rechnerisch, ob weitere Lösungen dieser Gleichung im Bereich 0 x l existieren.

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Christian Kranz
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1 Anwendungs- und Optimierungsaufgaben (Technik) 1. Ein Balken der Länge l ist auf zwei Stützen gelagert (siehe Bild). Der Balken wird durch sein Eigengewicht auf Biegung beansprucht. Die Durchbiegung ist so gering, dass eine Längenänderung des Balkens vernachlässigt werden kann. Die Durchbiegung wird für 0 x l durch die sogenannte Biegelinie b l beschrieben. Die reelle Funktion b l ist gegeben durch b l : x K 4 ( x 4 lx 3 + l 3 x ) mit l R + und 0 x l. Dabei ist K > 0 eine Werkstoffkonstante. (AP 1999 NT) (a) Berechnen Sie die Funktionswerte der Funktion b l an den Randstellen ihres Definitionsbereichs und deuten Sie das Ergebnis im gegebenen Sachzusammenhang. (b) Weisen Sie nach, dass die Gleichung b l (x) = 0 die Lösung x 1 = l besitzt, und untersuchen Sie rechnerisch, ob weitere Lösungen dieser Gleichung im Bereich 0 x l existieren. (c) Zeigen Sie, dass die Durchbiegung an der Stelle x 1 = l ihren absolut größten Wert besitzt, und berechnen Sie die maximale Durchbiegung in Abhängigkeit von l und K.. Ein Motorboot überquert einen Fluss der Breite b, dessen Fließgeschwindigkeit w als konstant angenommen werden kann. Das Boot fährt mit der konstanten Eigengeschwindigkeit v < w.wegen v < w erfährt das Boot in jedem Fall eine Abdrift s. Um die Abdrift s möglichst klein zu halten, wird das Boot unter einem Vorhaltewinkel ϕ gegen die direkte Überquerungsrichtung gesteuert (siehe Skizze). (AP 1999) Die Abdrift s als Funktion des Vorhaltewinkels ϕ ist gegeben durch s : ϕ b v w v sin ϕ cos ϕ mit ϕ [ 0; π [. Schülerarchiv, Analysis, 6.1-A 1

2 (a) Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte s(ϕ) an den Randstellen des gegebenen Definitionsbereichs. (b) Zeigen Sie, dass für die erste Ableitungsfunktion der Funktion s(ϕ) gilt: ds dϕ (ϕ) = b v v + w sin ϕ cos. ϕ (c) Bestimmen Sie den Vorhaltewinkel ϕ 0, bei dem das Boot die geringste Abdrift erfährt, wenn es die Eigengeschwindigkeit v = 1.0 m und der Fluss die Breite b = 0 m und die Fließgeschwindigkeit w =.0 m besitzt. Wie großist in diesem Fall die Abdrift? s s (d) Zeigen Sie, dass sich das Boot für den in der vorhergehenden Teilaufgabe behandelten Fall senkrecht zur Steuerungsrichtung bewegt. 3. Aus der Eintauchtiefe h einer Kugel mit dem Radius r in Wasser kann die Dichte ρ der Kugel bestimmt werden (sieheskizze). Dabei gilt, dass die Gewichtskraft der Kugel gleich der Gewichtskraft des verdrängten Wassers ist. Ohne Verwendung von Einheiten und mit dem Wert für die Dichte von Wasser ρ W Fallbeschleunigung g ergibt sich : Gewichtskraft des verdrängten Wasservolumens: = 1 und der F W = 1 3 πh (3r h) g Gewichtskraft der Kugel: F K = 4 3 πr3 ρg (AP 00 NT) (a) Leiten Sie aus der Gleichung F W = F K und der Ersetzung x = h r in Abhängigkeit von x her: ρ(x) = 3 4 x 1 4 x3. die folgende Funktion für ρ Begründen Sie genau, warum D ρ = ]0; ] eine sinnvolle Definitionsmenge für ρ(x) ist. (b) Berechnen Sie die Dichte einer Kugel mit dem Radius r = 1 und der Eintauchtiefe h = 1.5. (c) Begründen Sie, dass es einen x-wert aus D ρ gibt, für den ρ(x) = 0. gilt. 4. Zur Nutzung der Windenergie kann dem Wind Leistung durch einen so genannten Widerstandsläufer (persisches Windrad) entnommen werden. Die im Wind enthaltene Leistung P 0 und die davon nutzbare Leistung P N werden folgendermaßen berechnet: Schülerarchiv, Analysis, 6.1-A

P 0 = 1 ρ A v3 und P N = 1 c W ρ A (v u) u A: angeströmte Fläche in m ρ: Luftdichte in m3 kg c W : Widerstandsbeiwert v: Windgeschwindigkeit in m s u: Umfangsgeschwindigkeit in m s Die

