TECHNISCHE MECHANIK II. Festigkeitslehre

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1 TECHNISCHE MECHANIK II. Festigkeitslehre Dr. Endre Gelencsér

2 TECHNISCHE MECHANIK II. Festigkeitslehre Dr. Endre Gelencsér Veröffentlicht 2014 Copyright 2014 Dr. Endre Gelencsér

3 Inhaltsverzeichnis I. Grundbegriffe für Festigkeitslehre Grundbegriffe für Festigkeitslehre. Aufgabe der Festigkeitslehre, Stoffgesetz, elastische Verformung, Definition für Festkörper und Spannung, Dimensionierung. Dualität der Schubspannungen. Zusammenhang zwischen Materialkennwerte der Festigkeitslehre Ziel und Aufgabe der Festigkeitslehre Festigkeitseigenschaften des Materials Die spezifische innere Kraft, als Spannung Das einfache Hookesche Gesetz Die Maßänderung in Querrichtung Die Schubspannungen und deren Dualität Zusammenhang zwischen elastischen Materialkennwerte Der allgemeine Spannungszustand: Spannungszustand in der elementaren Umgebung eines Punktes. Spannungsvektor und Spannungstensor Der allgemeine Spannungszustand Hauptspannungen und Hauptrichtungen. Mohresche Darstellung des Span-nungszustandes Die Hauptspannungen und Hauptrichtungen Die Mohrsche Darstellung des Spannungszustandes Allgemeiner Formänderungszustand: Verschiebungs-, und Formänderungs-zustand in der elementaren Umgebung eines Punktes. Der Gradient des Ver-schiebungsfeldes (Ableitung des Tensors. Rotationstensor. Formänderungstensor Die räumliche Formänderung Die Hauptdehnungsrichtungen und die Hauptdehnungen Zusammenhang zwischen Spannungszustand und Formänderungszustand. Das allgemeine Hookesche Gesetz Spezifische Verformungsenergie eines elastischen Körpers Einachsiger Zugversuch. Zug und Druck gerader prismatischer Stäbe Die Spannungsanalyse Analyse der Verformung Die elastische Verformungsenergie Eigengewicht als Belastung und Stäbe gleicher Festigkeit. Die Formänderungsenergie Durch Eigengewicht belasteter Stab Der Stab gleicher Festigkeit Die Formänderungsenergie Die Scher- und die Biegebeanspruchung. Schubspannungen in einem Biegestab Die Beanspruchung durch eine Querkraft Die Biegebeanspruchung Schubspannungen in einem Biegestab Durchbiegung, Spannungszustand und Verformungsenergie von Balken. Schiefe Biegung Durchbiegung von Balken Die Verformungsenergie des Biegestabes Reine, gerade Biegung prismatischer Stäbe Schiefe Biegung Beanspruchung durch Torsion. Torsion dünnwandiger Rohre. Torsion für Stäbe mit Kreis und- Kreisringquerschnitt. Verformungsenergie für Torsion Torsion für Stäbe mit Kreis und- Kreisringquerschnitt Verformungsenergie für elastische Torsion Torsion dünnwandiger Rohre Schlanke Druckstäbe. Elastische und plastische Knickung Membrantheorie dünnwandiger Rotationsschalen. Dimensionierung, Festigkeitsnachweis von Behältern Festigkeitsberechnung Die Mohrsche Spannungstheorie Die Spannungstheorie der Verzerrungsarbeit Arbeits- und Energiesätze der Festigkeitslehre. Der Satz von Betti- und Castigliano Die Arbeit äußeren und inneren Kräfte Der Satz von und der Vertauschungssatz von Maxwell iii

4 TECHNISCHE MECHANIK II. Festigkeitslehre 3. Der Satz von Castigliano Ermittlung die Verformungen der Balkenträger durch die Differential-gleichung der elastischen Linie, und aus der Gleichungen der Biegelinie Die Differentialgleichung der elastischen Linie Gleichungen der Biegelinie Analyse statisch unbestimmter Konstruktionen Fragen zur Vorbereitung. Definitionen (minimale Anforderungen. Formelsammlung. 163 iv

5 Teil I. Grundbegriffe für Festigkeitslehre

6 Inhaltsverzeichnis 1. Grundbegriffe für Festigkeitslehre. Aufgabe der Festigkeitslehre, Stoffgesetz, elastische Verformung, Definition für Festkörper und Spannung, Dimensionierung. Dualität der Schubspannungen. Zusammenhang zwischen Materialkennwerte der Festigkeitslehre Ziel und Aufgabe der Festigkeitslehre Festigkeitseigenschaften des Materials Die spezifische innere Kraft, als Spannung Das einfache Hookesche Gesetz Die Maßänderung in Querrichtung Die Schubspannungen und deren Dualität Zusammenhang zwischen elastischen Materialkennwerte Der allgemeine Spannungszustand: Spannungszustand in der elementaren Umgebung eines Punktes. Spannungsvektor und Spannungstensor Der allgemeine Spannungszustand Hauptspannungen und Hauptrichtungen. Mohresche Darstellung des Span-nungszustandes Die Hauptspannungen und Hauptrichtungen Die Mohrsche Darstellung des Spannungszustandes Allgemeiner Formänderungszustand: Verschiebungs-, und Formänderungs-zustand in der elementaren Umgebung eines Punktes. Der Gradient des Ver-schiebungsfeldes (Ableitung des Tensors. Rotationstensor. Formänderungstensor Die räumliche Formänderung Die Hauptdehnungsrichtungen und die Hauptdehnungen Zusammenhang zwischen Spannungszustand und Formänderungszustand. Das allgemeine Hookesche Gesetz Spezifische Verformungsenergie eines elastischen Körpers Einachsiger Zugversuch. Zug und Druck gerader prismatischer Stäbe Die Spannungsanalyse Analyse der Verformung Die elastische Verformungsenergie Eigengewicht als Belastung und Stäbe gleicher Festigkeit. Die Formänderungsenergie Durch Eigengewicht belasteter Stab Der Stab gleicher Festigkeit Die Formänderungsenergie Die Scher- und die Biegebeanspruchung. Schubspannungen in einem Biegestab Die Beanspruchung durch eine Querkraft Die Biegebeanspruchung Schubspannungen in einem Biegestab Durchbiegung, Spannungszustand und Verformungsenergie von Balken. Schiefe Biegung Durchbiegung von Balken Die Verformungsenergie des Biegestabes Reine, gerade Biegung prismatischer Stäbe Schiefe Biegung Beanspruchung durch Torsion. Torsion dünnwandiger Rohre. Torsion für Stäbe mit Kreis und- Kreisringquerschnitt. Verformungsenergie für Torsion Torsion für Stäbe mit Kreis und- Kreisringquerschnitt Verformungsenergie für elastische Torsion Torsion dünnwandiger Rohre Schlanke Druckstäbe. Elastische und plastische Knickung Membrantheorie dünnwandiger Rotationsschalen. Dimensionierung, Festigkeitsnachweis von Behältern Festigkeitsberechnung Die Mohrsche Spannungstheorie Die Spannungstheorie der Verzerrungsarbeit Arbeits- und Energiesätze der Festigkeitslehre. Der Satz von Betti- und Castigliano Die Arbeit äußeren und inneren Kräfte Der Satz von und der Vertauschungssatz von Maxwell Der Satz von Castigliano

7 Grundbegriffe für Festigkeitslehre 19. Ermittlung die Verformungen der Balkenträger durch die Differential-gleichung der elastischen Linie, und aus der Gleichungen der Biegelinie Die Differentialgleichung der elastischen Linie Gleichungen der Biegelinie Analyse statisch unbestimmter Konstruktionen Fragen zur Vorbereitung. Definitionen (minimale Anforderungen. Formelsammlung

8 Kapitel 1. Grundbegriffe für Festigkeitslehre. Aufgabe der Festigkeitslehre, Stoffgesetz, elastische Verformung, Definition für Festkörper und Spannung, Dimensionierung. Dualität der Schubspannungen. Zusammenhang zwischen Materialkennwerte der Festigkeitslehre. 1. Ziel und Aufgabe der Festigkeitslehre Die Festigkeitslehre ist ein Wissenschaftsbereich der Physik, näher betrachtet der Mechanik, in der zur Dimensionierung von Konstruktionen und Maschinen notwendige Zusammenhänge erforscht werden. Die Ermittlung von geometrischen Daten durch Außenwirkungen oder durch eingeprägte Kräfte belasteter Konstruktionsbauteile durch Festigkeitsberechnung wird Dimensionierung bezeichnet. Ziel der Dimensionierung ist die Spannung oder die Verformung zwischen vorher bestimmten grenzwerten zu halten. Die Aufgabe der Festigkeitslehre bildet die Erarbeitung zur Dimensionierung notwendigen Verfahren und Zusammenhänge. In der Statik werden die Objekte der Mechanik (Massenpunkt, starrer Körper, Konstruktion in Ruhelage analysiert, in der die Kräfte und Momente ein Gleichgewichtssystem bilden, dementsprechend die stehen unter statischer Belastung. Die analysierten Objekte wurden als absolut steif behandelt, und wird vorausgesetzt, dass die ursprüngliche Geometrie des starren Körpers bei beliebigen Belastungen unverändert bleibt. In der Festigkeitslehre werden die Körper auch in Ruhelage analysiert, aber eine elastische Verformung ist erlaubt. Infolge statischer Belastung durch eingeprägte Kräfte wird der Festkörper elastisch Deformiert, aber nach der Entlastung erhält der Festkörper seine vorherige Geometrie, es werden keine bleibenden Verformungen hervorgerufen. Für die Materialeigenschaften der Bauteile sollen einige weitere Voraussetzungen, Begrenzungen betroffen werden, da die Festigkeitslehre als Wissenschaftsbereich heutzutage ein viel breiteres Spektrum an Materialen enthält. Wie vorausgesetzt, hier werden nur die Werkstoffe behandelt, die die folgenden Eigenschaften aufweisen: kontinuum (kontinuierliche Massenverteilung, homogen (gleiche physikalische Eigenschaften für jeden Punkt, isotropes (gleiches Verhalten in beliebigen Richtungen. Die Bauteile sind in der Ingenieurpraxis meistens sogenannte prismatische Stäbe. Ein Stab wird als prismatischer Stab genannt, wenn die Länge des Stabes viel größer als die Abmessung des Querschnittes beträgt. Der Stab ist erst dann prismatisch, wenn ein beliebiger Querschnitt in der Richtung des Normalenvektors des Schwerpunktes (orthogonaler Einheitsvektor verschoben wird, dass heißt die 4

9 Grundbegriffe für Festigkeitslehre. Aufgabe der Festigkeitslehre, Stoffgesetz, elastische Verformung, Definition für Festkörper und Spannung, Dimensionierung. Dualität der Schubspannungen. Zusammenhang zwischen Materialkennwerte der Festigkeitslehre. Querschnitte zueinander parallel, ohne Verdrehung gerichtet sind. Die Line durch die Schwerpunkte bildet die Stabachse. Die Stabachse kann gerade oder gekrümmt sein, der Querschnitt Stabes kann konstant oder veränderlich gestaltet werden. In der elementaren Festigkeitslehre werden prismatischer Stäbe gerader Stabachse, für reiner Zug, Druck, Querkraft, Biegung, und Torsion behandelt. 2. Festigkeitseigenschaften des Materials Solange ein starrer Körper - infolge beliebiger Belastung - nicht verformt werden kann, dagegen ein Festkörper durch die eingeprägten Kräfte wird elastisch deformiert. Die Art, der Betrag der Belastung, und infolge deren Wirkung hervorgerufene Verformung sowie das Gesetzt zwischen beider Kennwerte ist nicht unabhängig von den Materialeigenschaften des Festkörpers. Die Festigkeitseigenschaften des Materials müssen dementsprechend bestimmt werden. Sie können am einfachsten mittels Zugproben ermittelt werden. Zu einer Zugprobe soll aus dem Werkstoffmaterial vorher ein Probestab normierter Abmessungen angefertigt werden. Dieser Probestab wird mit einer Festigkeitsprüfmaschine bis zum Bruch auf Zug belastet. Bei einem Zugversuch werden die Werte der Zugkraft und der Dehnung des Probestabes von der Festigkeitsprüfmaschine genau registriert. Abb. 1.1 Probestab und Zugdiagramm Die erste Strecke des Zugdiagramms zwischen den Punkten 0 und a bildet einen Geraden, dementsprechend wird es proportionales, oder elastisches Bereich genannt. Wenn die Zugkraft F nicht höher als F a beträt, so wird die Probestab elastisch verformt, und nach der Entlastung erhält seine ursprüngliche Abmessung. Im elastischen Bereich wird es keine bleibende Verformung verursacht. Diese Materialeigenschaft wird als Elastizität bezeichnet. 5

10 Grundbegriffe für Festigkeitslehre. Aufgabe der Festigkeitslehre, Stoffgesetz, elastische Verformung, Definition für Festkörper und Spannung, Dimensionierung. Dualität der Schubspannungen. Zusammenhang zwischen Materialkennwerte der Festigkeitslehre. (1.1 Die spezifische Dehnung erhält man, wenn die elastische Verformung ( Δl mit der Ausgangslänge des Probestabes (l 0 vergleicht: ( Die spezifische innere Kraft, als Spannung Sei ein Bauteil durch externe Kräfte belastet, so werden dadurch im Werkstoff des Bauteiles innere Kräfte hervorgerufen. Soll der Bauteil die Probestab eines Zugversuches betrachtet werden, der durch Zugkraft belastet wird. Die Wirkung dieser Zugkraft erregt in einem, auf die Längsachse orthogonalem Querschnitt des Probestabes ein gleichmäßig verteilte Kraftsystem, deren Intensität σ beträgt. Nehmen wir an, dass der belastete Probestab entlang diesem Querschnitt verteilt wird. So muss im Querschnitt auf den untersuchten Teil des Probestabes das gleichmäßig verteilte Kraftsystem als externe Belastung aufgetragen werden. Wirkung des Abb. 1.2 Interpretation der Zugspannung Wenn sich ein Körper in Ruhelage befindet, dann bilden die Kräfte und Momente der Belastung ein Gleichgewichtssystem. Daraus folgt, dass diese Feststellung alle beliebige Teile des Körpers oder Systems, auch für das Probestab-Teil gültig ist. Die Gleichgewichtsgleichung: (1.3 Laut Erfahrungen ist die Intensität das verteilte Kraftsystem an allen Punkten des Querschnittes Konstant, so kann σ vor das Integralzeichen geschrieben werden. Anderseits sind Kräfte nach der z Koordinate gerichtet, dadurch kann statt der Vektorgleichung einfach eine Skalargleichung formuliert werden: daraus die Intensität der inneren Kräfte: (1.4 (1.5 Die Intensität der inneren, entlang des Querschnittes verteilten Kräfte ist die Spannung. 6

11 Grundbegriffe für Festigkeitslehre. Aufgabe der Festigkeitslehre, Stoffgesetz, elastische Verformung, Definition für Festkörper und Spannung, Dimensionierung. Dualität der Schubspannungen. Zusammenhang zwischen Materialkennwerte der Festigkeitslehre. 4. Das einfache Hookesche Gesetz Da der Begriff Spannung definiert und eingeführt wurde, soll erneut das Zugdiagramm (siehe Abb.1.1 analysiert werden. Die erste Strecke des Zugdiagramms ist linear, deren Steigung (Richtungstangente konstant ebenso ist: (1.6 Wenn auf die senkrechte Koordinatenachse des Diagramms statt Zugkraft, die damit proportionale Spannung, auf die waagerechte Koordinatenachse des Diagramms statt Dehnung, die damit proportionale Größe, die spezifische Dehnung aufgetragen werden, dann bleibt die Charakter des Diagramms theoretisch unverändert, da alle beide Variablen mit einem Konstanten dividiert wurden: (1.7 Die oben interpretierte Konstante ist der Elastizitätsmodul und wird mit der Buschstabe E bezeichnet, deren Maßeinheit N/m 2. Eindeutige Materialkonstante, deren Wert für einen bestimmten Werkstoff konstant beträgt. Der Wert des Elastizitätsmoduls ist auch bei Raumtemperatur leicht Temperaturabhängig. Damit die (1.7. Gleichung in endgültiger Form: das Grundgesetz der Festigkeitslehre, das einfache Hookeschen Gesetz. Das folgende Diagramm erhält man als der Zusammenhang zwischen Spannung und spezifische Dehnung. (1.8 Abb. 1.3 Zugdiagramm wo σ P die Proportionalitätsgrenze, σ F die Steckgrenze (in der Werkstoffkunde R e, σ B die Zugfestigkeit (in der Werkstoffkunde R m. 7

12 Grundbegriffe für Festigkeitslehre. Aufgabe der Festigkeitslehre, Stoffgesetz, elastische Verformung, Definition für Festkörper und Spannung, Dimensionierung. Dualität der Schubspannungen. Zusammenhang zwischen Materialkennwerte der Festigkeitslehre. Nach Vereinbarung wurde es festgelegt, das die Elastizitätsgrenze ist die Spannung, die 0,02 % bleibende Dehnung verursacht ( σ 0,02. Zur Proportionalitätsgrenze bedeutet die Spannung, zu der die 0,05 % bleibende Dehnung gehört ( σ 0,05. Die einheitliche Streckgrenze im belasteten Zustand bedeutet eine bleibende Dehnung 0,2 % ( σ 0,2 oder R p0,2. 5. Die Maßänderung in Querrichtung Der Zugstab wird in der Zugrichtung länger, und gleichzeitig in Querrichtung kürzer. Die Zugversuche mit Probestäben haben bewiesen, dass die spezifischen Dehnungen in Längsrichtung und die spezifischen Dehnungen in Querrichtung miteinander proportional sind, deren Wert konstant ist: (1.9 Die Konstante ν wurde nach dem französischen Physiker Siméon Denis Poisson ( ernannt. Der Querkontraktionsfaktor ist eindeutige Materialkonstante, deren Wert für einen bestimmten Werkstoff konstant beträgt. In der Praxis werden dafür dimensionslose Werte zwischen 0,25 und 0,4 eingesetzt. Die spezifischen Dehnungen in Längsrichtung und die spezifischen Dehnungen in Querrichtung haben entgegensetzten Vorzeichen, daraus folgt: (1.10 Es ist ganz leicht nachzuweisen, dass für den Wert des Querkontraktionsfaktors ein oberer Grenzwert, ein Maximum zu bestimmen ist. Es soll ein Volumenelement deren Kantenlänge eins betragen auf Zug belastet werden. Die Kanten des Volumenelementes werden in Zugrichtung länger, und gleichzeitig in den zwei, darauf orthogonalen Querrichtungen kürzer. Für die Volumenänderung kann geschrieben werden, wie folgt: (1.11 Es wurde die Annäherung getroffen, dass die spezifischen Dehnungen klein sind, dementsprechend deren Produkt vernachlässigt werden kann. Da der Volumenelement auf Zug belastet wurde, dadurch wird ein Volumenänderung ΔV > 0 verursacht, aus der Gleichung auch e (1-2 ν > 0 folgt, dementsprechend ist für den Querkontraktionsfaktor nur ν < 0,5 möglich. 6. Die Schubspannungen und deren Dualität Da die Spannung Wirkungslinie und Richtungssinn besitzt, deswegen soll als Vektor behandelt werden. Der Spannungsvektor schließt meistens einen Winkel mit der Ebene des untersuchten Querschnittes ein. Die Normalkomponente des Spannungsvektors ist parallel zur Richtung des Normalvektors des Querschnittes gerichtet, und wird als σ bezeichnet. Die Schubkomponente des Spannungsvektors liegt in der Querschnittsfläche orthogonal zu σ - und wird als Schubspannung, τ bezeichnet. (1.12 wo V die Querkraft, die sich in der Ebene des Querschnittes A befindet: 8

13 Grundbegriffe für Festigkeitslehre. Aufgabe der Festigkeitslehre, Stoffgesetz, elastische Verformung, Definition für Festkörper und Spannung, Dimensionierung. Dualität der Schubspannungen. Zusammenhang zwischen Materialkennwerte der Festigkeitslehre. Abb. 1.4 Die Querkraft und ihre Wirkung Der Resultierende in der Querschnitt A verteilte Schubspannungen und die Querkraft ein Gleichgewichtsystem bilden: (1.13 Laut Erfahrungen ist die Intensität der verteilten Schubspannung τ an allen punkten des Querschnittes Konstant, deswegen kann τ vor das Integralzeichen geschrieben werden, und so erhält man die Gleichung erneut. Die Normanspannung σ verursacht die Dehnung, von der Schubspannung τ wird eine Winkelveränderung, Gleitung hervorgerufen. Das eingespannte Volumenelement soll an einer Fläche mit der Schubspannung τ belastet, Abb Abb. 1.5 Von der Schubkraft verursachte Winkelveränderung Innerhalb des elastischen Bereiches - laut Erfahrungen - gibt es für die Schubspannung und die Winkelveränderung ( γ ein linearer Zusammenhang, es kann durch das Hookesche Gesetz für Schub ausgedrückt werden: wo G als so genannter Schubmodul betrachtet werden kann, deren Maßeinheit N/m 2. G ist eine Materialkonstante, deren Wert für einen bestimmten Werkstoff konstant beträgt. (1.14 Nehme man aus dem, mit Querkraft belasteten Querschnitt A ein Volumenelement mit den Kantenlängen dxdydz aus. Die Belastung des Würfels soll an der, mit dem Querschnitt parallelen Fläche τ betragen, die darauf orthogonal stehende Fläche soll mit der Schubspannung τ 1 belastet werden, siehe Abb. 1.6.: 9

14 Grundbegriffe für Festigkeitslehre. Aufgabe der Festigkeitslehre, Stoffgesetz, elastische Verformung, Definition für Festkörper und Spannung, Dimensionierung. Dualität der Schubspannungen. Zusammenhang zwischen Materialkennwerte der Festigkeitslehre. Abb. 1.6 Die Dualität der Schubspannungen Um die Schubspannungsdifferenzen an den gegenüber liegenden Flächen zu eliminieren, soll eine Moment- Gleichgewichtsgleichung in Bezug des Punktes A formuliert werden: (1.15 daraus τ = τ 1 folgt. Aufgrund des Prinzips der Dualität von Schubspannungen steht fest: wenn eine beliebige Fläche des Volumenelementes mit einer Schubspannung τ belastet wird, dadurch wird in der, darauf orthogonal stehender Fläche eine Gleichgröße Schubspannung τ hervorgerufen. 7. Zusammenhang zwischen elastischen Materialkennwerte Die Materialkennwerte in den einfachen, elastischen Grundgesetzen des Werkstoffes (1.8.; 1,10. und 1.14., der Elastizitätsmodul (E, der Schubmodul (G und der Querkontraktionsfaktor ( ν sind nicht unabhängig voneinander. Es soll der Zusammenhang zwischen den elastischen Materialkennwerten erklärt werden Es soll ein Volumenelement (Würfel mit der Kantenlänge l laut der Abb. 1.7 beansprucht werden. An zwei gegenüber liegenden Flächen sind mit der Normalspannung σ auf Zug, an den zwei anderen, gegenüber liegende Fläche sind mit der Gleichgrößen Normalspannung σ auf Druck belastet. Abb. 1.7 Reine Schub durch gleichzeitigen Zug und Druck 10

15 Grundbegriffe für Festigkeitslehre. Aufgabe der Festigkeitslehre, Stoffgesetz, elastische Verformung, Definition für Festkörper und Spannung, Dimensionierung. Dualität der Schubspannungen. Zusammenhang zwischen Materialkennwerte der Festigkeitslehre. Das Volumenelement soll mit den Ebenen von 45 aufgeteilt werden. Die Fläche A1D1 wird mit reinen Schub belastet, und die Resultierenden an den Seitenflächen: (1.16 Aufgrund des Krafteckes folgt: (1.17 Die Querkraft V wird an der Fläche A 0 verteilt: (1.18 damit beträgt die Schubspannung an der, auf die Gerade A1-D1 orthogonal stehenden Fläche: (1.19 Da das Problem mit Absicht speziell formuliert wurde, der Betrag der Schubspannung und der Betrag der Normalspannung gleich sind. Zunächst soll die elastische Verformung untersucht werden. Abb. 1.8 Verformungen Infolge der Wirkung der Normalspannung σ 1 wird die Kante AD verlängert, die in der Querrichtung positionierte Kante AB wird geschrumpft, und die Wirkung der Normalspannung σ 2 verursacht eine kürzere Kante AB, die Kante AD wird aber länger: 11

16 Grundbegriffe für Festigkeitslehre. Aufgabe der Festigkeitslehre, Stoffgesetz, elastische Verformung, Definition für Festkörper und Spannung, Dimensionierung. Dualität der Schubspannungen. Zusammenhang zwischen Materialkennwerte der Festigkeitslehre. (1.20 (1.21 Mit σ = σ 1 = - σ 2 die vorherigen Gleichungen, wie folgt: (1.22 (1.23 Da die Absolutwerte beider Dehnungen gleich sind, können sie ohne Indexe geschrieben werden: Δl 1 = Δl 2 =Δl: (1.24 Aus dem rechtwinkligen Dreieck : (1.25 Mit der trigonometrischen Zusammenhang für die Tangente zweier Winkeln, und mit der Annäherung für kleinen γ Winkeln auch tg ( γ / 2 γ/ 2 gilt, so kann einfach durch mathematische Denkweise geschrieben werden: (1.26 Durch Vergleich der obigen Gleichungen: (1.27 Es sollen die Gleichungen die und in den Zusammenhang eingetragen, so erhält man: 12

17 Grundbegriffe für Festigkeitslehre. Aufgabe der Festigkeitslehre, Stoffgesetz, elastische Verformung, Definition für Festkörper und Spannung, Dimensionierung. Dualität der Schubspannungen. Zusammenhang zwischen Materialkennwerte der Festigkeitslehre. (1.28 und die Gleichung kann mit der Spannung σ Vereinfacht werden, so haben wir den Zusammenhang zwischen den elastischen Materialkennwerten erhalten: (1.29 In der Praxis kann der Querkontraktionsfaktor durch Messung sehr kompliziert bestimmt werden, deswegen wird dessen Wert anhand von Elastizitätsmodul und Schubmodul aus der Gleichung berechnet. BEISPIEL 1.1 Die Elastizitätsmodul für Messing beträgt E = 116 GPa, der Gleitmodul G = 42 GPa. Es ist die Querkontraktionszahl zu bestimmen! Der Zusammenhang zwischen Materialkennwerte für elastische Werkstoffe beschreibt die Gleichung 1.29: daraus die Querkontraktionszahl für Messing: AUFGABE 1.2 Die Elastizitätsmodul für Glas beträgt E = 72 GPa, die Querkontraktionszahl ν = 0,23. Es ist der Gleitmodul zu bestimmen! 13

18 Kapitel 2. Der allgemeine Spannungszustand: Spannungszustand in der elementaren Umgebung eines Punktes. Spannungsvektor und Spannungstensor. 1. Der allgemeine Spannungszustand Durch die äußeren Kräfte werden in einem belasteten, beliebig gestalteten Bauteil im Werkstoff des Bauteiles innere Kräftesysteme, Spannungen hervorgerufen. Der Konstrukteur muss diese Kennwerte unbedingt wissen, da die Hauptursachen sind, die zur Zerstörung (zum Beispiel Bruch des Bauteiles grundsätzlich beitragen. In einem Dimensionierungsprozess werden die geometrischen Daten des Bauteiles ermittelt. Hier bedeutet eine wesentliche Anforderung die Tatsache, dass die maximale Spannung im Werkstoff kleiner als die Elastizitätsgrenze, oder in einigen Ausnahmefällen kleiner als die Streckgrenze betragen soll. Die Bauteile werden meistens durch die Spannungen Zerstört. Ein Spannungszustand kann erst dann als bekannt geklärt werden, wenn in einem beliebigen Punkt des untersuchten Bauteiles an allen Richtungen gehörenden Spannungen vorhanden sind, selbstverständlich für beliebigen Belastungsfällen. Diese Anforderung ist mit der jetzigen Rechnertechnik und Informatik leicht zu erfüllen. In der Praxis eingesetzte Konstruktionsprogramme enthalten ein so genanntes Segment oder Hilfsprogramm zur FEM (Finiten Elementen Methode Analyse, damit zur Geometrie des entworfenen Bauteiles ein räumlicher Netz mit einer wirklich guter Annäherung angepasst wird. Es müssen die notwendigen Materialkennwerte und dann auch die Belastungen Gleichgewichtskraftsysteme - des Bauteiles angegeben werden, so werden vom Programm in allen Knotenpunkten des Netzes die Deformationen und Spannungen errechnet. Alle Ergebnisse werden dann dem Konstrukteur anschaulich dargestellt, um den Spannungszustand des Bauteiles analysieren zu können. Die Zeichnungen, Entwürfe der Konstruktion können mit dem Programm leicht verändert werden, an den Stellen wo die Spannungen zu hoch sind, soll der Bauteil verstärkt werden, wo die Spannungen zu klein sind, dort können die geometrischen Daten kleiner sein, dadurch kann der Bauteil leichter werden. Zum erfolgreichen Einsatz der FEM Programme müssen vom Ingenieur die allgemeinen Zusammenhänge - der allgemeine Spannungszustand und der allgemeine Verformungszustand - darauf die Algorithmen des Programms basiert sind, unbedingt beherrscht werden. Durch die allgemein interpretierten Belastungen werden in einem beliebigen Punkt P des Bauteiles (entlang der Schnittfläche, an der Ebene (Flächenelement, mit dem durch den Punkt P geführte Normalvektor n die Spannung q n hervorgerufen: Interpretation des Spannungsvektors: Abb. 2.1 Spannungen in der endlichen Umgebung des Punktes P 14

