Theoretische Mechanik

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1 Technische Universität Dresen Skript: Theoretische Mechanik Verfasser Franziska Kühn Daten Prof. Dr. Rolan Ketzmerick Sommersemester 2009 Grunstuium

2 Inhaltsverzeichnis 1 Newtonsche Mechanik Newtonsche Axiome Einimensionale Bewegungen Erhaltungssätze Planetenbewegung Galilei-Transformation Beschleunigte Bezugssysteme System von Punktmassen Lagrangesche Formulierung er Mechanik Einführung am Beispiel ebenes Penel Zwangsbeingungen Zwangskraft, D Alembert-Prinzip Lagrange-Gleichung 1.Art Lösungsmethoe er Lagrange-Gleichung 1.Art Lagrange-Gleichungen 2.Art Hamilton-Prinzip Symmetrien un Erhaltungssätze Reibungskräfte Hamiltonsche Formulierung er Mechanik Hamilton-Funktion, kanonische Gleichungen Grunlegene Beispielsysteme Kanonische Transformation Poisson-Klammer Satz von Liouville Starre Körper Kinematik Rotationsenergie un Trägheitstensor Steinerscher Satz Trägheitsmoment Drehimpuls un Trägheitstensor Hauptachsentransformation Kontinuierliche Masseverteilung Eulersche Gleichungen Rotation um freie Achse Kräftefreier symmetrischer Kreisel Relativitätstheorie Relativitätsprinzip Herleitung er Lorentz-Transformation Konsequenzen aus Lorentz-Transformation Minkowski-Diagramm Formulierung er Mechanik in kovarianter Form

3 6 Nichtlineare Dynamik Linearisierte Dynamik Hamiltonsche Systeme Anhang: Herleitung Lorentz-Transformation Geschwinigkeitsaition

4 1 Newtonsche Mechanik 1.1 Newtonsche Axiome Wortlaut 1. Jeer Körper verharrt im Zustan er Ruhe oer er gleichförmigen Bewegung, wenn er nicht urch einwirkene Kräfte gezwungen wir, seinen Bewegungszustan zu änern. 2. Die Änerung er Bewegung ist er einwirkenen Kraft proportional un geschieht längs jener geraen Linie, nach welcher ie Kraft wirkt. 3. Die Reaktion auf eine Aktion ist immer entgegengesetzt gerichtet un gleich,.h. ie Aktionen (Kraftwirkungen) zweier Körper aufeinaner sin immer gleich groß un entgegengesetzt gerichtet Begriffe er Kinematik Kinematik: Beschreibung er Bewegung Körper: 1. Punktmechanik: Massepunkt ohne räumliche Ausehnung 2. später: starre Körper Bahnkurve: r(t) Geschwinigkeit: Vektor (Betrag + Richtung) v(t) r r(t) r(t + t) r(t) : lim t 0 t Richtung von v: parallel zu r,.h. in Tangentialrichtung Betrag von v: v v v 2 Beschleunigung: a(t) v(t) v 2 r(t) r 2 Zustan er Ruhe : r(t) r 0 const. gleichförmige Bewegung : v(t) v 0 const. r(t) r 0 + v 0 t Änerung er Bewegung : a(t) 0 4

