Es wird ein Koordinatensystem gewählt. Mit einem Schnitt senkrecht zur x-achse wird der Spannungsvektor

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1 1 Theorie: Elastizität Mit dem Wissen über die mechanischen Eigenschaften von Zugstäben und über den atomaren Aufbau der Materie wird der Spannungs- und Dehnungsbegriff verallgemeinert. 1.1 Spannungen und Dehnungen im Kontinuum Die Spannung als Belastungsgrösse ist ortsabhängig. Durch Freischneiden werden innere Kraftvektoren freigelegt. An einem sehr kleinen Flächenelement greifen sehr kleine Kräfte an. Werden die Kräfte durch die Flächen geteilt, resultieren Spannungen. Der Spannungsvektor S kann in zwei Anteile zerlegt werden (Abb. 1.1): Den Anteil S n (in Richtung der Flächennormalen n) und in S t (in Richtung der Projektion von S auf die Schnittebene (Tangentialvektor t)). Die Vektoren n und t sind normiert. Abbildung 1.1: Zerlegung des Spannungsvektors Abbildung 1.: Komponenten Spannungstensor Es wird ein Koordinatensystem gewählt. Mit einem Schnitt senkrecht zur x-achse wird der Spannungsvektor S x freigelegt. Der Spannungsvektor wird auf in eine Normalspannungskomponente (S n ) parallel zur x-achse, und zwei Schubspannungen entlang der y- und z-richtung aufgeteilt (aufgeteilter S t Vektor). Zwei weitere Schnitte senkrecht zur y- und z-achse legen die Spannungsvektoren S y und S z frei (Abb. 1.). Diese drei Spannungsvektoren werden im Spannungstensor T zusammengefasst. Zu jedem Punkt in einem Kontinuum gehört ein Spannungszustand, der von einem Tensor beschrieben wird. Da der Tensor symmetrisch ist, werden sechs Informationen benötigt, um ihn zu füllen. σ xx τ xy τ xz T = τ yx σ yy τ yz τ zx τ zy σ zz S = T n σ = S n τ = S σ n 1

2 σ xx : τ zy : Normalspannung in x-richtung am x-flächenelement Schubspannung in z-richtung am y-flächenelement Weiter ist u(x, y, z) der Verschiebungsvektor jedes Punktes. u x beispielsweise ist die Verschiebung in x-richtung. Wird diese Verschiebung nach x abgeleitet, resultiert die Dehnung in x-richtung ε xx (u xx = ε xx ). Wird sie jedoch nach y abgeleitet, resultiert die Scherung ε xy. Das Resultat einer Dehnung und Scherung auf einen Körper wird in Abb.1.3 dargestellt. Festgehalten werden der Scherwinkel (γ) und die Dehnungen als Komponenten einer allgemeinen Verformungsbeschreibung im Deformationstensor ε. Der Tensor multipliziert mit einem Richtungsvektor zwischen zwei Materiepunkten ergibt dessen Dehnung und Verdrehung durch den Verformungszustand. y ε = γ ε xy γ xz xx γ yx γ ε yz yy γ zx γ zy ε zz γ xy = γ yx γ xy = ε xy γ xy Abbildung 1.3: Dehnung und Scherung eines Körpers γ xy x 1. Atomare Beschreibung des elastischen Verhaltens Die elastische Dehnung hat eine Vergrösserung der Atomabstände zur Folge. Die elastischen Konstanten stehen in einem direkten Zusammenhang mit den Bindungskräften in Festkörpern. Im Gleichgewicht befinden sich die Atome auf einem Potentialminimum, dessen Tiefe die Bindungsenergie und dessen Lage den Gleichgewichtsabstand darstellt. Die elastischen Verformungen eines Körpers beruhen auf einer zeitweiligen Entfernung der Atome aus ihrer Ruhelage. In Abb. 1.4 sind die Potentialkurven zweier unterschiedlicher Werkstoffe dargestellt. Die folgenden Punkte lassen sich direkt auf diese Werkstoffe (A, B) anwenden: grosser Gleichgewichtsabstand r 0 grosse Gitterkonstante grosse Bindungsenergie U 0 hoher Schmelzpunkt T s (Arbeit, die aufgewendet werden muss, um Atome voneinander zu trennen) kleiner Krümmungsradius hohe elastische Konstante (E-Modul) (Atomabstand ändert sich auch bei viel Energie nicht)

