GPV 1: Elastizität. 1. Bestimmung des Elastizitätsmoduls E für Kupferdraht (Spannungs-Dehnungs-Diagramm).

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1 GPV 1: Elastizität 1 Aufgaben 1. Bestimmung des Elastizitätsmoduls E für Kupferdraht (Spannungs-Dehnungs-Diagramm). 2. Bestimmung der Reißlänge für einen dünnen Kupferdraht. 3. Bestimmung der Flächenträgheitsmomente verschiedener Aluminium Profile. 2 Erklärungen 2.1 Einführung Um die Probleme der Mechanik zu vereinfachen, werden die Körper entweder als Massenpunkte behandelt oder als vollkommen starr vorausgesetzt. Tatsächlich kommt es aber unter dem Einfluss äußerer Kräfte zu Deformationen. Man nennt deformierbare Körper elastisch, wenn sie nach Beendigung der Krafteinwirkung ihre ursprüngliche Gestalt wieder annehmen. Diese Eigenschaft steht also im Gegensatz zur Starrheit und heißt Elastizität. In diesem Fall wird keine mechanische Energie in Wärme umgewandelt. Bleibt hingegen nach Ende der Krafteinwirkung eine bleibende Formänderung, so spricht man von Plastizität. Diese Unterscheidungen seien hier zunächst auf feste Körper beschränkt, obwohl besonders der Übergangsbereich zum flüssigen Aggregatzustand äußerst reich an unterschiedlichen Effekten ist (Glas, Wachs). Der Grund für diese Unterschiede liegt vor allem im unterschiedlichen atomaren Aufbau der Stoffe und den Bindungskräften zwischen den Atomen und Molekülen. Vom Aufbau der Atome eines jeden Elements (Protonenzahl, Elektronenzahl und insbesondere Elektronenkonfiguration) und den Bindungskräften zwischen den Atomen hängt es ab, ob ein Stoff aus Atomen, Ionen oder Molekülen besteht und ob er ein regelmäßiges Kristallgitter oder eine unregelmäßige (amorphe) Struktur besitzt. Metalle zeichnen sich durch einen regelmäßigen Atomaufbau aus, sie sind kristallin. Die Bindungskraft zwischen den Atomen beruht auf Anziehungskräften zwischen den positiv geladenen Atomrümpfen und den sie umgebenden negativen, freien Elektronen. Salze bilden Ionenstrukturen. Die Bindungskräfte entstehen durch die entgegengesetzte Ladung der Ionen. Organische Stoffe sind überwiegend aus Molekülen aufgebaut. Die durch Elektronenpaarbindung (kovalente Bindung) gebundenen Moleküle werden dann selbst meist allein durch Kohäsionskräfte zusammengehalten. 2.2 Elastische Spannungen Über die zwischenatomaren Bindungen werden äußere Kräfte über den ganzen Körper verteilt. Die endgültige Verformung ist erreicht, wenn die zwischenatomaren Bindungen die äußeren 1

2 Einflüsse gerade aufheben. Jeder Teil des Körpers übt dann auf sämtliche benachbarten Teile Kräfte aus. A, σ x F N A, τ xz F T F N 2A, σ /2 x z y z y x x Abbildung 1: Links: Eine äußere Kraft bewirkt eine Zugspannung in zwei Körpern. Die Kraft auf beide Körper ist gleich, der untere hat jedoch die doppelte Querschnittsfläche, daher ist die Spannung halb so groß. Zuspannungen sind der Konvention nach immer positiv. Das kann man sich merken indem man sich einen Teil des Körpers weggeschnitten denkt. Der weggeschnittene Teil übt bei Zugspannung Kräfte aus die parallel zur Normalen der Schnittfläche stehen. Das gilt für beide Schnittflächen jedes Körpers! Rechts: Schubspannungen wirken parallel zur gedachten Schnittfläche. Weil die elastischen Reaktionen eines Körpers nicht von der Gesamtkraft sondern von der Kraft pro atomarer Bindung abhängen werden, betrachtet man eine Kraftdichte (pro Querschnittsfläche) genannt Spannung. Diese wird in die Normalkomponente, die Normalspannung σ und die Parallelkomponente, die Schubspannung τ zerlegt. Möchte man in einem beliebigen Punkt in einem Körper die Spannungen beschreiben, denkt man sich den Körper in dem Punkt jeweils entlang der Koordinatenebenen aufgeschnitten und betrachtet, welche Kräfte der jeweils weggeschnittene Teil auf die Schnittfläche ausübt. In voller Allgemeinheit ergibt sich daraus in jedem Punkt des Körpers der Spannungstensor, der alle Normal- und Schubspannungen enthält. Einheiten der Spannung: außerdem: σ = F N A = Normalkraft Fläche τ = F T A = Tangentialkraft Fläche 1 Pascal (Pa) = 1 N/m 2 = 10 5 bar 1 MPa = 1 N/mm 2 = 0,102 kp/mm 2 1 techn. Atmosphäre (at) = 1 kp/cm 2 = 9, N/m 2 = 98066,5 Pa 2