5 1.1.3 Koorinatensysteme In einem Koorinatensystem kann ie Bahnkurve r(t) urch Koorinaten argestellt weren. 1. Kartesische Koorinaten Basisvektoren e x, e y, e z mit folgenen Eigenschaften: (a) Normierung: e x 2 e y 2 e z 2 1 (b) orthogonal: e x e y 0, e y e z 0, e x e z 0 (c) überall im Raum ie gleiche Richtung (i.a. nicht so, z.b. Polarkoorinaten) r(t) x(t) e x + y(t) e y + z(t) e z Die kartesischen Koorinaten x, y, z kann man als Spaltenvektor zusammenfassen. Aber: r ist nicht gleich em Spaltenvektor, a er Spaltenvektor nur zusammen mit en Basisvektoren einen Punkt im Raum beschreibt. In anerem kartesischen Koorinatensystem e x, e y, e z hat r ie Koorinaten x,y,z. Geschwinigkeit: r(t) x (t) e x + y (t) e y + z (t) e z v(t) r(t) x(t) e x + y(t) e y + z(t) ẋ(t) e x + ẏ(t) e y + ż(t) e z v (ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 ) 1 2 Beschleunigung: a(t) v(t) 2. Polarkoorinaten: (ϱ, ϕ) 2 Dimensionen Zusammenhang mit (x,y): Basisvektoren e ϱ, e ϕ : e z + x(t) e x + y(t) e y + z(t) e z ẍ(t) e x + ÿ(t) e y + z(t) e z x ϱ cos ϕ y ϱ sin ϕ e ϱ zeigt in Richtung er Änerung von r für ϱ ϱ + ϱ e ϕ zeigt in Richtung er Änerung von r für ϕ ϕ + ϕ Normierung: e ϱ e ϕ 1 orthogonal: e ϱ e ϕ 0 ortsabhängig (genauer: ϕ-abhängig) e ϱ e ϱ (ϕ) cos ϕ e x + sin ϕ e y e ϕ e ϕ (ϕ) sin ϕ e x + cos ϕ e y zeitliche Änerung entlang er Bahnkurve (ϱ(t), ϕ(t)): e ϱ e ϕ e ϱ ϕ ϕ ( sin ϕ e x + cos ϕ e y ) ϕ e ϕ ϕ e ϕ ϕ ϕ ( cos ϕ e x sin ϕ e y ) ϕ e ϱ ϕ 5

6 Ort: Geschwinigkeit: Beschleunigung: r(t) ϱ e ϱ ϱ(t) e ϱ (ϕ(t)) v(t) r(t) ϱ(t) e ϱ + ϱ(t) ϕ e ϕ a(t) v(t) ϱ(t) e ϱ + 2 ϱ(t) ϕ e ϕ ϱ(t) ϕ 2 e ϱ + ϱ(t) ϕ e ϕ ( ϱ ϱ ϕ 2 ) e ϱ + (ϱ ϕ + 2 ϱ ϕ) e ϕ Bsp.: Bewegung auf Kreis mit Raius R, Winkelgeschwinigkeit ω kartesische Koorinaten x(t) R cos ωt y(t) R sin ωt r(t) R cos ωt e x + R sin ωt e y v(t) R ω ( sin ωt e x + cos ωt e y ) a(t) R ω 2 ( cos ωt e x + sin ωt e y ) 3. Zylinerkoorinaten: (ϱ, ϕ, z) Zusammenhang mit (x,y,z) Polarkoorinaten ϱ(t) R ϕ(t) ωt r(t) R e ϱ v(t) R ω e ϕ a(t) R ω 2 e ϱ x ϱ cos ϕ y ϱ sin ϕ z z Basisvektoren: rechtshäniges Dreibein e ϱ, e ϕ, e z Ort: Geschwinigkeit: Beschleunigung: 4. Kugelkoorinaten: (r, ϑ, ϕ) Zusammenhang mit (x,y,z): r ϱ e ϱ + z e z v ϱ e ϱ + ϱ ϕ + e ϕ + ż e z a ( ϱ ϱ ϕ 2 ) e ϱ + (ϱ ϕ + 2 ϕ ϱ) e ϕ + z e z x r sin ϑ cos ϕ y r sin ϑ sin ϕ z r cos ϑ Basisvektoren: rechtshäniges Dreibein e r, e ϑ, e ϕ Ort: Geschwinigkeit: Beschleunigung: r r e r v Ṙ e r + R ( ϑ e ϑ + sin ϑ ϕ e ϕ ) a e r ( R R ϑ 2 R sin 2 ϑ ϕ 2 ) + e ϑ (2Ṙ ϑ + R ϑ R ϕ 2 sin ϑ cos ϑ) + e ϕ (2Ṙ sin ϑ + 2R ϑ ϕ cos ϑ + R ϕ sin ϑ) Volumenelement: V x y z r 2 cos ϑ r ϕ ϑ 6

