dt L q, q,t 3. Lagrange-Formalismus 3.1. Hamilton'sches Prinzip

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1 3. Lagrange-Formalismus 3.1. Hamilton'sches Prinzip Die Lagrange-Funktion L eines mechanischen Systems ist efiniert als Differenz er kinetischen Energie T un er potenziellen Energie U L = T U Das Wirkungsfunktional S[q] t 2 S = S [q] = t 1 ornet jeer Bahnkurve q(t) einen Wert S zu. Die tatsächliche Bahnkurve ergibt sich aus em Hamilton'schen Prinzip (Prinzip er kleinsten Wirkung) S [q] = 0. t L q, q,t Jee Bewegung eines mechanischen Systems verläuft erart, ass ie Wirkung stationär ist. Die mathematische Lösung ieses Problems ist uns bereits bekannt! Sir William Rowan Hamilton 4. August 1805 Dublin 2. September 1865 bei Dunsink 50

2 3.2. Lagrange-Gleichungen 2. Art Joseph Louis Lagrange 25. Januar 1736 in Turin 10. April 1813 in Paris Mit er Korresponenz y x q t un F y, y ', x L q, q, t entsprechen ie Euler-Lagrange-Gleichungen er Variationsrechnung en gesuchten Lösungen. t q = q In er Mechanik heißen iese Gleichungen Lagrange-Gleichungen 2. Art. Für mehrere Freiheitsgrae f müssen wir ie verallgemeinerten Koorinaten q i nehmen, ie Lagrange-Gleichungen 2. Art lauten: t = q i q i i=1,..., f Für komplizierte Systeme ist ie Aufstellung er Lagrange-Funktion einfacher als ie Aufstellung er Bewegungsgleichungen nach Newton, a ie Lagrange- Funktion eine einzige skalare Größe ist. 51

3 Die Lagrange-Funktion ist eine mathematische Hilfsfunktion, ie keiner irekt messbaren physikalischen Größe entspricht. Im Allgemeinen ist sie eine sehr einfache Funktion er verallgemeinerten Koorinaten. Die allgemeine Lösung ieser f Differenzialgleichungen 2. Ornung benötigt 2f Integrationskonstanten, ie urch ie Anfangsbeingungen es physikalischen Problems bestimmt weren. t = q i q i i=1,..., f Zyklische Koorinate Falls eine verallgemeinerte Koorinate q k nicht explizit in er Lagrange- Gleichung vorkommt, q k = 0 nennt man iese Koorinate zyklisch. Aus en Lagrange-Gleichungen folgt ie Erhaltung es zugehörigen verallgemeinerten Impulses p k t q k = t p k = q k = 0 52

4 Die Lösung konkreter Probleme erforert 1. Wahl er verallgemeinerten Koorinaten q = q 1,..., q f un Angabe er Transformation zu kartesischen Koorinaten x i =x i (q,t) 2. Bestimmung er Lagrange-Funktion L q, q,t 3. Aufstellen er Bewegungsgleichungen (Lagrange-Gleichungen 2. Art) 4. Bestimmung von Erhaltungsgrößen 5. Lösung er Bewegungsgleichungen (unter Verwenung er Erhaltungsgrößen) 6. Bestimmung er Integrationskonstanten 7. Diskussion er Lösung 53

5 3.3. Einfache Anwenungen A) schiefe Ebene, reibungsfrei z s α mg x s = x 2 z 2 1. Die Weglänge kann als verallgemeinerte Koorinate gewählt weren. x = x(s) = s cos α y = 0 z = z(s) = s sin α 2. Das System besitzt einen Freiheitsgra. Die kinetische Energie ergibt sich als T = m 2 ẋ2 ẏ 2 ż 2 = m 2 ṡ cos 2 ṡ sin 2 = m 2 ṡ2 un ie potenzielle Energie ist U = m g z = m g s sin α. Die Lagrangefunktion lautet L = T U = m 2 ṡ2 mg ssin Die Lagrangegleichung 2. Art lautet (q = s) 54