3 Zum Vergleich, in einer Flüssigkeit oder einem Gas kann es keine Schubspannungen geben und auch die Normalspannungen müssen wegen der Beweglichkeit der Teilchen alle gleich sein. Daher bleibt hier nur eine skalare Größe, der Druck, übrig. 2.3 Hooke sches Gesetz Für hinreichend kleine Verformungen gilt: Elastische Spannungen und Verformungen sind einander proportional. Wirken nur Normalspannungen gleichmäßig über die Oberfläche, kommt es zu einer Volumensänderung proportional zur Spannung: V V = σ K = p K. Hierbei ist V das ursprüngliche Volumen, V die Volumenänderung, p der Druck und K ist eine reine Materialkonstante, die als Kompressionsmodul bezeichnet wird. F A F α Abbildung 2: Links: Isotrope Normalspannung auf die Oberfläche eines (unregelmäßigen) Volumselements. Rechts: Schubspannung auf eine Seitenfläche eines kubischen Volumselements. Greifen Tangential- oder Schubspannungen an einem Körper an, ist der Winkel α (genauer tan α) der Verschiebung zwischen den Grenzflächen proportional zu τ. α = 1 G τ G wird als Schub-, Scher- oder Torsionsmodul bezeichnet. 2.4 Dehnung Äußere Kräfte in nur einer Richtung (Zug, Schub) verursachen Dehnung und Stauchung. Die relative Längenänderung ɛ ist der angelegten Spannung proportional. ɛ = L L = 1 E σ E ist der Elastizitätsmodul und hat die Rolle der Federkonstanten im Hookeschen Gesetz. E hat die gleiche Dimension wie σ und wird für die üblichen Materialien in GPa = kn/mm 2 angegeben. Am Beispiel eines Gummibandes kann man sehen, dass eine Dehnung in Längsrichtung meist mit einer Querkontraktion verbunden ist. Auch sie ist proportional zur Spannung. Das Verhältnis zwischen Querkontraktion ɛ S und Längsdehnung ɛ N ist durch die Poissonzahl µ gegeben. 3

4 µ = ( L/L) quer ( L/L) längs Abbildung 3: Veranschaulichung der Poissonzahl, also der Querkontraktion bei Längsdehnung. Für die relative Volumenänderung gilt daher auch V (1 2µ)σ = V E Da sich aber das Volumen bei einer Längsdehnung nicht verkleinern kann, gilt 0 µ 0,5. µ hat für die meisten Metalle ca. den Wert 0,3 und für Flüssigkeiten (inkompressibel) gilt µ = 0, Biegung Auch bei einer Biegung tritt eine Längenänderung auf. An der Oberseite des einseitig eingespannten Balkens kommt es zur Dehnung (Querdehnung), an der Unterseite zur Stauchung (Querkontraktion). Eine Linie ohne Längenänderung wird als neutrale Faser bezeichnet. L x L neutrale Faser x s(x) F F Abbildung 4: Biegung eines einseitig fest eingespannten Balkens. Rote Bereiche unterhalb der neutralen Faser werden gestaucht, blaue Bereiche oberhalb gestreckt. s(x) ist der Biegepfeil, d.h. die Auslenkung der neutralen Faser aus der ungebogenen Lage. Zur Berechnung kann man im Gleichgewicht die angreifende Kraft F wie gezeichnet im Balken verschieben. (Die Kräfte und Drehmomente der Einspannung sind hier nicht gezeichnet!) Das entstehende Drehmoment wird dann mit den elastischen Kräften bzw. Drehmomenten in Zusammenhang gebracht. Der Biegepfeil s(x) ist die Durchbiegung der neutralen Faser aus der Ursprungslage an der Position s entlang des Balkens, siehe Abb. 4. Zu seiner Berechnung gehen wir wie folgt vor: 4