7 1.1.4 Begleitenes Dreibein Ist er Bahnkurve angepasst (natürliche Koorinaten) 1. Tangentenvektor τ gleiche Richtung wie v, normiert: 2. Normalenvektor n senkrecht zu τ Betrachte Beschleunigung mit v v τ v v a v (v τ) }{{} v τ + }{{} v τ a T a N a N... Beschleunigung senkrecht zur Tangente (Normalbeschleunigung) a T... Beschleunigung entlang Bahnkurve (Tangentialbeschleunigung) Beweis: Also: Man kann zeigen: 3. Binomalenvektor b Diskussion er Newtonschen Axiome τ τ τ 0 τ τ n : τ τ τ v R b τ n 1. Es gibt Bezugssysteme, in enen sich eine kräftefreie Punktmasse mit konstanter Geschwinigkeit bewegt,.h. v const. (Galileisches Trägheitsgesetz) Definition: Ein solches Bezugssystem heißt Inertialsystem. Beispiele: (a) Bezugssystem, ass sich mit Karussell reht: Wierspruch! (b) Bezugssystem im Hörsaal: Dreht sich mit Ere, also wirken von Scheinkräften. Nur näherungsweise Inertialsystem. (c) Bezugssystem rel. zu Fixstern: recht genau Bemerkungen: Zu einem Inertialsystem gibt es unenlich viele anere Inertialsysteme, mit einer konstanten Relativgeschwinigkeit. Keines avon ist ausgezeichnet. (Relativitätsprinzip) 7

8 Vollstänige Kräftefreiheit ist nicht realisierbar, a Gravitationskraft langreichtweitig ( 1 r 2 ) un nicht abschirmbar. 2. Im Inertialsystem gilt: p F Hierbei ist p m v er Impuls mit Proportionalitätskonstante träge Masse m. Es gilt oft: m zeitlich konstant. F p m v m a Bemerkungen: 3. Es gilt: efiniert träge Masse m Experiment: Masse ist positiv un extensiv efiniert F Kraft hängt ab von (a) Zeit t (b) Ort r (Gravitation) (c) Geschwinigkeit r (Reibung, Lorentz-Kraft) () nicht von Beschleunigung r oer höhere Zeitableitung F 12 F 21 F Kraft, ie aufgrun es Körpers 2 auf Körper 1 wirkt. Beispiele: (a) Eranziehung (b) Tauziehen (c) Coulomb-Kraft Gegenbeispiel: Lorentz-Kraft Zusätze in er Mechanik: Kräfte, ie zwei Punktmassen aufeinaner ausüben, wirken in Richtung er Verbinungslinie ( r 1 r 2 ) F 0 Kräfte aieren sich vektoriell. 1.2 Einimensionale Bewegungen Bewegung entlang einer Geraen Aufgabenstellung: Ziel: gegebenen x(t), gesucht F (x, ẋ, t) gegeben F (x, ẋ, t), bestimme x(t) 1. DGL aufstellen un lösen 2. Integrationskonstanten euten m ẍ(t) F (x, ẋ, t) grunlegene physikalische Beispiele für Kraftgesetzte F(x), F (ẋ), F(t) grunlegene DGL un ihre Lösungen 8