3 P 0 = 1 ρ A v3 und P N = 1 c W ρ A (v u) u A: angeströmte Fläche in m ρ: Luftdichte in m3 kg c W : Widerstandsbeiwert v: Windgeschwindigkeit in m s u: Umfangsgeschwindigkeit in m s Die Schnelllaufzahl λ ist das Verhältnis aus Umfangsgeschwindigkeit und Windgeschwindigkeit: λ = u v mit u < v. Die Leistungsausbeute eines Windrades kann über den Leistungsbeiwert c P berechnet werden. Der Leistungsbeiwert ist das Verhältnis der dem Wind entnommenen Leistung P N zur im Wind enthaltenen Leistung P 0. (AP 005 NT) (a) Ermitteln Sie die Funktionsgleichung des Leistungsbeiwertes c P (λ) mit einem geeigneten Definitionsbereich. (b) Bestimmen Sie die Schnelllaufzahl λ so, dass der Leistungsbeiwert c P sein absolutes Maximum erreicht. (c) Berechnen Sie, wie großdie vom Wind angeströmte Querschnittsfläche gewählt werden muss, um bei einer Windgeschwindigkeit v = 10 m s, einem optimalen Widerstandsbeiwert c W = 1.3 und einer Luftdichte ρ = kg m 3 die maximale Nutzleistung P N = 1.0 kw zu erhalten. 5. Bei einer bestimmten gedämpften Schwingung kann mathematisch idealisiert und ohne Verwendung von Einheiten die Auslenkung s(t) in Abhängigkeit von der Zeit t für t 0 durch den folgenden Term beschrieben werden: s(t) = e t ( cos (5t) sin (5t) ). (a) Bilden Sie die erste Ableitung von s(t) nach der Zeit t und begründen Sie, dass die Extremalpunkte der Auslenkung s(t) jeweils auf einem der Graphen der Funktionen mit den Gleichungen y = e t oder y = e t liegen. (b) Zeigen Sie, dass die Zeitdifferenz zwischen zwei unmittelbar aufeinander folgenden Maxima der Auslenkung konstant t = 0.4π beträgt. Berechnen Sie, auf wie viel Prozent die Auslenkung von einem beliebigen Maximum zum nächsten Maximum abnimmt. Schülerarchiv, Analysis, 6.1-A 3

4 6. Auf einem ebenen Gelände steht ein sehr hoher, zylinderförmiger Turm mit einem Innendurchmesser von 5.0 m. Durch das 3.0 m hohe Tor soll eine möglichst lange, gerade Fahnenstange in das Innere des Turms gebracht werden (siehe Bild). Im Folgenden soll ermittelt werden, wie lang eine solche Fahnenstange maximal sein darf. (AP 000) (a) Wir betrachten dazu in einem Koordinatensystem die Menge der Geraden g m mit der Steigung m, m R und m < 0, durch den Punkt P (5; 3). Geben Sie die Gleichung einer solchen Geraden g m in Abhängigkeit von m an. (b) Die Gerade g m schneidet die x-achse im Punkt A m und die y-achse im Punkt B m. Berechnen Sie die Koordinaten dieser Punkte in Abhängigkeit von m. (c) Die Länge der von den beiden Punkten A m und B m begrenzten Strecke in Abhängigkeit von m wird mit l(m) bezeichnet. Zeigen Sie, dass für das Quadrat von l(m) gilt: l (m) = (3 5m) ( m ) mit m R. (d) Die Fahnenstange darf höchstens so lang sein wie die kürzeste dieser Streckenlängen. Berechnen Sie m so, dass l (m) und damit auch l(m) seinen absolut kleinsten Wert annimmt, und ermitteln Sie damit die maximale Länge der Fahnenstange. 7. Eine Rinne soll aus drei gleichen Brettern bestehen, und ihr Querschnitt die symmetrische Form wie in der Skizze haben. Die vorgegebene Breite jedes dieser Bretter wird mit b bezeichnet, h ist die Höhe dieser Rinne und der Winkel, den die seitlich angebrachten Bretter mit der Waagrechten einschließen. Die von α abhängige Querschnittsfläche der Rinne wird mit A(α) bezeichnet. Dabei wird die Brettstärke vernachlässigt und es gilt 0 < α < 90. (AP005) (a) Bestimmen Sie A(α) und die erste Ableitung der Funkftion A. Schülerarchiv, Analysis, 6.1-A 4

5 (b) Ermitteln Sie unter Verwendung der Substitution u = cos α den Winkel, für den der Querschnitt und damit das Fassungsvermögen der Rinne möglichst großwerden. Schülerarchiv, Analysis, 6.1-A 5

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