5 Zuerst bringen wir die lokale Krümmung in Zusammenhang mit den elastischen Kräften im Stab. Daraus ergibt sich eine Differentialgleichung für die Durchbiegung an jeder Stelle. Zusammen mit den Randbedingungen kann man dann die Biegelinie und insbesondere den Biegepfeil am Ende des Balkens berechnen. l l+δl z z da dm df R b Abbildung 5: Links: Für eine kleines Element der ungebogenen Länge l des Balkens kann man sich die Biegung als kreisförmige Krümmung vorstellen. Der Radius der neutralen Faser sei R, der rote Bereich symbolisiert die Stauchung unterhalb und der blaue Bereich die Dehnung oberhalb. Die Koordinate z ist der Abstand einer beliebigen Faser von der neutralen Faser. Der Abschnitt der Faser bei z wird dann entsprechend seinem Abstand vom Biegungsmittelpunkt R+z eine gestreckte Umfangslänge l + l haben. Rechts: Der Querschnitt wird in gedachte Flächenelemente da = b dz mit konstantem radialem Abstand z unterteilt. Dabei ist b die Breite des Balkens - hier konstant aber allgemein b(z). Das Flächenstück da verursacht eine elastische Kraft df und dadurch ein Drehmoment dm um die y-achse durch die neutrale Faser. Für den Zusammenhang zwischen lokaler Biegung und elastischen Kräften betrachten wir Abb. 5 (links). Ein kleines Element der Länge l des Balkens wird gebogen und dadurch gedehnt und gestaucht, sodass die neutrale Faser den Krümmungsradius R hat. Die Faser im vertikalen bzw. radialen Abstand z von der neutralen Faser hat dadurch die Länge l + l und den Krümmungsradius R + z. Es gilt also (l + l)/l = (R + z)/r, bzw. ɛ(z) = l l = z R. Damit haben wir aus dem Krümmungsradius die relative Dehnung ɛ(z) bestimmt. Für die lokale Spannung gilt das Hookesche Gesetz σ(z) = Eɛ(z) Wenn wir uns den gesamten Querschnitt in kleine Flächenelemente da = b(z) dz der Breite b(z) und Höhe dz zerlegt denken, wirkt auf ein Flächenelement die infinitesimale Kraft df (z) = Eɛ(z) da Der Kraft auf das Flächenelement entspricht über den Kraftarm z zur neutralen Faser ein infinitesimales Drehmoment dm(z) = z df (z) = zeɛ(z) da = E R z2 da, 5

6 wobei die Dehnung hier über den Krümmungsradius ausgedrückt wurde. Das gesamte Drehmoment das die Querschnittfläche aus der ungebogenen Situation dreht ist daher M = E R Querschnitt z max z 2 da = E b(z)z 2 dz = R z min E R I y, woraus sich die Definition des Flächenträgheitsmoments I y um die y-achse (die Biegeachse) ergibt. Der Begriff Flächenträgheitsmoment ist irreführend, weil er nichts mit Trägheit oder Masse zu tun hat, aber ähnlich aussieht wie das Massenträgheitsmoment r 2 dm. Das Flächenträgheitsmoment wird wie das Massenträgheitsmoment je nach Symmetrie um verschiedene Achsen verschieden sein. Mit seiner Definition kann man die Details der Querschnittsform nun von der Betrachtung der Kräfte und Momente trennen. Wie in Abb. 4 gezeichnet, ist die Bahnkurve der neutralen Faser durch s(x) gegeben. Der Krümmungsradius einer beliebigen Kurve ist aber gerade der Kehrwert der zweiten Ableitung. Hier machen wir die Näherung, dass die Bahnkurve nicht weit von der Horizontalen abweicht, ansonsten müssten wir für die Krümmung allgemeinere differentialgeometrische Definitionen in x und z benutzen. 1 R = d2 s dx 2. Die von außen aufgebrachte Kraft F erzeugt an der Position x zusammen mit den Kräften der Einspannung und dem Kraftarm L x ein Drehmoment M(x) = (L x)f. Dieses Drehmoment ist im statischen Gleichgewicht gleich dem oben berechneten elastischen Drehmoment: M(x) = (L x)f = EI y d 2 s dx 2. Das ist eine Differentialgleichung für s(x), die wir mit der temporären Definition F = F/(EI y ) als d 2 s dx 2 = F L F x schreiben. Diese Gleichung lässt sich einfach integrieren, wobei zwei Konstanten auftreten: s(x) = F 6 x3 + F L 2 x2 + Cx + D. Diese Konstanten werden durch die Einspannbedingungen bestimmt, im vorliegenden Fall gelten s(0) = 0 und s (0) = 0, woraus sich direkt D=0 und C=0 ergeben. Damit ist der Biegepfeil des Balkens an der Position x gleich s(x) = F ] [ x3 EI y 6 + Lx2, 2 und insbesondere s max = s(l) = F L3 3EI y. Die Fälle anderer Lagerungen des Balkens, insbesondere der zwei einfachen Auflager in unserem Versuch ergeben sich aus dem vorhergehenden entweder durch andere Randbedingungen oder einfach durch Analogieschluss. Man kann sich den zweifach aufliegenden Balken der Länge 6