9 1.2.1 Kräftefreie Bewegung Lösung: DGL für v ẋ: F 0 m ẍ 0 ẍ 0 Bestimmung von x(t): t Deutung er Integrationskonstanten: Anfangsort x 0 Anfangsgeschwinigkeit v 0 Anere Varianten: 1. Zeit t 0 mit x(t 0 ) 0: 2. Anfangsort x 0, Enort x(t ) 0 t 0 v 0 v(t ) 0 v(t) v(0) 0 ẋ(t ) Bewegung im homogenen Schwerefel v(t) v(0) t x(t) x(0) v 0 t 0 v(t ) x(t) v 0 t + x 0 x(t) v 0 (t t 0 ) x(t) x 0 + t T (x(t ) x 0) F m g m ẍ m g ẍ g Charakterisierung: DGL 2. Ornung, linear, inhomogen Allgemeine Lösung einer linearen inhomogenen DGL allg. er homogenen DGL x h 0 + spezielle Lösung er inhomogenen DGL ẍ s g Reibung x h v 0 t + x 0 x s g 2 t2 x(t) x h (t) + x s (t) g 2 t2 + v 0 t + x 0 Stokesche Reibung (γ ẋ, entgegen ẋ) F γ ẋ m ẍ + γ ẋ 0 ẍ + γ m ẋ 0 Charakterisierung: DGL 2. Ornung, linear, homogen 9

10 1. Lösungsweg: DGL für v ẋ v + γ m v 0 Trennung er Variablen: Substitution mit z v(t ): Bestimmung von x(t) t 0 t 0 v γ v m v(t ) t v(t ) γ m 0 γ m t v(t) v 0 1 z z γ m t ẋ(t ) 2. Lösungsweg: Exponentialansatz x e λ t allgemeine Lösung urch Superposition: ln v(t) v 0 γ m t v(t) v 0 e γ m t t 0 v 0 e γ m t x(t) x 0 m γ v 0 (e γ m t 1) x(t) m γ v 0 (e γ m t 1) + x 0 λ 2 e λ t + γ m λ eλ t 0 e λ t (λ 2 + γ m λ) 0 λ 1 0 λ 2 γ m x(t) c 1 + c 2 e γ m t Bewegung im homogenen Schwerefel mit Reibung F m g γ ẋ m ẍ + γ ẋ m g ẍ + γ m ẋ g Charakterisierung: DGL 2. Ornung, linear, inhomogen Allgemeine Lösung: x x h + x s 10

11 Phyikalische Reibungskraft ist irgenwann Schwerkraft, also keine Beschleunigung (ẍ s 0) γ m x s g x s (t) x s (0) m g t γ x s (t) x s (0) m g t γ mit x s (0) 0 (kann bei spezieller Lösung beliebig gewählt weren). Also gilt: Harmonischer Oszillator Kraft proportional zur Auslenkung: x(t) x h (t) + x s (t) c 1 + c 2 e γ m t m g γ F k x (k > 0) ẍ + k m x 0 Charakterisierung: DGL 2. Ornung, linear, homogen Exponentialansatz: x e λ t e λ t (λ 2 + k m ) 0 k λ 1/2 ±ı m ±ı ω 0 x(t) c 1 e ı ω0 t + c 2 e ı ω0 t (c 1, c 2 C) x(t) b 1 sin ω 0 t + b 2 cos ω 0 t (b 1, b 2 R) x(t) A sin(ω 0 t + ϕ) (A, ϕ R) Charakteristikum es Harmonischen Oszillators: Frequenz ω 0 ist unabhängig von Amplitue A; lösbar (auch in Quantenmechanik); untypisch, aber oft gute Näherung Harmonischer Oszillator mit Reibung ẍ + γ ẋ + k x 0 }{{} m }{{} m 2r ω0 2 ẍ + 2r ẋ + ω 2 0 x 0 F k x γ ẋ Charakterisierung: DGL 2. Ornung, linear, homogen (r: Dämpfungskonstante) Exponentialansatz: x e λt : e λt (λ 2 + 2r λ + ω 2 0) 0 λ 1/2 r ± r 2 ω 2 0 t Fallunterscheiung: 1. r > ω 0 : starke Dämpfung max. 1 Nullurchgang λ 1 /λ 2 < 0 x(t) c 1 e λ1t + c 2 e λ2t 11