19 Der allgemeine Spannungszustand: Spannungszustand in der elementaren Umgebung eines Punktes. Spannungsvektor und Spannungstensor. (2.1 wo Δ B die Resultierende des verteilten Kraftsystems der Fläche ΔA bedeutet. Wenn die Umgebung des Punktes P unendlich klein gewählt wird, so erhält man die Abb. 2.1 in modifizierter Form. Abb. 2.2 Spannungen in der unmittelbaren Umgebung des Punktes P Mit den Symbolen der Abb. 2.2 erhält man q n, zur Flächenelement mit dem Normalvektor n gehörende spezifische innere Kraft, den Spannungsvektor. In allgemeinen Belastungsfällen schließt der Spannungsvektor q n mit dem Normalvektor den Winkel υ ein: Abb. 2.3 Die Komponenten des Spannungsvektors Die Normalkomponente und darauf orthogonal positionierte Koordinate des allgemein gerichteten Spannungsvektors: (2.2 Bei gleichgrößer äußere Belastung, zur auf den Einheitsvektor n orthogonal positionierte Fläche mit dem Normalvektor m der Spannungsvektor q m gehört, aber q n und q m sind voneinander nicht unabhängig. Die zum Punkt P gehörenden alle Spannungsvektoren bilden den Spannungszustand des Punktes P. Der Spannungszustand ist eine Vektor Vektor Funktion mit zwei Variablen: (2.3 15

20 Der allgemeine Spannungszustand: Spannungszustand in der elementaren Umgebung eines Punktes. Spannungsvektor und Spannungstensor. Abb. 2.4 Die zum Punkt P gehörenden Spannungsvektoren (2.4 Aufgrund des Reziprozitätssatzes von Chauchy: (2.5 dass heißt in vektorieller Form: Durch das Satz liegt fest: wenn zu einem Einheitsvektor n der Spannungsvektor q n gehört, und durch den, auf n orthogonal gerichtete m der Spannungsvektor q n bestimmt wird, dann die rechtwinkligen Projektionen des aktuellen Spannungsvektors mit den anderen, nicht eigenen Einheitsvektoren den Betrag und das Vorzeichen betrachtet gleich sind. Das Theorem wird hier nicht nachgewiesen, da es grundsätzlich die Dualität der Schubspannungen bedeutet, was bereits vorher bewiesen wurde. Die Skalarprojektion des Spannungsvektors q n in Richtung des Normalvektors n beträgt σ n: (2.6 Die Skalarprojektion des Spannungsvektors q n in Richtung des Normalvektors m beträgt τ n: (2.7 Stellen wir uns vor in der Umgebung des Punktes P einen Volumenelement mit unendlich kleiner Kantenlänge, deren Kanten zur Koordinatenachsen x-y-z des räumlichen Koordinatensystems parallel gerichtet sind: (2.8 Abb. 2.5 Das zum Punkt P gehörende Volumenelement 16

21 Der allgemeine Spannungszustand: Spannungszustand in der elementaren Umgebung eines Punktes. Spannungsvektor und Spannungstensor. Zu den Flächenelementen gehörenden Spannungsvektoren: (2.9 (2.10 (2.11 Nach einsetzen des Reziprozitätssatzes erhält man q xy = q yx, dass heißt τ xy = τ yx, es wurde wieder die Dualität der Schubspannungen erhalten. Zur eindeutigen Bestimmung des Spannungszustandes (zur Beschreibung im Punkt P im x-y-z Koordinatensystem sind sechs Skalargrößen notwendig : σ x, σ y, σ z, τ xy, τ yz, τ zx. Abb. 2.6 Spannungen an den Seitenflächen des Volumenelements Es soll überprüft werden, ob die Möglichkeit zur Bestimmung aus einem, in x-y-z Koordinatensystem definierten Spannungszustand einen, in einer beliebigen Richtung n gerichteten Spannungsvektor q n besteht? Es sei der bekannte, allgemein gerichtete Einheitsvektor n : Abb. 2.7 Einheitsvektor in allgemeiner Lage 17

22 Der allgemeine Spannungszustand: Spannungszustand in der elementaren Umgebung eines Punktes. Spannungsvektor und Spannungstensor. (2.12 Zur Flächenelement mit Normalvektor n gehörende Spannungsvektor q n: (2.13 Laut des Reziprozitätssatzes (2.5.: (2.14 (2.15 (2.16 Die drei oben formulierten Gleichungen sollen in die Gleichung eingetragen werden: so (2.17 wo der Spannungstensor im Punkt P ist. Der Spannungszustand kann durch die Matrix des Spannungstensors in einem, zum Beispiel im x-y-z Koordinatensystem definiert werden: (2.18 Aus dem Spannungstensor kann dann der Spannungsvektor mit der Gleichung zu beliebigen Richtungen ermittelt werden. Die Komponente des Spannungsvektors in Richtung des Normalvektors n beträgt: (2.19 Die Schubspannung in der Ebene des Flächenelementes kann am einfachsten aus dem Satz von Pythagoras bestimmt werden: 18

23 Der allgemeine Spannungszustand: Spannungszustand in der elementaren Umgebung eines Punktes. Spannungsvektor und Spannungstensor. (2.20 wo aus der Gleichung bereits zur Verfügung steht (2.21 BEISPIEL 2.1 Der Spannungszustand in einem Punkt P eines Maschinenbauteiles ist im x-y-z Koordinatensystem bekannt: Es ist die durch den Einheitsvektor n bestimmte Normalspannung σ n und die darauf orthogonale Schubspannung τ n zu ermitteln, wenn Zu den Einheitsvektor n gehörende Spannungsvektor aus der Gleichung 2.17.: Die auf der Ebene n orthogonale Komponente des Spannungsvektors (2.19.: Aufgrund der Gleichung 2.21.: Dann die Schubspannung in der Ebene des Volumenelementes aus dem Satz von Pythagoras (2.20.: BEISPIEL 2.2 Es ist für einen reinen Zug beanspruchten Stab (Abb. 2.6 durch den Einheitsvektor n bestimmte Normalspannung σ n und die darauf orthogonale Schubspannung τ n zu ermitteln! 19

24 Der allgemeine Spannungszustand: Spannungszustand in der elementaren Umgebung eines Punktes. Spannungsvektor und Spannungstensor. Für reinen Zug die Normalspannung in z Richtung: Abb. 2.6 Die Tensormatrix für den Spannungszustand im Punkt P: Der Normalvektor n und der darauf orthogonale Einheitsvektor m : und Zu den Einheitsvektor n gehörender Spannungsvektor aus der Gleichung 2.17.: Die auf der Ebene n orthogonale Komponente des Spannungsvektors (2.19.: Die Schubspannung τ n kann mit dem Einheitsvektor m ermittelt werden: AUFGABE

25 Der allgemeine Spannungszustand: Spannungszustand in der elementaren Umgebung eines Punktes. Spannungsvektor und Spannungstensor. Der Spannungszustand in einem Punkt P eines Maschinenbauteiles ist im x-y-z Koordinatensystem bekannt. Die Koordinatenachsen bedeuten gleichzeitig die Hauptrichtungen. Es ist die das Koordinatensystem mit 45 um die Hauptachse x zu drehen, und die Tensormatrix für den Spannungszustand im gedrehten Bezugssystem zu bestimmen! 21

26 Kapitel 3. Hauptspannungen und Hauptrichtungen. Mohresche Darstellung des Spannungszustandes. 1. Die Hauptspannungen und Hauptrichtungen In einem allgemeinen Fall schließt der, zum Flächenelement mit dem Normalvektor n gehörende Spannungsvektor q n einen Winkel υ ein. Es taucht die Frage auf: gibt es irgendein Flächenelement in der Umgebung des Punktes P, deren Winkel 0 beträgt? Für diesen speziellen Flächenelement ergibt sich τ n = 0, so: Die Gleichung ist auch jetzt gültig: (3.1 Da die linken Seiten der obigen Zusammenhänge gleich sind, ist diese Feststellung auch für die rechten Seiten gültig: (3.2 Ohne Indexen geschrieben und mit Verwendung des Einheitsvektors kann die Gleichung 3.3. in folgender Form ausgedrückt werden: (3.3 So erhält man ein homogenes, lineares Gleichungssystem für drei Unbekannten, deren gesuchten Größen wie folgt: σ und die drei Koordinaten des Normalvektors n : l, m, n. Zur Lösung notwendige dritte Gleichung zeigt, das n ein Einheitsvektor ist, deren Absolutwert: Für das homogene, lineare Gleichungssystem gibt es dann eine nichttriviale Lösung, wenn der Wert aus dem Koeffizientenmatrix aufgebauter Determinante 0 beträgt, für die Gleichung 3.4. also: (3.4 (3.5 dass heißt (3.6 (3.7 Durch Auflösung der Determinante erhalten wir eine charakteristische Gleichung, die für diesen Fall ein Polynom dritten Grades ist: 22

27 Hauptspannungen und Hauptrichtungen. Mohresche Darstellung des Spannungszustandes. (3.8 hier T I, T II und T III bedeuten die Skalar Invarianten des Spannungstensors, deren Wert vom beliebig gewählten Koordinatensystem unabhängig ist. Die Ermittlung von Skalar Invarianten: (3.9 (3.10 (3.11 Mathematisch kann es bewiesen werden, dass die Wurzeln oder die Eigenwerte der symmetrischen Matrizen die aus charakteristischer Gleichung symmetrischer Matrizen aufgestellten wurden, reelle Zahlen sind. Die Eigenwerte des Spannungstensors die Wurzeln der Gleichung 3.8. sind die Hauptspannungen. Die Indexe der Hauptspannungen bedeuten eine Reihenfolge, die mit der Größe der Hauptspannungen eng verbunden ist: Die zu den Eigenwerten (Hauptspannungen gehörenden Eigenvektoren sind die Hauptrichtungen. Die Ermittlung der Hauptrichtungen kann aus der folgenden Gleichung durchgeführt werden: (3.12 (3.13 (3.14 (3.15 Da die Determinante der in Klammern stehendes Koeffizientenmatzes null beträgt, die obigen Gleichungen führen nur zur zwei unabhängigen Lösungen, so müssen als dritte auch die n i =1 Vektorgleichungen verwendet werden. Die n 1, n 2 und n 3 Einheitsvektoren (Normalen bedeuten die Richtungen der Hauptspannungen, oder kurz die Hauptrichtungen. Die Hauptrichtungen schließen miteinander immer Rechtwinkel ein, so können sie als die Koordinatenachsen eines Koordinatensystems betrachtet werden. Der Nachweis dafür: (3.16 Nach einsetzen des Reziprozitätssatzes erhält man: (3.17 (

28 Hauptspannungen und Hauptrichtungen. Mohresche Darstellung des Spannungszustandes. Durch Verwendung der Gleichungen und : (3.19 (3.20 Das ist erst dann möglich, wenn die Vektoren n 1 und n 2 miteinander einen Rechtwinkel einschließen. Die auf die Hauptrichtungen orthogonalen Ebenen sind die Spannungstensors im Koordinatensystem der Hauptrichtungen: Spannungshauptebenen. Die Matrix des (3.21 Die Skalarinvarianten des Spannungstensors mit den Hauptspannungen ausgedrückt: (3.22 (3.23 (3.24 Ein beliebiger, räumlicher Spannungszustand wird als dreiachsiger Spannungszustand bezeichnet. 2. Die Mohrsche Darstellung des Spannungszustandes Falls die Hauptspannungen und die Hauptrichtungen vorhanden sind, dann kann der Spannungsvektor q n beliebiger n Normalen folgendermaßen errechnet werden: (3.25 In einem Sonderfall soll sich der Vektor n in der x-y Ebene befinden, dann γ = 90 beträgt, dementsprechend cosγ = 0, und β = 90 - α, also cosβ = sin α, so die Gleichung 3.25: (3.26 Die Skalarprojektion des Spannungsvektors in der Richtung des Normalvektors: 24

29 Hauptspannungen und Hauptrichtungen. Mohresche Darstellung des Spannungszustandes. (3.27 Die Schubspannung in der Ebene der Flächenelemente aus dem Satz von Pythagoras: (3.28 Es sollen die vorherigen Gleichungen aus der Koordinatengeometrie verwendet werden, damit: (3.29 (3.30 und können die Indexen n weglassen, so erhalten die Gleichungen und deutlich einfachere Form: (3.31 (3.32 (3.33 Es soll auch berücksichtigt werden, dass für beliebigen Winkeln sin 2 2α +cos 2 2α = 1 gültig ist, dadurch können nach quadrieren der Gleichungen die trigonometrischen Komponente eliminiert werden. Dadurch erhalten wir die Gleichung: (3.34 Es ist praktisch die Gleichung eines Kreises im Koordinatensystem σ-τ, deren Radius ( σ 1 σ 2 /2 beträgt, und dessen Mittelpunkt auf der Achse σ in einer Koordinate ( σ 1 + σ 2 /2 befindet. Die Gleichung bedeutet geometrisch den Mohrschen Kreis des Spannungszustandes: 25

30 Hauptspannungen und Hauptrichtungen. Mohresche Darstellung des Spannungszustandes. Abb. 3.1 Mohrscher Spannungskreis des Spannungszustandes 26

31 Hauptspannungen und Hauptrichtungen. Mohresche Darstellung des Spannungszustandes. Animation 1: Konstruktionsphasen des Mohrschen Trägheitskreises für Flä-chenträgheitsmomente Durch alle Position in den Ebenen des Koordinatensystems bewegten Einheitsvektoren e je einen Punkt N des Mohrschen Spannungskreises (Mohrscher Hauptkreis k definiert wird, wie es in den ersten drei Abbildungen dargestellt ist. Der doppelte Verdrehwinkel des Einheitsvektors wird in den Mohrschen Spannungskreis immer aus den Punkten S eingetragen. Wenn die Lage der Einheitsvektor ( n, beliebig ist, so befindet sich der Punkt N in einem, durch k 1-k 2-k 3 bestimmten Bereich, in einem Kreisbogendreieck, wie es die vierte Abbildung zeigt. 27

32 Hauptspannungen und Hauptrichtungen. Mohresche Darstellung des Spannungszustandes. Animation 2: Konstruktionsphasen des Mohrschen Spannungskreises für den Spannungszustand BEISPIEL 3.1 Die Tensormatrix für den Spannungszustand in einem Punkt P eines belasteten Maschinenbauteiles ist im x-y-z Koordinatensystem gegeben: Es sind die Hauptspannungen und die Hauptrichtungen zu ermitteln. Der Spannungszustand ist auch mit dem Mohrschen Spannungskreis darzustellen! Da die Hauptspannungen die Eigenwerte der Matrix Methode, durch die Eigenwertrechnung ermittelt werden. sind, so können aus der Mathematik bekannten Aus den Gleichungen erhält man die Determinante und daraus die charakteristische Gleichung: Durch Auflösung der Determinante, und die Gleichung mit der Maßeinheit dividiert erhalten wir die charakteristische Gleichung (3.8.: 28

33 Hauptspannungen und Hauptrichtungen. Mohresche Darstellung des Spannungszustandes. Die Hauptspannungen sind die Wurzeln des Polynoms dritten Grades: σ 1 = 438,6 MPa; σ 2 = 11,4 MPa und σ 3 = -70 MPa. Die Matrix des Spannungszustandes im Bezugssystem der Hauptrichtungen: Die Ermittlung der Hauptrichtungen kann aus den Gleichungen durchgeführt werden. Die zu der Hauptspannung σ 1 gehörende Hauptrichtung kann folgendermaßen ermittelt werden: Nach Einsetzen der konkreten Daten und mit der Maßeinheit dividiert erhält man: und das lineare Gleichungssystem für drei Unbekannten: -138,6 x y 1 = 0; -200 x 1-288,6 y 1 = 0; -508,6 z 1 = 0; Aus der letzten Gleichung z 1 = 0 folgt. Zwar die ersten zwei Gleichungen voneinander linear nicht unabhängig sind, aber das Verhältnis für die Unbekannten wird bestimmt: Zur Lösung braucht man eine weitere Gleichung. Dieser Zusammenhang enthält Informationen über den Absolutwert oder über den Betrag des Einheitsvektors. Da n 1 Einheitsvektor ist, also dessen Absolutwert beträgt 1. Die Lösung des Gleichungssystems führt zu den Einheitsvektor n 1, die zur Hauptspannung σ 1 gehört: Ermittlung der Hauptrichtung n 2 für die Hauptspannung σ 2 : 29

34 Hauptspannungen und Hauptrichtungen. Mohresche Darstellung des Spannungszustandes. Nach einsetzen der konkreten Daten und mit der Maßeinheit dividiert erhält man: also das lineare Gleichungssystem für drei Unbekannten 288,6 x y 2 = 0; -200 x ,6 y 2 = 0; -58,6 z 2 = 0; Aus der letzten Gleichung z 2 = 0. Das Verhältnis für die Unbekannten aus den zwei vorherigen Gleichungen: Eine weitere Gleichung führt uns zur Lösung: Nach der Lösung des Gleichungssystems der Einheitsvektor n 2, die zur Hauptspannung σ 2 gehört: Der zur Hauptspannung σ 3 gehörende Einheitsvektor n 3: Die Mohresche Darstellung des Spannungszustandes: 30

35 Hauptspannungen und Hauptrichtungen. Mohresche Darstellung des Spannungszustandes. Abb. 3.2 AUFGABE 3.2 Die Tensormatrix für den Spannungszustand in einem Punkt P eines belasteten Maschinenbauteiles ist im x-y-z Koordinatensystem bekannt: Es sind die Hauptspannungen und die Hauptrichtungen zu ermitteln. Der Spannungszustand ist auch mit dem Mohrschen Spannungskreis darzustellen! 31

36 Kapitel 4. Allgemeiner Formänderungszustand: Verschiebungs-, und Formänderungs-zustand in der elementaren Umgebung eines Punktes. Der Gradient des Verschiebungsfeldes (Ableitung des Tensors. Rotationstensor. Formänderungstensor. 1. Die räumliche Formänderung Für die starren Körper wird vorausgesetzt, dass bei beliebigen äußeren Belastungen ihre Geometrie unverändert bleibt. Das ist eine echt idealistische Vorstellung, weil auch die sprödesten Materialen und/oder Werkstoffe ein wenig deformierbar sind. Die festen Körper behalten dagegen nach den äußeren Wirkungen, Bealastungen - innerhalb eines bestimmten Bereiches - unter der Elastizitätsgrenze die Körper ihrer ursprünglichen Geometrie. Zur allgemeinen Analyse der elastischen räumlichen Verformung soll ein Element beliebiger Geometrie, kontinuierlicher Massenverteilung gewählt werden, dass durch ein allgemeines äußeres Kraftsystem unter der Elastizitätsgrenze belastet wird. Der Körper wird infolge der Belastung deformiert: seine Geometrie wird verzerrt, und in bestimmten Richtung werden auch Dehnungen, oder Verkürzungen verursacht. Inzwischen - infolge der Belastung - erricht der Punkt P statt seiner Anfangslage die neue räumliche Position P. Abb. 4.1 Allgemeine Interpretation der räumlichen Verschiebung 32

37 Allgemeiner Formänderungszustand: Verschiebungs-, und Formänderungs-zustand in der elementaren Umgebung eines Punktes. Der Gradient des Verschiebungsfeldes (Ableitung des Tensors. Rotationstensor. Formänderungstensor. Die zwischen den Punkten P und P interpretierte Verschiebungsfunktion u und deren drei skalaren Komponenten im Bezugssystem x-y-z: (4.1 (4.2 (4.3 Es wird vorausgesetzt, das im Werkstoff ursprünglich kontinuierlicher Massenverteilung im Verformungsprozess keine Risse, Löcher entstehen, so auch die Verschiebungsfunktionen kontinuierlich, also differenzierbar sind. Man soll in der elementaren Umgebung des Punktes P eine Kugel mit dem Radius a interpretieren. Während infolge der Belastung sich der Punkt P die Lage P bewegt, die Kugel wird auch ermäßigt deformiert: (4.4 Abb. 4.2 Die Verschiebung und Deformation des Punktes P in einer kugelförmigen Umgebung In der Abb wird der Punkt P durch den Ortsvektor r bestimmt, zum Punkt N gehört aber der Ortsvektor r +an. Die Verschiebungsvektor zwischen den Punkten P und P ist die Funktion von r, die Verschiebungsfunktion zwischen den Punkten N und N ist die Funktion von r +an : Wenn die Verschiebungsfunktion 4.5. in einer Taylor-Reihe zu erklärt wird, und nur die ersten zwei Mitlieder der Taylor-Reihe als Annäherung berücksichtigt werden, ist der Fehler gar nicht groß, weil die Verschiebungen und Deformationen auch sehr klein sind: (4.5 (4.6 wo der Einheitsvektor n : 33

38 Allgemeiner Formänderungszustand: Verschiebungs-, und Formänderungs-zustand in der elementaren Umgebung eines Punktes. Der Gradient des Verschiebungsfeldes (Ableitung des Tensors. Rotationstensor. Formänderungstensor. (4.7 Da der Verschiebungsvektor u im Bezugssystem u = ui+vj+wk beträgt, so die partiellen Ableitungen der Gleichung 4.6.: (4.8 (4.9 (4.10 Dadurch kann das Mitglied in Klammern der Gleichung 4.6. in folgende Form geschrieben werden: (4.11 bedeutet den Ableitungtensor des Verschiebungsfeldes u (der Gradient des Verschiebungsfeldes: (4.12 Die Matrize des Ableitungtensors ist in allgemeinen nicht symmetrisch. 34

39 Allgemeiner Formänderungszustand: Verschiebungs-, und Formänderungs-zustand in der elementaren Umgebung eines Punktes. Der Gradient des Verschiebungsfeldes (Ableitung des Tensors. Rotationstensor. Formänderungstensor. Es soll die Gleichung 4.11 in 4.6. erneut eingesetzt werden: (4.13 In der Abbildung 4.2. ist es deutlich zu erkennen, dass aus dem Punkt P in den Punkt N zweimal zwei Vektorsummen führen, daraus folgt, dass die zwei Vektorsummen miteinander gleichwertig sind: (4.14 Mit der Annäherung der Gleichung 4.13.: (4.15 also nach einer Dividierung mit a, sowie nach Umstellung der Gleichung: (4.16 (4.17 In der Gleichung t n bedeutet den, zu der Richtung n angeordneten Formänderungsvektor Eine Matrix kann jederzeit als Summe einer symmetrischen und einer asymmetrischen Matrix gestaltet werden. Diese Feststellung ist auch für die Matrix des Ableitungtensors gültig: (4.18 hier bedeutet die transponierte der Matrix. Bei transponieren werden die Zeilen und die Spalten der Matrix ausgetauscht. Es soll der Formänderungstensor : (4.19 betragen, und der Rotationstensor kann wie folgt formuliert werden: (4.20 Der Matrix des Formänderungstensors ist symmetrisch. Es kann bewiesen werden, dass bei der Ermittlung von Deformationen - wenn der Ausgangspunkt des Bezugssystems im Punkt P festgelegt wird der Betrag durch den Rotationstensor zugeordneten Vektoren, sowie deren, zueinander eingeschlossenen Winkeln konstant bleiben, also die Rolle des Rotationstensors kann nicht berücksichtigt werden. Aufgrund diese Überlegungen der Formänderungsvektor auf Basis der Gleichung 4.17.: 35

40 Allgemeiner Formänderungszustand: Verschiebungs-, und Formänderungs-zustand in der elementaren Umgebung eines Punktes. Der Gradient des Verschiebungsfeldes (Ableitung des Tensors. Rotationstensor. Formänderungstensor. (4.21 Man bestimme die skalaren Komponenten des Formänderungsvektors in Richtung n: (4.22 Er wurde eingesetzt, dass das Skalarprodukt der Einheitsvektoren n n = 1 und n n 1 betragen. Die Skalarkomponente des Formänderungsvektors in Richtung des Normalvektors n bedeutet die spezifische Dehnung in der Richtung n. Der Einheitsvektor m soll auf den Einheitsvektor n einen Winkel von 90 einschließen. Es ist die Skalarkomponente des Formänderungsvektors in Richtung des Einheitsvektors m zu bestimmen: (4.23 da mn = 0, und für kleinen Winkel auch sinυ mn υ mn erfüllt wird. Die Winkeln für den beiden Einheitsvektoren m und n sind im Abb dargestellt: Abb. 4.3 Die Verschiebung aufeinender orthogonal gerichteten Einheitsvektoren Die Skalarkomponente des Formänderungsvektors t n in Richtung m : Analog zur vorherigen Lösung, die Skalarkomponente des Formänderungsvektors t m in Richtung n : (4.24 (4.25 Da bei der Multiplikation einer Matrix mit zwei Vektoren die Vektoren dürfen ausgetauscht werden, die rechten Seiten der Gleichungen und gleich sind, so muss dass auch für die linken Seiten der Gleichungen gültig sein: (4.26 Aus der Abb ist es klar zu sehen, das der Winkel zwischen den Einheitsvektoren n und m der ursprünglich 90 betrug, nach der Formänderung um 2υ kleiner wird, also die Winkelveränderung γ: (

41 und mit der Gleichung 4.25.: Allgemeiner Formänderungszustand: Verschiebungs-, und Formänderungs-zustand in der elementaren Umgebung eines Punktes. Der Gradient des Verschiebungsfeldes (Ableitung des Tensors. Rotationstensor. Formänderungstensor. (4.28 Anhand der bisherigen Ergebnisse kann der Matrix des Formänderungstensors im Bezugssystem x-y-z mit den Einheitsvektoren i, j und k formuliert werden: (4.29 Der Formänderungsvektor in Richtung der Koordinatenachse x: (4.30 Die spezifische Dehnung in Richtung x aus der Gleichung 4.22.: (4.31 Die Winkelveränderung der Vektoren mit den Einheitsvektoren i und j aus der Gleichung 4.28.: (4.32 Die Winkelveränderung der Vektoren mit den Einheitsvektoren i und k : (4.33 Analog zur vorherigen Methode, aus t y und t z können auch die anderen Elemente des Formänderungstensors bestimmt werden: 37

42 Das Ergebnis: Allgemeiner Formänderungszustand: Verschiebungs-, und Formänderungs-zustand in der elementaren Umgebung eines Punktes. Der Gradient des Verschiebungsfeldes (Ableitung des Tensors. Rotationstensor. Formänderungstensor. (4.34 Die Matrize des Formänderungstensors ist symmetrisch. Der Verformungszustand in einem bestimmten Punkt P eines Bauteiles kann erst dann definiert erklärt werden, wenn der Formänderungstensor im Punkt P bekannt ist, dass heißt im Bezugssystem x-y-z die folgenden sechs Kennwerte uns zur Verfügung stehen: ε x, ε y, ε z, γ xy, γ xz, γ zx. Aus der Matrize des Formänderungstensors kann der Formänderungsvektor zu einer beliebigen Richtung ermittelt werden: (4.35 BEISPIEL 4.1 Die Tensormatrix für den Formänderungszustand in einem Punkt P eines Maschinenbauteiles ist im x-y-z Koordinatensystem gegeben: Es ist die durch den Einheitsvektor n bestimmte Dehnung en und die darauf orthogonale gerichtete Winkelveränderung γ n, wenn Zu den Normalvektor n gehörende Formänderungsvektor aus der Gleichung 4.30.: Die auf der Ebene n orthogonale Komponente des Formänderungsvektors (4.22.: 38

43 Allgemeiner Formänderungszustand: Verschiebungs-, und Formänderungs-zustand in der elementaren Umgebung eines Punktes. Der Gradient des Verschiebungsfeldes (Ableitung des Tensors. Rotationstensor. Formänderungstensor. Der Betrag oder Absolutwert des Formänderungsvektors: Dann die Winkelveränderung in der Ebene des Volumenelementes aus dem Satz von Pythagoras: AUFGABE 4.2 Die Tensormatrix für den Formänderungszustand in einem Punkt P eines Maschinenbauteiles ist im x-y-z Koordinatensystem bekannt: Es ist die das Koordinatensystem mit 45º um die Hauptachse x zu drehen, und die Tensormatrix für den Formänderungszustand im gedrehten Bezugssystem zu bestimmen! 39

