Stoffgesetze. wahre Spannung. technische Spannung. ε Gesamtdehnung ε el elastische Dehnung ε pl plastische Dehnung. Hookesche Gerade.

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1 Stoffgesetze Wir suchen nach einem Zusammenhang zwischen dem Spannungs- und dem Verzerrungstensor. inige wichtige Kenngrößen können bereits aus einem Zugversuch gewonnen werden. z.b.: Werkstoffe mit ausgeprägter Streckgrenze bzw. ohne ausgeprägte Streckgrenze wahre Spannung technische Spannung Hookesche Gerade ε Gesamtdehnung ε el elastische Dehnung ε pl plastische Dehnung

2 inige wichtige Kenngrößen: R m Zugfestigkeit (UTS ultimate tensile strength) [N/mm²] R e. Streckgrenze (yield strength) [N/mm²] R eh.obere Streckgrenze (upper yield strength) [N/mm²] R el. untere Streckgrenze (lower yield strength) [N/mm²] R p. Proportionalitätsgrenze (proportionality limit) [N/mm²] R p0,2. Dehngrenze bei 0.2% plast. Dehnung (0.2% proof strength) [N/mm²] A g. Gleichmaßdehnung (uniform elongation) [1] A Bruchdehnung (fracture strain) [1] Die Steigung der Hookeschen Gerade wird als lastizitätsmodul (Young s modulus) bezeichnet. Auf diesen wird später noch genauer eingegangen.

3 Spannungen und Dehnungen werden beim Zugversuch aus der Kraft- bzw. Wegmessung errechnet. Dabei bezieht man sich in der Prüftechnik klassischerweise auf die Ausgangslänge bzw. den Ausgangsquerschnitt und erhält somit technische Größen. Diese unterscheiden sich von den wahren Größen, die sich aus der Bezugnahme auf die aktuelle Länge und den aktuellen Querschnitt ergeben. Die Unterschiede machen sich aber erst bei größeren Verformungen bemerkbar. Technische Dehnung ε: Wahre Dehnung φ: ε = l l 0 l 0 = l l φ dφ = l 0 l dl l l φ = lnl lnl 0 = ln = ln 1 + ε l 0 φ = ln 1 + ε bzw. φ ε für kleine φ, ε Technische Spannung S: S = P A 0 (Bezugnahme auf Ausgangsquerschnitt) Wahre Spannung σ: σ = P A (Bezugnahme auf aktuellen Querschnitt)

4 Querdehnung: ε l l 0 = Δl = l l 0 ε q = ε y = ε z = b b 0 b 0 = Δb b 0 < 0, wenn ε l > 0 ν = ε q ε l Querkontraktionszahl = Poisson Zahl Für isotrope Materialien gilt: 0 ν 0.5 lastizitätsmodul und Querkontraktionszahl für ausgewählte Materialien: Stahl: = N/mm² = 210 GPa, ν = 0.3 Aluminium: = N/mm² = 70 GPa, ν = 0.34 Gummi: = N/mm² ν 0.5 (d.h. inkompressibel) Beton: = GPa ν = 0.2 Diamant: 1150 GPa ν = 0.07

5 Hookesches Gesetz (Hooke s law) für lineare lastizität, also in einem Spannungsbereich < R p ( R e ) Darüberhinaus beschränken wir uns in weiterer Folge auf isotropes Verhalten. Zunächst gilt für die Spgs-hauptachsen: ε 1 = 1 σ 1 ν σ 2 + σ 3 ε 2 = 1 σ 2 ν σ 3 + σ 1 ε 3 = 1 σ 3 ν σ 1 + σ 2 ( ) aufgelöst nach Hauptnormalspannungen: σ 1 = 2G ε 1 + ν 1 2ν e σ 2 = 2G ε 2 + ν 1 2ν e σ 3 = 2G ε 3 + ν 1 2ν e ( ). lastizitätsmodul [N/mm²] ν. Querkontraktionszahl [1] G. Schubmodul [N/mm²] G = ν e = ε 1 + ε 2 + ε 3 = ΔV V 0 = ε x + ε y + ε z weil für einen Quader mit den Kantenlängen a, b, c gilt: ΔV = a 1 + ε 1 b 1 + ε 2 c 1 + ε 3 V 0 abc abc ε 1 + ε 2 + ε 3 = e Alle Produkte von ε 1, ε 2 und ε 3 verschwinden näherungsweise.

