Vorlesung Physik für Pharmazeuten PPh - 04

Transkript

1 Vorlesung Physik für Pharmazeuten PPh - 04 Starrer Körper: Hebelgesetz, Drehmoment, Schwerpunkt, Drehimpuls Deformierbarer Körper: Elastizitätsmodul

2 Punktmassen-Systeme Abgeschlossenes System : * Keine äußeren Kräfte * nur WW-Kräfte * Inertialsystem In einem abgeschlossenen System gilt : Der Gesamtimpuls ist erhalten. Die Gesamtenergie ist erhalten. (einschließlich der Wärme in nicht konseratien Systemen) Der Gesamtdrehimpuls ist erhalten.

3 Der starrer Körper - bisher: Bewegung on Massepunkten. Reine Translationsbewegungen. - jetzt: ausgedehnte Körper. Translations- und Rotationsbewegungen. A B A B Kräfte wirken entlang der Verbindungslinie: Gleichgewicht Wirkungslinie Kräfte wirken nicht entlang der Verbindungslinie: Rotation Neu : Es wirkt ein Drehmoment

4 Drehmoment F l : Länge des Hebels D Kraft senkrecht auf Hebel M = l F [Nm] Drehmoment= Hebelarm *Kraft l Kraft wirkt unter beliebigem Winkel F α α F sin(α) D M = l Fsenkr. = l F sin( α)

5 Mechanisches Gleichgewicht l 1 l 2 F 1 l 1 = F 2 l 2 F 1 D F 2 (Hebelgesetz) Kraft mal Kraftarm= Last mal Lastarm Ein Körper ist dann im Gleichgewicht, wenn die Summe aller äußerer Kräfte und die Summe aller Drehmomente Null ist. Anwendungen des Hebelgesetzes: Brechstange, Schere, Schubkarre, Getriebe, Gliedmaßen, Baukran...

6 Def. M = m i Schwerpunkt Gesamtmasse m 1 m 2 r s = m i m r i i Schwerpunkt r s m 3 Bei Einwirkung einer äußeren Kraft F ext : Der Schwerpunkt bewegt sich so, als ob die gesamte Masse in ihm ereinigt wäre und die Summe aller äußeren Kräfte auf ihn wirkt. d r dt 2 S M = 2 F ext (Schwerpunktsatz) Der Schwerpunkt eines abgeschlossenen Systems ist unbeschleunigt.

7 Aussagen über den Schwerpunkt -Kräfte, die am Schwerpunkt angreifen, wirken auf einen ausgedehnten Körper, wie Kräfte auf einen Massepunkt. Schwerpunkt= Graitationszentrum l i m i g = l SP M ges Die Summe aller Drehmomente = Drehmoment der ges. Masse im Schwerpunkt g Ein Körper, der am Schwerpunkt aufgehängt wird, erfährt im Schwerefeld kein Drehmoment.

8 Drei Gleichgewichtsarten Stabiles GGW: Jede Verrückung x erhöht die Lage des Schwerpunktes 2 d E pot Kleine Auslenkung x dx 2 > Labiles GGW: Jede Verrückung erniedrigt die Lage des Schwerpunktes 0 => Rückstellkräfte F rück ~ - x Indifferentes GGW: Jede Verrückung läßt die Lage des Schwerpunkts unerändert

9 Der Drehimpuls m r ω ω r m : Winkelgeschwindigkeit : Bahnektor : Masse Definition Bahngeschwindigkeit Drehimpuls : = r ω L = r m Der Drehimpuls hat die Einheit kg m 2 /s

10 Trägheitsmoment Motiation : Das Trägheitsmoment ist die träge Masse der Drehbewegung 2 L = r m = mr ω = I ω Drehimpuls = Drehträgheit mal Drehgeschwindigkeit M = I dω dt Drehkraft = Drehträgheit mal Drehbeschleunigung Definition : Trägheitsmoment I Einzelne Massenpunkte I = m i r i 2 i Achse

11 Trägheitsmoment einer kontinuierlicher Massenerteilung I = 2 m i r i r 2 dm i r dm Achse

12 Erhaltung des Drehimpulses Wir betrachten die zeitliche Ableitung des Drehimpulses L ( ) dl d m r dt = dt = r F a = M dl = dt M Grundgleichung der rotierenden Bewegung (analog zu dp/dt=f a ) Bei Abwesenheit eines äußeren Drehmoments bleibt der Drehimpuls konstant. r r M = 0 L = const (Drehimpuls- Erhaltungssatz)

13 Rotationsenergie Jedes einzelne Masseelement besitzt die kinetische Energie m 2 2 = m 2 ω r 2 2 Gesamtenergie: m i 2 r 2 i ω 2 = 1 2 i i m i r i 2 ω 2 = I 2 ω2 E Rot = I 2 ω2 Rotationsenergie eines starren Körpers

14 Der Drehimpuls ist auch bei nicht-kreisförmigen Bewegungen erhalten. Der Drehimpuls bezieht sich immer auf einen (Dreh)-Punkt

15 Das Drehmoment als Vektorprodukt M = r F Eigenschaften : M r M F M r = r F F sin(α) = F r Rechte-Hand-Regel Es trägt nur die Projektion auf die Senkrechte bei Das Kreuzprodukt ist antikommutati!

