Dierenzialrechnung skalarer Funktionen

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1 Dierenzialrechnung skalarer Funktionen A Bestimmen Sie die Ableitungen der Funktionen a) f() = sin, b) f() = e, c) f() = , d) f() = ln, e) f() = 7, f) f() = 1 + 3, 1 g) f() = + 1, h) f() = cos, i) f() = tan, j) f() = ln, k) f() = e ( a) (a R). Wie lauten jeweils die Denitionsbereiche von f und f? A 1.9. Geben Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen an: ( a) y = (sin ) (0 < < π), b) y = ( + 1) 3 > 1 ), c) y = sin (0 < < π), d) = y + arccot y. A Bestimmen Sie die Ableitungen der inversen Funktionen von a) f() = sinh = 1 (e e ), b) f() = tanh = e e e + e. A Berechnen Sie die einseitigen Ableitungen a) f (0 + 0) und f (0 0) von f() = +, { b) f (1 + 0) und f für 1, (1 0) von f() = für > 1. Sind die Funktionen an den entsprechenden Stellen dierenzierbar? Interpretieren Sie die Ergebnisse auch geometrisch. A Die Funktion g() sei an der Stelle = 0 stetig. Wie lauten die einseitigen Ableitungen der Funktion f() = g() in = 0? Unter welcher Bedingung ist f() in = 0 sogar dierenzierbar? A Ein fest eingespannter schlanker Träger mit konstantem Querschnitt und der Länge l hat in der Mitte ein Gelenk und ist am Ende beweglich gelagert. Wirkt am Gelenk ein Moment M, so ergibt sich eine Durchbiegung mit der Biegelinie ( 1 c 6l 3 1 ) für 0 l, f() = ( 1 c 6l l ) c := M. 6 5l E I für l < l, y 3

2 Dabei ist E der Elastizitätsmodul des Trägermaterials und I y das Trägheitsmoment des Trägerquerschnitts. Ist f stetig? Wo eistieren die ersten und zweiten Ableitungen von f und wie lauten Sie? Bestimmen Sie die maimale Durchbiegung von f und die Stelle, wo sie auftritt. A Unter welchen spitzen Winkeln schneiden sich die Kurven von f() = sin und g() = cos im Intervall [0, π]? A Für welchen Parameter b schneiden sich die beiden Parabeln und y = b senkrecht? y = b A Ein Auto fährt nachts auf einer parabelförmigen Straÿe, deren Scheitel im Ursprung liegen soll, von Nordwesten nach Nordosten. Das Auto startet von einem Punkt, der sich 100 [m] westlich und 100 [m] nördlich vom Ursprung bendet. Eine Statue steht 100 [m] östlich und 50 [m] nördlich des Ursprungs. An welchem Punkt der Straÿe werden die Scheinwerfer des Autos die Statue erfassen? A In einen Luftballon vom Radius r [m] mit elastischer Hülle strömen jede Sekunde 4 [m 3 ] Gas ein. Um wieviel wächst seine Oberäche O pro Sekunde? A Ein zylindrischer Behälter hat den Radius r = ± 0, 001 [m] und die Höhe h = 4 ± 0, 001 [m]. Wie groÿ ist das Volumen V unter der Annahme r = [m] und h = 4 [m]? Welcher Fehler V kann dabei maimal auftreten? A Die Steighöhe eines Freiballons beträgt t Minuten nach dem Start h(t) = t 15 [km] (t 15). 10 Wie groÿ sind die Steiggeschwindigkeit v(t) und die Steigbeschleunigung a(t)? A Ein Stein erreicht von der Wasseroberäche aus nach t Sekunden die Sinktiefe h(t) = t + 4 t 1 [m] (t 0). 5 Wie groÿ sind die Sinkgeschwindigkeit v(t) und die Sinkbeschleunigung a(t)? A An einer senkrechten Wand steht ein Stab der Länge l in senkrechter Position. Der Fuÿpunkt A des Stabes wird beginnend mit der Zeit t = 0 am Boden mit der konstanten Geschwindigkeit v von der Wand weg gezogen. Das obere Ende B des Stabes gleitet an der Wand entsprechend nach unten. a) In welchem Zeitintervall [0, t e ] ndet der Vorgang statt? b) An welchem Ort bendet sich der Punkt B zur Zeit t? c) Welche Geschwindigkeit und welche Beschleunigung hat B zur Zeit t?

3 A Bestimmen Sie sämtliche Ableitungen der Funktionen a) f() = 1 + ( 1), b) f() = 1 (1 + ) ( 0, 1). A Geben Sie die Taylor-Entwicklung von f() = cos an der Stelle = 0 an. Nutzen Sie dabei aus, dass f() gerade ist. Schätzen Sie das allgemeine Restglied ab. Was ergibt sich daraus für den Fehler der Näherungsformel cos 1? Für welche ist dieser Fehler garantiert kleiner als 10 4? A Wie lautet die Taylor-Entwicklung von f() = 1 1 an der Stelle = 0? Für welche kann man den Fehler beliebig klein machen? A Welche Taylor-Entwicklung hat f() = ln an der Stelle = 1? A Bestimmen Sie mit Hilfe der Regel von de l'hospital die Grenzwerte a) lim , b) lim 0 ( 1 d) lim g) lim 0±0 arctan. ln ln, c) lim + sin, ), e) lim 1 1, f) lim (cot )sin, A Ermitteln Sie die Monotoniebereiche der Funktionen a) f() = 3, b) f() = A Bestimmen Sie die absoluten Maima und Minima der Funktionen a) f() = 1 + 1, b) f() = ( [ 1, 1]). A 1.9. Die Funktion f() = ln tan ist im Intervall ]0, π [ deniert. Wo ist sie konve und wo konkav? A Diskutieren Sie den Verlauf der Funktionen a) f() = , b) f() = e cos. Geben Sie grasche Darstellungen an.