44 Kapitel 5. Die Hauptdehnungsrichtungen und die Hauptdehnungen Der mechanisch belastete Bauteil wird deformiert, damit verbunden die Geometrie in der Umgebung des beliebigen Punktes P auch verändert wird. Gibt es um den Punkt P eine solche Richtung, die während der Formänderung unverändert bleibt? Wenn ja, dann so kann der Formänderungsvektor mit dem Einheitsvektor der aktuellen Richtung der Formänderung sowie mit deren gewissen Streckung durch ein Skalarprodukt ausgedrückt werden: Sei der Matrix des Formänderungstensors im Bezugssystem x-y-z bekannt: (5.1 (5.2 Die Gleichung ist auch jetzt gültig, damit: Die linken Seiten der Gleichungen 5.1. und 5.3. gleich sind, so muss dass auch für die rechten Seiten der Gleichungen gültig sein: (5.3 Mit Verwendung des Einheitsvektors die Gleichung 5.3. nach der Umstellung: (5.4 Analog wie früher bei dem allgemeinen Spannungszustand erhält man hier auch ein homogenes, lineares Gleichungssystem für drei Unbekannten, deren gesuchten Größen wie folgt: ε und die drei Koordinaten des Normalvektors n : l, m, n. Zur Lösung notwendige dritte Gleichung zeigt, das n ein Einheitsvektor ist, deren Absolutwert: Für das homogene, lineare Gleichungssystem gibt es dann eine nichttriviale Lösung, wenn der Wert aus dem Koeffizientenmatrix aufgebauter Determinante 0 beträgt, für die Gleichung 5.5. also: (5.5 (5.6 dass heißt (5.7 40

45 Die Hauptdehnungsrichtungen und die Hauptdehnungen (5.8 Durch Auflösung der Determinante erhalten wir eine charakteristische Gleichung, die für diesen Fall ein Polynom dritten Grades ist: hier S I, S II und S III bedeuten die skalare Invarianten des Formänderungstensors, deren Wert vom beliebig gewählten Koordinatensystem unabhängig ist. Die Ermittlung von skalaren Invarianten: (5.9 (5.10 (5.11 (5.12 Die Eigenwerte des Formänderungstensors die Wurzeln der Gleichung 5.8. sind die Hauptdehnungen. Die Indexe der Hauptdehnungen bedeuten eine Reihenfolge, die mit der Größe der Hauptdehnungen eng verbunden ist: (5.13 Die Ermittlung die Einheitsvektoren der Hauptdehnungen kann mittels der Eigenvektoren aus der folgenden durchgeführt werden: (5.14 (5.15 (5.16 Da die Determinante der in Klammern stehendes Koeffizientenmatzes null beträgt, die obigen Gleichungen führen nur zur zwei unabhängigen Lösungen, so müssen als dritte auch die n i =1 Gleichungen verwendet werden. Die n 1, n 2 und n 3 Einheitsvektoren (Normalen bedeuten die Richtungen der Hauptdehnungen, oder kurz die Hauptdehnungsrichtungen. Die Hauptrichtungen schließen miteinander immer einen Rechtwinkel ein, so können sie als die Koordinatenachsen eines Bezugssystems betrachtet werden. 41

46 Die Hauptdehnungsrichtungen und die Hauptdehnungen Der Matrix des Formänderungstensors im Koordinatensystem der Hauptrichtungen n 1, n 2 und n 3: (5.17 BEISPIEL 5.1 Die Tensormatrix für den Formänderungszustand in einem Punkt P eines belasteten Maschinenbauteiles ist im x-y-z Koordinatensystem gegeben: Es sind die Hauptsdehnungen und die Hauptrichtungen zu ermitteln! Da die Hauptdehnungen die Eigenwerte der Matrix durch die Eigenwertrechnung ermittelt werden. sind, so können aus der Mathematik bekannte Methode, Aus den Gleichungen erhält man die Determinante und daraus die charakteristische Gleichung: Durch Auflösung der Determinante, und die Gleichung mit 10-5 dividiert erhalten wir die charakteristische Gleichung (5.9.: Die Hauptdehnungen sind die Wurzeln des Polynoms dritten Grades: ε 1 = 0,00175; ε 2 = 0,00050 und ε 3 = -0, Die Matrix des Formänderungszustandes im Bezugssystem der Hauptrichtungen: Die Ermittlung der Hauptrichtungen erfolgt aus den Gleichungen Die zu der Hauptdehnung ε 1 gehörende Hauptrichtung kann folgendermaßen ermittelt werden: Nach einsetzen der konkreten Daten und Neuordnung der Gleichung erhält man: 42

47 Die Hauptdehnungsrichtungen und die Hauptdehnungen also das lineare Gleichungssystem für drei Unbekannten: -25 x 1-50 y 1 = 0; -50 x y 1 = 0; -225 z 1 = 0; Aus der letzten Gleichung ergibt sich z 1 = 0. Zwar die ersten zwei Gleichungen voneinander linear nicht unabhängig sind, aber das Verhältnis zwischen den Unbekannten wird trotzdem bestimmt: Zur Lösung braucht man noch eine weitere Gleichung. Dieser Zusammenhang enthält Informationen über den Absolutwert oder über den Betrag des Einheitsvektors. Da n 1 ein Einheitsvektor ist, also dessen Absolutwert beträgt 1: Die Lösung des Gleichungssystems führt zu den Einheitsvektor n 1, die zur Hauptdehnung ε 1 gehört: Ermittlung der Hauptrichtung n 2 für die Hauptdehnung ε 2 : Nach einsetzen der konkreten Daten und Neuordnung der Gleichung erhält man: also das lineare Gleichungssystem für drei Unbekannten: 100 x 2-50 y 2 = 0; -50 x y 2 = 0; -50z 2 = 0; Aus der letzten Gleichung z 2 = 0 folgt. Das Verhältnis für die Unbekannten aus den zwei vorherigen Gleichungen: 43

48 Die Hauptdehnungsrichtungen und die Hauptdehnungen Eine weitere Gleichung führt uns zur Lösung: Nach der Lösung des Gleichungssystems der Einheitsvektor n 2, die zur Hauptdehnung 2 gehört: Der zur Hauptdehnung ε 3 gehörende Einheitsvektor n 3: AUFGABE 5.2 Die Tensormatrix für den Formänderungszustand in einem Punkt P eines belasteten Maschinenbauteiles ist im x-y-z Koordinatensystem bekannt: Es sind die Hauptsdehnungen und die Hauptrichtungen zu ermitteln! 44

49 Kapitel 6. Zusammenhang zwischen Spannungszustand und Formänderungszustand. Das allgemeine Hookesche Gesetz. In der Elastizitätslehre kann der lineare Zusammenhang zwischen Spannungen und der dadurch hervorgerufenen Verformungen mit dem einfachen Hookeschen Gesetzt beschrieben werden. Wenn die Formänderung vorhanden ist, durch eine entsprechende Gleichung können auch die Spannungen im untersuchten Bauteil ermittelt werden. Das Programm für Finiten Elemente berechnet zuerst die Verformungen in allen Knotenpunkten des räumlichen Netzes für das FEM Modell des Bauteiles, erst dann in einem zweiten Zyklus werden die Spannungen für jeden Knotenpunkt bestimmt. Im Weiteren soll es analysiert werden, welcher mathematische Zusammenhang zwischen dem Formänderungstensor und dem Spannungstensor besteht? Die elastischen Materialkennwerte laut der Gleichung sind nicht unabhängig voneinander: In der elementaren Festigkeitslehre für reine Zugbelastung wird der Zusammenhang zwischen der Formänderung und Spannung durch das einfache Hookesche Gesetz bestimmt. Dies muss auch für die Tensor- Schreibweise erfüllt werden. Der Matrix des Spannungszustandes für einachsigen Zug: (6.1 (6.2 also σ 2 = σ 3 = 0. Hier ist ebenso gültig, dass (6.3 und (6.4 Damit der Matrix des Formänderungstensors: (6.5 45

50 Zusammenhang zwischen Spannungszustand und Formänderungszustand. Das allgemeine Hookesche Gesetz. Da der erste Skalarinvariante des Spannungstensors für reine Zug T I = σ 1 beträgt, dementsprechend kann die Gleichung nach herausheben von (1+ ν /E folgendermaßen formuliert werden: (6.6 Das Ergebnis bleibt auch dann unverändert, wenn die Zugrichtung mit einer anderen Hauptrichtung gleich ist. Es soll das Hookesche Gesetz für reinen Schub überprüft werden, inwieweit kann zur bisherigen Methode der Tensor-Schreibweise angepasst werden? Bei reinem Schub existiert auf der Ebene x-y nur die Schubspannung τ, also der Matrix des Spannungszustandes: (6.7 Das einfache Hookesche Gesetz kann eingesetzt werden: (6.8 Damit der Matrix des Formänderungstensors: (6.9 Nach der Verwendung der Gleichung 6.1. und weil der erste Skalarinvariante des Spannungstensors für reine Schub T I = 0 beträgt, dementsprechend kann die Gleichung 6.6. auch für diesen Fall als richtig erklärt werden. Diese Feststellung ist auch dann gültig, wenn sich die Schubspannung in der Ebene y-z oder z-x befindet. Da der Zusammenhang zwischen Verformung und Spannung linear ist, das Superpositionsprinzip kann verwendet werden. Nach Summieren der Tensorgleichungen (insgesamt sechs! erhält man das allgemeine Hookeschen Gesetz. (6.10 oder (6.11 Wenn der Spannungstensor aus dem Formänderungstensor zu bestimmen ist, das soll laut der Gleichungen oder erfolgen: 46

51 Zusammenhang zwischen Spannungszustand und Formänderungszustand. Das allgemeine Hookesche Gesetz. (6.12 oder (6.13 Animation 3: Knickung BEISPIEL 6.1 Die Tensormatrix für den Spannungszustand in einem Punkt P eines Maschinenbauteiles ist im x-y-z Koordinatensystem gegeben: Es ist die Tensormatrix für den Formänderungszustand zu ermitteln! Der Elastizitätsmodul des Werkstoffes E= MPa, die Querkontraktionszahl ν=0,3. Das allgemeine Hookesche Gesetz (6.10.: 47

52 Zusammenhang zwischen Spannungszustand und Formänderungszustand. Das allgemeine Hookesche Gesetz. wo die erste skalare Invariante des Spannungstensors: Damit die Tensormatrix für den Formänderungszustand: also AUFGABE 6.2 Die Tensormatrix für den Spannungszustand in einem Punkt P eines Maschinenbauteiles ist im x-y-z Koordinatensystem gegeben. Die Koordinatenachsen bedeuten gleichzeitig die Hauptrichtungen: Es ist die Tensormatrix für den Formänderungszustand zu ermitteln! Der Elastizitätsmodul des Werkstoffes E= MPa, die Querkontraktionszahl ν=0,3. AUFGABE 6.3 Die Tensormatrix für den Formänderungszustand in einem Punkt P eines Maschinenbauteiles ist im x-y-z Koordinatensystem gegeben: Es ist die Tensormatrix für den Spannungszustand zu ermitteln! Der Elastizitätsmodul des Werkstoffes E= MPa, die Querkontraktionszahl ν=0,3. AUFGABE 6.4 Die Tensormatrix für den Formänderungszustand in einem Punkt P eines Maschinenbauteiles ist im x-y-z Koordinatensystem gegeben: 48

53 Zusammenhang zwischen Spannungszustand und Formänderungszustand. Das allgemeine Hookesche Gesetz. Es ist die Tensormatrix für den Spannungszustand zu ermitteln! Der Schubmodul des Werkstoffes G=77000 MPa, die Querkontraktionszahl ν=0,3. 49

54 Kapitel 7. Spezifische Verformungsenergie eines elastischen Körpers Bei einer elastischen Verformung wird die Arbeit der äußeren Kraftsystems (Belastungen im Körper als innere Energie gespeichert. Die Wirkung dieser Energie ist dann in der, durch die inneren Kräfte (Spannungen hervorgerufene elastische Deformation zu erkennen. Diese innere Energie wird dann als Verformungsenergie bezeichnet. Die Verformungsenergie kann in den Punkten des Körpers völlig unterschiedlich sein, da die Spannung und die Verformung für jeden Punkt nicht gleich betragen können. Deshalb ist es zweckmäßig den Begriff auf den Volumen - auf dem unendlich kleinen Volumenelement der Umgebung des Punktes P - bezogene Energiedichte einzuführen, weil damit die Veränderung der Verformungsenergie viel besser ausgedrückt werden kann. Die Energiedichte wird folgendermaßen interpretiert: (7.1 wo U die gespeicherte Verformungsenergie für den Volumen V. Die Energie kann üblicherweise aus einer Wirkung der Kraft und infolge der Kraft entstehende Verformung ermittelt werden. Die Tatsache soll beachtet werden, dass in der Elastizitätslehre der Zusammenhang zwischen Verformung und Kraft unbedingt linear ist, so die Kraft-Verformung Kennlinie jetzt selbstverständlich auch linear ist. Die Energie, die Fläche unter der Kraft-Verformung Kennlinie für reine Zugbelastung kann wie folgt errechnet werden: Abb. 7.1 Elastische Verformungsenergie (7.2 Das Ergebnis der Gleichung 7.2. soll mit dem Volumen des Probestabes V = Al dividiert werden, so erhält man die gleichmäßig verteilte Energiedichte im Werkstoff: 50

55 Spezifische Verformungsenergie eines elastischen Körpers Abb. 7.2 Die Energiedichte der Verformungsenergie (7.3 Analog für reinen Schub: (7.4 Die elastischen Wirkungen können summiert werden, so kann das Superpositionsprinzip verwendet werden, also die Energiedichte in einem Punkt P lässt sich für einen allgemeinen Fall aus der Gleichung 7.5. berechnen: (7.5 Um das Skalarprodukt zweier Tensoren zu definieren, soll das Skalarprodukt von Vektoren als Vorbild gewählt werden, in dem Prozess die gegenseitig entsprechenden Mitlieder erst multipliziert, dann die Produkte summiert werden, und die Operation für Tensoren wird mit zwei Punkten ( bezeichnet. Die damit interpretierte Energiedichte im Punkt P: (7.6 Anhand der Energiedichte die gespeicherte elastische Verformungsenergie für einen Körper: (7.7 Es soll das allgemeine Hookesche Gesetz zur Gleichung 7.6. eingesetzt werden so erreicht man das folgende Ergebnis: (

56 Spezifische Verformungsenergie eines elastischen Körpers (7.8 hier wurde auch verwendet, das. Nach die Gleichung 7.8. geklärt wurde: (7.9 Wenn der Matrix des Spannungstensors im Bezugssystem der Hauptspannungen bekannt ist, so die Energiedichte durch die Gleichung E=2G(1+ν ausgedrückt: (7.10 BEISPIEL 7.1 In einem Punkt P eines Maschinenbauteiles ist die Tensormatrix für den Spannungszustand und für den Formänderungszustand im x-y-z Koordinatensystem gegeben: und Es ist die spezifische Energiedichte für den Punkt P zu berechen! Die Energiedichte in einem Punkt P lässt sich für einen allgemeinen Fall durch das Skalarprodukt zweier Tensoren berechnen, ganz konkret durch das Skalarprodukt des Spannungstensors mit dem Formänderungstensor aus der Gleichung 7.6.: BEISPIEL 7.2 In einem Punkt P eines Maschinenbauteiles aus Stahl ist die Tensormatrix für den Spannungszustand im x-y-z Koordinatensystem gegeben: Es ist die spezifische Energiedichte für den Punkt P zu ermitteln! Der Elastizitätsmodul für Stahl E= MPa, die Querkontraktionszahl ν=0,3. Die Energiedichte kann aus der Tensormatrix des Spannungszustandes durch die Gleichung 7.9. berechnet werden: 52

57 Spezifische Verformungsenergie eines elastischen Körpers AUFGABE 7.3 In einem Punkt P eines Maschinenbauteiles ist die Tensormatrix für den Spannungszustand und für den Formänderungszustand im x-y-z Koordinatensystem gegeben: und Es ist die spezifische Energiedichte für den Punkt P zu berechen! AUFGABE 7.4 In einem Punkt P eines Maschinenbauteiles aus Aluminium ist die Tensormatrix für den Spannungszustand im x-y-z Koordinatensystem gegeben: Es ist die spezifische Energiedichte für den Punkt P zu ermitteln! Der Elastizitätsmodul für Aluminium E=70000 MPa, die Querkontraktionszahl ν=0,35. 53

58 Kapitel 8. Einachsiger Zugversuch. Zug und Druck gerader prismatischer Stäbe. 1. Die Spannungsanalyse. Die von einem Maschinebauingenieur konstruierten Maschinen und Bauteile sind durch äußeren Kräfte, und deren Beanspruchungen belastet. Der Werkstoff des Bauteiles wird vom Konstrukteur so gewählt, die Geometrie so bestimmt, dass der Bauteil für die Belastungen tragfähig bleibt. Wenn der Bauteil nur durch zwei Gleichgröße aber entgegenrichtete Kräfte gemeinsamer Wirkungslinie belastet ist, dadurch wird Zug-, oder Druckbeanspruchung verursacht. Wenn der Richtungssinn der Kräfte voneinander gerichtet ist, dann wird im Stab eine Zugbeanspruchung hervorgerufen (nach Vereinbarung das wird als positiv behandelt, wenn die Kräfte aufeinender gerichtet sind so ist eine Druckbeanspruchung verursacht, die als negativ betrachtet wird. Die Zug-, oder die Druckbeanspruchung kommt am meistens durch die Belastung von Stäben vor. Reiner Zug oder Druck entsteht erst dann, wenn die Wirkungslinie der Kräfte mit der Stabachse identisch ist. Die Stabachse wird durch die Schwerpunkte der einzelnen Querschnitte geführt, deswegen wird die Zug- oder Druckbeanspruchung häufig auch als Normalbeanspruchung bezeichnet. Diese Art von Zug- oder Druckbeanspruchung wird als mittiger oder zentrischer Zug genannt. Wenn die Wirkungslinie der Normalkraft durch den Schwerpunkt auf die Stabachse orthogonal gerichteten Querschnittes geführt wird, die Intensität der dadurch hervorgerufene verteilten Kraft, oder der Spannung in jeden Punkt des Querschnittes konstant beträgt, und deren Resultierende im Schwerpunkt angreift. Es soll ein durch in der Stabasche gerichtete Zugkräfte belasteter, prismatischer Stab untersucht werden: Abb. 8.1 Untersuchung eines Zugstabes Die Gleichgewichtsgleichung des zerlegten Stabes auf die rechte Stabhälfte: (8.1 Da die Zugkraft F im Schwerpunkt des Querschnittes des prismatischen Stabes angreift, die Spannung σ z im Querschnitt konstant beträgt, also σ z kann vor das Integralzeichen geschrieben werden: dass heißt (8.2 (8.3 54

59 Einachsiger Zugversuch. Zug und Druck gerader prismatischer Stäbe. Außer der Spannung σ z werden infolge der Kraft F keine weitere Spannungen hervorgerufen, so der Matrix des Spannungstensors (theoretisch in allen Punkten des Stabes: (8.4 Die Spannung σ z ist gleichzeitig auch Hauptspannung. Der Mohrsche Spannungskreis für den Spannungszustand bei Zugbeanspruchung: Abb. 8.2 Mohrsche Spannungskreis eines Zugstabes Der Mohrsche Spannungskreis für den Spannungszustand bei Druckbeanspruchung: Abb. 8.3 Mohrsche Spannungskreis eines Druckstabes 55

60 Einachsiger Zugversuch. Zug und Druck gerader prismatischer Stäbe. Animation 4: Einachsiger Zug, Darstellung der Kontraktion 2. Analyse der Verformung Aufgrund des allgemeinen Hookeschen Gesetzes aus der Gleichung kann der Formänderungstensor ermittelt werden: (8.5 also die spezifischen Dehnungen (gleichzeitig Hauptdehnungen: (8.6 und 56

61 Einachsiger Zugversuch. Zug und Druck gerader prismatischer Stäbe. ( Die elastische Verformungsenergie Die Berechnung der elastischen Energiedichte mittels der Hauptspannungen aus der Gleichung 7.10.: (8.8 Da σ 1 = σ z und σ 2 = σ 3 = 0, damit die Gleichung 8.8.: (8.9 Durch einsetzen, dass beträgt, erhält man die folgende Gleichung: (8.10 Die Energiedichte (u ist in allen Punkten des Zugstabes konstant, dementsprechend für das Gesamtvolumen des Stabes kann die gespeicherte Energie mit der Gleichung 7.7. ermittelt werden: (8.11 BEISPIEL 8.1 Es ist für einen auf reinen Zug beanspruchten Stab (Abb. 8.4 die Dehnung ε n in die Richtung des Einheitsvektors n sowie die Winkeländerung γ n in die, auf n orthogonale Richtung m zu ermitteln! Der Elastizitätsmodul des Werkstoffes E= MPa, die Querkontraktionszahl ν=0,3. Die Querschnittsfläche des Stabes A=125 mm 2, und die Zugkraft F=14 kn beträgt. Abb. 8.4 Die Koordinatenachsen des Bezugssystems x-y-z bedeuten gleichzeitig die Hauptachsen. Für reinen Zug die Normanspannung in z Richtung (8.3.: Die Dehnungen in den Hauptrichtungen sind die eigentlichen die Hauptdehnungen (8.6-7.: 57

62 Einachsiger Zugversuch. Zug und Druck gerader prismatischer Stäbe., und Die Matrix des Formänderungszustandes für den Punkt P: Der Einheitsvektor in die Richtung n sowie der Einheitsvektor m in die, auf n orthogonale Richtung: und Der zu dem Normalen n gehörende Formänderungsvektor: Die auf der Ebene n orthogonal gerichtete Komponente des Formänderungsvektors: Die Winkeländerung γ n in die Richtung des Einheitsvektors m : BEISPIEL 8.2 Zwei Gleichgröße Kupferrohre werden bis zur Aufstützen durch eine Schraubenverbindung aufeinender bewegt (Abb Erst dann wird die Schraubenverbindung gespannt, also die Schraubenmutter wird um einer Umdrehung gedreht. Es ist die Spannung im Rohr, bzw. in der Schraube zu ermitteln! Die Länge der Schraubenverbindung l=80 mm, die Ganghöhe m=1 mm beträgt. Der Elastizitätsmodul der Schraube E 1= MPa, die Querschnittsfläche A 1=150 mm 2. Der Elastizitätsmodul des Rohres E 2=70000 MPa, die Querschnittsfläche A 2=450 mm 2. Die durch das Gewinde hervorgerufene Durchmesserveränderung und die Dicke der Unterlage soll vernachlässigt werden. 58

63 Einachsiger Zugversuch. Zug und Druck gerader prismatischer Stäbe. Abb. 8.5 Nach der Spannung der Schraubenverbindung wird die Lange l infolge der Längskraft um Δl 1 kürzer, also wird das Rohr zusammengedruckt, und die Schraube infolge der Spannkraft um Δl 2 verlängert wird. Die veränderten Längen für die Schraube und für das Rohr gleich sind. Aus dem Hookeschen Gesetz: dass heißt beziehungsweise Es soll aus den beiden Gleichungen die Längsveränderung ausgedrückt, und in den obigen Zusam-menhang eingesetzt werden, so erhält man für die Gewindesteigung: Daraus die Spannkraft in der Schraubenverbindung: Die Spannung in der Schraube und im Rohr: AUFGABE 8.3 beziehungsweise Zwei Stäbe der eine aus Stahl und der andere aus Aluminium Gleichgrößer Querschnitt, aber verschiedener Länge werden aufeinander zwischen zwei paralleler, unendlich Steifen Wandflächen angepasst (Abb. 8.6, und dann wird das Temperatur beider Stäbe um ΔT=50K erhöht. Es ist die Kraft in den Stäben zu ermitteln! Der Elastizitätsmodul für Stahl E 1= MPa, die lineare Wärmedehnzahl α 1=1, K -1, die Länge des Stahlstabes l 1=0,4 m. Der Elastizitätsmodul für Aluminium E 2=70000 MPa, die lineare Wärmedehnzahl α 2=2, K -1, die Länge des Aluminiumstabes l 2=0,7 m. 59

64 Einachsiger Zugversuch. Zug und Druck gerader prismatischer Stäbe. Abb

65 Kapitel 9. Eigengewicht als Belastung und Stäbe gleicher Festigkeit. Die Formänderungsenergie. Bei der Analyse von Zug- und Druckspannungen findet man auch spezielle Lösungen für die Festigkeitsprobleme. Ein solches Problem ist der durch Eigengewicht beanspruchter Stab, bei dem die Zugund Druckspannungen auch unter Berücksichtigung der Eigenmasse ermittelt werden. 1. Durch Eigengewicht belasteter Stab. Die senkrecht angeordneten Stäbe werden - demnach wie sie eingespannt sind - durch das Eigengewicht auf Zug oder auf Druck beansprucht. So bedeutet das Eigengewicht eine zusätzliche Beanspruchung für das Tragwerk. Der Stab ist an dem oberen Ende eingespannt (Abb. 9.1 und auch durch eine Einzelkraft F sowie durch sein Eigengewicht belastet. Es ist die Zugbeanspruchung unter Berücksichtigung der Eigenmasse zu ermitteln! Abb. 9.1 Eigengewicht und Zugkraft F belastete Stab und die dadurch hervorgerufenen Spannungen Die Zugspannung am Ende des Stabes (nur aus der äußeren Belastung: (9.1 Die Zugspannung im Querschnitt K (aus der äußeren Belastung + aus der Eigengewicht: (9.2 wo ρ die Dichte des Werkstoffes des Stabes, g die Erdbeschleunigung, und G z das Gewicht des Stabteiles der Länge z bedeutet. Die Zugspannung in der Einspannung (die maximale Spannung an der Stelle z=l : (9.3 61

66 Eigengewicht als Belastung und Stäbe gleicher Festigkeit. Die Formänderungsenergie. Da der Stab prismatisch, dementsprechend dessen Querschnitt konstant ist, so kann die Veränderung der Spannung entlang der Stabachse durch eine lineare Funktion beschrieben werden. Die Dehnung für ein elementares Stabelement der Koordinate z und der Länge dz: (9.4 Nach Neuordnung der Gleichung 9.4 und statt σ der Zusammenhang 9.2. einzusetzen: (9.5 Die gesamte Längsveränderung des Stabes erhält man aus dem Summengrenzwert der elementaren Stabteile: (9.6 Für Faden, Drahte ist es ein sehr wichtiger Kennwert, die sogenannte Reißlänge (Lr. Sie bedeutet diese Länge bei der die Draht ohne äußere Belastung, dass heißt, für (σ 0=0 beziehungsweise F=0 bereits infolge sein Eigengewicht zerreißt. (9.7 (9.8 (für Baumwollgarn km, für Baumwolle km 2. Der Stab gleicher Festigkeit. Ein Stab kann erst dann als ein Stab gleicher Festigkeit betrachtet werden, wenn in allen Querschnitten die gleiche Spannung vorhanden ist. Das zu erzielen soll der Stab entlang der Längsachse mit variablen Querschnitten gestaltet werden. Die Anstrebung um eine Gestaltung gleicher Festigkeit zu erhalten ist durch ökonomischen und auch durch sinnvollen Dimensionierungsmethoden entstanden, darüber sind auch ästhetische Vorstellungen erzielt werden. Für Zug- und Druckbelastung kann die Form eines Stabes gleicher Festigkeit durch eine logarithmische Funktion beschrieben werden. So ein Stab gleicher Festigkeit stellt die Abbildung 9.2 dar. 62

67 Eigengewicht als Belastung und Stäbe gleicher Festigkeit. Die Formänderungsenergie. Abb. 9.2 Durch Einzelkraft F und durch Eigengewicht belasteter Stab gleicher Festigkeit. Durch die Einzelkraft hervorgerufene Spannung im Stab: (9.9 Die Spannung im Querschnitt an der Stelle z: (9.10, dass heißt (9.11 Die Spannung im Querschnitt an der Stelle z+δz: (9.12, dass heißt (9.13 Aus der Gleichung 9.4. und 9.5. erhält man: (9.14 Da da dz 0, so kann die Gleichung folgendermaßen geschrieben werden: (9.15 Nach Neuordnung und Durchführung der Integralrechnung 63