6 Transformation auf allg. Koordinatensystem: σ x = n T σn = n 2 1 σ 1 + n 2 2 σ 2 + n 2 3 σ 3 σ y = m T σm = m 2 1 σ 1 + m 2 2 σ 2 + m 2 3 σ 3 τ xy = m T σn = n 1 m 1 σ 1 + n 2 m 2 σ 2 + n 3 m 3 σ 3 ( ) ε x = n T εn = n 1 2 ε 1 + n 2 2 ε 2 + n 3 2 ε 3 ε y = m T εm = m 1 2 ε 1 + m 2 2 ε 2 + m 3 2 ε 3 ( ) 1 2 γ xy = m T εn = n 1 m 1 ε 1 + n 2 m 2 ε 2 + n 3 m 3 ε 3 detto für σ z, τ yz, τ zx detto für ε z, γ yz, γ zx insetzen in ( ) für σ 1, σ 2, σ 3 aus dem Hookeschen Gesetz ( ) liefert beispielsweise für σ x bzw. τ xy : σ x = 2G n 1 2 ε 1 + ν 1 2ν e + n 2 2 ε 2 + ν 1 2ν e + n 3 2 ε 3 + ν 1 2ν e = 2G ε x + ν 1 2ν e weil n = 1, also n n n 3 2 = 1. τ xy = 2G n 1 m 1 ε 1 + ν 1 2ν e + n 2m 2 ε 2 + ν 1 2ν e + n 3m 3 ε 3 + ν 1 2ν e = Gγ xy weil n m, also n 1 m 1 + n 2 m 2 + n 3 m 3 = 0. Die Formeln für σ y, σ z, τ yz, τ zx ergeben sich völlig analog durch zyklisches Vertauschen der Indizes.

7 Genauso gut hätte man ε 1, ε 2 und ε 3 aus ( ) in ( ) einsetzen können: ε x = n σ 1 ν σ 2 + σ 3 + n σ 2 ν σ 3 + σ 1 + n σ 3 ν σ 1 + σ 2 = 1 σ x ν σ y + σ z 1 2 γ 1 xy = n 1 m 1 σ 1 1 ν σ 2 + σ 3 + n 2 m 2 σ 1 2 ν σ 3 + σ 1 + n 3 m 3 σ 3 ν σ 1 + σ 2 = = 1 τ xy νσ 1 (n 2 m 2 + n 3 m 3 ) νσ 2 (n 3 m 3 + n 1 m 1 ) νσ 3 (n 1 m 1 + n 2 m 2 ) = = 1 τ xy + ν(σ 1 n 1 m 1 + σ 2 n 2 m 2 + σ 3 n 3 m 3 ) = 1 + ν τ xy = τ xy 2G Wieder haben wir dabei folgende Zusammenhänge ausgenutzt: n n n 3 2 = 1 n 1 m 1 + n 2 m 2 + n 3 m 3 = 0 G = ν Die Formeln für ε y, ε z, γ yz, γ zx ergeben sich völlig analog durch zyklisches Vertauschen der Indizes.

8 Zusammenfassend kann man das Hookesche Gesetz also folgendermaßen anschreiben σ x = 2G ε x + ν 1 2ν e σ y = 2G ε y + ν 1 2ν e σ z = 2G ε z + ν 1 2ν e τ xy = Gγ xy τ yz = Gγ yz τ zx = Gγ zx Leichter zu merken ist es wohl in inverser Form: ε x = 1 σ x ν σ y + σ z γ xy = 1 G τ xy ε y = 1 σ y ν σ z + σ x γ yz = 1 G τ yz ε z = 1 σ z ν σ x + σ y γ zx = 1 G τ zx. lastizitätsmodul (Young s modulus) [N/mm²] bzw. [MPa] G. Schubmodul (shear modulus) [N/mm²] bzw. [MPa] ν. Querkontraktionszahl (Poisson s ratio) [1]