7 F F/2 F/2 L/2 F s/2 L/2 L Abbildung 6: Oben: Zweifach aufliegender Balken mit Lagerkräften. Unten: Zweifach fest eingespannter Balken mit zentraler Punktlast. L in zwei Hälften von L/2 geteilt vorstellen, wobei die Mitte der Einspannstelle von vorhin entspricht, siehe Abb. 6. Die Belastung mit einer punktförmigen Kraft F in der Mitte produziert in den Auflagern jeweils eine Gegenkraft von F/2. Damit ergibt sich, in die vorhergehende Formel eingesetzt einfach s max = s(l/2) = F/2(L/2)3 3EI y = F L3 48EI y. (1) Daraus kann man weiters sehr leicht den Biegepfeil des zweifach eingespannten Balkens ermitteln, weil die Hälfte der Länge um die Mitte exakt wie der vorhergehende Fall aussieht, siehe wiederum Abb. 6. Daher gilt s max = s(l/2) = 2 F (L/2)3 48EI y = F L3 192EI y. Beispiele für Flächenträgheitsmomente Das Berechnen von Flächenträgheitsmomenten ist besonders bei Körpern mit Querschnitten, die aus rechteckigen Flächen zusammengesetzt werden können sehr einfach. Es gilt derselbe Steinersche Satz über die Addition von Flächenträgheitsmomenten wie bei Massenträgheitsmomenten. Die folgende Tabelle enthält einige Beispiele. Die Bemaßungen sind aus Abb. 7 Balken: I y = 1 12 B H3 Doppel-T-Träger: I y = 1 ( 12 B H 3 b h 3) Rohr: I y = I z = π ( 4 R 4 r 4) 7

8 H z dz y H h y R r y b/2 B B Abbildung 7: Bemaßungen und Flächenelemente zur Berechnung von Flächenträgheitsmomenten. 2.6 Überschreitung der Elastizitätsgrenze (Proportionalitätsgrenze) Diese Grenze, die durch den Übergang von proportionalen zu anderen Abhängigkeiten gegeben ist, ist eigentlich durch die Messgenauigkeit bestimmt. Das erste Glied der Reihenentwicklung des funktionellen Zusammenhanges zwischen Längenänderung und Spannung ist durch die Elastizitätskonstante gegeben. Bei entsprechender Auflösung kann früher oder später ein Abweichen von diesem einfachen Zusammenhang erkannt werden. Abbildung 8: Spannungs-Dehnungsdiagramme (schematisch): a) duktiler Werkstoff mit Dehngrenze (z.b. Cu, Al) b) duktiler Werkstoff mit Streckgrenze (z.b. unlegierter Stahl) - P =Proportionalitätsgrenze, R p =Dehngrenze, R e = Streckgrenze und R m =Zugfestigkeit sind international genormt (R=Resistance). L 0 ist die Anfangslänge der Zugprobe. (aus [1]) Obwohl auch im nichtlinearen Bereich die Deformationen ohne äußere Kräfte wieder verschwinden, kommt es doch zu einem Nachlassen der Elastizität. Im linearen Bereich gilt außerdem das Superpositionsprinzip: Unter der Wirkung von mehreren Kräften kommt es zur ungestörten Überlagerung der Deformationen. Belastet man den Körper weiter, kommt es zu bleibenden Gestaltsänderungen, zu plastischen Verformungen. Allerdings ist auch der Wert dieser Spannungsgrenze von der Messgenauigkeit 8