68 Eigengewicht als Belastung und Stäbe gleicher Festigkeit. Die Formänderungsenergie. (9.16 (9.17 (9.18 (9.19 Aus der Gleichung 9.9. kann statt A 0 (9.20 geschrieben werden. Damit haben wir die Gleichung für den Stab gleicher Festigkeit erhalten. Da die Spannung konstant ist laut des Hookeschen Gesetzes muss auch die Dehnung konstant sein. (9.21 Die Verlängerung des Stabes: ( Die Formänderungsenergie Die Energiedichte: (9.23 Da für der Stab - demnach wie er eingespannt sind - entweder aus Zug oder Druck belastet wird σ 1=σ z und σ 2=σ 3=0, darum (9.24 In die Gleichung einzusetzen erhält man, dass, und so 64

69 Eigengewicht als Belastung und Stäbe gleicher Festigkeit. Die Formänderungsenergie. (9.25 Die gesamte Energie für das gesamte Volumen V: (9.26 BEISPIEL 9.1 Ein Stab mit dem Rechteckquerschnitt von 20 mm 40 mm wird ins Wasser getaucht, und bleibt im Flüssigkeit frei aufgehängt. In welcher Tiefe darf das Ende des Stabes ins Wasser eindrängen, wenn die zulässige Spannung σ zul = 50 MPa gegeben ist? Die spezifische Masse für den Rechteckquerschnitt q=12 kg/m, die Dichte des Werkstoffes ρ=7850 kg/m 3 beträgt. Der Querschnitt des Stabes: A = 20 mm 40 mm= 800mm 2 Die maximale zulässige Belastung des Stabes: F zul=a σ zul=800 mm 2 50 MPa= N Die Auftriebskraft für einen ins Wasser getauchten Stabes kann so ermittelt werden, dass man das Gewicht des Stabes durch einen, aus den Dichten erstellten Koeffizienten korrigiert. So die Gewichtskraft für 1 m ins Wasser getauchten Stabes F Gew=k q g=0, kg/m 9,81 m/s 2 =102,651N/m Daraus kann die Länge des Stabes im Wasser ermittelt werden AUFGABE 9.2 Es ist die Reißlänge L r für einen Draht aus Stahl zu bestimmen wenn die Zugfestigkeit sowie die Dichte des Werkstoffes vorhanden sind: σ zul = 1600 MPa und ρ = 7, kg/m 3! AUFGABE 9.3 Ein Brückenpfeiler der Höhe von h=25 m muss für eine Belastung F= N dimensioniert werden, unter Einbeziehung des Eigengewichtes. Wie viel m 3 Mauer wird benötigt wenn der Brückenpfeiler a, aus eine einzige Säule gebaut wird (V=? 65

70 Eigengewicht als Belastung und Stäbe gleicher Festigkeit. Die Formänderungsenergie. b, aus zwei Gleichgröße Säulen verschiedener Querschnitte aufgemauert wird (V 1=?, V 2=? σ zul = 150N/cm 2, γ= N/cm 3. 66

71 Kapitel 10. Die Scher- und die Biegebeanspruchung. Schubspannungen in einem Biegestab. 1. Die Beanspruchung durch eine Querkraft Falls ein prismatischer Stab (oder ein Stabelement gerader Stabachse in einem ausgewählten Querschnitt durch zwei, in der Querschnittsebene, durch den Schwerpunkt gegeneinander gerichteten Einzelkräfte belastet wird, dann ist die Beanspruchung des Stabes (oder des Stabelementes reiner Schub. Diese Einzelkräfte beziehungsweise durch ihre Wirkung, dass heißt die dadurch hervorgerufenen Schubspannungen τ in der Querschnittsebene wollen die parallelen Querschnitte aufeinender verschoben. Abb Symbolische Darstellung der Querkraft (10.1 Es wird vorausgesetzt, dass die Verteilung der Schubspannung in der Querschnittsebene gleichmäßig, dass heißt τ = konstant ist, so kann die Schubspannung aus der Gleichung ausgedrückt werden: (10.2 Reiner Schub kommt in der Praxis sehr selten vor. In allgemeinen taucht gleichzeitig mit Biegung auf, und entsteht durch das Moment eines Kräftepaares, das die voneinander entfernten Querkräfte verursachen. Wenn die so entstandene Biegung zu klein ist, braucht man gar nicht berücksichtigen. 67

72 Die Scher- und die Biegebeanspruchung. Schubspannungen in einem Biegestab. Abb Reiner Schub an einem Quader und der Mohrsche Kreis des Spannungszustandes Die Abbildung 10.2.a. stellt an einem, aus dem auf Schub beanspruchten Teil herausgeschnittenem Quader dar. Den dazu gehörenden Mohrschen Kreis enthält die Abbildung 10.2.b. Da die Schubspannungen in zwei senkrecht aufeinander stehenden Schnitten gleich sind, nennt man sie einander zugeordneten Schubspannungen, also τ xy=τ yx. In der dritten Ebene tritt es keine Spannung auf. Die Matrix des Spannungstensors: Die Hauptspannungen können aus dem Mohrschen Kreis (Abb b. oder aus der charakteristischer Gleichung ermittelt werden. Wird ein ebener Spannungszustand analysiert, so σ x=σ y=0. (10.3 Zur Dimensionierung für reinen Schub soll nach der Zusammenhang (10.4 verwendet werden. 2. Die Biegebeanspruchung Wenn ein prismatischer Stab (oder ein Stabelement gerader Stabachse in einem ausgewählten Querschnitt in der zur Querschnittsebene orthogonal gerichteten Ebene durch Kräftepaare belastet wird, dann nennt man die Beanspruchung des Stabes (oder des Stabelementes Biegung. Falls der Stab ausschließlich nur Biegebeanspruchung unterliegt, wird die Beanspruchung als reine Biegung bezeichnet. Wenn alle Kräfte und Kräftepaare in der Symmetrieebene des Biegestabes wirken, so nennt man dieser Fall als gerade Biegung. Sollen die beiden vorherigen Voraussetzungen gleichzeitig erfüllt werden, so erhalten wir für den Stab als Beanspruchung die reine gerade Biegung. 68

73 Die Scher- und die Biegebeanspruchung. Schubspannungen in einem Biegestab. Bei der Analyse durch die Belastungen hervorgerufener Spannungen und Verformungen sollen die Hypothesen von Jacob Bernoulli und Navier für die Biegebeanspruchung eingesetzt werden. Es ist für uns wichtig zu wissen, dass die Schwerpunktachse des Stabes in Längsrichtung die geometrische Achse bedeutet, die dann die einzelnen Querschnitte in ihrer Schwerpunkte S trifft (Abb Die Hypothesen von Jacob Bernoulli und Navier: Abb Reine gerade Biegung eines eingespannten Balkens. - Die auf die Stabachse orthogonalen Ebenen bleiben auch nach der Biegung Ebenen und mit sich zusammenfallend; - Die geometrische Achse des Stabes und die damit parallelen Ebenen (Fasern nach der Krümmung des Stabes bleiben orthogonal zur Ebenen der verdrehten Querschnitte. Abb Theoretische Formänderung eines Biegestabes Es soll ein Stabelement der Länge dz eines homogenen, isotropischen prismatischen Stabes gerader Stabachse unter Verwendung statischer Gleichgewichtsgleichungen analysiert werden! Auf die eine Seite (auf die linke Seite des ausgewählten Stabelementes wird die äußere Belastung das Kräftepaar M, auf die andere Seite (auf die rechte Seite zur Flächenelement da gehörende elementare Kraft df aufgetragen (Abb

74 Die Scher- und die Biegebeanspruchung. Schubspannungen in einem Biegestab. Abb Analyse des Stabelementes dz eines Biegestabes mittels statischer Gleichgewichtsgleichungen Die Gleichgewichtsgleichung in der z Richtung: (10.5 Die Momentengleichgewichtsgleichungen: - um die Achse y: ( um die Achse x: (10.7 Es soll das Hookesche Gesetz eingesetzt werden, und statt ε kann auch man geschrieben werden, so erhält (10.8 ρ bedeutet hier der Krümmungsradius, und ε die Dehnung. Die Gleichung soll auch in den Zusammenhang eingetragen werden: (10.9 wo das Flächenträgheitsmoment bedeutet. 70

75 Damit Die Scher- und die Biegebeanspruchung. Schubspannungen in einem Biegestab. (10.10 Unter Verwendung der Gleichung kann auch der Zusammenhang zwischen dem Krümmungsradius und der Spannung ausgedrückt werden: (10.11 Daraus die Biegespannung: (10.12 Dieser Zusammenhang wird für reine, gerade Biegung als Naviersche Formel genannt. Da für einen bestimmten Querschnitt das Biegemoment M und das Flächenträgheitsmoment I x konstant sind, so hängt die Spannung nur von der y Koordinate, von der Entfernung von der Achse x ab. Für die Achse x gilt y=0, also die Spannung beträgt hier ebenso Null. Dementsprechend wird die Achse x auch als neutrale Achse (oder als Biegungsachse bezeichnet. Entlang der Achse y weist die Spannung σ eine lineare Verteilung auf, im Bereichen zur gleichen Koordinaten y werden auch die gleiche Spannungswerte zugeordnet. Abb Die lineare Verteilung der Normalspannung σ im Querschnitt Zur Dimensionierung auf Biegung dient also die folgende Grundgleichung: 3. Schubspannungen in einem Biegestab (

76 Die Scher- und die Biegebeanspruchung. Schubspannungen in einem Biegestab. Es wurde bei der Analyse der Wechselwirkung zwischen den Beanspruchungen Schub und Biegung der Zusammenhang eingesetzt. Daraus folgt, dass erst dann kann eine reine Biegung vorhanden sein, wenn das Moment (M Konstant ist, beziehungsweise die Querkraft (F T Null beträgt. Bei Tragwerken kommt es ein konstantes Moment sehr selten vor, deswegen fast immer auch eine Querkraft als Beanspruchung gleichzeitig mit der Biegebeanspruchung berücksichtigt werden muss. Soll zur Spannungsanalyse ein Querschnitt des durch Streckenlast belasteten Balkens (Abb gewählt werden, deren Koordinate vom Lager A eben z beträgt. Die Beanspruchungen des Querschnittes: M,F T. Die Beanspruchungen des Querschnittes für die Koordinate z+dz: M+dM und F T + df T. Das Stabelement der Breite dz wurde aus dem Balken entnommen, und auf der Abb dargestellt. Die Belastungen der Seitenflächen des extra aufgezeichneten Stabelementes sind durch die Normalspannung (σ und durch die Schubspannung (τ belastet. Abb Die Beanspruchungen für die Querschnitte der Koordinaten z und z+dz eines durch Streckenlast belasteten Balkens Es soll die Naviersche Formel ( nach z abgeleitet, dann werden, so erhält man: in die Gleichung eingesetzt (10.14 F Schub Als nächster Schritt soll dieses elementares Stabelement mit einer zur Achsen z-x parallele Ebene in einer Koordinate η von der Achse x durchgeschnitten werden. Der untere Teil des Quereschnittes, mit der Dicke e-η enthält die Abb c. Nun soll das Gleichgewicht dieses Teiles analysiert werden. Da die Schubspannungen zugeordnete Spannungen sind, auf der Seitenfläche und auf der Oberfläche beträgt die Schubspannung das gleiche. 72

77 Die Scher- und die Biegebeanspruchung. Schubspannungen in einem Biegestab. Abb Analyse eines elementaren Stabelementes für gleichzeitige Biegung und Schub (10.15 Die Gleichgewichtsgleichung in der z Richtung: (10.16 Beide Seiten dividiert mit dz erhält man: (10.17 Statt aus der Gleichung erhält man: (10.18 Der physische Inhalt des Integralausdruckes bedeutet das statische Moment des schraffierten Teiles (Abb b. in Bezug auf die Schwerpunktsachse x: (10.19 und so kann bereits die Schubspannung ausgedrückt werden: (10.20 Dieser Zusammenhang wird als Zsuravszkij Formel genannt. Der Parameter s in der Gleichung bedeutet die Breite des Querschnittes für die untersuchte Koordinate. Eine interessante Bemerkung: wo im Querschnitt durch einen plötzlichen Sprung die Abmessung der Breite verkleinert wird, dadurch wird die Schubspannung τ auch sprungweise erhöht. Diese Feststellung ist logischerweise auch umgekehrt gültig. 73

78 Die Scher- und die Biegebeanspruchung. Schubspannungen in einem Biegestab. Abb Die Auswirkung plötzlicher Veränderung der Querschnittbreite auf die Schubspannung τ. Um einen erfolgreichen Festigkeitsnachweis für die Konstruktion zu erzielen, müssen für den untersuchten Querschnitt gleichzeitig beiden Voraussetzungen erfüllt werden, also (10.21 Daraus folg, dass der Festigkeitsnachweis der Konstruktion auch im Querschnitt der maximalen Biegespannung und auch im Querschnitt für die maximale Schubspannung durchgeführt werden muss! BEISPIEL 10.1 Es sind die Schubspannungen für die charakteristischen Stellen des skizzierten Querschnittes (Abb zu bestimmen, wenn F=83,2kN beträgt! Aufgrund der Zsuravszkij Formel: Abb wo F die Belastungskraft bedeutet: F = 83,2kN Das Flächenträgheitsmoment des Querschnittes I x : 74

79 Die Scher- und die Biegebeanspruchung. Schubspannungen in einem Biegestab. Das statische Moment S x der Fläche über der Koordinate der Schubspannung auf die Schwerpunktsachse S sx=30mm 120mm 15mm = mm 3 über der Koordinate des Punktes C : S c'x=40mm 40mm 30mm = mm 3 unter der Koordinate des Punktes C : S c,x=40mm 40mm 30mm = mm 3 Die Wandstärke s für die aktuelle Koordinate: für die Koordinate des Schwerpunktes: s s = 120 mm über der Koordinate des Punktes C : S c'= 40mm unter der Koordinate des Punktes C : S c,= 120mm Die bisherigen Ergebnisse führen zur Schubspannungen für die ausgewählten Koordinaten: Die Schubspannung im Schwerpunkt: über der Koordinate des Punktes C : unter der Koordinate des Punktes C : 75

80 Die Scher- und die Biegebeanspruchung. Schubspannungen in einem Biegestab. Abb AUFGABE 10.2 Es ist für die skizzierte doppellasche Nietverbindung (Abb die notwendige Nietenzahl und die Breite (x für die Nietverbindung zu ermitteln, wenn die Plattenstärken bekannt sind und der Durchmesser der Niete 20 mm beträgt! σ zul=210mpa, τ zul=90mpa. AUFGABE 10.3 Abb Es ist für den skizzierten Balken die beiden Lagerkräfte zu ermitteln, die Schnittgrößenverläufe für die Beanspruchungen sind aufzuzeichnen, die maximale Biegspannung und Schubspannung sind zu berechnen sowie deren Koordinaten sind zu bestimmen! Es ist weiterhin auch für den Punkt P des Querschnittes K die Normalspannung und die Schubspannung zu ermitteln! F 1=10 kn, F 2=12 kn, q=6 kn/m. Abb

81 Kapitel 11. Durchbiegung, Spannungszustand und Verformungsenergie von Balken. Schiefe Biegung. 1. Durchbiegung von Balken Im Kapitel 10 wurde bereits die Gleichung für einen Biegestab gezeigt, in der Zusammenhang zwischen Krümmungsradius (ρ und Biegemoment (M enthalten ist. Es soll dieser Zusammenhang erneut gezeigt werden, weil für uns zur Analyse der Balkenbiegung den Ausgangspunkt bedeutet. (11.1 In der analytischen Geometrie wird ρ dann als positiv betrachtet, wenn man die Kurve in positiver Richtung der Achse z folgt, und sich der Krümmungsmittelpunkt vom Beobachter nach links befindet (Abb , wo g die Krümmung bedeutet. Abb Verformung eines Biegestabes 77

82 Durchbiegung, Spannungszustand und Verformungsenergie von Balken. Schiefe Biegung. Animation 5: Durchbiegung eines Balkenträgers Da ein positives Moment +M von links eine negative ρ verursacht, dementsprechend muss ein Vorzeichenwechsel durchgeführt werden: (

83 Durchbiegung, Spannungszustand und Verformungsenergie von Balken. Schiefe Biegung. Animation 6: Durchbiegung eines Einfeldbalkens Die Abb enthält einen eingespannten Balkens sowie die geometrischen Parameter, die zur Bestimmung der Verformung notwendig sind. Abb Verformung eines eingespannten Balkens Einer davon ist der Neigungswinkel der Tangenten (φ, und er wird dann positiv, wenn deren Winkel gegen Uhrzeigersinn gerichtet ist. 79

84 Durchbiegung, Spannungszustand und Verformungsenergie von Balken. Schiefe Biegung. Der zweite Parameter heißt Verschiebung (y. Dafür ist das Vorzeichen einfach zu ermitteln: nach oben ist sie positiv zu betrachten, aber nach unten wird sie negativ. Die Verschiebung kann durch die Funktion angegeben werden. Nach Ableitung dieser Funktion erhält man den Neigungswinkel der Tangenten, oder kurz die Neigung: (11.3 Für kleinen Winkel kann die Annäherung tgφ=φ eingesetzt werden. Für die Ingenieurpraxis reicht diese Genauigkeit aus, da für die Konstruktionen und Tragwerke nur kleine Verformungen erlaubt werden. Nach der erneuten, zweiter Ableitung nach z der Gleichung 11.3.: (11.4 Es wurde die Differentialgleichung der elastischen Biegelinie erstellt. Die Neigung der Balken nach der Gleichung ( Die Verformungsenergie des Biegestabes Die spezifische Verformungsenergie kann für den Biegestab mittels der Normalspannung σ ermittelt werden: (11.6 In der Gleichung σ die Normalspannung und ε die Dehnung bedeuten. Die beiden Größen sind als zur Stabachse gerichtete Koordinaten zu verstehen. Für die Dehnung (ε siehe die Gleichung (5.2.. In einem elementaren Volumenelement dv=da dz speicherte Verformungsenergie aus der Gleichung 11.6.: (11.7 Nach einsetzen der Zusammenhang erhalten wir: (11.8 Die Verformungsenergie für einen Stab der Länge l : (

85 Durchbiegung, Spannungszustand und Verformungsenergie von Balken. Schiefe Biegung. (Der Ausdruck in eckigen Klammern bedeutet praktisch das Flächenträgheitsmoment! Wenn das Moment M keine stetige Funktion der Koordinate z ist, so kann die Integralrechnung für einzelnen Bereich nur schrittweise durchgeführt werden. Dieser Zusammenhang - zuletzt als wurde bereits mehrmals eingesetzt: (11.10 Aus den zwei letzten Gleichungen folgt, dass die Verformungsenergie: (11.11 und Also die Arbeit auf den Balken wirkenden Momenten mit der Verformungsenergie gleich sind. ( Reine, gerade Biegung prismatischer Stäbe (11.13 Bei Biegebeanspruchungen wird das Stabelement durch zur Querschnittsebenen orthogonal gerichteten Ebene wirkende Kräftepaare belastet. Es werden homogene Beanspruchungen untersucht, dass heißt außer Biegung gibt es keine andere Beanspruchung. Die Spannungsmatrix kann folgender Form erstellt werden: (11.14 Es handelt sich um dann gerade Biegung, wenn der Momentvektor des wirkenden Kräftepaars einer der Hauptträgheitsachsen des Querschnittes zusammenfällt. Die Normalspannung für den Punkt der Koordinate y: (11.15 wo M das Biegemoment, I x das Flächenträgheitsmoment auf die Schwerpunktsachse bedeutet. M und y müssen in der Gleichung vorzeichengerecht eingesetzt werden, und dadurch wird auch das Vorzeichen für die Normalspannung (σ erstellt. 81

86 Durchbiegung, Spannungszustand und Verformungsenergie von Balken. Schiefe Biegung. Für einen Biegestab gerader Stabachse, belastet durch das Moment M wird Vorausgesetzt, dass die Belastungsebene die senkrechte x, y Ebene ist. Die Auslegung des Querschnittes kann Vernachlässigt werden. Es wird weiterhin noch Vorausgesetzt, dass die Verformung elastisch ist, also das Hookesche Gesetz dafür verwendet werden kann. Die Querschnitte bleiben auch nach der Verformung Ebenen (siehe Kapitel Schiefe Biegung Es handelt sich um dann schiefe Biegung, wenn der Momentvektor des wirkenden Kräftepaars keiner der Hauptträgheitsachsen des Querschnittes zusammenfällt. Soll das Prinzip der Superposition eingesetzt werden, so kann die schiefe Biegung jederzeit zur Summe zwei gerader Biegungen zurückgeführt werden. Zur Ermittlung der Spannungen steht uns der folgende Zusammenhang zur Verfügung: (11.16 M 1 und M 2 sind die Komponente des Momentes M in den Hauptrichtungen 1 und 2 sowie I 1 und I 2 die Hauptträgheitsmomente bedeuten. Mit dem Winkel (α zwischen Momentvektor und Hauptrichtung 1: M 1=M cosα und M 2=M sinα BEISPIEL 11.1 Abb Erklärung zur schiefen Biegung Es ist der Festigkeitsnachweis für den skizzierten Biegestab (Abb durchzuführen, wenn das Biegemoment 8 knm und die zulässige Spannung σ zul=180mpa beträgt. Es soll auch der Krümmungsradius ermittelt werden! (E=210 GPa Es handelt sich um eine Aufgabe der geraden Biegung, weil der Querschnitt symmetrisch ist, und das Biegemoment auch in der Symmetrieebene wirkt. 82

87 Durchbiegung, Spannungszustand und Verformungsenergie von Balken. Schiefe Biegung. Abb Die Schwerpunktlage: Das Flächenträgheitsmoment des Querschnittes I x : Die maximalen Zug- und Druckspannungen in den Randfasern: Da der Balken hat den Festigkeitsnachweis für Biegung bestanden. Den Krümmungsradius erhält man: AUFGABE 11.2 Es ist das maximale Biegemoment für den skizzierten Balkenträger aus Profilstahl I 260 (Abb zu ermitteln, wenn die Belastung durch eines Rades der Laufkatze in der ungünstigsten Laststelle bei l = 1,4 m mit F=50 kn beträgt! Es ist der Festigkeitsnachweis durchzuführen, wenn die zulässige Spannung σ zul=180mpa! Es soll auch der Krümmungsradius für den Balken ermittelt werden! (E=210GPa 83

88 Durchbiegung, Spannungszustand und Verformungsenergie von Balken. Schiefe Biegung. Abb AUFGABE 11.3 Es ist die Verformungsenergie (die Arbeit des Biegemomentes für den skizzierten Balkenträger aus Profilstahl I 260 (Abb zu ermitteln, wenn die Belastung durch eines Rades der Laufkatze in der ungünstigsten Laststelle bei l = 1,4 m mit F=50 kn beträgt! (E=210GPa Abb

89 Kapitel 12. Beanspruchung durch Torsion. Torsion dünnwandiger Rohre. Torsion für Stäbe mit Kreis und- Kreisringquerschnitt. Verformungsenergie für Torsion. Wenn ein prismatisches Stabelement durch solchen Kräftepaare belastet wird, deren Ebene zur Querschnittsebenen parallel gerichtet ist, wird die Beanspruchung Torsion bezeichnet. Daraus folgt, dass der Vektor des Torsionsmomentes zur Querschnittsebenen orthogonal steht. Das Moment, durch die Torsionsbeanspruchung hervorgerufen wurde, wird T Torsionsmoment genannt. Für einen allgemeinen Querschnitt können die Spannungen und die Verformungen infolge der Torsion sündhaft kompliziert ermittelt werden, deswegen wird hier die Analyse nur für die Querschnitte Kreis und Kreisring vorgeführt. Zuletzt werden einige Zusammenhänge für Torsion dünnwandiger Rohre mitgeteilt. 1. Torsion für Stäbe mit Kreis und- Kreisringquerschnitt Die Abbildung 12.1 stellt ein Stabelement der Breite dz eines Kreisquerschnittes dem Radius r dar. Die Grenzflächen des Stabelementes werden durch zwei Gleichgrosse aber gegeneinander gerichtete Torsionsmomente T belastet. Abb Verformung eines zylindrischen Stabes infolge Torsionsbeanspruchung Die Querschnitte werden um den Stabachse verdreht, aber ihre Geometrie bleibt unverändert, dass heißt sie bleiben mit sich zusammenfallend. 85

90 Beanspruchung durch Torsion. Torsion dünnwandiger Rohre. Torsion für Stäbe mit Kreis und- Kreisringquerschnitt. Verformungsenergie für Torsion. Bei Torsion für Stäbe mit Kreis- und Kreisringquerschnitt wird der Querschnitt nur um die Achse z verdreht, dementsprechend alle andere Verschiebungen Null betragen. Es soll das Gleichgewicht einer Scheibe der Dicke dz analysiert werden (Abb Abb Spannungs- und Verformungsanalyse für ein Stabelement der Dicke dz Es werden nur die relativen Verschiebungen untersucht, deswegen wird Angenommen, das der Querschnitt an der einen Seite - an der Abbildung der Querschnitt links bewegt sich nicht, und es wird nur in der rechten Seite eine Verdrehung um dφ in der Querschnittsebene hervorgerufen. Die mit der Stabachse ursprünglich parallele Mantellinie AA 1 wird zur Stabachse z um einen Winkel von γ verdreht. Die Bogenlänge kann durch zwei verschiede Weise erstellt werden: und daraus (12.1 (12.2 Der Querschnitt wird als eine Einheit verdreht, so Radius größer., also der Winkel γ wird gleichzeitig mit dem Auf Basis des Hookeschen Gesetzes: (12.3 In der Gleichung G und Ebene. Konstante, der Winkel γ befindet sich in einer, auf dem Radius orthogonaler Es kann festgelegt werden, dass die Schubspannungen (τ die im beanspruchten Querschnitt entstehen, mit dem Radius ρ in linearem Zusammenhang, und darauf orthogonal gerichtet sind. 86

91 Beanspruchung durch Torsion. Torsion dünnwandiger Rohre. Torsion für Stäbe mit Kreis und- Kreisringquerschnitt. Verformungsenergie für Torsion. Im Querschnitt werden keine Normalspannungen hervorgerufen. Daraus folgt, dass das Torsionsmoment mit der Resultierende der Schubspannungen gleich ist. Soll für den Kreisquerschnitt (siehe Abb die Formänderungsgleichung des tordierten Stabes aufgrund der Momentengleichgewichtsbedingung konstruiert werden. Abb Querschnitt eines durch Torsionsmoment T belasteten Stabes Das elementare Moment des Flächenelementes ΔdA: (12.4 Die Momentengleichgewichtsgleichung: (12.5 Aus der Gleichung soll τ eingeschrieben werden: (12.6 (12.7 In dem Zusammenhang ist es der Ausdruck auffallend, was eigentlich das polare Flächenträgheitsmoment auf den Schwerpunkt des Querschnittes bedeutet. Auch das in der Gleichung einzusetzen: (12.8 (

92 Beanspruchung durch Torsion. Torsion dünnwandiger Rohre. Torsion für Stäbe mit Kreis und- Kreisringquerschnitt. Verformungsenergie für Torsion. Da aus dem Zusammenhang folgt, so (12.10 (12.11 die maximale Torsionsspannung: (12.12 Nach Neuordnung der Gleichung (12.13 Die Formänderungsgleichung eines tordierten Stabes der Länge l: (12.14 Daraus folgt (12.15 wo φ die relative Verdrehungswinkel zwischen den Endquerschnitten des Stabes der Länge l. Es ist leicht einzusehen, dass die bisher erzielten Ergebnisse auch für den Kreisringquerschnitt geeignet sind, hier bedeutet aber I p das polare Flächenträgheitsmoment des Kreisringes. Zur Dimensionierung dient der Zusammenhang : (12.16 hier bedeutet das polare Widerstandsmoment. 88

93 Beanspruchung durch Torsion. Torsion dünnwandiger Rohre. Torsion für Stäbe mit Kreis und- Kreisringquerschnitt. Verformungsenergie für Torsion. Animation 7: Darstellung der Torsion an einer Kreide 2. Verformungsenergie für elastische Torsion. Bei Torsion entstehen nur Schubspannungen und Winkelveränderungen, die entlang des Querschnittes konstant sind. Die spezifische Verformungsenergie aufgrund der Gleichung 12.3.: (12.17 Für ein Stabelement kann die speicherte Verformungsenergie mittels dem Zusammenhang folgendermaßen erstell werden: (12.18 Hier soll der Ausdruck erneut eingesetzt werden, so erhalten wir in einem Stabelement mit Kreis-, oder Kreisringquerschnitt gespeicherte spezifische elastische Verformungsenergie für reine Torsion: 89