9 Zusammenfassend kann man das Hookesche Gesetz also folgendermaßen anschreiben σ x = 2G ε x + ν 1 + ν e 1 2ν 1 2ν α TΔT σ y = 2G ε y + ν 1 + ν e 1 2ν 1 2ν α TΔT σ z = 2G ε z + ν 1 + ν e 1 2ν 1 2ν α TΔT τ xy = Gγ xy τ yz = Gγ yz τ zx = Gγ zx Leichter zu merken ist es wohl in inverser Form: ε x = 1 σ x ν σ y + σ z ε y = 1 σ y ν σ z + σ x ε z = 1 σ z ν σ x + σ y γ xy = 1 G τ xy γ yz = 1 G τ yz γ zx = 1 G τ zx ine noch allgemeinere Formulierung erhalten wir, wenn wir die thermischen Dehnungen zufolge einer Temperaturänderung ΔT mitberücksichtigen. Bei isotropen Medien bewirken diese eine spannungsfreie Längsänderung in allen drei Raumrichtungen, jedoch keine Winkeländerung. α T. Wärmeausdehnungskoeffizient (coefficient of thermal expansion) [1/K]

10 Aufgrund seiner zentralen Bedeutung in der Festigkeitslehre sei das Hookesche Gesetz hier noch einmal zusammengefasst: ε x = 1 σ x ν σ y + σ z γ xy = 1 G τ xy G = ν ε y = 1 σ y ν σ z + σ x γ yz = 1 G τ yz ε z = 1 σ z ν σ x + σ y γ zx = 1 G τ zx bzw. in der inversen Form: σ x = 2G ε x + ν 1 + ν e 1 2ν 1 2ν α TΔT σ y = 2G ε y + ν 1 + ν e 1 2ν 1 2ν α TΔT σ z = 2G ε z + ν 1 + ν e 1 2ν 1 2ν α TΔT τ xy = Gγ xy τ yz = Gγ yz τ zx = Gγ zx e = ΔV V 0 = ε x + ε y + ε z

11 in Problem der linearen lastizitätstheorie gehorcht also folgendem Satz von Gleichungen: Dynamisches Grundgesetz: Verzerrungs-Verschiebungszusammenhang (Kinematik): σ x x + τ yx y + τ zx z + k x = ρ 2 u t 2 τ xy x + σ y y + τ zy z + k y = ρ 2 v t 2 τ xz x + τ yz y + σ z z + k z = ρ 2 w t 2 ε x = u x ε y = v y ε z = w z γ xy = u y + v x γ yz = v z + w y γ zx = w x + u z Hookesches Gesetz: ε x = 1 σ x ν σ y + σ z γ xy = 1 G τ xy Das sind 15 Gleichungen für die folgenden 15 Unbekannten: ε y = 1 σ y ν σ z + σ x γ yz = 1 G τ yz 6 Spannungen: σ x, σ y, σ z, τ xy, τ yz, τ zx 3 Verschiebungen: u, v, w ε z = 1 σ z ν σ x + σ y γ zx = 1 G τ zx 6 Verzerrungen: ε x, ε y, ε z, γ xy, γ yz, γ zx

12 Durch insetzen kann man das Gleichungssystem auf 3 Gleichungen in u, v, w reduzieren: G 2 u + 1 e 1 2ν x G 2 v + 1 e 1 2ν y G 2 w + 1 e 1 2ν z + k x = ρ 2 u t 2 + α T ΔT 1 2ν x + k y = ρ 2 v t 2 + α T ΔT 1 2ν y + k z = ρ 2 w t 2 + α T ΔT 1 2ν z Navier Gleichungen 2 = 2 x y z 2. Laplace Operator e = u x + v y + w z. Volumsdehnung Zur vollständigen Beschreibung des elastischen Problems ist noch die Vorgabe von Randbedingungen erforderlich. Außer für sehr einfache Randbedingungen können die Navier Gleichungen i.a. nicht mehr analytisch, sondern nur mehr numerisch gelöst werden.