4 A Führen Sie bei den folgenden Funktionen eine Kurvendiskussion durch: a) y = 3 + 1, b) + y = 1 (y 0), c) y = 1 e 1 + e, d) y = 1 + e, e) y = 1 e e ( 0). Bestimmen Sie auch das Monotonie- und Krümmungsverhalten der Funktionen. A Ein oenes trapezförmiges Kanalbett soll aus Betonplatten der Breite b hergestellt werden. Wie groÿ muss der Winkel α zwischen der schrägen Wand und der Senkrechten sein, um einen maimalen Durchussquerschnitt zu erreichen? Welcher maimale Querschnitt ergibt sich? A Aus einem Baumstamm mit Kreisquerschnitt (Radius r) soll ein Balken mit Rechteckquerschnitt (Breite b, Höhe h) herausgeschnitten werden. Ermitteln Sie die Rechteckquerschnitte mit a) maimalem Flächeninhalt A = b h, b) maimalem Widerstandsmoment W = b h 6, c) maimalem Trägheitsmoment J = b h3 1. A Die Seitenwand eines Gebäudes soll durch einen geeigneten Balken abgestützt werden. Dieser wird dabei über eine 1, 35 [m] hohe Mauer gelegt, die von der Wand einen Abstand von 3, 0 [m] hat. Wie lang ist der kürzeste Balken, den man dafür benutzen kann? A Die Leistungsaufnahme eines Verbrauchers mit dem Widerstand R, der durch eine Zweipolquelle (Innenwiderstand R i, Quellspannung U 0 ) gespeist wird, beträgt P (R) = U 0 R (R + R i ). Für welchen Widerstand R nimmt der Verbraucher die maimale Leistung auf? A Nach dem Fermatschen Prinzip legt ein Lichtstrahl in einem homogenen lichtdurchlässigen Medium zwischen zwei Punkten stets den kürzesten Weg zurück. Er bewegt sich geradlinig. Werden zwei solche Medien (z.b. Luft und Glas) durch eine ebene Grenze getrennt, so gilt das Reeionsgesetz der geometrischen Optik, wonach Einfallswinkel und Ausfallswinkel des Lichtstrahles an der Grenzäche übereinstimmen. Leiten Sie dieses Gesetz in einem ebenen Modell her.

5 Dierenzialrechnung vektorwertiger Funktionen A Eine ebene Kurve hat die Ortsvektoren r = f(u) = (u, u 3 ) T (u R). a) Bestimmen Sie alle nichtverschwindenden Ableitungen von f. b) Wie lauten die Tangenten- und Normaleneinheitsvektoren zur Kurve? c) Zerlegen Sie die berechneten Ableitungen von f in ihre tangentialen und normalen Anteile. A Ein Teilchen bewegt sich auf der ebenen Bahn r(t) = (sin t, cos t ) T (t 0 Zeit). a) Beschreiben Sie die Bahnkurve. b) Bestimmen Sie die Geschwindigkeit und die Beschleunigung des Teilchens. c) Welche Absolutgeschwindigkeit und Absolutbeschleunigung hat das Teilchen? Wie verhalten sich diese mit wachsender Zeit? A Gegeben ist die Parameterdarstellung cos u cos v r = y = R sin u cos v = f(u, v) z sin v ( 0 u < π, π v π ) (1.1) der Ursprungskugel U R in R 3 mit dem Radius R. Welche Parameterdarstellung haben die vertikalen Groÿkreise? Wie lauten die Tangenteneinheitsvektoren an diese Kreise? A Ein Elektron bewegt sich in einem homogenen Magnetfeld auf der folgenden Bahn um die Feldrichtung (z-achse): r = (, y, z) T = r(t) = (R cos ωt, R sin ωt, c t) T (R > 0, ω > 0, c > 0). a) Beschreiben Sie die Bewegung des Elektrons. b) Berechnen Sie die Geschwindigkeit und die Beschleunigung des Elektrons. c) Zeigen Sie, dass die Bahntangenten mit der z-achse einen konstanten Winkel bilden. Geben Sie diesen Winkel an. A Ein Körper trudelt auf der Bahn r = r(t) = (cos t, sin t, h c t ) T (h > 0, c > 0, t 0) zur Erdoberäche, bis er dort aufschlägt. a) Zu welchem Zeitpunkt schlägt er auf? b) Berechnen Sie bis zu diesem Zeitpunkt die Geschwindigkeit und die Beschleunigung des Körpers. Wie verhalten sich ihre Beträge?