9 abhängig. Die genaue Kenntnis des Verhaltens oberhalb der Elastizitätsgrenze ist besonders für Metalle von Bedeutung. Einerseits können dadurch die Parameter für einen Verformungsprozess bei der Bearbeitung (Walzen) festgelegt werden, andererseits entscheidet aber auch das Verformungsverhalten über die Sicherheit von Bauteilen. Die Charakterisierung erfolgt mittels eines Spannungs-Dehnungs-Diagramms. Der erste geradlinige Anstieg zeigt das proportionale Anwachsen der Spannung mit zunehmender Dehnung im elastischen Bereich (Hooke sche Gerade). Zu einer Abweichung von diesem Verhalten kommt es an der Proportionalitätsgrenze P, wobei zwei verschiedene Arten der Abweichung beobachtet werden können (siehe Abb. 8). Gut messbares plastisches Fließen setzt an der Fließgrenze an. In diesem Bereich dehnt sich der Körper auch nach der Änderung der Kraft noch eine Weile aus (=Fließen, bleibende Verbiegung eines Drahtes). Nach der Überschreitung der Zugfestigkeit beginnt die Probe, die bislang gleichmäßig dünner und länger geworden ist, sich an einer Stelle einzuschnüren. Kurz danach erfolgt an dieser Stelle der Bruch. 2.7 Elastische Konstanten, Zugfestigkeit und Brinell-Härte einiger Stoffe K E G µ R m HB kn/mm 2 kn/mm 2 kn/mm 2 N/mm 2 Aluminium 99,99% weich , kalt verfestigt 1) 1) 1) 1) Aluminium-Knetlegierung AlCuMg 2, kaltausgehärtet , Kupfer 99,90% , Eisen, reinst , Baustahl St 37, 0,2% C 2) 2) 2) 2) hart gewalzt 2) 2) 2) 2) Federstahldraht 2) 2) 2) 2) bis 2900 Blei , Gold , Platin , Wolfram, weich , hart gezogen 4000 Quarzglas , Technische Gläser (Schott) ,19-0, Polyvinylchlorid (PVC) 3 0,5-1 0, K = Kompressionsmodul; E = Elastizitätsmodul; G = Schub- oder Torsionsmodul; µ = Poissonzahl; R m = Zugfestigkeit (max. Zugspannung vor dem Reißen); HB = Brinell-Härte; 1) Der Wert unterscheidet sich nicht wesentlich von dem darüber stehenden. 2) Die elastischen Konstanten unterscheiden sich nicht wesentlich von denen des Reinsteisens. 3 Material Kupferdraht in verschiedenen Stärken Aluminiumprofilstäbe Zug- und Druck Versuchsaufbau (siehe Abb. 9) bestehend aus 9

10 Kraftmessgerät Sauter FH-50 (max. ±50 N) Maximale Kraft nicht überschreiten, das Gerät könnte beschädigt werden! Drahtaufhängungsbügel Druckkraftschneide Vertikale Verstellung mit Feineinstellung in 10 µm Schritten Horizontale Schiene als Gegenlager Abbildung 9: Zug und Druck Versuchsaufbau mit Kraftmessgerät (weiß) an Vertikalverstellung mit eingespanntem Draht. 4 Ausführung der Aufgaben 4.1 Bestimmung des Elastizitätsmoduls Das genaue und sichere Festhalten eines Drahtes ist nicht einfach. Klemmmechanismen versagen meist, weil der Draht durch die Dehnung dünner wird. Auch bei sehr starker Klemmung kann der Draht durch die begrenzte Adhäsion in der Halterung rutschen. Für Zugversuche wird normalerweise immer ein Probekörper mit verdickten Enden verwendet, welche so gehalten werden, dass sie bei Zug noch fester klemmen. Unter Aufsicht des Tutors oder Betreuers fertigen wir aus einem abgeschnittenen Drahtstück einen solchen Probekörper indem wir mit einem Hartlötbrenner beide Drahtenden zu kleinen Kugeln (1-2mm Durchmesser) schmelzen. Der Draht wird dann an beiden Enden in die jeweils zum Durchmesser passenden Aufnahmen gehängt, welche wiederum in kleine Bügel gehängt werden. Ein Bügel ist unten an der horizontalen Schiene fixiert, der andere hängt an einem senkrecht angebrachten Kraftmessgerät Sauter FH-50. Das Kraftmessgerät kann entweder mit dem Computer oder direkt ausgelesen werden, für letzteres Verfahren ist die Einstellung Spitzenwertregistrierung ( Peak ) hilfreich. Dehnen Sie den Draht mit Hilfe der Feingewindeschraube an der Vertikalverstellung in geeigneten Schritten und lesen Sie die entsprechende elastische Kraft ab. Achtung, besonders oberhalb der Fließgrenze nimmt die Kraft nach jeder Bewegung langsam wieder ab. Wir notieren daher den Höchstwert für jeden Schritt (hier größere Schritte machen!). E kann dann aus der Steigung der Hookeschen Gerade berechnet werden, welche man am besten durch lineare Regression des Hookeschen Bereichs bestimmt. Fertigen Sie für jeden gemessenen Draht ein Spannungs-Dehnungsdiagramm an. Hinweise: 10