13 Sonderfälle bener Spannungszustand SZ plane stress state σ z = τ yz = τ xz = 0, ε z i.a. 0 Das Hookesche Gesetz wird dann ε x = 1 σ x νσ y ε y = 1 σ y νσ x ε z = ν σ x + σ y γ xy = 1 G τ xy bzw. in inverser Formulierung: σ x = 1 ν 2 ε x + νε y σ y = 1 ν 2 ε y + νε x ( ) Bauteiloberflächen befinden sich im ebenen Spannungszustand. Dementsprechend herrscht in dünnen Blechen (siehe Skizze) ein ebener Spannungszustand. τ xy = Gγ xy Anmerkung: Der infachheit halber beschränken wir uns in diesen Betrachtungen auf den isothermen Fall ΔT=0.

14 bener Verzerrungszustand VZ plane strain state ε z = γ yz = γ zx = 0, i.a. σ z 0 insetzen in das allgemeine (3D) Hookesche Gesetz liefert für die Normalkomponenten: ε x = 1 σ x ν σ y + σ z ε y = 1 σ y ν σ x + σ z 0 = 1 σ z ν σ x + σ y σ z = ν σ x + σ y z.b. bei langen Bauteilen, die über die gesamte Länge gleich belastet sind. Daraus kann σ z heraus eliminiert werden. Somit ergibt sich das Hookesche Gesetz im VZ: ε x = 1 σ x 1 ν 2 ν 1 + ν σ y ε y = 1 σ y 1 ν 2 ν 1 + ν σ x γ xy = 1 G τ xy Die Umkehrung liefert: σ x = σ y = τ xy = Gγ xy 1 ν 1 + ν 1 2ν ε x + 1 ν 1 + ν 1 2ν ε y + ν 1 + ν 1 2ν ε y ν 1 + ν 1 2ν ε y ( )

15 in Vergleich der ersten beiden Zeilen von ( ) mit ( ) ergibt: SZ σ x = 1 ν 2 ε x + νε y σ y = 1 ν 2 ε y + νε x VZ σ x = σ y = 1 ν 1 + ν 1 2ν ε x + 1 ν 1 + ν 1 2ν ε y + ν 1 ν ε y = 1 ν 2 ε x + ν ε y ν 1 ν ε x = 1 ν 2 ε y + ν ε x Man kann also im VZ einen rsatz--modul und eine rsatz-querkontraktionszahl ν definieren, damit man formal mit den gleichen Formeln wie im SZ rechnen kann. Offensichtlich gilt: 1 ν 2 = 1 ν ν = ν 1 ν 1 + ν 1 2ν ν = ν 1 ν, = 1 ν 2

16 Manchmal ist es günstiger, das Hookesche Gesetz alternativ anzuschreiben (es wird wieder nur der isotherme Fall betrachtet). Für die Normalspannungen schreiben wir jetzt: σ x = 2Gν 1 2ν e + 2Gε x σ x = λe + 2με x σ y = 2Gν 1 2ν e + 2Gε y σ y = λe + 2με y σ z = 2Gν 1 2ν e + 2Gε z σ z = λe + 2με z τ xy = μγ xy τ yz = μγ yz τ zx = μγ zx λ = 2Gν 1 2ν = ν 1 + ν 1 2ν, μ = G λ. 1. Lamé Konstante [N/m²] μ. 2. Lamé Konstante [N/m²] Im Fall eines hydrostatischen Drucks gilt (p ist hier bei Druck definitionsgemäß eine positive Größe): σ x + σ y + σ z = 3p = 3λe + 2μe = 3λ + 2μ e p = Ke K = 3λ + 2μ 3 = ν 1 + ν 1 2ν ν = 3ν + 1 2ν ν 1 2ν K = 3 1 2ν K. Kompressionsmodul [N/m²] K für ν = 0.5