94 Beanspruchung durch Torsion. Torsion dünnwandiger Rohre. Torsion für Stäbe mit Kreis und- Kreisringquerschnitt. Verformungsenergie für Torsion. (12.19 In der Praxis wird für Festigkeitsberechnungen diese Gleichung verwendet. 3. Torsion dünnwandiger Rohre Bei der Analyse dünnwandiger Rohre werden solche prismatische Stäbe untersucht, bei denen die Entfernung zwischen den Grenzflächen, die Wanddicke im Vergleich zu den anderen Abmessungen des Querschnittes ausreichend klein beträgt. Abb Torsion dünnwandiges Rohres Es wird Angenommen, das im Querschnitt keine Normalspannungen entstehen, und die Schubspannungen zur mittleren Linie r k der Wanddicke parallel gerichtet sind, (Abb. 12.4, sowie der Betrag der Schubspannung entlang der Wandstärke konstant ist. Es wird die Annäherung τ (p=τ=konstant verwendet. Die Gleichgewichtsgleichung: Laut der Annäherung r k τ=konstant, deswegen kann vor dem Integral geschrieben werden (12.20 (12.21 Da A 2 π r k ν, so Nach Neuordnung der Gleichung die Schubspannung: (12.22 (

95 Beanspruchung durch Torsion. Torsion dünnwandiger Rohre. Torsion für Stäbe mit Kreis und- Kreisringquerschnitt. Verformungsenergie für Torsion. (12.24 Der Ausdruck A k=π r k 2 ist praktisch die Fläche des Kreises mit dem Radius r k. So sind wir bei dem Bredtschen Formel gelandet. Bei der Anwendung fällt es auf dass die maximale Schubspannung bei minimaler Wandstärke entsteht. (12.25 Ein weiterer Vorteil des Bredtschen Formels liegt daran, dass nicht nur für Kreis-, und Kreisringquerschnitt, sondern auch für Querschnitte variabler Wandstärke geeignet ist. BEISPIEL 12.1 Die skizzierte Kurbelwelle (Abb wird durch die Einzelkraft F=6kN belastet. Der Radius des Kurbelarmes r=0,3m. Die Kurbelwelle wurde aus Stahl Fe gefertigt. Es ist der notwendige Wellendurchmesser und die spezifische Verdrehung für eine Länge l=0,5m zu ermitteln. Die zulässige Schubspannung für das Werkstoff Fe aus einer geeigneten Tabelle entnommen τ zul=54mpa, der Gleitmodul G=80000MPa. Abb Das Torsionsmoment als Belastung für die Welle: T = F r =6000N 0,3m=1800Nm Die Schubspannung aus der Grundgleichung für Torsion Daraus der Durchmesser der Welle: 91

96 Nach oben gerundet der Durchmesser: d = 60 mm. Der Verdrehungswinkel in Bogenmaß: Beanspruchung durch Torsion. Torsion dünnwandiger Rohre. Torsion für Stäbe mit Kreis und- Kreisringquerschnitt. Verformungsenergie für Torsion. Für eine Länge von l = 1 m: Die Verdrehung im Grad ausgedrückt: Dieser Wert ist viel größer als in der Praxis übliche 0,25 /m. Deswegen muss auch diese Anforderung bei der Dimensionierung erfüllt werden. Der zulässige Verdrehungswinkel im Bogenmaß: Aus der Formänderungsgleichung: und der Durchmesser: d min=71,6 mm, und nach oben gerundet d=75mm. Selbstverständlich der Grenzwert für die Schubspannung wird jetzt nicht völlig ausgenutzt, da in der Welle 92

97 Schubspannung hervorgerufen wird. Beanspruchung durch Torsion. Torsion dünnwandiger Rohre. Torsion für Stäbe mit Kreis und- Kreisringquerschnitt. Verformungsenergie für Torsion. BEISPIEL 12.2 Auf die skizzierte Welle (Abb sind drei Scheiben montiert. Durch eine der Scheiben wird die Welle angetrieben (zum Beispiel durch einen Elektromotor, die restlichen zwei Scheiben dienen zu den Antrieben von Arbeitsmaschinen. Es soll ein Entwurf für eine optimale Lösung zur Anordnung der Antriebselemente erarbeitet werden, für diese Variante sind die Durchmesser der Wellen und die Spannungen zu ermitteln. Daten: T 1=450 Nm (Motor, T 2=-150 Nm (Arbeitsmaschine, T 3=-300 Nm (Arbeitsmaschine. Das negative Vorzeichen bedeutet eine Momentabnahme. φ zul=0,25 /m, l 1=0,5m, l 2=0,6m, der Gleitmodul G=80000MPa. Für die Anordnung werden drei Varianten erstellt: Abb Abb b.: der Antriebsmotor treibt die Scheibe mit T 1 = 450Nm an der linken Seite an. 93

98 Beanspruchung durch Torsion. Torsion dünnwandiger Rohre. Torsion für Stäbe mit Kreis und- Kreisringquerschnitt. Verformungsenergie für Torsion. Abb c.: der Antriebsmotor mit T 1 = 450Nm wird in der Mitte der Welle angeordnet, so das die Scheibe mit T 2 = -150 Nm Momentabnahme an der linken Seite befestigt wird. Abb d.: der Antriebsmotor mit T 1 wird ebenso in der Mitte der Welle angeordnet, so das die Scheibe mit T 2 = -150 Nm Momentabnahme an der rechten Seite der Welle befestigt wird. Die Abbildungen b., c., d. beweisen eindeutig, dass die Variante der Abbildung d. am günstigsten ist. Die Ursachen: für eine längere Welle beträgt die Torsionsbeanspruchung weniger, und dadurch wird eine kleinere Verdrehung verursacht. Für alle Varianten kann die Analyse mathematisch durch den Zusammenhang für den Verdrehwinkel durchgeführt werden: Bemerkung: die Anordnung nach Abb b. ist sehr ungünstig, weil die Verdrehungen der einzelnen Wellen summiert werden: Aufgrund der Schnittgrößenverlaufe steht fest, dass die Momentübertragung völlig durchgeführt wird, die Welle durch ein Gleichgewichtssystem belastet ist. Die vorzeichenrechte Summe der Torsionsmomente: T 1+T 2+T 3=0 Aufgrund der Abbildung d. der zulässige Verdrehwinkel für die Wellensektion B : und daraus der Durchmesser d 2 d 2=40,26mm, aufgerundet d 2=45mm Die Schubspannung: Für die Wellensektion A kann man ähnlich vorgehen. Der Durchmesser d 1: 94

99 Beanspruchung durch Torsion. Torsion dünnwandiger Rohre. Torsion für Stäbe mit Kreis und- Kreisringquerschnitt. Verformungsenergie für Torsion. d 1=45,74mm, aufgerundet d 1=50mm Die Schubspannung: AUFGABE 12.3 Durch eine Welle wird bei einer Drehzahl 400 1/min die Leistung 120 kw übertragen. Die zulässige Schubspannung für den Werkstoff der Welle beträgt 25 N/mm 2. a., Es ist der minimale Durchmesser für eine massive, vollzylindrische Welle zu ermitteln! b., Es sind die Durchmesser für eine Welle mit Kreisringquerschnitt für D/d=2,5 zu ermitteln! c., Es soll die Materialeinsparung prozentual ausgedruckt werden, wenn statt eine vollzylindrische Welle Kreisringquerschnitt verwendet wird! AUFGABE 12.4 Ein Stab mit dem Durchmesser 25 mm, der Länge 1,5 m wird auf reine Torsion beansprucht. Beide Ende des Stabes werden durch 300 mm längen Kurbeln mit Einzelkräfte je 200 N belastet. Es ist der relative Verdrehwinkel des Stabes zu berechnen! Der Gleitmodul G = 80000MPa. AUFGABE 12.5 Durch eine Welle wird bei einer Drehzahl 250 1/min die Leistung 1470 kw übertragen. Die zulässige Schubspannung für den Werkstoff der Welle beträgt 60 N/mm 2. Es sind die Durchmesser für eine Welle mit Kreisringquerschnitt für D/d = 1,5 zu ermitteln! 95

100 Kapitel 13. Schlanke Druckstäbe. Elastische und plastische Knickung. Die Analyse schlanker Druckstäbe wird an einem prismatischen Stab gerader Stabachse mit der Länge l vorgeführt. Der Stab wird durch eine Einzelkraft im Schwerpunkt des Querschnittes, also zentrisch auf Druck belastet. Für eine erste einfache Variante soll der Stab an beiden Enden zu Kugelgelenken befestigt werden, aber eine davon geeignet ist die Verschiebung in Längsrichtung zu gewährleisten. Der Werkstoff des Stabes soll elastisch betrachtet werden, beliebiger Querschnitt und infolge der Druckkraft wird der Stab laut des Hookeschen Gesetzes zusammengeschrumpft. Abb Die Knickung In einem durch die Einzelkraft F zentrisch belasteten Stab, der Querschnittsfläche A wird die Spannung hervorgerufen. In einem Grenzzustand zwischen elastischen und plastischen Verformung, also dann, wenn der Stab infolge einer kritischen Kraft (F k eine labile Lage (Gleichgewichtslage erreicht, auch die Spannung kann als kritischer Wert betrachtet werden: (13.1 Die Knickung auf Druck zentrisch belasteter, gerader Stäbe hat als erste Leonard Euler ( untersucht und die Ergebnisse dokumentiert. Wenn die Druckkraft ihren kritischern Wert erreicht, befindet sich der Stab auch im ausgeknicktem Zustand in Ruhelage. Es soll die Bezugsachse z die Längsachse des Stabes bedeuten, und die Bezugsachse y in der Verformungsebene orthogonal auf z gewählt werden. Es ist klar zu sehen, dass die Verschiebung in Richtung y nicht nur aus dem zentrischen Druck stammt, sondern der Querschnitt des Stabes wird auch durch ein Moment belastet. Dieses Biegemoment (M gewährleistet, dass der gekrümmte Stab seine Ruhelage behalten kann. 96

101 Schlanke Druckstäbe. Elastische und plastische Knickung. (13.2 Die Differentialgleichung der elastischen Linie: (13.3 wo I 2 das kleinste Hauptträgheitsmoment, also das minimale Trägheitsmoment auf die Schwerpunktsache bedeutet. Nach Neuordnung der Gleichung erhalten wir die Eulersche Differentialgleichung: (13.4, wo (13.5 Die allgemeine Lösung dieser homogenen, linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung: (13.6 wo A und B unbekannten Konstanten bedeuten. Festlegung der Randbedingungen. Die waagerechte Verschiebung an beiden Enden des Stabes beträgt Null, daraus folgt: I. für die Koordinate z = 0 und auch y = 0. Damit erhält man aus der allgemeinen Lösung B = 0, so das Ergebnis y=a sinα z II. für die Koordinate z = l und auch y = 0. So sind wir bei der Gleichung A sinα l=0 gelandet, die zwei mögliche Lösungen enthält: 1. A= 0, und y = 0. Es bedeutet das die Stabachse ungekrümmt, dass heißt gerade bleibt. Diese Variante erfüllt die Anforderungen der Theorie erster Ordnung. 2. sinα l=0 α l=n π, wo n=0,±1,±2,±3... Diese Lösung kann für negative Zahlen n und für Null nicht interpretiert werden! All das in die Gleichung einzusetzen, und nach Umformung für F k : (13.7 (

102 Schlanke Druckstäbe. Elastische und plastische Knickung. Da dieser Zusammenhang von n und auch von I2 abhängig ist, so können unendlich viele Lösungen existieren. Wir benötigen davon den Minimalwert für Fk, weil das in der Praxis maßgebend ist. Der Betrag von F k wird dann minimal, wenn n = 1 und gleichzeitig auch I minimal ist. Diese letzte Anforderung wurde bereits in der Gleichung erfüllt. Damit die Gleichung: (13.9 Damit haben wir den Zusammenhang für die kritische Kraft nach Euler erstellt. Die kritische Spannung: (13.10 Abb Modellgestaltung für Knickung mit Sinuswelle In der Gleichung ist der minimalen Trägheitshalbmesser hoch zwei beziehungsweise der Trägheitsradius zu erkennen. Es ist vorteilhaft der Begriff Schlankheitsgrad einzuführen: (13.11 So die kritische Spannung nach Euler: 98

103 Schlanke Druckstäbe. Elastische und plastische Knickung. (13.12 Das Ergebnis wurde aus der, auf Basis des Hookeschen Gesetzes erstellten Differentialgleichung der elastischen Linie erzielt. Logischer weise es ist erst dann gültig, wenn die Knickung bei einer Spannung unter der Proportionalitätsgrenze erfolgt, also: (13.13 Daraus erhält man den Schlankheitsgrad: (13.14 und dann kann der Grenzwert des Schlankheitsgrades für elastische Knickung erstellt werden: (13.15 Erst dann handelt sich um elastische Knickung, wenn der Schlankheitsgrad des Stabes nicht kleiner als der Grenzwert des Schlankheitsgrades für elastische Knickung beträgt, dass heißt λ λ 0. Daraus folgt, dass die Theorie für elastische Knickung nur für so genannten schlanke Stäbe verwendet werden kann. In der Gleichung α l=n π (13.7. soll n = 1 eingesetzt werden, und dann für α umgesetzt führt zu. So erhalten wir das Ergebnis. Der Stab folgt in deformiertem Zustand eine halbe Sinuswelle die durch die zwei Gelenke geführt wird. Die halbe Längenwelle bedeutet (jetzt die Länge des Stabes l die Knicklänge. Falls die Randbedingungen des Stabes von der Abb abweichen, dann muss die Kicklänge (l 0 durch einen Beiwert β korrigiert werden. l bedeutet hier die tatsächliche Länge Stabes. Für häufig eingesetzte Randbedingungen enthält den Beiwert a β die Abb (

104 Schlanke Druckstäbe. Elastische und plastische Knickung. Abb Numerische Werte für den Beiwert β Plastische Knickung Wenn λ<λ 0 beträgt, so erfolgt die Knickung außerhalb der elastischen Bereich, also es handelt sich um eine plastische Knickung. Es wurden zahlreiche Untersuchungen zu diesem Thema durchgeführt, und auch mehrere Hypothesen aufgestellt. Die sind überwiegend sehr zusammengesetzt und kompliziert, deswegen werden hier nicht erörtert. Eine der besten Annäherungen hat aufgrund von Untersuchungen ein Wissenschaftler ungarischer Abstammung Tetmajer, Lajos ( erarbeitet. Er hat bewiesen, dass die Stäbe außerhalb der elastischen Bereich bei kleineren Spannungen ausknicken als aus der Eulerschen Gleichung ermittelt werden kann. Die kritische Spannung nach Tetmajer für λ<λ 0: Wo a und b werden Materialkonstanten bezeichnet mit der Maßeinheit MPa. (13.17 Abb Die kritische Spannung als Funktion der Schlankheitsgrad Richtwerte für Schlankheitsgrad und für die Konstante a und b wichtiger Werkstoffe: 100

105 Schlanke Druckstäbe. Elastische und plastische Knickung. Stahl (13.18 Gusseisen (13.19 Holz (13.20 Ein anderer, weltberühmter ungarischer Physiker und Maschinenbauingenieur Kármán, Tódor ( hat sich auch mit der Knickung beschäftigt, und er hat die vorherigen Ergebnisse korrigiert. Aufgrund seine Feststellungen die üblichen Sicherheitsfaktoren für Festigkeitsberechnungen: Stahl: b = 1,7-3,5 Gusseisens: b = 6 Holz: b = 4-5 BEISPIEL 13.1 Es ist die Dimensionierung für den senkrecht angeordneten Pfosten aus Normstahl I für Knickung durchzuführen (Abb ! Die Intensität der Streckenlast beträgt 100 kn/m. σ zul = 120 MPa. Abb Wie es auf der Abb a. dargestellt ist, infolge der Streckenlast wird der senkrechte Pfosten durch die Lager bei B mit einer Druckkraft belastet. Diese Beanspruchung wird durch die Abb b. abgebildet, modelliert. Ermittlung der Lagerkräfte: Die erforderliche Querschnittsfläche für den Pfosten: 101

106 Schlanke Druckstäbe. Elastische und plastische Knickung. Nach die minimale Querschnittsfläche ermittelt wurde, kann der Profil I 140 gewählt werden, deren Kennwerte aus der Norm: A = 18,3 cm 2, beziehungsweise i y = i 2 = 1,40 cm. Die hervorgerufene Druckspannung auf Basis der Ausgangsdaten: Die Knicklänge für die Dimensionierung kann durch den Beiwert β aus der Abb des Kapitels 13. ermittelt werden: l=βl=2 0,9m=1,8m Damit der Schlankheitsgrad: λ>λ 0, wo λ 0 für Stahl 105 ist. Aufgrund der Abb des Kapitels 13. soll die kritische Spannung nach Euler bestimmt werden: Es bedeutet: der Normstahl I 140 hat die Anforderungen für Knickung nicht erfüllt! Wähle man ein Normprofil I 180, deren Kennwerte aus der Norm: A = 27,9 cm 2, beziehungsweise i y = i 2 = 1,71 cm. Die hervorgerufene Druckspannung auf Basis der neuen Ausgangsdaten: Damit der Schlankheitsgrad: Es wird auch jetzt die kritische Spannung nach Euler bestimmt werden: Der Normstahl I 180 hat die Anforderungen für Knickung erfüllt! AUFGABE 13.2 Es sind einige Daten für den skizzierten Scheibenabzieher (Abb zu ermitteln! Auf die Spindel wirkt durch einen Hebelarm der Länge l 1=200 mm eine Kraft von 150 N. Werkstoffbezeichnung für die Spindel Fe 355, Gewinde M 20. Die freie Knicklänge beträgt s=l 2= 380 mm. Die Mutter wurde aus Bronze gefertigt, deren zulässiger Oberflächendruck 12 N/mm 2 beträgt. 102

107 Schlanke Druckstäbe. Elastische und plastische Knickung. Abb

108 Kapitel 14. Membrantheorie dünnwandiger Rotationsschalen. Dimensionierung, Festigkeitsnachweis von Behältern. Die Maschinen werden teilweise zum Transportieren und zur Lagerung von Flüssigkeiten beziehungsweise Gase eingesetzt, oder dienen als Anlagen für chemische Reaktionen in den Zwischenphasen. All das erfolgt meistens unter hohem Betriebsdruck. In der chemischen Industrie werden die chemischen Reaktionen meistens zwischen flüssiger oder gasförmiger Materialen durchgeführt, die Materialen sind meistens gefährlich für die Umwelt und das chemische Prozess wird sehr häufig bei hohem Temperatur durchgeführt. Der Ingenieur muss deswegen bei der Dimensionierung von Rektorgefäßen für Kernkraftwerke, Autoklaven oder Druckkesseln mit äußerordentlicher Sorgfalt umgehen und die geeigneten Werkstoffe wählen. Mangelhaftes oder falsches Konstruktionsverfahren kann zur vorzeitigen Schädigung, Explosion des Gerätes führen, oder andere ernste Umweltkatastrophe verursachen. Der Einsatz des Werkstoffes von Geräten an hohen Temperaturen wird in der Dimensionierung so beigebracht, dass die Temperaturabhängigkeit der Materialkennwerte beachtet wird. Vor allem die Werte von Elastizitätsmodul und besonders die Streckgrenze mit zunehmenden Temperaturen immer kleiner werden. Aus Festigkeitsgründen kann die Druckbeständigkeit des Rohres oder Gerätes als wichtigstes Erfordernis geklärt werden. Alle Rohre und viele Geräte der chemischen Industrie sind meistens Rotationsflächen. Wenn die Wanddicke einer Schale viel kleiner als der Durchmesser beträgt (ν/d 0,05, dann wird Rotationsschale bezeichnet. Nachstehend werden nur die, mit Innendruck belasteten Rotationsschalen analysiert, da der Maschinenbauingenieur in der Praxis am häufigsten solche Probleme lösen muss. Es wird vorausgesetzt, dass sich die Flüssigkeit oder das Gas im Behälter in Ruhelage befindet, beziehungsweise das Medium ideal ist, dass heißt keine innere Reibung aufweist (es werden innen keine Schubspannungen hervorgerufen, so kann der Druck in der Flüssigkeit frei fortpflanzen, und dessen Wirkung auf die Wand des Behälters orthogonal ist. Aus der Rotationsschale eines durch Innendruck belasteten Gerätes soll ein elementares Ringelement mit der Breite dx und mit der Bogenlänge rdφ entnommen werden, siehe Abb : Abb Durch Innendruck belastetes dünnwandiges Rohr Die axiale Belastung des Rotationsschales soll vorübergehend nicht berücksichtigt werden. Die Gleichgewichtsgleichung des elementaren Ringelementes aufgrund des Kräfteplans: (14.1 Da der Winkel dφ unendlich klein ist, kann die folgende Annäherung getroffen werden: 104

109 Membrantheorie dünnwandiger Rotationsschalen. Dimensionierung, Festigkeitsnachweis von Behältern. (14.2 All das in die Gleichung einzusetzen, und nach einer formalen Dividierung mit dx, beziehungsweise mit dφ erhält man: also die Gleichung nach Umsetzung und mit dem Durchmesser der Rotationsschale: (14.3 (14.4 Die Gleichung ist in der Praxis als die sogenannte Kesselformel verbreitet. Die aus der Kesselformel ermittelte Spannung ist eine Tangentialspannung, also σ = σ t. Die Radialspannung ist gleich mit dem Innendruck, dass heißt σ r = - σ. Wenn das Gerät (Behälter eine geschlossene Konstruktion ist, da muss auch eine axiale Spannung in der Rotationsschale berücksichtigt werden. Für einen auf Inndruck p belasteten zylindrischen Behälter die auf den Deckeln wirkende axiale Kraft aufgrund der Abb : Abb Durch Innendruck belasteter Druckkessel (14.5 Die Axialkraft F a wird an der Fläche A = Dπν gleichmäßig verteilt, deswegen die axiale Spannung: (14.6 Alle drei Spannungen (die Tangentialspannung, die Radialspannung, und die axiale Spannung sind Hauptspannungen: (14.7 (14.8 Es soll die Vergleichsspannung nach der Mohrschen Theorie ermittelt werden: 105

110 Membrantheorie dünnwandiger Rotationsschalen. Dimensionierung, Festigkeitsnachweis von Behältern. (14.9 Bei der Dimensionierung von Rotationsschalen wird in der Praxis das Verhältnis 2ν/D vernachlässigt, und einfach die Kesselformel eingesetzt: Die Vergleichsspannung nach der Theorie von Huber-Mises-Hencky: (14.10 (14.11 In die Gleichung sollen die Gleichungen eingesetzt werden, damit: (14.12 Der Multiplikator der Kesselformel würde erst für den Fall ν> 0,077D größer als der bisherige, also bis zur diese Grenze reicht es tatsächlich aus die Dimensionierung einfach mit der Kesselformel (siehe Gleichung durchzuführen. Eine weitere Bemerkung: in der Praxis werden die durch Innendruck belasteten Kessels und Geräte vor der Inbetriebnahme mit Flüssigkeit gefüllt um die Druckprobe durchführen zu können, und der Probedruck wird in bestimmten Fällen bis zur Streckgrenze des Werkstoffes erhöht. Hierbei ist es gar nicht wichtig, das an einigen Stellen - zum Beispiel in der Umgebung von Auflagerungen - die Streckgrenze des Werkstoffes überschreitet wird, weil hier dann sich der Werkstoff verfestigt und später stärker wird. Im Behälter werden bleibende Verformungen hervorgerufen, aber die verursachen keine weiteren Probleme in dem praktischen Einsatz der Anlage. 106

111 Membrantheorie dünnwandiger Rotationsschalen. Dimensionierung, Festigkeitsnachweis von Behältern. Animation 8: Aufreißen eines Behälters in Längsrichtung (z. B.: Würstchen BEISPIEL 14.1 Ein zylindrischer, dünnwandiger Kessel mit dem Innendurchmesser D = 1200 mm, Wandstärke ν = 8 mm steht unter einem Innendruck p = 4 bar. Es sind die Spannungen sowie die Vergleichsspannung in der Kesselwand zu ermitteln! Die Spannung kann mittels der so genannten Kesselformel (14.4. berechnet werden: Die Hauptspannungen in tangentialer, radialer, und axialer Richtung ( : Die Matrix des Spannungszustandes: 107

112 Membrantheorie dünnwandiger Rotationsschalen. Dimensionierung, Festigkeitsnachweis von Behältern. Die Vergleichsspannung nach der Mohrschen Spannungstheorie (14.9.: σ ver=σ 1-σ 3=30MPa-(-0,4MPa=30,4MPa. Die Vergleichsspannung nach der Theorie von Huber-Mises-Hencky (14.11.: AUFGABE 14.2 Ein zylindrischer, dünnwandiger Kessel mit dem Innendurchmesser D=600 mm, steht unter einem Innendruck p=8 bar. Es ist die Wandstärke zu ermittelt, wenn die zulässige Spannung im Kesselmantel σ zul=100 MPa beträgt. AUFGABE 14.3 Ein zylindrischer, dünnwandiger Kessel mit der Wandstärke ν=12 mm, steht unter einem Innendruck p=4 bar. Es ist der maximale Innendurchmesser des Kessels zu ermitteln, wenn die zulässige Spannung im Kesselmantel σ zul=80 MPa beträgt. 108

113 Kapitel 15. Festigkeitsberechnung In der allgemeinen Interpretation der Festigkeitslehre wurden die Folgen von Belastungen der Bauteile erklärt: die im Bauteil hervorgerufenen Spannungen beziehungsweise die dadurch verursachten Verformungen. Die Grundgleichungen der Festigkeitslehre ermöglichen dem Ingenieur im beliebigen Punkt eines Maschinenbauteiles die Spannungen oder die Verformung in der Umgebung des Punktes zu ermitteln. Er kann den gefährdeten Punkt des Bauteiles, wo die maximale Spannung oder Verformung entsteht und deren Betrag vergleicht mit den Festigkeitskennwerten des Werkstoffes, oder mit den für die Verformungen zugelassenen Grenzwerten, und erst dann kann entscheiden, ob die Festigkeitsberechnung richtig ist oder nicht? Dieses Verfahren heißt in der Praxis Festigkeitsnachweis. Die technischen Wissen ermöglichen die Festigkeitsberechnung gleichzeitig mit der Konstruktion, also bereits mit der Bestimmung der Geometrie des Bauteiles durchzuführen. Diese Methode heißt in der Praxis Dimensionierung. Zum Festigkeitsnachweis und zur Dimensionierung sind die Materialkennwerte des Werkstoffes des konstruierenden, tragfähigen Bauteiles notwendig. Die Materialkennwerte der Werkstoffe werden meistens in Normen festgelegt und von allen Herstellern garantiert. Die Materialkennwerte des Werkstoffes für die Festigkeitsberechnung werden üblicherweise durch Zugproben ermittelt, dabei werden die Probestäbe auf Zug belastet. Bei der Zugprobe entsteht im Probestab eine einachsige und homogene Spannung. In den von der Konstrukteur entworfenen Bauteilen können die durch die Beanspruchungen hervorgerufenen Spannungen nur sehr selten einachsig und homogen betrachtet werden, für einen allgemeinen Belastungsfall die Spannung als eine vektorieller Größe, also der Betrag, der Richtungssinn, und die Wirkungslinie in allen Punkten des Bauteiles unterschiedlich wird. Wie, auf welcher Basis kann dieser sogenannte mehrachsige Spannungszustand mit der durch eine einachsige Zugprobe in einachsigem Spannungszustand bestimmte Materialkennwerte verglichen werden? Diese Frage kann mehrfach, durch die Spannungstheorien beantwortet werden. In allen Spannungstheorien werden die Ursachen der Zerstörungen geforscht (Brüche, Risse oder bleibende Verformungen und die werden dann mit den im Werkstoff entstehenden Spannungen, beziehungsweise mit deren Typ und Betrag zusammengekoppelt, analysiert. Die Festigkeitseigenschaften der Werkstoffe sind sehr abwechslungsreich, sie können zähige, spröde, in weitem Bereich elastische, weiche, harte und so weiter Eigenschaften aufweisen. Diese Eigenschaften beeinflussen bedeutend die Neigung zu den Anrissen, Brüchen, oder lokalen Strecken oder Fliessen die zur bleibenden Verformungen führen. Dementsprechend gibt es keine universelle, für alle Werkstoffe geeignete Spannungstheorie. Die praktische Erfahrung des Ingenieurs kann deutlich beitragen dazu, dass für einen bestimmten Werkstoff und Beanspruchung welche Spannungstheorie am besten geeignet ist. Es wird bei allen Spannungstheorien ein mehrachsige Spannungszustand mit einem einachsigen Spannungszustand der Zugprobe verglichen. In den Spannungstheorien wurde der Begriff Vergleichsspannung ( σ ver eingeführt, das bedeutet, dass die Wirkungen mehrachsige und einachsige Spannungszustände gleichwertig sind. In der Umgebung eines bestimmten Punktes P des Bauteiles wird der Spannungszustand durch die drei Hauptspannungen eindeutig bestimmt. Anhand von Hauptspannungen kann der Spannungszustand dreiachsige (räumliche, zweiachsige (ebene und einachsige (lineare sein. Abb Spannungszustände 109