6 3. Bewegungsgleichung t ṡ = s t m ṡ = m g sin m s = m g sin 4./5. Lösung urch Integration s t = g 2 t 2 sin v 0 t s 0 Energieerhaltung E = T U = m 2 ṡ t 2 m g s t sin = m 2 v 2 0 m g z 0 =const. 55

7 B) Penel mit fester Länge l l 0 x Nebenbeingungen: y = 0 l 2 = x 2 + z 2 z Das System hat einen Freiheitsgra, als verallgemeinerte Koorinate bietet sich er Winkel φ an. x = l sin z = l cos T = m 2 ẋ2 ẏ 2 ż 2 = m 2 l cos 2 l sin 2 = m 2 l 2 2 U = m g z = m g l cos t = t m l 2 = m l 2 = g l sin Die potenzielle Energie muss beim Runterfallen abnehmen. = m g l sin 56

8 B) Penel mit fester Länge l l 0 x Nebenbeingungen: y = 0 l 2 = x 2 + z 2 z z-achse nach oben! Das System hat einen Freiheitsgra, als verallgemeinerte Koorinate bietet sich er Winkel φ an. x = l sin z = l cos T = m 2 ẋ2 ẏ 2 ż 2 = m 2 l cos 2 l sin 2 = m 2 l 2 2 U = m g z = m g l cos t = t m l 2 = m l 2 = m g l sin = g l sin 57

9 Diese Differenzialgleichung ist nur formal lösbar mit Hilfe von elliptischen Integralen. Das elliptische Integral erster Gattung in er Legenreschen Normalform lautet: F k, = 0 1 k 2 sin 2 Die Lösung für as Penel ist gegeben urch F(k,φ)=ωt. Die Schwingungsauer es Penels ist abhängig von er Amplitue es Penels. Drei verschieene Anfangsauslenkungen π/2-0.2, π/2 un π/

10 Für kleine Winkel sin g l = 0 t = sin t, = - 2 sin t Lösung falls - 2 g l = 0, = g l = 2 T T =2 l g. Für kleine Auslenkung ist as Penel isochron, T ist unabhängig von er Amplitue. C) ungeämpfter harmonischer Oszillator (Feerkraftschwinger) k m x Nebenbeingungen y = 0, z = 0 1 Freiheitsgra Eine verallgemeinerte Koorinate q = x Die rücktreibene Kraft ist nach em Hookschen Gesetz proportional zur Auslenkung aus er Ruhelage. F = - k x Die Kraft besitzt ein Potenzial F = - gra U, U = + k 2 x 2 59

11 Die Lagrangefunktion lautet t ẋ = t m ẋ = m ẍ x = k x } m ẍ kx = 0 Die allgemeine Lösung ieser DGL lautet L = T U = m 2 ẋ2 k 2 x2 x t = 1 e i 0 t 2 e i 0 t = Acos 0 t B sin 0 t mit 0 = k m Mit Hilfe er Aitionstheoreme für Winkelfunktionen lässt sich ie Lösung auch schreiben als C = Amplitue er Schwingung, ω 0 = Kreisfrequenz er Schwingung, γ = Phasenverschiebung x t = C cos 0 t 0 = 2 v 0 = 2 T = k m v 0 = Frequenz, T = Perioenauer 60

12 3.4 Reibung John William Strutt, seit Lor Rayleigh in Langfor Grove, Melon, Englan 30. Juni 1919 Terlins Place bei Witham, Englan Nobelpreis Physik 1904 Eine realistische Beschreibung mechanischer Probleme erforert ie Berücksichtigung von Reibung. Reibungskräfte sin meist proportional zur Geschwinigkeit. In kartesischen Koorinaten lassen sich Reibungskräfte urch folgenen Ansatz beschreiben: F iss,i = ẋ i Diesen Kräften kann kein Potenzial zugeornet weren. Wir efinieren ie Rayleighsche Dissipationsfunktion D als: D ẋ = 3N i=1 i 2 ẋ 2 i D q, q,t = 3N i=1 i 2 [ ẋ i q, q, t ] 2 Die von einem Teilchen abgegebene Leistung ist F iss v. Für ie Reibungskraft mit obiger Form erhalten wir γv 2. Damit entspricht ie Rayleighsche Dissipationsfunktion er halben vom System an ie Reibung abgegebenen Leistung. Durch ie moifizierten Lagrangegleichungen kann ie Reibung berücksichtigt weren. t q i q i D q i = 0 i=1,..., f 61