12 2. r < ω 0 : schwache Dämpfung λ 1/2 r ± ı ω0 2 r2 x(t) A e rt cos( ω0 2 r2 t + ϕ) verkleinerte Frequenz ω0 2 r2 < ω 3. r ω 0 : aperioischer Grenzfall λ 1/2 r x(t) (c 1 + c 2 t) e rt qualitativ ähnlich zu 1., max. 1 Nullurchgang Harmonischer Oszillator mit Reibung un Antrieb F k x γ ẋ + k A E sin(ω E t) ẍ + γ ẋ + k x k }{{} m }{{} m m A E sin(ω E t) 2r ω0 2 ẍ + 2r ẋ + ω 2 0 x ω 2 0A E sin(ω E t) Charakterisierung: DGL 2. Ornung, linear, inhomogen 1. homogene Lösung: siehe spezielle Lösung: Ansatz einer erzwungenen Schwingung mit Frequenz ω E es Antriebs (A... Amplitue, η... Phasenverschiebung) Einsetzen in DGL. (Übung 3.4) 3. allgemeine Lösung: Bemerkungen: x s (t) A sin(ω E t η) η arctan 2r ω E ω0 2 ω2 E A ω0 2 (ω 2 0 ωe 2 )2 + 4r 2 ωe 2 A E x(t) x h (t) + x s (t) x h (t) + A sin(ω E t η) homogene Lösung beschreibt Einschwingvorgang Amplitue A A(A E, ω E, r, ω 0 ) maximale Amplitue bei ω R : ω R ω 2 0 2r2 < ω 0 für r < w0 2 Grenzfall r ω 0, ann ω R ω 0, also A (Resonanzkatastrophe) Getriebene 1D-Systeme i.a. nicht lösbar 12

13 1.2.8 Allgemeine zeitabhängige Kraft m ẍ F (t) ẍ F (t) m Charakterisierung: DGL 2. Ornung, linear, inhomogen 1. allgemeine Lösung er homogenen DGL: 2. spezielle Lösung er inhomogenen DGL: 3. allgemeine Lösung: ẍ 0 x h (t) x 0 + v 0 t x s t x(t) x 0 + v 0 t + 0 t 0 t Allgemeine geschwinigkeitsabhängige Kraft 0 F (t ) m t F F (ẋ) f(t) m ẍ F (ẋ) f(t) F (ẋ) f(t) ẍ m 0 Charakterisierung: DGL 2. Ornung, i.a. nicht linear, homogen Lösung: DGL für v ẋ Trennung er Variablen: Substitution: z v(t ) t 0 v(t) v v F (v) v F (v) v(0) z F (z) F (v) f(t) m 0 f(t) m t 0 t nach Integration: v(t) (zunächst implizit g(v(t)) h(t)) Beispiel: F γ ẋ (Reibung 1.2.3) Allgemeine ortsabhängige Kraft 0 F (t ) m f(t ) m f(t ) m m ẍ F (x) ẍ F (x) m 0 Charakterisierung: DGL 2. Ornung, i.a. nicht-linear, homogen Lösung: 13