114 Festigkeitsberechnung Aufgrund der bisherigen Erfahrungen die Werkstoffe sind dann für einen dreiachsigen Druck oder Zug viel mehr geeignet wenn die drei Hauptspannungen annähernd gleich sind, als eine der drei Hauptspannungen kleiner als die anderen beträgt. Es kann eine völlig andere Verhalten oder Reaktion beobachtet werden, wenn alle Hauptspannungen positiv oder negativ sind, und die Tragfähigkeit kann völlig unterschiedlich sein, wenn sich das Vorzeichen der Hauptspannungen verwechselt. Die Proportionalitätsgrenze σ p als Werkstoffkennwert darf die obere Grenze für die maximale Spannung des konstruierten Bauteiles festgelegt werden. Gleichzeitig ist für den Ingenieur nicht erlaubt die Anlage für extreme Belastungsfällen zu gestalten, da es können solche Situationen (zum Beispiel kurzzeitige Spitzenbelastungen vorkommen, damit man im Voraus nicht rechen kann. In der Praxis wird ein sogenannter Sicherheitsfaktor (b eingesetzt, deren Wert je nach Fachgebieten völlig unterschiedlich betragen kann. Anhand von Sicherheitsfaktor erhält man die zulässige Spannung (σ zul Vergleichsspannung sein muss:, die immer kleiner als die (

115 Kapitel 16. Die Mohrsche Spannungstheorie. Diese Spannungstheorie wurde von dem deutschen Ingenieur Otto Mohr erarbeitet. Er hat die Theorie folgendermaßen formuliert: die Spannungszustände können als gleichwertig beurteilt werden, bei denen die Differenzen zwischen den größten und kleinsten Hauptspannungen übereinstimmen. Die Relation zwischen den Hauptspannungen aufgrund der Gleichung 3.3.: und die Ermittlung der Vergleichsspannung nach Mohr: (16.1 (16.2 Laut der Mohrschen Spannungstheorie die Vergleichsspannung mit dem größten Durchmesser des Mohrschen Spannungskreises gleich is. Durch die gleichwertig behandelte reine Zugprobe wird ein einaschsieger Spannungszustand verursacht, dessen Hauptspannungen wie folgt: (16.3 (16.4 Als bei einem reinen Zug die Vergleichspannung und die Zugspannung gleichgroß betragen: (16.5 (16.6 In der Praxis erhält der Ingenieur sehr häufig solche Aufträge, dass eine Welle für gleichzeitige Biegung und Torsion dimensionieren werden soll. In diesem Belastungsfall der Matrix der Spannungstensor in der Umgebung eines Punktes P der untersuchten Welle: (16.7 Der Spannungszustand und dessen Mohrsche Spannungskreis in der Umgebung des Punktes P: 111

116 Die Mohrsche Spannungstheorie. Abb Spannungszustand und Mohrsche Spannungskreis in einem Punkt eines Stabes für gleichzeitige Biegung und Torsion Die Berechnung von Hauptspannungen erfolgt mit σ 3 = 0 Laut der Kapitel 3.1.: (16.8 (16.9 Die Gleichungen sollen in die Gleichung eingesetzt werden, so erhält man in einem Punkt die Vergleichsspannung der Welle nach Mohr für gleichzeitige Biegung und Torsion: (16.10 Das gleiche Ergebnis kann auch dann erzielt werden, wenn man den Durchmesser des Mohrschen Spannungskreises (siehe Abb auf geometrischer Basis, aus dem Satz von Pythagoras ermittelt. BEISPIEL 16.1 Es ist der Durchmesser des Querschnittes für den eingespannten Balken (Abb nach der Mohreschen Spannungstheorie nachzuweisen! a=0,3 m, b=0,5 m, F=12 kn, M0=10 knm, q=10 kn/m, T=30 knm, σ zul=400 MPa. Abb Die Flächenträgheitsmomente des Kreisringquerschnittes: Die Schnittgrößenverlaufe des Balkens:, und I p=2i x=3, mm

117 Die Mohrsche Spannungstheorie. Abb Der Absolutwert des maximalen Biegemomentes im Balken M max=5,95 knm beträgt. Damit die maximale Normalspannung σ: Die maximale Schubspannung aus der Torsion : Die Vergleichsspannung nach der Mohreschen Spannungstheorie für gleichzeitige Biegung und Torsion (16.10.: Die Vergleichsspannung ist größer als die zulässige Spannung Festigkeitsnachweis nicht bestanden., der Balken hat den BEISPIEL 16.2 Es ist der Durchmesser des Kreisquerschnittes für den Balken (Abb nach der Mohreschen Spannungstheorie zu ermitteln! l=0,5 m, F=20 kn, q=16 kn/m, T1=10 knm, T2=30 knm, T3=40 knm, σ zul=350 MPa. Abb

118 Die Mohrsche Spannungstheorie. Die Flächenträgheitsmomente des Kreisquerschnittes:, und I p=2i x. Die Schnittgrößenverlaufe des Balkens: Abb. 16.3a Die Vergleichsspannung nach der Mohreschen Spannungstheorie für gleichzeitige Biegung und Torsion (16.10.: und daraus der Durchmesser des Kreisquerschnittes: In der gesamten Balkenlänge gibt es zwei Stellen z=l und z=2l wo die Beanspruchungen Extremwerte aufweisen, so muss die Festigkeitsberechnung für beide Koordinaten durchgeführt werden: 114

119 Die Mohrsche Spannungstheorie. Also die maximalen Beanspruchungen an der Stelle z=2l zu finden sind. Damit der Durchmesser des Kreisquerschnittes: AUFGABE 16.3 Es ist der Durchmesser des Kreisringquerschnittes für den Balken (Abb nach der Mohrschen Spannungstheorie nachzuweisen! l=0,2 m, F=15 kn, q=12 kn/m, M0=16 knm, T1=13 knm, T2=26 knm, T3=39 knm, σ zul=300 MPa. AUFGABE 16.4 Abb Es ist der Durchmesser des Kreisquerschnittes für den Balken (Abb nach der Mohrschen Spannungstheorie zu ermitteln! a=0,5 m, b=0,9 m, F=25 kn, M0=18 knm, q=14 kn/m, T=18 knm, σ zul=330 MPa. Abb

120 Kapitel 17. Die Spannungstheorie der Verzerrungsarbeit. Diese Spannungstheorie haben drei Wissenschaftler, der polnische Maschinenbauingenieur Tytus Maksymilian Huber ( , der Mathematiker aus den USA Richard Edler von Mieses ( , und der deutsche Ingenieur Heinrich Hencky ( erarbeitet. Es wurde diese Theorie folgendermaßen formuliert: die Spannungszustände können als gleichwertig beurteilt werden, bei denen die auf Volumen bezogene spezifische Verzerrungsarbeiten übereinstimmen. Die Spannungstheorie der Verzerrungsarbeit wird meistens abgekürzt, als Huber-Mises-Hencky-, oder HMH-Theorie erwähnt. Bei einem elastischen Verformungszustand wird durch die Arbeit des äußeren Kraftsystems (oder der Belastung im Bauteil als innere Energie gespeichert, die dann Verformungsenergie bezeichnet wurde. Die Verformungsenergie kann in den beliebigen Punkten des Körpers völlig unterschiedlich sein. Deshalb wurde es zweckmäßig den Begriff auf den Volumen, auf dem unendlich kleinen Volumenelement bezogene Energiedichte einzuführen (Gleichung 7.1.: (17.1 wo U die gespeicherte Verformungsenergie für den Volumen V. Wenn in einem Punkt P des Bauteiles die Hauptspannungen vorhanden sind, kann die spezifische Energie, oder die Energiedichte durch die Gleichung ermittelt werden: (17.2 Die Verformung kann mit gleichzeitiger Volumenänderung und Deformation ohne Volumenänderung, mit Verzerrung erfolgen. Es soll die spezifische Verformungsenergie mit u v und die spezifische Verzerrungsenergie mit u t bezeichnet werden. Als Summe beider Parameter erhält man die Energiedichte: (17.3 Die spezifische Verformungsenergie mit gleichzeitiger Volumenänderung entsteht als die Arbeit der drei Hauptspannungen, deren Mittelwert σ k beträgt: (17.4 Aus dem Hookeschen Gesetz die mittlere spezifische Dehnung: (17.5 Die spezifische Verformungsenergie mit gleichzeitiger Volumenänderung kann durch das Skalarprodukt der Spannungs- und Formänderungstensoren aus der Gleichung 7.6. ermittelt werden: 116

121 Die Spannungstheorie der Verzerrungsarbeit. (17.6 Die Gleichung soll in die Gleichung eingesetzt werden, daraus folg: (17.7 In der Gleichung soll der Mittelwert der Hauptspannungen σ k aus der Gleichung verwendet werden. Aus der spezifischen Verformungsenergie u v (Gleichung soll dann die Gleichung substituiert werden, und nach einsetzen der Gleichung erhält man die spezifische Verzerrungsenergie u t. Das Ergebnis der vorherigen Operationen: (17.8 Die spezifische Verzerrungsenergie kann auch durch die Vergleichsspannung für einachsigen Zug aufgrund der Gleichung berechnet werden: (17.9 Da beide spezifischen Verzerrungsenergien aus der Gleichungen und einstimmen: (17.10 Nach Umsetzung der Gleichung erhält man die Vergleichsspannung nach der Theorie von Huber-Mises- Hencky, die auf die Äquivalenz beiden spezifischen Verzerrungsenergien basiert ist: (17.11 Es soll auch hier analysiert werden, wie bereits im Kapitel 16. eingehend mitgeteilt wurde, wie die Wellen für gleichzeitige Biegung und Torsion dimensionieren werden sollen. Der Matrix des Spannungstensors in der Umgebung des Punktes P der Welle auch jetzt, wie früher: (17.12 Die Hauptspannungen können wie im Abschnitt 3.1. ( σ 3 = 0! ermittelt werden: (17.13 (

122 Die Spannungstheorie der Verzerrungsarbeit. Da σ 3 = 0 beträgt, die Vergleichsspannung aus der Gleichung : (17.15 Auf Basis der Gleichungen und erhält man eine einfache Lösung zur Berechnung der Vergleichsspannung in einem Punkt des Stabes für gleichzeitige Biegung und Torsion nach der Theorie von Huber-Mises-Hencky: Das Ergebnis hat sich in der Praxis erfolgreich bewährt, auch die Versuche haben es bewiesen. (17.16 Wenn man die Spannungstheorien HMH und Mohr vergleicht, kann feststellen, dass sich nach der Mohrschen Theorie bei derselben Welle und Belastungen größere geometrische Daten ergeben, aber die Abweichung höchstens 14,1% erreicht. Durch diese Abweichung werden üblicherweise keine Probleme verursacht, da die größeren geometrischen Abmessungen gleichzeitig eine höhere Sicherheit gewährleisten, die Konstruktion wird stärker. Da bei der Dimensionierung meistens die HMH Theorie eingesetzt wird, deren Ergebnisse auch richtig sind. Diese Methode ist eine Materialsparende Lösung was heutzutage im Marktwettbewerb auch ein wichtiges Aspekt ist. Animation 9: Bruchtest an einer Fachwerkbrücke aus Spagetti wo gezeigt wird, wie das Modell durch Verdrehung von der Belastung ausweicht. BEISPIEL 17.1 Es ist der Durchmesser des Querschnittes für den eingespannten Balken (Abb nach der Spannungstheorie von Huber-Mises-Hencky nachzuweisen! l=0,4 m, F 1=8 kn, F 2=12 kn, M 0=5 knm, q=20 kn/m, T 1=15 knm, T 2=35 knm, σ zul=450 MPa. 118

123 Die Spannungstheorie der Verzerrungsarbeit. Abb Die Flächenträgheitsmomente des Kreisringquerschnittes: Die Schnittgrößenverlaufe des Balkens:, und I p=2i x=4, mm 4. Abb Das maximale Biegemomentes ist bei der Einspannung des Balkens, und betragt M max=9,4 knm. beträgt. Damit die maximale Normalspannung σ: Die maximale Schubspannung aus Torsion in der Einspannung des Balkens: Die Vergleichsspannung nach der HMH Spannungstheorie für gleichzeitige Biegung und Torsion (17.16.: 119

124 Die Spannungstheorie der Verzerrungsarbeit. Die Vergleichsspannung ist kleiner als die zulässige Spannung Festigkeitsnachweis bestanden. der Balken hat den BEISPIEL 17.2 Es ist der Durchmesser des Querschnittes für den Balken (Abb nach der Spannungstheorie von Huber- Mises-Hencky nachzuweisen! l=0,8 m, F=20 kn, q 1=10 kn/m, q 2=16 kn/m, T 1=20 knm, T 2=35 knm, T 3=15 knm, σ zul=440 MPa. Die Flächenträgheitsmomente des Kreisquerschnittes: Abb Die Schnittgrößenverlaufe des Balkens:, und I p=2i x=4, mm 4. Abb In der gesamten Balkenlänge gibt es zwei Stellen: bei dem Torsionsmoment T 2 (z=l und bei der Einzelkraft F (z=2l wo die Beanspruchungen Extremwerte aufweisen, so muss die Festigkeitsberechnung für beide Koordinaten durchgeführt werden: Bei der Koordinate z=l beträgt die Biegebeanspruchung M max1 =12,38 knm, und auch das Torsionsmoment ist hier größer T max1=20 knm. Damit die maximale Normalspannung σ: Die maximale Schubspannung aus der Torsion für die gleiche Koordinate : 120

125 Die Spannungstheorie der Verzerrungsarbeit. Die Vergleichsspannung nach der HMH Spannungstheorie für gleichzeitige Biegung und Torsion (17.16.: Bei der Koordinate z=2l beträgt die Biegebeanspruchung M max2 =18,34 knm, und das Torsionsmoment ist hier kleiner T max2=15 knm. Damit die maximale Normalspannung σ: Die maximale Schubspannung aus der Torsion für die gleiche Koordinate : Die Vergleichsspannung nach der HMH Spannungstheorie für gleichzeitige Biegung und Torsion (17.16.: Die Vergleichsspannung bei der Koordinate z=2l ist größer als die zulässige Spannung Balken den Festigkeitsnachweis nicht bestanden., so hat der AUFGABE 17.3 Es ist der Durchmesser des Querschnittes für den eingespannten Balken (Abb nach der Spannungstheorie von Huber-Mises-Hencky nachzuweisen! l=1 m, F 1=10 kn, F 2=15 kn, M 0=12 knm, q=18 kn/m, T 1=15 knm, T 2=35 knm, σ zul=500 MPa. AUFGABE 17.4 Abb Es ist der Durchmesser des Querschnittes für den Balken (Abb nach der Spannungstheorie von Huber- Mises-Hencky nachzuweisen! l=0,5 m, F=8 kn, q=20 kn/m, M 1=13 knm, M 2=7 knm, T 1=50 knm, T 2=35 knm, T 3=15 knm, σ zul=400 MPa. 121

126 Die Spannungstheorie der Verzerrungsarbeit. Abb

127 Kapitel 18. Arbeits- und Energiesätze der Festigkeitslehre. Der Satz von Betti- und Castigliano. Die elastische Durchbiegung beziehungsweise die Neigung eines bestimmten Querschnittes als gelagerter Balken modellierter Wellen deutlich beeinflusst die Funktion und Lebensdauer zahlreichen Bauteiles. Zum Beispiel wird bei Zahnrädern falsche Eingriff, bei Wellendichtungen und bei Wellenlagerungen mangelhafte Funktion, dadurch kürzere Lebensdauer verursacht. In der technischen Praxis werden elastische Durchbiegungen gelagerter Wellen und anderer Stabkonstruktionen unter anderem mittels der Arbeits- und Energiesätze der Festigkeitslehre ermittelt. 1. Die Arbeit äußeren und inneren Kräfte Infolge Beanspruchungen (Belastungen werden die Bauteile deformiert, sie erhalten eine neu gestaltete Form. Die Formänderung wird durch die Arbeit der äußeren Kräfte (Wk des Tragwerkes hervorgerufen. Es wird vorausgesetzt, dass der Werkstoff des Balkens elastisch ist, so wird diese Arbeit im Bauteil als eine elastische Verformungsenergie (U, wie in einer Feder gespeichert. Wenn die Belastung entnommen wird (Entlastung so wird die Energie im Balken frei, der Bauteil erhält erneut seine vorherige Gestalt. Laut des Energieerhaltungsgesetzes die Arbeit der äußeren Kräfte und die im Bauteil gespeicherte Verformungsenergie gleich sind: (18.1 Die Energiedichte oder in einer Volumeneinheit gespeicherte (spezifische elastische Verformungsenergie (u kann durch den Spannungstensor (der Spannungszustand in einem Punkt des Körpers wird durch den Spannungstensor bestimmt und durch den Formänderungstensor (der Formänderungszustand in einem Punkt des Körpers wird durch den Formänderungstensor vorherigen Kapiteln: bestimmt ermittelt werden (Einzelheiten siehe in den (18.2 Wie in den vorherigen Kapiteln bereits erörtert wurde, die elastische Verformungsenergie (U eines prismatischen Stabes der Länge l, Querschnitt A für Zug- oder Druckbeanspruchung für den gesamten Stabvolumen (18.3 für die Schubbeanspruchung durch Querkraft (18.4 für Biegebeanspruchung 123

128 Arbeits- und Energiesätze der Festigkeitslehre. Der Satz von Bettiund Castigliano. (18.5 für Torsionsbeanspruchung (18.6 wo F Δl E F T G M I T I p durch die Zug- oder Druckbeanspruchung verursachte Normalkraft Funktion, die Verlängerung oder Längsänderung des Stabes, der Elastizitätsmodul, durch die Querkraft verursachte Schubkraft Funktion, der Schubmodul, die Biegemoment Funktion, das Flächenträgheitsmodell des Querschnittes, die Torsionsmoment Funktion, das polare Flächenträgheitsmodell des Querschnittes bedeutet. Die gesamte Verformungsenergie (U dementsprechend für eine zusammengesetzte Beanspruchung (18.7 Bemerkung: die Arbeit der Schubbeanspruchung kann im Vergleich zur Arbeit der Biegebeanspruchung immer vernachlässigt werden, deswegen wird die Arbeit der Schubbeanspruchung bei der Bestimmung der Verformungsenergie regelmäßig außer Acht gelassen. Es wird angenommen, dass der Balken durch die Kräfte gleichzeitig belastet wird, und deren endgültiger Betrag kontinuierlich erreicht wird, beziehungsweise die Kräfte inzwischen ein Gleichgewichtskraftsystem bilden ( statische Belastung. Auf diese Weise wird die eigene Arbeit erstellt, dafür ist ein Multiplikator ½ charakteristisch. Es ist aber häufig notwendig die Arbeit der Kraft F für eine, von der Kraft unabhängige Verschiebung (Formänderung zu bestimmen. Auf diese Weise wird die fremde Arbeit erstellt. Während die Kräfte die so genannte fremde Arbeit erstellen, wirken in realen Größen, also sie wird dynamisch berechnet, der Multiplikator ½ fällt weg! Bei einer Festigkeitsrechnung kann auch solche Verschiebung vorkommen, die tatsächlich nie erreicht wird, es wird nur von uns vorgestellt, es ist nur eine mögliche Verschiebung. Die nennt man virtuelle Verschiebung, und die dadurch erstellte Arbeit ist die virtuelle Arbeit. Die virtuelle Arbeit ist jederzeit äußere fremde Arbeit. Als nächster Schritt soll der durch Einzelkraft belastete, linear elastischer prismatische Stab, der Länge l, Quereschnitt A (Abb ohne Berücksichtigung der Massenkräfte analysiert werden. Für den Belastungsfall 1 wird das Kraftsystem bestehend aus F 1 auf den Stab kontinuierlich aufgetragen, (statische Belastung. Infolge der Belastung verändert sich die Länge des Stabes. Der Betrag der Längsänderung des Stabes (die Verschiebung des Angriffspunktes der Kraft soll mit Δl 1 bezeichnet werden. 124

129 Arbeits- und Energiesätze der Festigkeitslehre. Der Satz von Bettiund Castigliano. Abb Die eigene und die fremde Arbeit Die Arbeit W 1 (eigene Arbeit des Kraftsystems 1 infolge der Formänderung: (18.8 Für den Belastungsfall 2 soll das Kraftsystem bestehend aus Einzelkraft F 2 auf den Stab kontinuierlich aufgetragen (Kraftsystem 2. Es soll der durch das Kraftsystem 1 bereits belasteter Stab auch mit dem Kraftsystem 2 belastet werden. Analog zur Kraftsystem 1 wird infolge seiner eigenen Verschiebung Δl 2 auch das zweite Kraftsystem (Kraftsystem 2 Arbeit leisten. Es soll die eigene Arbeit des zweiten Kraftsystems mit W 2 bezeichnet werden. Laut des Superpositionsprinzips eine nachträglich wirkende Kraft F 2 eine gleichgroße Arbeit leistet als sie alleine wäre. (Das Superpositionsprinzip stellt fest, das die Kräfte ihre Wirkungen voneinander unabhängig ausüben! (18.9 Während das zweite Kraftsystem Arbeit leistet, wird vom Kraftsystem 1 eine weitere Arbeit geleistet, da das Kraftsystem 2 an den Stab eine weitere Verschiebung verursacht. Mit anderen Worten ausgedrückt: auf die Einwirkung von F 2 wird die Verschiebung des Angriffspunktes der Kraft F 1 Δl 2 betragen, so die fremde Arbeit der Kraft F 1 während die Kraft F 2 ihre eigene Verschiebung verursacht (18.10 Die Summe dreier Arbeiten: (18.11 Die gesamte Arbeit von der Reihenfolge der Wirkung einzelner Kraftsysteme unabhängig ist, dementsprechend kann die Reihenfolge beliebig gewählt werden, so bleibt die Summe W k auch unverändert. (Die Formänderungsarbeit ist unabhängig von der Reihenfolge der Kräfte. In dem Sinne soll die von F 2 durch die, von F 1 verursachte Verschiebung leistete fremde Arbeit (W 21 mit der, die von F 1 durch die, von F 2 verursachte Verschiebung leistete fremde Arbeit (W 12 gleich betragen. 125

130 Arbeits- und Energiesätze der Festigkeitslehre. Der Satz von Bettiund Castigliano. (18.12 Der Zusammenhang enthält die Gleichwertigkeit fremder Arbeiten, es ist der Satz von Betti. Laut des Satzes von Betti stimmt die Arbeit irgendeines Gleichgewichtskraftsystems durch, die von einem anderen Gleichgewichtskraftsystem verursachte Verschiebung geleistet wurde, mit der Arbeit eines anderen Gleichgewichtskraftsystems durch, die von dem ersten Gleichgewichtskraftsystem verursachte Verschiebung geleistet wurde überein. Der Satz ist auch für beliebigen Kraftsysteme (für Kraftsysteme die Kräfte, Momente (Kräftepaare ebenso enthalten gültig. Bemerkung: in der oben behandelten Aufgabe bildet die Kraft F 1 nur mit der Reaktionskraft zusammen ein Gleichgewichtsystem. Die Reaktionskraft kann gegen der aktiven Kraft F 1 als eine so genannte passive Kraft behandelt werden, weil der Angriffspunkt der Reaktionskraft kann nicht verschoben werden, so kann die Reaktionskraft auch keine Arbeit leisten. Die Arbeit der äußeren Kräfte könnte aus der Gleichung auch durch die Spannungen und Dehnungen ermittelt werden, da die Arbeit der äußeren Kräfte mit der, im Balken gespeicherten Verformungsenergie gleich beträgt. (18.13 (18.14 wo mit U 1 und U 2 die Verformungsenergie des Kraftsystems 1, sowie die Verformungsenergie des Kraftsystems 2 bezeichnen. Analog zur fremden Arbeiten können auch die Verformungsenergien folgendermaßen formuliert werden: (18.15 wo V der Volumen des Stabes der Abb bedeutet. Wie sich es aus der Gleichung eindeutig ergibt, ist der Satz von Betti auch für die Verformungsenergien gültig. 2. Der Satz von und der Vertauschungssatz von Maxwell Der Satz von Betti (Enrico Betti italienischer Mathematiker, enthält die Gleichwertigkeit fremde, äußere Arbeiten. (18.16 Mit anderen Worten ausgedrückt: die fremde Arbeit irgendeines Gleichgewichtskraftsystems durch die Wirkung ein anderes Gleichgewichtskraftsystem, stimmt mit der fremden Arbeit des anderen Gleichgewichtskraftsystems durch die Wirkung des vorherigen Gleichgewichtskraftsystems überein. Für elastische Körper wird die Arbeit der äußeren Kräfte im Körper als Verformungsenergie U gespeichert, so können die Arbeiten beliebiger Indexen auch als Energie formuliert werden. Falls statt W 12 einfach U 12 eingesetzt wird, kann der Satz von Betti in folgender Form geschrieben werden: oder (

131 Arbeits- und Energiesätze der Festigkeitslehre. Der Satz von Bettiund Castigliano. (18.18 Für einen konkreten Belastungsfall kann die zwei Gleichgewichtskraftsystem (Kraftsystem 1 und Kraftsystem 2 auch sehr kompliziert sein. Gleichzeitig kann zum Beispiel Zug/Druckkraft, Biegemoment und Torsionsmoment vorhanden sein (Kraftsystem 1: F 1(z;M 1(z;T 1(z; Kraftsystem 2: F 2(z;M 2(z;T 2(z. Man darf nicht vergessen, dass in dem praktischen Einsatz die durch Scherbeanspruchung verursachten Verformungsenergien in allgemeinen vernachlässigt werden. Für eine zusammengesetzte Belastung kann die eigene Arbeit für das Kraftsystem 1 und Kraftsystem 2 durch die folgenden Zusammenhänge ermittelt werden: (18.19 (18.20 Für den Belastungsfall 2 soll das Kraftsystem bestehend aus Einzelkraft F 2 auf den Stab kontinuierlich aufgetragen (Kraftsystem 2. Es soll der durch das Kraftsystem 1 bereits belasteter Stab auch mit dem Kraftsystem 2 belastet werden. Analog zur Kraftsystem 1 wird infolge seiner eigenen Verschiebung Δl 2 auch das zweite Kraftsystem (Kraftsystem 2 Arbeit leisten. Es soll die eigene Arbeit des zweiten Kraftsystems mit W 2 bezeichnet werden. Laut des Superpositionsprinzips leistet eine nachträglich wirkende Kraft F 2 eine gleichgroße Arbeit als sie alleine wäre. (Das Superpositionsprinzip stellt fest, das die Kräfte ihre Wirkungen voneinander unabhängig ausüben! Die fremde Arbeit des ersten Kraftsystems durch die Wirkung des zweiten Kraftsystems (laut der Gleichung 18.1 auch die Zusammenhange W 12 = U 12 und W 21 = U 21 gültig sind also (18.21 Es soll der Balken (Abb durch die Kraft F 1 belastet, und dann soll die Kraft F 2 aufgetragen werden. All das einfach beschreiben zu können, sollen die Kräfte sowie auch die Verschiebungen senkrecht angeordnet werden. Auf die Wirkung von F 2 entsteht unter der Kraft F 1 eine Durchbiegung y 12, deswegen die fremde Arbeit der Kraft F 1 Die Reihenfolge der Kräfte kann vertauscht werden, so (18.22 (18.23 Für die senkrechte Verschiebungen (Durchbiegung zwei verschiedener Querschnitte des Balkens bezeichnen die Variablen y 12 und y 21. Der erste Index bezieht sich auf die Stelle des Querschnittes, die zweite auf die Ursache, auf das Kraftsystem 1 oder Kraftsystem 2. Anders formuliert: die Durchbiegung y 12 bedeutet die senkrechte Verschiebung des Querschnittes 1 durch die Wirkung der Kraft F 2 (Kraftsystem 2. Analog die Durchbiegung y 21 bedeutet die senkrechte Verschiebung des Querschnittes 2 durch die Wirkung der Kraft F 1 (Kraftsystem