13 3.5. kompliziertere Beispiele Massenpunkt auf einem Kreiskegel g z ϱ r Massenpunkt, er sich im Schwerefel reibungsfrei auf einem Kegel bewegt. α x 1. Man führe geeignete generalisierte Koorinaten ein, ie ie Nebenbeingungen automatisch erfüllen un er Symmetrie es Problems angepasst sin. Die Nebenbeingung (Kegelgleichung) lautet: 2 z 2 tan 2 = x 2 y 2 z 2 tan 2 = 0 Sie ist befrieigt, wenn wir als generalisierte Koorinaten en Abstan r vom Nullpunkt un en Winkel φ (Drehung um ie z-achse) entsprechen x = r sin cos, y = r sin sin, z = r cos einführen, also Kugelkoorinaten mit = = const benutzen. 62

14 2. Man schreibt kinetische Energie T, potenzielle Energie U un Lagrange-Funktion L als Funktion er generalisierten Koorinaten un Geschwinigkeiten auf: T = m 2 ẋ2 ẏ 2 ż 2 = m 2 ṙ 2 r 2 2 sin 2 U = m g z = m g r cos L = m 2 ṙ 2 r 2 2 sin 2 m g r cos 3. Man schreibe ie Lagrange-Gleichungen 2. Art auf, un formuliere ie Erhaltungssätze: t t ṙ r = m r m r 2 sin 2 m g cos = 0 = t m r 2 sin 2 = 0 L hängt nicht explizite von φ ab. Die entsprechene Erhaltungsgröße ist ie z-komponente es Drehimpulses, a ieses Problem gegenüber Drehungen um ie z-achse invariant ist. m r 2 sin 2 =l z 63

15 Die Lagrange-Funktion hängt nicht explizit von er Zeit ab, so ass er Energieerhaltungssatz gilt: T U = m 2 ṙ2 r 2 2 sin 2 m g r cos = E 4. Man löse ie Lagrange-Gleichungen 2. Art unter Ausnutzung er Erhaltungssätze. Jee Erhaltungsgröße stellt ein erstes Integral er Bewegungsgleichungen ar, spart also eine Integration (DGL 1. Ornung!). Damit kann also eine er Bewegungsgleichungen (DGL 2. Ornung!) ersetzt weren. Elimination von im Energiesatz mit Hilfe es Drehimpulssatzes gibt = l z m r 2 sin 2 E = m 2 ṙ2 l z 2 2 m r 2 sin 2 m g r cos = const. Diese Gleichung entspricht er es Problems er einimensionalen Bewegung eines Massenpunktes im Ersatzpotential U eff r = l z 2 2 m r 2 sin 2 m g r cos 64

16 Da wir ie Bewegungsgleichung nicht analytisch lösen können, beschränken wir uns auf eine anschauliche Diskussion es Energiesatzes U eff r m g r cos E r 1 r 2 r Ersatzpotential es Massenpunktes auf einem Kegel Ist er Drehimpuls Null, l z = = 0, rollt er Massenpunkt mit er Beschleunigung g cos α in ie Spitze hinein. Ist ein Drehimpuls vorhanen, ann zeigt ie Abbilung, ass ie Bewegung stänig zwischen zwei festen Werten r 1 un r 2 hin un her geht, er Massenpunkt rollt in auf- un absteigenen Spiralen zwischen en Kreisen er Höhe z 1 = r 1 cos α un z = r cos α mit gleich bleibenem Umlaufsinn auf em 2 2 Kegelmantel, er kann (ohne Reibung) ie Kegelspitze niemals erreichen. 65