3 In Abb. 1.5 sind die Potentialkurven verschiedener Bindungsarten dargestellt. Die Bindungsenergie einer kovalenten Bindung ist demnach wesentlich höher als diejenige einer ionischen Bindung. Die Atomabstände einer kovalenten Bindung sind infolge dessen auch die kleinsten. Abbildung 1.4: Potentialkurven für zwei unterschiedliche Werkstoffe Abbildung 1.5: Potentialkurven für verschiedene Bindungsarten 1.3 Elastische Konstanten Hook sches Gesetz Das elastische Materialverhalten wird durch das Hooke sche Gesetz beschrieben: Normalspannungen: σ = E ε E : Elastizitätsmodul Schubspannungen: τ = G γ G : Schubmodul 1.3. Querkontraktion Für einen einachsigen Spannungszustand (Spannung in z-richtung) gilt für die Dehnungen senkrecht zur Zugrichtung: ε xx = ε yy = υ ε zz υ : Querkontraktionszahl (Poisson-Zahl, υ < 0.5) Die Querkontraktionszahl υ gibt an, wie sich die Dimensionen eines Körpers quer zur Zugrichtung bei Zugdehnung verändern. 3

4 1.3.3 Kompressionsmodul Der Kompressionsmodul K dient zur Beschreibung der Volumenänderung unter allseitigem Druck: K = p V V Beziehungen der elastischen Konstanten Liegt isotropes und elastisches Materialverhalten vor, sind nur zwei Konstanten voneinander unabhängig, demzufolge muss es zwischen den vier eingeführten Konstanten E, G, K, und υ zwei Zusammenhänge geben: E K = 3(1 υ) E G = (1 + υ) Die elastischen Konstanten E, G, K und υ sind temperaturabhängig. Die Ursache liegt im Verlauf der Potentialkurven und der durch die Temperatur bewirkten Schwingungen der Atome um ihre Gleichgewichtslage. E, G und K nehmen mit steigender Temperatur ab, υ leicht zu. 4

5 Theorie: Plastizität Die Gleitmechanismen, die makroskopische Gleitungen zur Folge haben, werden auf der Kristallebene erklärt. Die Verformungsfähigkeit zu kennen, ist notwendig, um metallurgische Massnahmen treffen zu können. Ob diese das Gleiten unterstützen oder verhindern ist abhängig von der Anwendung. Je nach Material unterschiedlich führen die Veränderungen der Atomabstände innerhalb gewisser Grenzen nicht zu plastischer Deformation, da die Atome ihre ursprüngliche Gleichgewichtslage wieder einnehmen. Plastische, bleibende Verformung tritt dann ein, wenn die Atome eine neue Gleichgewichtslage im Gitter finden. Unter Schubspannungswirkung kommt es nach dem Überschreiten einer Grenzspannung zu bleibenden Verformungen, unter Normalspannung hingegen zum Trennbruch..1 Schmidsches Schubspannungsgesetz Dieses Gesetz gibt für den Lastfall der einachsigen reinen Zug- oder Druckbeanspruchung an, wie gross die Schubspannung an einem schiefen Flächenelement in einer bestimmten Richtung ist (Abb..1). Es wird ein schiefes Flächenelement untersucht, da oft die maximalen Spannungen bestimmt werden sollen und deshalb jedes infrage kommende Flächenelement untersucht werden muss. Der viel allgemeinere Spannungstensor liefert diese Informationen ebenfalls. τ = σ cos(λ) cos(θ) cos(θ) = n S 0 n S 0 cos(λ) = g S 0 g S 0 S 0 : Richtungsvektor der Spannung n: Flächennormale g: Richtungsvektor θ: Winkel zwischen S 0 & n λ: Winkel zwischen S 0 & g Abbildung.1: Allgemeines Flächenelement mit freigelegten Spannungsvektoren Wenn in einem Gleitsystem die Schubspannung einen kritischen Wert erreicht, werden Versetzungen in Bewegung gesetzt. Versetzungen sind die mirkoskopische Ursache von Deformation (Träger 5