132 Arbeits- und Energiesätze der Festigkeitslehre. Der Satz von Bettiund Castigliano. Abb Balken durch zwei verschiedene Kraftsysteme (1 und 2 belastet Aufgrund der Satz von Betti W 12 = W 21, also (18.24 da W 12 = U 12, deswegen kann die Gleichung auch in folgender Form geschrieben werden: (18.25 Daraus kann y 21 (dass heißt die senkrechte Verschiebung des Querschnittes 2 durch die Wirkung des ursprünglichen Kraftsystems ermittelt werden: (18.26 Falls die Kraft F 2 zweckmäßig als eine Einheitskraft gewählt wird, so erhält man einen einfachen Zusammenhang für die unbekannte Durchbiegung. Für eine Einheitskraft F 2 kann die gesuchte Verschiebung y 21 aus der Gleichung y 21=U 12 bestimmt werden. Der Satz von Betti wird am häufigsten zur Ermittlung Verschiebungen bestimmter Richtung oder (f oder zur Neigung (φ irgendeines Querschnittes durch Gleichgewichtskraftsystem belasteter Balken verwendet. Bei dem praktischen Einsatz des Satzes wird das ursprüngliche Kraftsystem als Kraftsystem 1 betrachtet. Das Kraftsystem 2 wird so gewählt, dass die fremde Arbeit dieses Kraftsystems durch die gesuchte Verschiebung oder Neigung geleistet wird. Wenn die Verschiebung eines Querschnittes in einer bestimmten Richtung ermittelt werden soll, so wird als erster Schritt das ursprüngliche Kraftsystem (Kraftsystem 1 vom Balken entfernt, und dann im ausgewählten Querschnitt wird eine, zur Verschiebungsrichtung angeordnete Einheitskraft (F 2 =1 aufgetragen. Als nächster Schritt sind die Schnittgrößenverlaufe und daraus die Beanspruchungsfunktionen für das Kraftsystem 1 sowie für das Kraftsystem 2 zu ermitteln, und dann wird aus der Gleichung die Verformungsenergie U 12 berechnet. Um das Integral in der Gleichung zu bestimmen, soll der Balken im Allgemeinen auf Bereiche verteilt werden, da durch das Produkt zweier Beanspruchungsfunktionen des Kraftsystems 1 und des Kraftsystems 2 zu neuen Funktionen führen, die erneut aus verschiedenen Strecken zusammengeführt werden kann. Wenn die Verformungsenergie U 12 bereits bekannt ist, so kann die gesuchte Verschiebung (f = y 21 aus der Gleichung leicht errechnet werden. Falls das Vorzeichen der Verschiebung positiv ist, hat die Bedeutung, dass die Verschiebung zum Richtungssinn der Kraft F 2 zusammenfällt. Soll die Neigung eines Querschnittes in einer bestimmten Richtung ermittelt werden, so ist das Vorgehensweise zur vorherigen Methode sehr ähnlich. Es gibt nur ein winziges Unterschied: nachdem das ursprüngliche Kraftsystem 128

133 Arbeits- und Energiesätze der Festigkeitslehre. Der Satz von Bettiund Castigliano. (Kraftsystem 1 vom Balken entfernt wurde, soll im ausgewählten Querschnitt statt eine Einheitskraft sondern ein zur Verdrehungsrichtung angeordnete Einheitskräftepaar (M 2 =1 aufgetragen werden. Die Neigung eines bestimmten Querschnittes kann aus der Gleichung folgender Form ermittelt werden: (18.27 wo φ 21 die Neigung des Querschnittes 2 des Balkens in Bogenmaß bedeutet infolge des ursprünglichen Kraftsystems, Kraftsystem 1. Das Vorzeichen der Neigung wird analog bestimmt, wie bei der Verschiebung bereits erklärt wurde. Der Vertauschungssatz von Maxwell (James Clerk Maxwell schottischer Mathematiker und Physiker, laut eine seiner möglichen Formulierung die Angriffsstelle der Kraft und die Stelle der Verschiebung kann vertauscht werden. Nach einer anderen Variante des Satzes können die äußeren Verschiebungen vertauscht werden. Der Vertauschungssatz folgt aus dem Satz von Betti für spezielle Kraftsysteme. Der Vertauschungssatz wird durch eine einfache und sehr häufig eingesetzte Anwendung zur Ermittlung der Durchbiegung gerader Stäbe vorgeführt. Es soll der Balken (Abb durch die Kraft F 1 und Kraft F 2 belastet werden, falls beide Kräfte F 1 = F 2 = 1 betragen. Als erst wir nur die Kraft F 1 auf den Balken aufgetragen und dann wirkt nur die Kraft F 2. Durch die von den Kräften erstellte Durchbiegungen (senkrechte Verschiebungen sollen ebenso wie beim Satz von Betti bezeichnet werden. Infolge des Kraftsystem 1 soll die Verschiebung des Querschnittes 2 y 21 betragen. Ähnlich soll durch das Kraftsystem 2 am Querschnittes 1 eine Verschiebung 2 y 12 erstellen. Laut des Gesetzes von Betti W 12 = W 21, also der Zusammenhang auch hier gültig ist. Wegen der Einheitskräfte kann Gleichung auch anders formuliert werden: oder (18.28 (18.29 Das Ergebnis, die Gleichung wird als Vertauschungssatz von Maxwell interpretiert. Wenn alle beide Durchbiegungen (y 12 und y 21 benötigt sind, Laut des Gesetzes reicht es nur eine davon zu ermittelt. 3. Der Satz von Castigliano Es soll ein elastischer Körper (siehe Abb untersucht werden. Nehmen wir an, dass der Körper zur Umbebung statisch bestimmt verbunden ist, dass heißt die Lagerreaktionen und auch die Verformungsenergie als Funktion der äußeren aktiven Kräfte formuliert werden kann. Es soll ein Kraftsystem bestehend aus Einzelkräfte und Kräftepaare stufenweise an den Körper wirken lassen. Die Einzelkräfte und die Kräftepaare sollen mit F, beziehungsweise mit M bezeichnet werden. Infolge des Gleichgewichtskraftsystems werden die Punkte des Körpers verschoben, der Körper erhält einer neuen Gestalt. Die Verschiebung (der Verschiebungsvektor des Angriffpunktes des Kraftvektors F 1 sei e 1. Die orthogonale Projektion des Verschiebungsvektors auf den Kraftvektor (die auf den Kraftvektor projizierte Verschiebung oder die Komponente des Verschiebungsvektors in der Wirkungslinie des Kraftvektors soll mit f 1 bezeichnet werden. Diese Bezeichnungen sind für die Einzelkraft F i logischerweise e i und f i. Diese Methode kann auch für die Kräftepaare analog verwendet werden. Die Neigung in der Umgebung eines Kräftepaares M j auf den Momentvektor projiziert sei φ j. 129

134 Arbeits- und Energiesätze der Festigkeitslehre. Der Satz von Bettiund Castigliano. Abb Durch Gleichgewichtskraftsystem belasteter elastischer Körper beliebiger Gestalt. Die eigene Arbeit der Einzelkraft F i (18.30 Die eigene Arbeit des Kräftepaares M j (18.31 Dementsprechend die gesamte eigene Arbeit des Kraftsystems: (18.32 wo n die Anzahl der aktiven Einzelkräfte, und m die Anzahl der aktiven Kräftepaare bezeichnen. Die Reaktionskräfte F A und F B leisten keine Arbeit, da ihre Angriffspunkte keine Verschiebung aufweisen (dass heißt sie sind so genannte passive Kräfte. Es soll Betrag von F i mit df i verändert werden, die anderen Kräfte und Momente bleiben unverändert. Die Differenz oder Veränderung der Arbeit der äußeren Kräfte: (18.33 Jetzt soll die Reihenfolge der Belastung vertauscht werden. Der Balken wird als erste durch die Kraft df i belastet, erst dann durch die anderen. In dem Falle setzt sich die elementare äußere Arbeit (dw k aus der eigene Arbeit der Kraft df i (aus der durch die Verschiebung df i geleistete Arbeit und aus der fremden, durch das Kraftsystem geleistete Arbeit (f idf i zusammen. Die eigene Arbeit der Kraft df i bildet einen kleinen Betrag zweiter Ordnung, deshalb stimmt die elementare äußere Arbeit mit einer ziemlich guten Annäherung mit der fremden Arbeit der elementaren Kraft df i überein. (

135 Arbeits- und Energiesätze der Festigkeitslehre. Der Satz von Bettiund Castigliano. Da die linken Seiten der Zusammenhänge und gleich sind, so müssen auch die rechten Seiten der Gleichungen übereinstimmen. Diese letzte Bedingung kann folgendermaßen formuliert werden: (18.35 Die Gleichung ist der Satz von Castigliano. Laut des Satzes kann die Verschiebung des Angriffspunktes in der Wirkungslinie irgendeiner aktiven Einzelkraft durch die erste partielle Ableitung nach der Einzelkraft der gesamten äußeren Arbeit des Belastungskraftsystems des Körpers ermittelt werden. Nach ähnlicher Vorgehensweise kann der Satz von Castigliano auch so formulieren: (18.36 Nach der Gleichung kann die Verdrehung in der Umgebung (im Querschnitt eines aktiven Momentvektors durch die erste partielle Ableitung nach des Momentvektors der gesamten äußeren Arbeit des Belastungskraftsystems des Körpers in Bogenmaß berechnet werden. Da für elastische Körper W k=u gilt, deswegen kann statt der Arbeit der äußeren Kräfte die innere Verformungsenergie (oder die elastische Energie eingetragen werden: (18.37 und (18.38 Der Satz von Castigliano stellt fest, dass die partielle Ableitung nach irgendeiner aktiven Einzelkraft der gesamten Verformungsenergie des elastischen Körpers zur Verschiebung des Angriffspunktes der Einzelkraft in ihrer Wirkungslinie führt. Eine weitere Anwendung: die Verdrehung kann in der Umgebung (im Querschnitt eines aktiven Momentvektors durch die partielle Ableitung nach des Momentvektors der gesamten Verformungsenergie des elastischen Körpers in Bogenmaß berechnet werden. Der Satz von Castigliano ist nur zur Lösung statisch bestimmter Tragwerke geeignet, wo die Lagerreaktionen beziehungsweise die Verformungsenergie als Funktion des aktiven Kraftsystems durchgeführt werden kann. Die gesamte Verformungsenergie für einen Biegebalken: deswegen (18.39 (

136 und Arbeits- und Energiesätze der Festigkeitslehre. Der Satz von Bettiund Castigliano. (18.41 wo l die Gesamtlänge des Balkens bedeutet. Zur Anwendung des Satzes von Castigliano sind die Beanspruchungsfunktionen und auch die gesamte Verformungsenergie als Funktion der Einzelkraft (falls die Verschiebung gesucht wird oder als Funktion des Kräftepaares (wenn die Verdrehung bestimmt werden muss in ausgewähltem Punkt des elastischen Körpers analytisch zu erstellen. Da in der Verformungsenergie die Reaktionskräfte dürfen nicht einbezogen werden, müssen sie als Funktion der aktiven Kräfte durch die Gleichgewichtsgleichungen berücksichtigt werden. Falls in den ausgewählten Punkt in der gesuchten Richtung der Verschiebung keine Einzelkraft vorhanden ist, so muss hier eine Kraft deren Betrag Null beträgt eingesetzt werden, um die partielle Ableitung nach F durchführen zu können. Die tatsächlichen Lagerreaktionen werden durch diese Kraft nicht beeinflusst, da F = 0 beträgt. Diese Logik kann selbstverständlich auch zur Bestimmung von Verdrehungen eingesetzt werden. BEISPIEL 18.1 Es ist die senkrechte Verschiebung (die Durchbiegung des Querschnittes der Koordinate z=l/2 für den Balken (Abb zu bestimmen! Der Querschnitt des Balkens ist Konstant. Zur Lösung der Aufgabe ist der Satz von Betti zu verwenden! Die Beanspruchung des Balkens ist Schub und Biegung. Wie in der Praxis im Allgemeinen kann die Verformungsenergie der Querkraft im Vergleich zur Verformungsenergie der Biegung vernachlässigt werden. Die Biegemomentfunktion des Kraftsystems 1 (ursprüngliches Kraftsystem soll mit M 1 bezeichnet werden (siehe Abb Die Reaktionskräfte ergeben sich wegen der Symmetrie ganz einfach: F A=F B=F 1. Der Schnittgrößenverlauf für das Biegemoment ist ebenso symmetrisch, so reicht es die Momentfunktion nur für die Hälfte des Trägers zu erstellen. Abb Durch Einzelkräfte belasteter Balken. Bei der Gestaltung der Beanspruchungsfunktion wird die untersuchte Strecke des Balkens auf zwei Bereiche verteilt. Der Beanspruchungsfunktion wird für die zwei Teile getrennt erstellt. Teil I.: 0 z a M 1(z=-F 1z 132

137 Teil II.: a z l/2=a+b Arbeits- und Energiesätze der Festigkeitslehre. Der Satz von Bettiund Castigliano. M 1(z=-F 1z+F 1(z-a=-F 1a Als nächster Schritt wird vom Balken das Kraftsystem 1 entfernt. Beim untersuchten Querschnitt wird eine Einzelkraft F 2 in Richtung der Durchbiegung eingeführt. Die Einzelkraft und die dadurch verursachte Reaktionskräfte werden als Kraftsystem 2 behandelt. Danach werden die Biegebeanspruchungsfunktionen auch für das Kraftsystem 2 erstellt (siehe Abb Zur Ermittlung der Lagerreaktionen braucht man auch jetzt keine der Gleichgewichtsgleichungen einsetzen, da F A=F B=F 2/2 betragen. Die Beanspruchungsfunktion für das Kraftsystem 2 kann für beide untersuchten Strecken des Balkens mit derselben Funktion beschrieben werden. Abb Durch das Kraftsystem 2 belasteter Balken. Teil I. und Teil II.: Wegen der Symmetrie reicht es die fremde Verformungsenergie U 12 durch die Integralrechnung für die Hälfte des Balkens zu ermitteln, und dann das Ergebnis einfach mit zwei multiplizieren. Zur Berechnung des im Ausdruck der Verformungsenergie enthaltenen Integrals muss die Hälfte des Balkens erneut auf zwei Strecken aufgeteilt werden, weil durch das Produkt M 1M 2 ergebene neue Funktion aus zwei verschiedenen Teilen zusammengefügt werden kann. Da die Biegesteifigkeit IE für die Gesamtlänge des Balkens konstant ist, so kann sie vor dem Integralzeichen geschrieben werden. Das Flächenträgheitsmoment des Querschnittes (I ist auf die Biegungsachse zu ermitteln, die jetzt für uns die Achse x bedeutet. 133

138 Arbeits- und Energiesätze der Festigkeitslehre. Der Satz von Bettiund Castigliano. Der Betrag der gesuchten Durchbiegung aus dem Satz von Betti: BEISPIEL 18.2 Es ist die Neigung des Querschnittes für die Koordinate z=a für den skizzierten Balken (Abb zu bestimmen! Der Querschnitt des Balkens ist Konstant. Zur Lösung der Aufgabe ist der Satz von Betti zu verwenden! Die Beanspruchungen des Balkens heißen Schub und Biegung. Wie im Allgemeinen wird die Verformungsenergie der Querkraft im Vergleich zur Verformungsenergie der Biegung vernachlässigt. Die Biegemomentfunktion des Kraftsystems 1 (ursprüngliches Kraftsystem soll mit M 1 bezeichnet werden (siehe Abb Zur Bestimmung der Reaktionskräfte ist der Momentsatz ( M=0 in Bezug auf die Lagerung A einzusetzen. Der Richtungssinn der Reaktionskraft F B wird angenommen, dass heißt sie ist senkrecht nach oben angeordnet. M A=0=-F 1a+F Bl Daraus folgt: Zur Bestimmung der Reaktionskraft kann der Vektorsatz ( F=0 erfolgreich eingesetzt werden. Der Richtungssinn der Reaktionskraft F A wird ebenso wie die Reaktionskraft F B senkrecht nach oben angeordnet. F Y=0=F A-F 1+F B und 134

139 Arbeits- und Energiesätze der Festigkeitslehre. Der Satz von Bettiund Castigliano. Abb Durch Einzelkraft belasteter Balken. Zur Gestaltung der Beanspruchungsfunktion wird die untersuchte Strecke des Balkens auf zwei Bereiche verteilt. Der Beanspruchungsfunktion wird für die zwei Teile getrennt erstellt. Teil I. 0 z a Teil II. a z l Als nächster Schritt wird vom Balken das Kraftsystem 1 entfernt. Beim untersuchten Querschnitt wird ein Kräftepaar M 2 in Richtungssinn der angenommenen Winkelverdrehung eingeführt. Das Kräftepaar M 2 und die dadurch verursachte Reaktionskräfte werden im Weiteren als Kraftsystem 2 behandelt. Danach werden die Biegebeanspruchungsfunktionen auch für das Kraftsystem 2 erstellt (siehe Abb Zur Ermittlung der Lagerreaktionen für das Kraftsystem 2 braucht man auch jetzt die Gleichgewichtsgleichungen einsetzen. Das Kräftepaar M 2 kann durch ein anderes Kräftepaar ausgeglichen werden, deswegen wird der Richtungssinn der Reaktionskraft F A senkrecht nach oben und der Richtungssinn der Reaktionskraft F B senkrecht nach unten angenommen. M A=0=M 2-F Bl daraus folgt: 135

140 Arbeits- und Energiesätze der Festigkeitslehre. Der Satz von Bettiund Castigliano. F y=0=f A-F B Au der obigen Gleichung: Die Biegemomentfunktionen für das Kraftsystem 2: Teil I.: 0 z a Teil II.: a z l Zur Berechnung des im Ausdruck der Verformungsenergie U 12 enthaltenen Integrals muss der Balken auf zwei Strecken aufgeteilt werden, weil durch das Produkt M 1M 2 ergebene neue Funktion aus zwei verschiedenen Teilen zusammengefügt werden kann. Da die Biegesteifigkeit IE für die Gesamtlänge des Balkens konstant ist, so kann sie vor dem Integralzeichen geschrieben werden. Das Flächenträgheitsmoment des Querschnittes (I ist auf die Biegungsachse zu ermitteln, die jetzt für uns die Achse x bedeutet. Aus der Gleichung ergibt sich: Der Betrag der gesuchten Neigung aus dem Satz von Betti: BEISPIEL 18.3 Es ist der BEISPIEL unter Verwendung des Satzes von Castigliano zu lösen! 136

141 Arbeits- und Energiesätze der Festigkeitslehre. Der Satz von Bettiund Castigliano. Den untersuchten Balken stellt die Abb dar. In der Mitte der Spannweite des Balkens, wo die senkrechte Verschiebung (die Durchbiegung des Querschnittes gefragt wird, gibt es keine Einzelkraft in der Richtung der gesuchten Verschiebung. Als erster Schritt muss in der Mitte des Balkens eine Einzelkraft wirken lassen, deren Größe F 0=0 beträgt. Es wird deswegen durchgeführt, um für die Verwendung des Satzes von Castigliano eine partielle Ableitung nach der Einzelkraft in Richtung der Verschiebung durchführen zu können. Die Beanspruchung des Balkens ist Schub und Biegung. Wie in der Praxis im Allgemeinen, kann die Verformungsenergie der Querkraft im Vergleich zur Verformungsenergie der Biegung vernachlässigt werden. Zur Bestimmung der Reaktionskräfte ist der Momentsatz ( M=0 in Bezug auf die Lagerung A einzusetzen. Der Richtungssinn der Reaktionskraft F B wird angenommen, sie ist senkrecht nach oben gerichtet. M A=0=-F 1a-F 0(a+b-F 1(a+2b+F B2(a+b Daraus: 0=-F 1a-F 0(a+b-F 1(a+b-F 1b+2F B(a+b 0=-F 1(a+b-F 0(a+b-F 1(a+b+2F B(a+b 0=-2F 1(a+b-F 0(a+b+2F B(a+b 0=-2F 1-F 0+2F B Nach Neuordnung der Gleichung: Da der Balken, auch die Belastung symmetrisch ist, so erhält man: Abb Durch Einzelkräfte belasteter Balken. Der Betrag der gesuchten Durchbiegung f aus dem Satz von Castigliano kann durch den Zusammenhang 137

142 bestimmt werden. Arbeits- und Energiesätze der Festigkeitslehre. Der Satz von Bettiund Castigliano. Dazu ist die Biegemomentfunktion zu erstellen, und dann muss auch die partielle Ableitung nach der Gleichung durchgeführt werden. In der Biegemomentfunktion dürfen die Lagerkräfte direkt nicht einbezogen werden, deswegen müssen sie durch die Gleichgewichtsgleichungen als Funktion der aktiven Kräfte ausgedruckt werden. Der Schnittgrößenverlauf für das Biegemoment ist ebenso symmetrisch, so reicht es die Momentfunktion nur für die Hälfte des Trägers zu erstellen. Bei der Gestaltung der Beanspruchungsfunktion wird die untersuchte Strecke des Balkens auf zwei Bereiche verteilt (Abb Der Beanspruchungsfunktion wird für die zwei Teile getrennt erstellt. Teil I.: 0 z a Bevor der Bereich II. des Balkens analysiert wird, soll die partielle Ableitung der Funktion M(z nach F 0 erstellt werden, und ein Anteil der Durchbiegung (f I aus der Beanspruchungsfunktion des Teiles I. bestimmt werden. Wie sich aus dem Zusammenhang oben klar ergibt, beträgt die eingesetzte Einzelkraft F 0, die zur Bestimmung von f I verwendet wurde, tatsächlich Null. Es soll auch für den Teil II. eine ähnliche Vorgehensweise verfolgt werden: Teil II.: a z a+b 138

143 Arbeits- und Energiesätze der Festigkeitslehre. Der Satz von Bettiund Castigliano. Der Betrag der gesuchten Durchbiegung f aus dem Satz von Castigliano mit Symmetrieeigenschaften und mit 2 multipliziert kann durch den Zusammenhang bestimmt werden: Der Betrag von f stimmt mit dem Ergebnis aus dem Satz von Betti überein (siehe BEISPIEL 18.1 BEISPIEL 18.4 Es ist der BEISPIEL unter Verwendung des Satzes von Castigliano zu lösen! Den untersuchten Balken stellt die Abb dar. Für die Koordinate z=a des Balkens, wo die Neigung des Querschnittes gefragt wird, wirkt es kein Kräftepaar in der Richtung der gesuchten Verdrehung. In der Mitte der Spannweite des Balkens, wo die senkrechte Verschiebung (die Durchbiegung des Querschnittes gefragt wird, gibt es keine Einzelkraft in der Richtung der gesuchten Verschiebung. Als erster Schritt muss in dieser Stelle des Balkens ein Kräftepaar in der Richtung der gesuchten Verdrehung wirken lassen, deren Größe M 0=0 beträgt. Es wird deswegen durchgeführt, um für die Verwendung des Satzes von Castigliano eine partielle Ableitung nach Kräftepaares in Richtung der Verdrehung durchführen zu können. Die Beanspruchung des Balkens ist Schub und Biegung. Wie in der Praxis im Allgemeinen, kann die Verformungsenergie der Querkraft im Vergleich zur Verformungsenergie der Biegung vernachlässigt werden. Zur Bestimmung der Reaktionskräfte ist der Momentsatz ( M=0 in Bezug auf die Lagerung A einzusetzen. Der Richtungssinn der Reaktionskraft F B wird angenommen, sie ist senkrecht nach oben gerichtet. M a=0=-f 1a+M 0+F Bl Daraus: Zur Bestimmung der Reaktionskraft kann der Vektorsatz ( F=0 erfolgreich eingesetzt werden. Der Richtungssinn der Reaktionskraft F A wird ebenso wie die Reaktionskraft F B senkrecht nach oben angeordnet. F y=0=f A-F 1+F B und 139

144 Arbeits- und Energiesätze der Festigkeitslehre. Der Satz von Bettiund Castigliano. Abb Durch Einzelkraft belasteter Balken. Der Betrag der gesuchten Neigung φ aus dem Satz von Castigliano kann durch den Zusammenhang bestimmt werden. Dazu ist die Biegemomentfunktion zu erstellen, und dann muss auch die partielle Ableitung nach der Gleichung durchgeführt werden. In der Biegemomentfunktion dürfen die Lagerkräfte direkt nicht aufgeführt werden, deswegen müssen sie durch die Gleichgewichtsgleichungen als Funktion der aktiven Kräfte ausgedruckt werden. Bei der Gestaltung der Beanspruchungsfunktion wird die untersuchte Strecke des Balkens auf zwei Bereiche verteilt. Die Beanspruchungsfunktion wird für die zwei Teile getrennt erstellt. Teil I.: 0 z a Bevor der Bereich II. des Balkens analysiert wird, soll die partielle Ableitung der Funktion M(z nach M 0 erstellt werden, und ein Anteil der Durchbiegung (φ I aus der Beanspruchungsfunktion des Teiles I. bestimmt werden. 140

145 Arbeits- und Energiesätze der Festigkeitslehre. Der Satz von Bettiund Castigliano. Wie sich aus dem Zusammenhang oben klar ergibt, wird das eingesetzte Kräftepaar M 0, das zur Bestimmung von φ I verwendet wurde, tatsächlich Null betragen. Es soll auch für den Teil II. eine ähnliche Vorgehensweise verfolgt werden: Teil II.: a z l Um die Bestimmung für φ II deutlich zu Beschleunigen, werden die mit M 0 ausgedrückten Teile - da die alle Null betragen - jetzt einfach nicht mehr aufgeführt. Der Betrag der gesuchten Neigung φ: 141

146 Arbeits- und Energiesätze der Festigkeitslehre. Der Satz von Bettiund Castigliano. Der Betrag von φ stimmt mit dem Ergebnis aus dem Satz von Betti überein (siehe BEISPIEL 18.2 BEISPIEL 18.5 Bei welcher Einzelkraft F 2 wird die Durchbiegung y 2 des eingespannten Balkens Null betragen (Abb ? Der Querschnitt des Balkens ist Konstant. Zur Lösung der Aufgabe ist der Satz von Castigliano zu verwenden! Abb Durch Einzelkräfte belasteter eingespannter Balken Die Beanspruchung des Balkens ist Schub und Biegung. Wie in der Praxis im Allgemeinen, kann die Verformungsenergie der Querkraft im Vergleich zur Verformungsenergie der Biegung vernachlässigt werden. Der Betrag der gesuchten Durchbiegung in Richtung y kann für den eingespannten Balken aus dem Satz von Castigliano durch den Zusammenhang bestimmt werden. Dazu ist die Biegemomentfunktion zu erstellen, und dann muss auch die partielle Ableitung nach der Gleichung durchgeführt werden. Bei der Gestaltung der Beanspruchungsfunktion wird der Balken auf zwei Bereiche verteilt. Die Beanspruchungsfunktion wird für die zwei Teile getrennt erstellt. Teil I. 0 z l/2 M(z=-F 2 z Bevor der Bereich II. des Balkens analysiert wird, soll die partielle Ableitung der Funktion M(z nach F 2 erstellt werden. 142

147 Arbeits- und Energiesätze der Festigkeitslehre. Der Satz von Bettiund Castigliano. Es soll auch für den Teil II. eine ähnliche Vorgehensweise verfolgt werden: Teil II. l/2 z l Die Durchbiegung in Richtung y des freien Endes des Balkens: Unsere Zielsetzung lautete: f = 0, und dementsprechend muss mit f = 0 formuliert werden und daraus die gesuchte Einzelkraft F 2 ist leicht Neuzuordnen: 143

148 Kapitel 19. Ermittlung die Verformungen der Balkenträger durch die Differential-gleichung der elastischen Linie, und aus der Gleichungen der Biegelinie. 1. Die Differentialgleichung der elastischen Linie Wie es vorher bereits bei der geraden Biegung prismatischer Stäbe erklärt wurde, kann für einen Biegestab kann der Zusammenhang zwischen der Biegemomentfunktion M und der Krümmung der elastischen Linie (1/ ρ folgendermaßen erstellt werden (19.1 Die neutrale Achse oder die elastische Linie ist eine durch die Schwerpunkte eines Biegestabes geführte Schwerpunktsachse, deren Länge infolge der Verformung des Balkens unverändert bleibt. ρ bedeutet den Krümmungsradius der gekrümmten elastischen Linie des Biegestabes, M die Biegemomentfunktion, I das Flächenträgheitsmoment auf die Biegungsachse des Querschnittes, und E der Elastizitätsmodul des Werkstoffes. In der analytischen Geometrie wird ρ dann als positiv betrachtet, wenn man die Kurve von links nach rechts, also in positiver Richtung der Achse z folgt, und sich der Krümmungsmittelpunkt vom Beobachter nach links befindet. Laut in der technischen Mechanik verwendeter Vorzeichenregel wird durch ein vom Quereschnitt nach links positives Moment M (gegen Uhrzeigersinn gerichtetes Moment eine negative ρ verursacht, dementsprechend muss ein Vorzeichenwechsel durchgeführt werden: (19.2 Aufgrund der Ergebnisse der analytischen Geometrie wird der Zusammenhang zwischen dem Krümmungsradius und der, auf die z Achse orthogonale Durchbiegung y folgendermaßen ausgedrückt: (19.3 In der Gleichung 19.3 y " und y ' sind die ersten und zweiten partieller Ableitungen nach z zu verstehen (Abb