16 Der Drehsinn: Winkelgeschwindigkeit als Vektor m r ω r = r ω r r r ω Rechte-Hand-Regel Korkenzieherregel

17 r Drehimpuls als Vektor ω r = ω r L = r m r = I ω Was passiert, wenn ein Drehmoment wirkt? L L F M r ω d L dt = M L = M t L parallel M

18 Dynamik starrer Körper Wurfparabel eines starren Körpers Schwerpunkt beschreibt Wurfparabel Rotation um den Schwerpunkt: M a Schwerpunkt =F a r L = I r ω Die Bewegung eines ausgedehnten Körpers lässt sich immer zusammensetzen aus der Translation des Schwerpunkts und die Rotation des Körpers um den Schwerpunkt. Der freie starre Körper hat sechs Freiheitsgrade der Bewegung.

19 Analogien zwischen Translations- und Rotationsbewegungen Ort Geschwindigkeit Beschleunigung Masse Kraft Impuls Translation r Kinetische Energie a m F = m a = d p dt p = m m 2 2 Winkel Winkelgeschw. Winkelbeschl. Rotation Trägheitsmoment Drehmoment Drehimpuls Rotationsenergie ϕ ω α I = 2 m i r i M = I α = d L dt L = I ω I 2 ω 2

20 Symmetrieachsen und freie Achsen Feste Drehachse Freie Drehachse Die Rotation um freie Achsen erfordert kein Drehmoment. Jeder starre Körper besitzt (mindestens) drei freie Achsen, und diese stehen senkrecht aufeinander.

21 Der kräftefreie Kreisel : Nutation Ein Kreisel ist ein Körper, der sich um eine freie Achse dreht. Rotiert ein Körper um eine seiner freien Achsen, sind Drehachse und Drehimpuls parallel zueinander.

22 Kreisel im Schwerefeld : Präzession on oben: Das Rad läuft um die Aufhängung mit Umlauffrequenz Φ L L M L = Φ t L t = M L = L Φ Höhere Drehimpulse stabilisieren die Drehachse

23 Präzession des Kreisels

24 Der kristalline Festkörper Kristallformen -Raumgitter (Kristallgitter) -Gitterebenen (Netzebenen) Translationssymmetrie r = r + ma + kb + lc m, k, l: ganze Zahlen Gitter+Basis=Kristallstruktur Demo Kristall

25 Interferenz on Röntgenstrahlen in Kristallen

26 Symmetrien Wasser Ammoniak Methan C : Drehachse σ : Spiegelebene S : Drehspiegelachse

27 Die Dichte V, m Dichte=Masse/Volumen ρ = m V [ kg / 3 m ] spez. Volumen: spez. Gewicht: G S V S = m V = 1 ρ FG mg = = = ρ g V V

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29 Molekulare Basis eines Festkörpers Lennard Jones Potential

30 Zugspannung und Dehnung σ D ε = = F A l l Zugspannung Dehnung N 2 m = Pa E = σ D ε Elastizitätsmodul σ D = E ε Hooksches Gesetz F =σ D A= E A l l= D l

31 Schubspannung und Scherung l γ l A F σ S = γ = F A l l : Schubspannung γ : Scherwinkel l l G : Schubmodul Einheit [τ,g]=pa σ γ = G S

32 Versuch Biegung Andere Deformationen sind geometrisch ableitbar Biegung=Dehnung+Stauchung L h F 3 a b = E 3 4L h b a neutrale Faser F h

33 Torsion=Scherung F R ϕ ϕ r M = G π R 2l 4 ϕ γ γ = ϕ r l M ϕ M = F x R (Drehmoment)

34 Versuch Biegung Elastizitätsgrenze und Plastizität Zugfestigkeit

35 Atomares Bild der plastischen Deformation Gitterfehler Versetzungen

36 Material Elastizitätsmodul (10 9 Pa) Zugfestigkeit (10 9 Pa)

37 Ruhende Flüssigkeiten (Hydrostatik) Der hydrostatische Druck : P = F A A F [P]=N/m 2 = Pa(scal) 1 bar=10 5 Pa Einfaches Druckmeßgerät (Manometer) Pascalsches Prinzip F Der Druck wirkt isotrop (in alle Raumrichtungen), unabhängig on der Gefäßform.

38 h A Der Schweredruck F G = m g m = ρ V = ρ A h F G = ρ g A h Wo ist der hydrostatische Druck am größten? p = ρ g h Hydrostatisches Paradoxon Der Druck am Boden des Gefäßes ist unabhängig on der Form Versuch kommunizierende Röhren