6 der Deformation). Es werden bevorzugt Gleitsysteme aktiviert, in denen die nach dem Schmidschen Schubspannungsgesetz berechneten Spannungen am grössten sind..1.1 Superpositionsprinzip Mehrere einachsige Spannungszustände lassen sich überlagern: τ = σ i cosλ i cos θ i i Wenn eine ganze Familie von Gleitsystemen auf plastisches Fliesen überprüft werden muss, zum Beispiel die kubisch Raumzentrierte (Abb..), wird jedes Gleitsystem für sich betrachtet. Nachgerechnet werden nur diese Gleitsysteme, bei denen sich die meisten Beanspruchungen überlagern. In diesen kritischen Systemen werden, mit Hilfe des Superpositionsprinzips, die verschiedenen Spannungszustände überlagert, die tatsächliche Spannung berechnet und mit der kritischen Schubspannung verglichen. Abbildung.: Zwölf Gleitmöglichkeiten im krz-gitter (Gleitsysteme:{110}<111>) 6

7 3 Wahr oder Falsch? a) Eine Vergrösserung der Unordnung ist gleichbedeutend mit einer Minimierung der freien Enthalpie. b) Die Konzentration ist eine Gehaltsangabe bezogen auf ein Referenzvolumen, also besitzt sie immer die Einheit kg/m 3. c) Die Diffusion gleicht Konzentrationen unabhängig von anderen Einflüssen aus. d) Die Fick schen Gesetze sind stationäre Beschreibungen der Diffusion. e) Die Aktivierungsenergie ist für Stoffe mit einer hohen Schmelztemperatur hoch. f) Der Embryo ist ein instabiles Stadium im Keimwachstumsvorgang. g) Praktisch findet die Keimbildung sehr häufig an Verunreinigungen oder Behälterwänden statt. Dieser Vorgang wird mit homogene Keimbildung bezeichnet. h) Mit Seigerung wird ein mikroskopischer Erstarrungsfehler bezeichnet. i) Wird zu schnell abgekühlt, haben die Atome zu wenig Zeit zu diffundieren. Somit gleichen sich die Kristallgehalte der bereits entstandenen Kristalle nicht ständig den neu entstehenden Kristallen an. Deshalb muss auf eine tiefere Temperatur abgekühlt werden (als im Gleichgewichtsfall), um die Erstarrung zu vollenden. j) Die Schmelze wird gekocht, um eine möglichst homogene Durchmischung der Legierungselemente zu erreichen. 7

8 4 Aufgaben für die Übungstunde 4.1 Zugstab, Querkontraktion Ein Stab aus Stahl wird unter Zug bis zur Proportionalitätsgrenze belastet. Wie gross ist sein Duchmesser D unter dieser Last? Proportionalitätsgrenze σ p = 900 N/mm Durchmesser des unbelasteten Zugstabes D 0 = 10 mm Elastizitätsmodul E = 17 kn/mm Querkontraktionszahl ν = Spannungstensor Sie schneiden einen zylindrischen Körper senkrecht zu seiner Achse. Sie legen ein Koordinatensystem in den Punkt P und isolieren einen Elementarwürfel, an welchem Sie folgende Spannungen feststellen. σ xx = 100 N/mm σ yy = 0 N/mm σ zz = 100 N/mm τ xy = 100 N/mm τ zx = 0 N/mm τ zy = 0 N/mm a) Geben Sie den Spannungstensor T für den Punkt P an. b) Berechnen Sie mit dem Spannungstensor T die Spannungen an einem Flächenelement durch Punkt P mit dem Normalenvektor (101), gemessen im definierten Koordinatensystem. 4.3 Bildungsenergie Zeichnen Sie qualitativ den Verlauf des Potentials U(r) der Resultierenden der anziehenden und abstossenden Kräfte zwischen zwei Atomen für zwei Werkstoffe mit unterschiedlichen Gitterkonstanten (gleicher Gittertyp) und unterschiedlichen Schmelztemperaturen a 0A < a 0B ; T SA < T SB ; es sei U(r ) = 0 8