14 Energiemethoe (Multiplikation mit ẋ) mit m ẍ ẋ F (x) ẋ ( m 2 ẋ2) U(x) x(t) U(x) F (x ) x Bemerkung: Untere Grenze in Definition von U beliebig wählbar. Integration: m 2 ẋ2 U(x) + E Bemerkung: E ist Integrationskonstante (enthält Beliebigkeit in Definition von U(x)) 2 ẋ ± (E U(x)) m }{{} f(x) Fall 1: ẋ 0, Trennung er Variablen: x(t) x(t 0) Durch Umkehrung erhält man x x(t). Bemerkungen: ẋ f(x) x f(x) 1 x 2 m (E U(x)) t t t(x) Das Integral muss ggf. numerisch ausgewertet weren. Wahl er Integrationskonstanten E, x(t 0 ) beliebig t 0 t t 0 später: U(x) Potential er Kraft F(x), E Energie er Punktmasse - bis auf aitive Konstante efiniert Definition: Phasenraum (p,x) mit Impuls p m v m ẋ Qualitative Diskussion er Dynamik: 1. Harmonischer Oszillator (lineare Kraft) p ± 2m (E U(x)) F k x x U(x) ( k x ) x k 2 x2 + c 1 mit c 1 0. Es folgt: Charakterisierung er Bewegung: m 2 ẋ2 E k 2 x2 14

15 Bei gegebenen E E 1 finet Bewegung im Bereich [ x 1, x 1 ] statt mit k 2 x2 1 E 1 Umkehrpunkte: Orte mit ẋ 0, hier x 1, x 1 Differenz E k 2 x2 bestimmt Geschwinigkeit Phasenraum: (Ellipsengleichung) Perioenauer: Substitution x x(t ) x1 T m p2 + k 2 x2 E t(x1) T 2 t( x 1) x 1 x1 x 1 x ẋ 2 2 m E 1 k Substitution z 2E 1 x mit z(x 1 ) 1 unabhängig von E 1 2. harmonische Kraft T 2 2 m E 1 2π k m 2π w 0 2 x m (E 1 U(x)) x1 x 1 x 1 k 2E 1 x k 1 2E 1 F F 0 sin kx x U(x) (F 0 sin(k x )) x (a) E max E E max : gebunene Bewegung (b) E > E max : ungebunene Bewegung (c) E E max : Separatrix, T Äquivalenz zum Penel: z 1 z 2 F 0 k cos kx + c 1 (c 1 0) Penel mit Antrieb F G F ϱ e ϱ + F ϕ e ϕ F ϕ m g sin ϕ (ϕ ˆk x + φ) F F 0 sin ϕ + A sin ωt 15

16 1.3 Erhaltungssätze Bemerkung: m r F ( r, r, t) m ẍ F x (x, y, z, ẋ, ẏ, ż, t) m ÿ F y (x, y, z, ẋ, ẏ, ż, t) m z F z (x, y, z, ẋ, ẏ, ż, t) 3 gekoppelte DGL 2. Ornung, i.a. nicht analytisch lösbar Für spezielle, aber häufig vorkommene Kräfte gibt es Erhaltungssätze, ie vollstänig oer teilweise analytische Lösung er DGL ermöglichen Impuls Impulssatz: p F Impulserhaltungssatz: p 0, p const. F 0 Bahnkurve: Punktmasse bewegt sich mit konstanter Geschwinigkeit auf einer Geraen Drehimpuls Drehmoment: Bemerkungen: M : r F Auswirkung er Kraft F bei r auf Drehung um Ursprung Vektor senkrecht zu r, F hängt von er Wahl es Ursprungs ab Drehimpuls: Bemerkungen: L r p Betrag beschreibt Impuls am Ort r bzgl. Drehung um Ursprung Vektor senkrecht zu r, p hängt von er Wahl es Ursprungs ab Drehimpulssatz: Beweis: L M L ( r p) r p + r p m ( r r) + r F M 16