149 Ermittlung die Verformungen der Balkenträger durch die Differentialgleichung der elastischen Linie, und aus der Gleichungen der Biegelinie. Abb Die ursprüngliche und die deformierte Gestalt der Stabachse eines Biegestabes (die deformierte Gestalt stellt die Deformationen deutlich vergrößert dar Achtung: die Abb. 19. stellt die deformierte Gestalt der Stabachse des eines Biegestabes - wie es üblich ist - deutlich vergrößert dar. In der elementaren Festigkeitslehre wird aber immer angenommen, dass die Deformationen klein sind. Aus der beiden Gleichungen 19.2 und 19.3 ergibt sich die Differentialgleichung der elastischen Linie. Nehmen wir an, dass ein kleiner Wert ist (es entspricht für kleine Deformationen, wo φ die Verdrehung des untersuchten Querschnittes bedeutet, und y' 2 noch kleiner beträgt (y' 2 0, so durch eine ziemlich gute Annäherung: (19.4 dass heißt (19.5 Die Gleichung 19.5 bedeutet die Differentialgleichung der elastischen Linie/neutraler Achse, wo durch M(z die Biegemomentfunktion des untersuchten Balkens bezeichnet wird. Die deformierte Gestalt der elastischen Linie wird durch die Funktion y(z definiert. Diese Funktion y(z zeigt eindeutig, dass der Schwerpunkt eines Querschnittes der Koordinate z wieweit in Richtung y verschoben wird. Die Verdrehung oder die Neigung Funktion φ(z für einen bestimmten Querschnitt des Balkens kann anhand der Funktion für den deformierten Gestalt y(z durch die nachfolgende Gleichung erstellt werden, (19.6 da die Querschnittsebene auf die elastische Linie senkrecht bleibt. Auf der rechten Seite der Gleichung befindet sich tgφ (die Richtungstangente, die zur deformierten Gestalt der elastischen Linie gehört für kleinen Winkeln mit einer ausreichender Annäherung mit dem Betrag des Winkels in Bogenmaß gleich beträgt. Also für kleine Winkel φ kann die Differenz zwischen der Länge deformierter elastischen Linie und deren senkrechten Projektion auf die Achse z vernachlässigt werden. 145

150 Ermittlung die Verformungen der Balkenträger durch die Differentialgleichung der elastischen Linie, und aus der Gleichungen der Biegelinie. Die Differentialgleichung 19.5 kann durch Trennen der Variablen gelöst werden. Nach Neuordnung der Gleichung kann die folgende Schreibweise verwendet werden. (19.7 Da die Differentialen gleich sind, daraus folgt, dass die Differenz zwischen der linken Seite der Gleichung nach Durchführung des Integrals nach y, und der rechten Seite der Gleichung nach Durchführung des Integrals nach z, nur eine Konstante C 1 beträgt. (19.8 Nach einer zweiten Integralrechnung erhält man endlich die allgemeine Lösung für die Differentialgleichung (19.9 In der allgemeinen Lösung (Gleichung aufgeführte Integralkonstanten C 1 und C 2 können aus den Randbedingungen bestimmt werden, die mit den Auflagerungen des Balkens eng verbunden sind. Die Randbedingungen für den Balken der Abb wie folgt: und (19.10 (19.11 Laut der Gleichungen und beträgt die Verschiebung in Richtung y der elastischen Linie für die Koordinaten z = 0 und z = l ebenso y = 0, da der Stab an beiden Stellen durch Lagern mit der Umgebung verbunden ist. Falls die Biegemomentfunktion durch eine einzige analytische Funktion für die gesamte Balkenlänge beschrieben werden kann, so kann die Gleichung der gekrümmten elastischen Linie durch zweifache Integralrechnung der Gleichung 19.5 einfach erstellt werden. Wenn die Funktion M(z nur stufenweise analytisch gestaltet werden kann, so müssen die Ergebnisse für die einzelnen Strecken erstellten Integralrechnungen nacheinender angepasst werden, dass heißt die elastische Linie kontinuierliche bleibt, und gibt es auch keinen Bruch in der elastischen Linie. Dementsprechend müssen die Randbedingungen mit so genanten Anpassungsbedingungen ergänzt werden. 2. Gleichungen der Biegelinie In der Festigkeitslehre werden die Zusammenhänge zur Bestimmung von Durchbiegung und Neigung linear elastischer Biegestäbe konstanter Querschnitt und für einfacher Belastungsfälle Gleichungen der Biegelinie oder einfach als Biegelinie bezeichnet. In der Praxis am häufigsten eingesetzte Zusammenhänge der Biegelinie - ohne auf vollständigen Inhalt zu bestreben - enthält die Tabelle a Die Durchbiegung sowie auch die Neigung in allen, in der Tabelle aufgeführten Fällen mit der Belastung lineare Funktion bildet, (durch doppelte Belastung auch zweifache Verformung verursacht wird, deswegen kann für Biegestäbe zusammengesetzter Belastungen das Prinzip der Superposition zur Berechnung von Durchbiegungen und Verdrehungswinkeln erfolgreich eingesetzt werden. Laut des Superpositionsprinzips wird durch jede einzelne Belastung eine solche Deformation (Durchbiegung/Neigung hervorgerufen als sie auf den Balken alleine wirke. Dementsprechend kann die gesamte Verformung des Balkens als Resultierende der einzelnen Durchbiegungen erstellt werden. Bei dem Einsatz der Gleichungen der Biegelinie wird der Balken zusammengesetzter Belastung auf Balken 146

151 Ermittlung die Verformungen der Balkenträger durch die Differentialgleichung der elastischen Linie, und aus der Gleichungen der Biegelinie. einfacher Belastungsfällen zerlegt (siehe Gleichungen der Biegelinie, und die gesamte Deformation wird als Summe der einfachen Balkenergebnisse erstellt. Tabelle Deformation der Biegebalken für einfache Lastfällen (Gleichungen der Biegelinie BEISPIEL 19.1 Es ist die deformierte Gestalt der Stabachse, die senkrechte Verschiebung der Querschnitte sowie die Verdrehung um die Achse x eines durch eine Einzelkraft belasteten eingespannten Balkens (Abb zu bestimmen! Der Querschnitt des Balkens ist konstant. 147

152 Ermittlung die Verformungen der Balkenträger durch die Differentialgleichung der elastischen Linie, und aus der Gleichungen der Biegelinie. Abb Durch Einzelkraft belasteter eingespannter Balken. Als erster Schritt ist die Beanspruchungsfunktion zu ermitteln. Wenn man die Beanspruchungsfunktion für den skizzierten Belastungsfall (Abb aus dem Kraftsystem auf der linken Seite des Querschnittes bestimmen will, benötigt dazu auch die Lagerreaktionen in der Einspannung. (Bemerkung: die Beanspruchungsfunktion kann auch ohne die Lagerreaktionen bestimmt werden, dazu soll der Balken auf die Ebene x-y gespiegelt, und der Koordinatenursprung auf die freien Ende des Balkens verlegt werden. Die Lagerreaktionen können aus den Gleichgewichtsgleichungen bestimmt werden. M "A"=0=M A-F1 F y=0=f A-F Damit: M A=1F F A=F Die Biegemomentfunktion: M(z=M A-zF A=1F-zF=F(l-z. Die Gleichung der elastischen Linie Es sollen beide Seiten der Gleichung zweifach integriert werden Erste Integralrechnung: Zweite Integralrechnung: 148

153 Ermittlung die Verformungen der Balkenträger durch die Differentialgleichung der elastischen Linie, und aus der Gleichungen der Biegelinie. Die Konstante für die Integralrechnung C 1 und C 2 können aus den Randbedingungen bestimmt werden. Randbedingung I.: für die Koordinate z=0 keine Verdrehung aufweißen darf. beträgt, dass heißt der Querschnitt in der Einspannung Daraus folgt: Randbedingung II.: für die Koordinate z=0 y=0 beträgt, dass heißt der Querschnitt in der Einspannung keine Verschiebung in Richtung y aufweißt. Damit: y(z=0=0=c 2. Dementsprechend die Funktion für die deformierte Form des Balkens (die Verschiebung an einer beliebigen Querschnittes der Koordinate z: Die maximale Verschiebung und Neigung erhält man im Querschnitt, der Koordinate z=l: Die Ergebnisse der Lösungen werden auch als Gleichungen der Biegelinie bezeichnet. BEISPIEL 19.2 Es ist die deformierte Gestalt der Stabachse, die senkrechte Verschiebung der Querschnitte sowie die Verdrehung um die Achse x eines durch ein Moment (Kräftepaar belasteten eingespannten Balkens (Abb zu bestimmen! Der Querschnitt des Balkens ist konstant. 149

154 Ermittlung die Verformungen der Balkenträger durch die Differentialgleichung der elastischen Linie, und aus der Gleichungen der Biegelinie. Abb Durch ein Moment (Kräftepaar belasteter eingespannter Balken. Als erster Schritt ist die Beanspruchungsfunktion zu ermitteln. Wenn man die Beanspruchungsfunktion für den skizzierten Belastungsfall (Abb aus dem Kraftsystem auf der linken Seite des Querschnittes bestimmen will, benötigt dazu auch die Lagerreaktionen in der Einspannung. (Bemerkung: die Beanspruchungsfunktion kann auch ohne die Lagerreaktionen bestimmt werden, dazu soll aber der Balken auf die Ebene x-y gespiegelt werden Zur Bestimmung der Lagerreaktionen ist der Momentsatz ( M=0 einzusetzen. M "A"=0=M A-M 0 Daraus: M A=M 0. Das Rektionskraftsystem besteht aus einem einzigen Kräftepaar M A. Die Biegemomentfunktion: M(z=M A=M 0. Es soll die Gleichung der elastischen Linie erstellt werden, und danach folgt nacheinander die zweifache Integralrechnung. Die Konstante C 1 und C 2 für die Integralrechnung können aus den Randbedingungen bestimmt werden. Erste Integralrechnung: Randbedingung I.: für die Koordinate z=0 keine Verdrehung aufweißen darf. beträgt, dass heißt der Querschnitt in der Einspannung 150

155 Daraus folgt: Ermittlung die Verformungen der Balkenträger durch die Differentialgleichung der elastischen Linie, und aus der Gleichungen der Biegelinie. Randbedingung II.: für die Koordinate z=0 y=0 beträgt, dass heißt der Querschnitt in der Einspannung keine Verschiebung in Richtung y aufweißt. Damit: y(z=0=0=c 2. Dementsprechend die Funktion für die deformierte Form des Balkens (die Verschiebung an einer beliebigen Querschnittes der Koordinate z: Für die Neigung an einer beliebigen Querschnittes der Koordinate z kann aus der folgenden Gleichung bestimmt werden: Die maximale Verschiebung und Neigung erhält man im Querschnitt der Koordinate z=l: Die Ergebnisse der Lösungen werden auch als Gleichungen der Biegelinie bezeichnet. BEISPIEL 19.3 Es ist die deformierte Gestalt der Stabachse, die senkrechte Verschiebung der Querschnitte sowie die Verdrehung um die Achse x eines durch Streckenlast belasteten Balkens (Abb zu bestimmen! Der Querschnitt des Balkens ist konstant. 151

156 Ermittlung die Verformungen der Balkenträger durch die Differentialgleichung der elastischen Linie, und aus der Gleichungen der Biegelinie. Abb Durch Streckenlast beanspruchter Balken. Es soll die Gleichung der elastischen Linie erstellt werden. Zur Bestimmung der Lagerreaktionen ist der Momentsatz (( M=0 einzusetzen. Die Lagerreaktionen können aus den Gleichgewichtsgleichungen bestimmt werden. F y=0=f A-ql+F B und daraus: Die beiden Reaktionskräfte könnten wegen der Symmetrie ohne Gleichgewichtsgleichungen ganz einfach ermittelt werden. Die Biegemomentfunktion: Es soll die Gleichung der elastischen Linie erstellt werden, und danach folgt die Integralrechnung zweimal. 152

157 Ermittlung die Verformungen der Balkenträger durch die Differentialgleichung der elastischen Linie, und aus der Gleichungen der Biegelinie. Die Randrandbedingungen: Randbedingung I.: für die Koordinate z = 0 y = 0 beträgt. Daraus folgt: C 2=0. Randbedingung II.: für die Koordinate z = l y = 0 beträgt. Dass heißt: Dementsprechend die Funktion für die deformierte Form des Balkens: Die Neigung für einen beliebigen Querschnitt der Koordinate z kann aus der folgenden Gleichung bestimmt werden: Die maximale Verschiebung an der Koordinate z = l/2: Die maximale Neigung erhält man in den Querschnitten A und B der Koordinate z = 0 beziehungsweise z = l: Die Ergebnisse der Lösungen werden auch als Gleichungen der Biegelinie bezeichnet. 153

158 BEISPIEL 19.4 Ermittlung die Verformungen der Balkenträger durch die Differentialgleichung der elastischen Linie, und aus der Gleichungen der Biegelinie. Es ist der BEISPIEL 18.5 mittels der Gleichungen der Biegelinie zu lösen! Der untersuchte eingespannte Balken mit konstantem Querschnitt ist an der Abb dargestellt. Bei der Anwendung der Gleichungen der Biegelinie werden die Balken zusammengesetzter Belastung auf Balken einfacher Lastfälle zerlegt, die Deformationen werden einzeln bestimmt, und danach die Teilergebnisse summiert. In diesem konkreten Fall wird statt durch zwei Einzelkräfte F 1 und F 2 belasteter Balken zwei Träger eingesetzt, deren Belastung F 1 beziehungsweise F 2 beträgt (siehe Abb Abb Durch Einzelkräfte belasteter eingespannter Balken Abb Zwei einfach belasteter Balken nach dem Einsatz des Superpositionsprinzips Die Durchbiegung des Querschnittes C kann laut der Abb durch die vorzeichengerechte Summe von f 1C und f 2C bestimmt werden. Da für kleinen Winkeln tgφ 1B φ 1B gilt, dass heißt die Tangente des Winkels mit einer ziemlich guten Annäherung mit dem Bogenmaß demselben Winkels gleich beträgt, kann geschrieben werden: Durch einsetzen der Gleichungen der Biegelinie: Daraus: 154

159 Ermittlung die Verformungen der Balkenträger durch die Differentialgleichung der elastischen Linie, und aus der Gleichungen der Biegelinie. Die Durchbiegung f 2C kann durch die Gleichungen der Biegelinie leicht ermittelt werden: Die Verschiebungen f 1C und f 2C sind entgegen gerichtet, da die Verschiebung f 1C zur negativen y Achse gerichtet ist, deswegen muss ihre Vorzeichen im Weiteren als negativ berücksichtigt werden. Es war in unserer ursprünglichen Zielstellung festgelegt, dass die Durchbiegung des Querschnittes C f 1C = 0 betragen muss. Es kann einfach erzielt werden: die vorzeichengerechte Summe von Durchbiegungen f 1C und f 2C wie folgt: f 2C - f 1C = 0. Daraus: 16F 2l 3 =5F 1l 3, dass heißt Das Ergebnis stimmt mit der Lösung aus dem Satz von Castigliano völlig überein. BEISPIEL 19.5 Der untersuchte Auslegerbalken mit konstantem Querschnitt wird durch eine Einzelkraft belastet (Abb Es ist die Neigung des Querschnittes C unter Anwendung von Gleichungen der Biegelinie zu ermitteln. Abb Auslegerbalken durch eine Einzelkraft belastet Durch den Einsatz von Superpositionsprinzip wird der Balken zusammengesetzter Belastung auf zwei Balken einfacher Lastfälle zerlegt (siehe Abb , deren Neigungen durch die Gleichungen der Biegelinie getrennt bestimmt werden. 155

160 Ermittlung die Verformungen der Balkenträger durch die Differentialgleichung der elastischen Linie, und aus der Gleichungen der Biegelinie. Abb Zwei einfach belasteter Balken nach dem Einsatz des Superpositionsprinzips Als erster Schritt wird die im Querschnitt C wirkende Einzelkraft F auf den Querschnitt B reduziert. Aus dem reduziertem Kraftsystem wird nur durch das Moment (Kräftepaar reicht es uns nur damit zu beschäftigen. eine Neigung verursachen, so Die Neigung der Querschnitte C an der Abb skizzierten Balken die gleiche Drehrichtung haben, so kann die Neigung des Querschnittes C für die ursprüngliche Aufgabe folgendermaßen formuliert werden: φ C=φ 1C+φ 2C Durch den Einsatz von Gleichungen der Biegelinie: 156

161 Kapitel 20. Analyse statisch unbestimmter Konstruktionen Im Grundgesetz der Statik liegt fest: ein Körper befindet sich erst dann in Ruhelage wenn die Resultierende aller angreifenden Kräfte - als gleitende Vektoren - ein Nullvektor beträgt. All das bedeutet in unserer heutigen dreidimensionalen Welt es wird häufig wird als 3D abgekürzt drei Skalar Gleichgewichtsgleichungen für die Kräfte, und ebenso drei Skalar Gleichgewichtsgleichungen für die Momente entlang der Koordinatenachsen des gewählten Bezugssystems. Bei ebenen Problemen häufig wird als 2D bezeichnet sind zwei Skalar Gleichgewichtsgleichungen für die Kräfte entlang der Koordinatenachsen des gewählten Bezugssystems, und eine Skalar Gleichgewichtsgleichung für das Moment um eine, auf die Ebene orthogonal gerichtete Achse. Die Lösung eines Festigkeitsproblems soll regelmäßig mit einer statischen Analyse angefangen werden, in der die Reaktionskräfte und/oder die Reaktionsmomente bestimmt werden müssen. Dazu werden die Skalar Gleichgewichtsgleichungen des Grundgesetzes der Statik eingesetzt. Falls die Summe der unbekannten Reaktionskräfte und Reaktionsmomente, also die Anzahl der Unbekannten mit den unabhängigen Gleichgewichtsgleichungen übereinstimmt, dann ist die Aufgabe statisch bestimmt. Es kommt trotzdem häufig vor, dass man mehr Unbekannten erhält, als die Anzahl der Gleichungen aus dem Grundgesetz der Statik zu gestalten ist, also die Aufgabe statisch unbestimmt ist. Durch die Differenz zwischen den Unbekannten und der Anzahl der Gleichungen wird für das Problem als Grad der Unbestimmtheit definiert. Durch die Methoden der Festigkeitslehre können auch die statisch unbestimmten Probleme erfolgreich gelöst werden. Die Methoden können hauptsächlich aufgeteilt werden, wie folgt: der Einsatz von Verformungsgleichungen, der Einsatz des Prinzips von Energieminimum. Bei dem Einsatz der Methode von Verformungsgleichungen müssen Verformungsgleichungen gestaltet werden, deren Anzahl dem Grad der Unbestimmtheit entspricht. Der Typ von Verformungsgleichungen ist immer mit dem Grundproblem eng verbunden. In den Verformungsgleichungen werden für irgendeinen Zwang (Lagerung oder Einspannung durch die Lagerreaktionen hervorgerufene Verschiebungen oder Winkelverdrehung ausgedrückt. Das Energieminimum Prinzip beinhaltet, dass der Betrag der Reaktionskräfte und/oder die Reaktionsmomente regelmäßig zu einer minimalen gespeicherten elastischen Energie in der Konstruktion führen. In den vorherigen Abschnitten wurde bereits festgelegt, dass die im Festkörper gespeicherte elastische Energien für die Zug-Druck, Schub-, Biege-, und Torsionsbeanspruchungen folgendermaßen zu berechnen sind: (20.1 wo die Zug oder Druckbelastung (F, die Schubkraft (F T, das Biegemoment (M und das Torsionsmoment (T konsequent als Funktion der Längskoordinate des Stabes (z angegeben sind. Meistens ist die durch die Scherkraft (F T entstehende elastische Verformungsenergie sehr klein, deswegen kann vernachlässigt werden. Bei prismatischen Stäben mit gleichem Querschnitt können die Fläche und die Flächenträgkeitsmomente, für konstante Temperaturbedingungen auch die Materialkennwerte vor dem Integralzeichen geschrieben werden, so erhält man die folgende Gleichung: 157

162 Analyse statisch unbestimmter Konstruktionen (20.2 Soll zum Beispiel die Reaktionskraft F A auf Basis des Energieminimum Prinzips ermittelt werden, dann muss unbedingt berücksichtigt werden, dass die mit der Kraft F A ausgedrückte Energiefunktion eben ihr Minimum erreicht. Extremwert, genauer ein Minimum für Multivariante Funktion kann durch eine partielle Ableitung erstellt werden, wo deren Wert gleichzeitig Null beträgt. Also durch die partielle Ableitung der Gleichung erhält man die in der Praxis verwendeter Zusammenhang für den Einsatz des Energieminimum Prinzips: (20.3 BEISPIEL 20.1 Aufgrund der Skizze (Abb und der Daten sind die Lagerreaktionen für den statisch unbestimmten Träger bei der Einrollenlager (A beziehungsweise bei der Einspannung (B zu bestimmen, wenn a=0,3 m, b=0,5 m, q=10 kn/m, F=12 kn beträgt. Abb Die Reaktionskraft im Punkt A wird als aktive Kraft angenommen durch die, die Durchbiegung am Ende der Konsole f A = 0 beträgt. Auch hier kann das Superpositionsprinzip erfolgreich eingesetzt werden, dass heißt die Durchbiegungen verschiedener Lasttypen können einzeln ermittelt, und dann einfach summiert werden. Die Durchbiegung des Punktes A durch die Streckenlast: Abb Die Durchbiegung des Punktes A infolge der Einzelkraft: 158

163 Analyse statisch unbestimmter Konstruktionen Abb Die Durchbiegung nach oben am Ende der Konsole aus der Einzelkraft F A : Abb Die Summe der drei Durchbiegungen f A = 0: f 1+f 2+f 3=0, dass heißt Daraus erhält man die Reaktionskraft F A : (F A=8,566kN. Aus der Gleichgewichtsgleichung in Richtung y: F B=q(a+b+F-F A, (F B=11,434kN, Aus der Momentengleichgewichtsbedingung erhält man das Reaktionsmoment M B : 159

164 Analyse statisch unbestimmter Konstruktionen (M B=2,347kNm, BEISPIEL 20.2 Es soll der Beispiel 20.1 auch unter Verwendung des Energieminimumprinzips gelöst werden! Die Formänderungsenergie für einen starren Körper im allgemeinen Fall (20.1: Der Balken wird in der konkreten Aufgabe mit keinen Zug-Druckkräften, und keinem Torsionsmoment belastet, die minimale Wirkung von Schubkraft kann vernachlässigt werden, so: Da für einen prismatischen Stab die Biegesteifigkeit IE konstant ist, kann vor dem Integralzeichen geschrieben werden. Damit die Gleichung des Energieminimums (20.3: Der Balken wird wegen der verschiedenen Belastungen auf zwei Strecken geteilt: Abb Die Funktion des Biegemomentes und dessen partieller Ableitung für die Strecke I. (0 z a: Das Integral: 160

165 Analyse statisch unbestimmter Konstruktionen Strecke II. (a z a+b: die Funktion des Biegemomentes und dessen partieller Ableitung: Das Integral: Die Summe beider Integralausdrücke für den Balken beträgt Null: Nach Neuanordnen der Gleichung: Das Ergebnis der Beispiele sowie 20.1 stimmten überein. AUFGABE 20.3 Aufgrund der Skizze (Abb und der Daten sind die Lagerreaktionen für den statisch unbestimmten Träger bei der Einrollenlager (A beziehungsweise bei der Einspannung (B zu bestimmen! a=1 m, b=1,5 m, q=20 kn/m, M o=22 knm. AUFGABE 20.4 Abb

166 Analyse statisch unbestimmter Konstruktionen Aufgrund der Skizze (Abb und der Daten sind die Lagerreaktionen für den Durchlaufträger (statisch unbestimmten Träger bei den Einrollenlagern (A und C beziehungsweise bei dem Gelenk (B zu bestimmen! a=1 m, b=1,5 m, q=20 kn/m, M o=22 knm. Abb

167 Kapitel 21. Fragen zur Vorbereitung. Definitionen (minimale Anforderungen. Formelsammlung. 1. Grundbegriffe für Festigkeitslehre. Aufgabe der Festigkeitslehre, Stoffgesetz, elastische Verformung, Definition für Festkörper und Spannung, Dimensionierung. Dualität der Schubspannungen. Zusammenhang zwischen Materialkennwerte der Festigkeitslehre. 1a Fragen zur Vorbereitung Womit beschäftigt sich die Festigkeitslehre? Was bedeutet Dimensionieren? Woran besteht die Aufgabe der Festigkeitslehre? Was bedeutet Gleichgewichtskraftsystem? Was bedeutet statische Belastung? Was versteht man unter Dehnung? Stellen sie das einfache Hookesche Gesetz vor! 1b Definitionen (minimale Anforderungen Die Festigkeitslehre ist ein Wissenschaftsbereich der Physik, näher betrachtet der Mechanik, in der zur Dimensionierung von Konstruktionen und Maschinen notwendige Zusammenhänge erforscht werden. Die Ermittlung von geometrischen Daten durch Außenwirkungen oder durch eingeprägte Kräfte belasteter Konstruktionsbauteile durch Festigkeitsberechnung wird Dimensionierung bezeichnet. Ziel der Dimensionierung ist die Spannung oder die Verformung zwischen vorher bestimmten grenzwerten zu halten. Die Aufgabe der Festigkeitslehre bildet die Erarbeitung zur Dimensionierung notwendigen Verfahren und Zusammenhänge. In der Statik werden die Objekte der Mechanik (Massenpunkt, starrer Körper, Konstruktion in Ruhelage analysiert, in der die Kräfte und Momente ein Gleichgewichtssystem bilden, dementsprechend die stehen unter statischer Belastung. 1c Formelsammlung 2. Der allgemeine Spannungszustand: Spannungszustand in der elementaren Umgebung eines Punktes. Spannungsvektor und Spannungstensor. 163

168 2a Fragen zur Vorbereitung Fragen zur Vorbereitung. Definitionen (minimale Anforderungen. Formelsammlung. Wie wird der Spannungsvektor interpretiert? Was versteht man unter Spannungszustand? Wann ist der Spannungszustand Punkt bekannt? Was enthält das Reziprozitätsatz von Chauchy? Was bedeutet der Spannungstensor? Wie kann aus der Matrix des Spannungstensors der Spannungsvektor zu beliebigen Richtungen ermittelt werden? 2b Definitionen (minimale Anforderungen Spannungsvektor Spannungszustand Reziprozitätsatz von Chauchy Spannungstensors 2c Formelsammlung 3. Hauptspannungen und Hauptrichtungen. Mohresche Darstellung des Spannungszustandes. 3a Fragen zur Vorbereitung Wie werden die Skalar Invarianten des Spannungstensors interpretiert? Was versteht man unter Hauptspannung? Was versteht man unter Hauptrichtung? Welche sind die Spannungshauptebenen? Wie kann ein dreiachsiger Spannungszustand beschrieben werden? Wie kann ein ebener Spannungszustand beschrieben werden? Welche sind die Parameter eines Mohreschen Spannungskreises? 3b Definitionen (minimale Anforderungen Invarianten des Spannungstensors Hauptspannung Hauptrichtung 164

169 Spannungshauptebenen Fragen zur Vorbereitung. Definitionen (minimale Anforderungen. Formelsammlung. dreiachsiger Spannungszustand Spannungshauptebenen ebener Spannungszustand die Parameter eines Mohreschen Spannungskreises 3c Formelsammlung 4. Allgemeiner Formänderungszustand: Verschiebungs-, und Formänderungszustand in der elementaren Umgebung eines Punktes. Der Gradient des Verschiebungsfeldes (Ableitung des Tensors. Rotationstensor. Formänderungstensor. 4a Fragen zur Vorbereitung Wie wird die Verschiebungsfunktion interpretiert? Was versteht man unter Ableitung des Tensors des Verschiebungsfeldes? Was versteht man unter Formänderungsvektor? Was versteht man unter Formänderungstensor? Was versteht man unter Rotationstensor? Wie kann der Formänderungsvektor aus der Matrix des Formänderungstensors zu beliebigen Richtungen ermittelt werden? 4b Definitionen (minimale Anforderungen Verschiebungsfunktion Ableitung des Tensors des Verschiebungsfeldes Formänderungsvektor Formänderungstensor Formänderungstensor 4c Formelsammlung 165

170 Fragen zur Vorbereitung. Definitionen (minimale Anforderungen. Formelsammlung. 5. Die Hauptdehnungsrichtungen und die Hauptdehnungen 5a Fragen zur Vorbereitung Wie werden die Skalar Invarianten des Formänderungstensors interpretiert? Was versteht man unter Hauptdehnung? Welche sind die Dehnungshauptebenen? 5b Definitionen (minimale Anforderungen Skalar Invarianten des Formänderungstensors Hauptdehnung Hauptrichtung 5c Formelsammlung 6. Zusammenhang zwischen Spannungszustand und Formänderungszustand. Das allgemeine Hookesche Gesetz. 6a Fragen zur Vorbereitung Was versteht man unter dem allgemeinen Hookeschen Gesetzes? 6b Definitionen (minimale Anforderungen 166