17 3.5.2 Doppelpenel y x l 1 φ 1 g m 1 φ 2 l 2 m 2 Als verallgemeinerte Koorinaten wählen wir ie beien Winkel φ 1 un φ 2 : x 1 = l 1 sin 1 x 2 = l 1 sin 1 l 2 sin 2 y 1 = l 1 cos 1 y 2 = l 1 cos 1 l 2 cos 2 z 1 = 0 z 2 = 0 66

18 Daraus folgt ie kinetische Energie, T = m 1 x y 2 1 ż 12 m 2 x ẏ 2 2 z 22 = m 1 2 l m 2 [ l l l 1 l 2 cos ] Zusammen mit er potentiellen Energie U = m 1 g y 1 m 2 g y 2 erhalten wir L=T-U L = m 1 m 2 l m 2 2 l m 2 l 1 l cos 1 2 m 1 m 2 g l 1 cos 1 m 2 g l 2 cos 2. Lagrangegleichungen 2. Art aufstellen: t = 1 1 t =

19 Daraus erhalten wir ie Bewegungsgleichungen 2 m 1 m 2 l 1 1 m 2 l 1 l 2 2 cos 1 2 = m 2 l 1 l sin 1 2 m 1 m 2 g l 1 sin sin m 2 l 2 2 m 2 l 1 l 2 1 cos = m 2 l 1 l 2 2 sin 1 2 m 2 g l 2 sin sin 1 2 Das Doppelpenel kann auch mit em Newtonschen Kraftgesetz behanelt weren. Es wäre aber sehr schwierig, ie verschieenen Kopplungsterme im Rahmen er Newtonschen Bewegungsgleichungen aufzustellen. Für kleine Schwingungen gilt sin un cos Auch sonst lassen wir alle in φ i quaratischen (oer höheren) Terme weg: m 1 m 2 l 1 1 m 2 l 2 2 m 1 m 2 g 1 = 0 m 2 l 2 2 m 2 l 1 1 m 2 g 2 = 0 68

20 Der Ansatz führt zu 1 t 2 t = a 1 a 2 ei t m 1 m 2 g l 1 2 m 2 l 2 2 a m 2 l 1 2 m 2 g l a = 0 Dieses lineare Gleichungssystem hat nur ann eine nicht triviale Lösung, wenn ie Determinante verschwinet. Diese Beingung m 1 m 2 g l 1 2 g l 2 2 m 2 l 1 l 2 4 = 0 ist eine quaratische Gleichung für ω 2. Sie hat ie Lösungen ω + 2 un ω -2, ± 2 = g 2 m 1 m 2 m 1 l 1 l 2 l 1 l 2 1 ± 1 4 m 1 m 1 m 2 l 1 l 2 l 1 l

21 Im Fall m 1 << m 2 erhalten wir 2 g m 2 m 1 l 1 l 2 2 a 1 l 2 l 1 a 2 l g 1 l 2 a l 1 l 1 a 2 2 Im ersten Fall schwingen ie Massen gegenläufig. Im zweiten Fall bilen ie beien Stangen l 1 un l 2 eine gerae Linie. Im Fall m 1 >> m 2 erhalten wir 2 g l 2 un 2 g l 1 Dies sin ie Frequenzen er einzelnen Penel. In iesem Fall schwingen ie Penel praktisch unabhängig voneinaner. Weil m 1 so groß ist, wir seine Schwingung urch as Anhängsel m 2 praktisch nicht gestört. 70

22 Im Fall m 1 = m 2 = m un l 1 = l 2 = l erhalten wir ± 2 = g l 2± 2 a 1 = a 2 mit 2 Dies ist entweer eine schnellere gegenläufige oer eine langsamere gleichläufige Schwingung. In jeem Fall ist ie Winkelamplitue er unteren Masse um en Faktor 2 größer. Das Doppelpenel ist ein beliebtes Moell zur Demonstration von chaotischen Prozessen. Diese einfache Konstruktion erzeugt ein unvorhersehbares Bewegungsmuster, welches exponentiell auf Störungen reagiert. Das Verhalten ergibt sich aus er nichtlinearen Dynamik (Proukt er Winkelgeschwinigkeiten). 71