintauchtiefe Ein Körper taucht so weit in eine Flüssigkeit ein, bis das verdrängte Volumen seine Gewichtskraft kompensiert. Körper: Volumen V K, Dichte ρ K Flüssigkeit: Dichte ρ F l > ρ K Volumenanteil V der eintaucht? F A = ρ F l V g = m K g V = m K ρ F l Beispiel Kubus mit Kantenlänge a: V K = a 3 = ρ kv K ρ F l V = a 2 h = ρ ka 3 h = ρ k ρ F l h Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37 ρ F l

53 Dichtebestimmung von Flüssigkeiten Rohre mit unterschiedlichen Flüssigkeiten (unterschiedliche Dichten) Unterschiedlicher Schweredruck bei gleicher Höhe ρ 1 hg ρ 2 hg h h Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

54 Dichtebestimmung von Flüssigkeiten Rohre mit unterschiedlichen Flüssigkeiten (unterschiedliche Dichten) Unterschiedlicher Schweredruck bei gleicher Höhe ρ 1 hg ρ 2 hg Gleichgewicht: h h 1 h h 2 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

55 Dichtebestimmung von Flüssigkeiten Rohre mit unterschiedlichen Flüssigkeiten (unterschiedliche Dichten) Unterschiedlicher Schweredruck bei gleicher Höhe ρ 1 hg ρ 2 hg Gleichgewicht: ρ 1 h 1 g = ρ 2 h 2 g ρ 1 = h 2 ρ 2 h 1 h h 1 h h 2 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

56 Mohrsche Wage Tauchgewicht mit bekanntem Volumen V und Masse m Kompensiert durch Gegengewicht ( Hebel) keine resultierende Kraft Eintauchen in Flüssigkeit Auftrieb F = ρ V g Gewichte so platzieren, dass Wage im Gleichgewicht einarmiger Hebel! Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

57 Einheiten des Drucks SI Einheit: Weitere Einheiten 1 bar = Pa = 1000 hpa [p] = [F ] [A] = N m 2 = Pa 1 Torr = 1 mmhg = ca. 133,3 Pa ( Blutdruck) 1 mws (Meter Wassersäule) = 0,1 at = 9,80665 kpa 1 atm (Physik. Atmosphäre) = 760 Torr = Pa = 1013,25 hpa 1 psi=6894, Pa Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

58 Ruhende Gase Gase erfahren Schweredruck sind aber komprimierbar Die Dichte ändert sich! Druck sinkt exponentiell mit h Barometrische Höhenformel 1 2 p 1 p 4 p 1 8 p p h [km] 5,5 11,1 16,6 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

59 Ruhende Gase Gase erfahren Schweredruck sind aber komprimierbar Die Dichte ändert sich! Druck sinkt exponentiell mit h Barometrische Höhenformel p(h) = p 0 e h 8000 m 1 2 p 1 p 4 p 1 8 p p h [km] 5,5 11,1 16,6 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37

60 Formelsammlung Verformungen: Elastische Verformung Scherung Torsion Kompression Hydrostatik: Hydrostatischer Druck Volumenarbeit Hydraulische Presse Schweredruck Auftrieb Barometrische Höhenformel Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 16. November / 37