11 Der Draht sollte bei der Messung möglichst glatt (nicht wellig) sein, sonst wirkt er durch seine Krümmung wie eine Feder. Den Draht gegebenfalls vor der eigentlichen Messung händisch (oder mit einem Gewicht) glatt ziehen. Die dickeren Drähte können nur bei relativ kurzer Länge (< 20cm) im unterhalb der maximalen 50 N zum Reißen gebracht werden. 4.2 Reißlänge Die Reißlänge eines Drahtes ist diejenige (hypothetische) Länge, bei der der Draht unter der Eigenlast reißen würde und gibt damit die spezifische Zugfestigkeit (im Verhältnis zur Dichte) an, was in der Technik häufig wichtiger ist als die absolute Zugfestigkeit. Ermitteln Sie die Reißlänge des dünnen Kupferdrahts indem Sie die Dehnungsmessung von 4.1 mit Belastung bis über die Bruchgrenze durchführen. 4.3 Flächenträgheitsmoment a) Messen Sie die Kraft für einige Durchbiegungen s für drei verschiedene Profile (z.b. Stab, Doppel-T und Rohr). Lassen Sie die Profile dazu beidseitig aufliegen, und drücken Sie in der Mitte mit dem Kraftmessgerät mit aufgesetzter gerader Schneide darauf. Ermitteln Sie anschließend aus Ihren Messwerten das Flächenträgheitsmoment I y durch lineare Regression nach Gleichung (1). Bei welchem Profil ergibt sich das günstigste Belastungs-Materialverhältnis? b) Messen Sie die charakteristischen Dimensionen der zuvor benutzten Profile. Berechnen sie daraus die Flächenträgheitsmomente und vergleichen Sie diese Werte mit den gemessenen. 1 5 Literatur [1] Bergmann-Schäfer, Experimentalphysik Bd.1, Kap.5 [2] Recknagel, Physik - Mechanik, Kap. 9 [3] Feynmann Lectures, Bd.2, Kap. 38, 39 6 Fragen zur Vorbereitung 1. Erklären Sie die Begriffe Spannung, Normalspannung und Schubspannung. 2. Was ist der Elasitizätsmodul, was der Kompressionsmodul? 3. Was ist die Poissonzahl, welchen Wert hat sie für eine inkompressible Flüssigkeit? 4. Erklären Sie die Begriffe neutrale Faser und Biegepfeil. 5. Wie berechnet man das Flächenträgheitsmoment? 6. Wie hängt die Durchbiegung eines Balkens von seiner Länge ab? 7. Wie hängt die Durchbiegung eines Balkens von seiner Dicke parallel und normal zur Biegung ab? 8. Wie kann man den Fall des zweifach aufliegenden Balkens auf den des einfach eingespannten zurückführen? 1 Zur Berechnung des Flächenträgheitsmomentes ist die Kenntnis der neutralen Faser notwendig (Ursprung, ähnlich dem Massenschwerpunkt für das Massenträgheitsmoment). Für symmetrische Körper liegt sie in der Mitte, die Rechnung kann daher einfach durchgeführt werden. 11

12 9. Erklären Sie die Herkunft des Drehmoments, welches den gebogenen Balken wieder in die Ausgangslage bringen will. 10. Warum werden für Fahrradrahmen häufig Rohre mit elliptischem Querschnitt verwendet? 11. Was ist die Elastizitätsgrenze, welche Arten gibt es? 12. Wie hängen Zugfestigkeit und Reißlänge zusammen? 13. Welche Effekte begrenzen die Genauigkeit der Elastizitätsmodul-Messung mit dem Draht-Zugversuch? 12