9 Abbildung Mehrachsiger Spannungszustand Für einen krz-kristall beträgt die kritische Schubspannung τ krit = 68 MPa auf den {110}<111>- Gleitsystemen. Liegt für den folgenden Spannungszustand plastische Verformung vor? σ 1 = 15 MPa in [100]-Richtung σ = 48 MPa in [001]-Richtung Tipp: Zeichnen Sie erst alle Ebenen der Ebenenfamilie {110}<111> auf und beurteilen Sie qualitativ die erwarteten Spannungen. 9

10 5 Hausaufgaben 5.1 Schubspannung In einem Körper ist ein Kubisches Koordinatensystem definiert. An einem (010)-Flächenelement wirkt eine reine Zugspannung σ von 00 MPa. Die Flächen (100) und (001) sind spannungsfrei. Wie gross ist die Schubspannung an einer (111) Fläche in Richtung g = [011] 5. Schubspannung In einem kfz-gitter beträgt die Schubspannung τ in (111)[011]-Gleitsystem 76 MPa a) Wie gross ist die in [010]-Richtung anliegende Normalspannung σ, aus der τ resultiert? b) Beeinflusst eine zusätzliche Normalspannung in [100]-Richtung die Schubspannung? Begründen Sie. 5.3 Elasitzität Ein isotroper Körper wird so belastet, dass an einem Elementarwürfel im Punkt P, dessen Kanten mit dem Koordinatensystem x,y,z übereinstimmen, die Normalspannung σ zz = 100 N/mm wirkt. Alle anderen Spannungen in den Flächen des Würfels verschwinden. E = 10 kn/mm und ν = 0.3 a) Wie gross sind die Dehnungen ε xx, ε yy, ε zz? b) Wie gross ist die Normalspannung σ yy, wenn durch eine reibungsfreie Einspannung die Dehnung in y-richtung verhindert wird, ε yy = 0 c) Geben Sie für den Fall b) den Spannungstensor an. d) Berechnen Sie für den Fall b) an der Ebene mit n = 1 3 (1, 1, 1) die Spannungskomponenten in den Koordinatenrichtungen. e) Berechnen Sie an der Ebene aus d) die Spannungskomponente in Richtung (1,-1,0). 10

11 5.4 Dehnung und Scherung Gegeben ist ein Stab mit quadratischem Querschnitt der Länge l 0 und den Querabmessungen b 0 = c 0. Er wird einer Belastung unterworfen, welche die nachfolgenden Verschiebungen bewirkt. u x = 0.5 x u y = 0.15 y u z = 0.15 z ( ) a) Zeichnen Sie den Verschiebungsvektor u l0, b 0,.. ein. b) Zeichnen Sie den deformierten Körper in Abb. 5.1 ein. c) Berechnen Sie Dehnungen ε.. und Scherungen γ.. aus diesen Verschiebungen. d) Vergleichen Sie ε xx mit ε yy und berechnen Sie ν. y b 0 l 0 x Abbildung Dehnung und Scherung Gegeben ist eine quadratische Platte A mit der Kantenlänge b. Sie wird einer Belastung unterworfen, welche die Platte in die Position A verschiebt. a) Zeichnen Sie die Verschiebungsvektoren u für die Eckpunkte und einen beliebigen Punkt P(x,y) in die Abb. 5. ein. b) Geben Sie die obigen Verschiebungsvektoren u als Funktionen von x und y an. c) Berechnen Sie Dehnungen ε.. und Scherungen γ.. aus diesen Verschiebungen. 11

12 y x Abbildung 5. 1