Vorlesung 7: Roter Faden:

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1 Vorlesung 7: Roter Faden: Beispiele für Kräfte: Gewichtskraft, Reibungskraft, Federkraft, Windkraft, Gravitationskraft, elektromagnetische Kraft, Zentripetalkraft, Heute: weiter Zentripetalkraft Drehimpulserhaltung Exp. hängendes Rad, Schleuderpendel, Drehschemel 04 November 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 1

2 Inhalt 04 November 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 2

3 Inhalt 04 November 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 3

4 Zum Mitnehmen aus VL 6 Will man die Bewegungsebene beliebig angeben, ist es zweckmäßig, einen Vektor der Winkelgeschwindigkeit als Normalvektor dieser Ebene anzugeben, dessen Betrag ω=v/r ist. Da dieser Vektor senkrecht zu v und r steht, kann man ihn als Vektorprodukt schreiben: v=ω x r ω=1/r 2 (r x v) (da r x v = r x (ω x r)= r 2 ω) ω r v Experimentell stellt sich ω als nützliche dynamische Größe heraus. ω ist axialer Vektor (ändert Vorzeichen unter Spiegelung) Zentripetalkraft=ma=mω 2 r=mv 2 /r 04 November 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 4

5 Rotationsdynamik Bisher Kinematik, d.h. Beschreibung der Rotation durch Winkelgeschwindigkeit und Zentripetalbeschleunigung. Jetzt: Dynamik, d.h. Zusammenhang zwischen Kräfte and kinematische Größen Bewegungsgleichung (d.h. Gleichung für Rotation, die äquivalent zu F=dp/dt für lineare Bewegung ist) Erwartung: Rotation erzeugt durch Drehmoment M=r x F. Gilt auch M=dL/dt mit L=r x p? 04 November 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 5

6 Drehimpuls Definiere Drehimpuls als L= r x p = r x mv =m (r x v)= mr 2 ω = J ω. J=mr 2 heisst Massenträgheitsmoment. In Worten: Drehimpuls = Trägheitsmoment x Winkelgeschwindigkeit, ähnlich wie p = m v. Es gilt: dl/dt= d/dt (r x p) = dr/dt x p + r x dp/dt = v x mv + r x F = r x F = M M oder (D) ist ein Vektor, der Drehmoment genannt wird. Es gilt: M=dL/dt=d (J ω)/dt= J d ω/dt =J α ω=1/r 2 (r x v) M=r x F r v r F 04 November 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 6

7 Analogien 04 November 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 7

8 Beispiel Das Trägheitsmoment eines Turbinenrades beträgt 637 kg m 2. Es fängt an zu wehen und der Wind ruft ein Drehmoment von 147 Nm hervor. Wie lange dauert es bis eine Drehzahl von 320 min -1 erreicht wird? Lösung: Das Drehmoment M gibt eine Winkelbeschleunigung α=m/j. Die Anlaufzeit folgt aus ω = α t oder ω=2πf= α/t=m/jt oder t=2 πfj/m=2 πx 320x 637/(60 x147) kgm 2 /Nm=145 s 04 November 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 8

9 Zum Mitnehmen aus VL2: Kinematik=Beschreibung einer Bewegung durch Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung in Abhängigkeit der Zeit: x(t) v(t)= x(t) a(t)=v(t)=x(t) Jetzt:ϕ(t) ω(t)= ϕ(t) α(t)= ω(t)= ϕ(t) a=constant; v=v 0 +at; x=x 0 +v 0 t+1/2at 2 α =constant; ω = ω 0 + α t; ϕ = ϕ 0 + ω 0 t+1/2 α t 2 04 November 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 9

10 Drehimpulserhaltung M=dL/dt=d (J ω)/dt= J d ω/dt =J α = mr 2 dω/dt In Worten: Das Drehmoment ist gleich der zeitlichen Änderung des Drehimpulses. L=mr 2 ω ist der Betrag des Drehimpulses eines umlaufenden Massenpunktes (=J ω) Satz von der Erhaltung des Drehimpulses: Beim Fehlen äußerer Drehmomente bleibt die Summe der Drehimpulse eines abgeschlossenen Systems konstant. 04 November 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 10

11 Versuch Drehschemel Trägheitsmoment für einen spindeldürren Studenten: m i r 2 0. Gesamtträgheitsmoment dann J=2mr a2 = =2.56 kgm 2 Am Anfang: Drehimpuls L=J a ω a Nach Heranziehen der Kugeln: L=J e ω e. Bei Drehimpulserhaltung: ω e =ω a (J a/ J e )=ω a (r a /r e ) 2 04 November 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 11

12 Versuch Drehschemel 04 November 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 12

13 Präzessionsversuch Beobachtung: drehendes Rad fällt nicht, sondern dreht sich in horizontaler Ebene. D R Erklärung: Drehimpuls L hat Tendenz sich Drehmoment M parallel zu richten (wie Impuls p parallel F). Gewichtskraft übt Drehmoment in horizontaler Richtung aus und M=mgD=dL/dt schiebt L in horizontale Richtung! 04 November 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 13

14 Präzessionsfrequenz Ohne Drehung: M=mgx Derzeugt Drehimpuls in horizontaler Richtung, wodurch das Rad sich nach unten bewegt. Die Änderung des Drehimpulses bei einem drehenden Rad dl ändert Gesamtvektor L nach Parallelogramm-Regel (und es gilt auch L will sich in Richtung von M bewegen). Es gilt: M=dL/dt dl=ldϕ Oder: M=Ldϕ/dt Lω P L=mR 2 ω Rad dϕ L dl Oder: Präzessionsfrequenz= ω P =M/L=mgD/(mR 2 ω Rad ) =gd/(r 2 ω Rad ) 04 November 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 14

15 T r ϕ F r α F=mg g=(0,0,g) Steigung 2π/ g l Methnode um g zu messen Pendel als Drehbewegung Drehmoment M = r x F = dl/dt=d(r x p)/dt Oder -r x mg = d(r x mv)/dt =mrx dv/dt Oder -r x g = r x d(ω x r)/dt=r x (ω x r) Oder, da a x (b x c)= b (a.c) c (a.b), gilt -r x g = ω r 2 -r (r. ω) = ω r 2 (Scalarprodukt r. ω=0 da r ω(=α) Oder -lgsin ϕ =l 2 ϕ (ω = ϕ und sin ϕ = ϕ - ϕ 3 /(3!)+ ϕ) Lösung der Diff. Gleichung ϕ =-g/l ϕ : ϕ =Asin(ωt), da ϕ =-Aω 2 sin(ωt), oder Aω 2 sin(ωt)=ag/l sin(ωt), oder ω= g/l =2π/T. Schwingungsdauer T=2π (l/g) 04 November 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 15

16 Zum Mitnehmen ω=1/r 2 (r x v) M=r x F r v r F Bewegungsgleichungen für Translation: F=dp/dt Rotation: M=dL/dt Drehimpuls L=r x p =mr 2 ω=j ω 04 November 2003 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 16