17 Drehimpulserhaltungssatz: L 0, L const. M 0 F r Zentralkraft: Kraft, für ie F r gilt. Allgemeinste Zentralkraft: F e r f( r, r, t) Folgerung: In einem Zentralkraftfel gilt immer Drehimpulserhaltung. (Bsp.: Coulomb-Kraft, Gravitationskraft) Bahnkurve: (Ebenengleichung) x L x + y L y + z L z 0 L r p r r L r ( r p) 0 Folgerung: Drehimpulserhaltung L const. L x, L y, L z konstant Bewegung in einer Ebene urch Ursprung zu L Gilt ie Umkehrung auch? I.A. nicht! Flächensatz: L const. Der Fahrstrahl überstreicht in gleicher Zeit gleiche Flächen. Beweis: Energie Flächenstück: zeitliche Änerung: A r r 1 2 A 1 2 r r 1 r p const. 2m (Beschränkung auf nicht explizit zeitabhängige Kräfte F ( r, r) Arbeit abhängig von: W : r2 Fel F ( r, r) Anfangs-/Enpunkt r 1, r 2 Weg C Geschwinigkeit, mit er C urchlaufen wir Beispiel: F y e x W C F r 0 C W B F r B b 0 a b W A < 0 r 1 F r a 0 e y y e x y + e x y e x x + e y e x y y 0 b 17

18 Leistung: Folgerung: P W F r F r P F r m r r ( m 2 r 2) T Kinetische Energie: T : m 2 r 2 Konservative Kraft : F ( r, r) heißt konservativ, falls ortsabhängige Funktion U( r) existiert mit U( r) F r Dissipative Kraft: Anteil F Diss er Kraft F F kons + F iss, er nicht konservativ ist. Potential oer potentielle Energie zu einer konservativen kraft: U( r) mit: Folgerung: Energie: U( r) F r T F r ( F Diss + F kons ) r F iss r + F kons r U( r) + F iss r (T + U) F iss r E T + U m 2 r 2 + U( r) Energiesatz: E F iss r zeitliche Änerung er Energie Leistung er issipativen Kräfte Energieerhaltungssatz: E 0; E const. F F kons Energieerhaltung, falls nur konservative Kräfte wirken Bemerkung: E beschreibt nur mechanische Energie. Dissipative Kräfte waneln iese z.b. in Wärmeenergie um. Einschub: Graient: gegeben: Skalarfel ϕ( r) gesucht: Stärke un Richtung es steilsten Anstieges bei Punkt r gra ϕ( r) : ϕ x ϕ y ϕ z ϕ( r) x e x + y e y + z e z 3 e i x i i1 18

19 Bemerkungen: gra ϕ steht senkrecht auf Linien mit ϕ const. koorinatenunabhängige Definition: Wähle beliebige Richtung r: r gra ϕ : r lim ϕ( r + r) ϕ( r) r 0 r Komponente in r Einschub: Rotation: gegeben: Vektorfel E( r) gesucht: Wirbelstärke un Wirbelrehachse an Ort r rot E( r) : E( r) x E x ( r) E y ( r) E z ( r) koorinatenunabhängige Definition: Wähle bel. kleine eben Fläche mit er Flächennormale n mit n 1, Rankurve C, Fläche A. (Rechtsschraubenregel liefert Orientierung von n un C) Komponente in Richtung n Satz von Stokes: für C 1 -einfach geschlossene Wege. Bemerkung: n rot E( r) 1 : lim A 0 A rot E( r) y z A r E( r) }{{} Zirkulation }{{} Wirbelstärke C r E( r) Flächenintegral er Rotation Zirkulation von E entlang Ran C gilt für beliebige orientierbare Flächen A Allgemeine konservative Kraft F kons r U( r) U(x(t), y(t), z(t)) ( U x x + U y y + U z z ) U x ẋ U ẏ gra U r ż y U z für alle r, r, t F kons ( r, r, t) gra U( r) + r f( r, r, t) mit beliebigem Vektorfel f( r, r, t). Bemerkung: 19

20 Konservative Kraft ist i.a. orts-, geschwinigkeits- un zeitabhängig. Bsp.: Lorentzkraft F ( r, r, t) q ( r B( r, t)) Spezialfall: ortsabhängige konservative Kraft F ( r) gra U( r) Ortsabhängige konservative Kräfte Die folgenen Aussagen sin äquivalent: 1. F ist konservativ,.h. U( r) mit U( r) F r 2. U( r) mit F gra U( r) 3. rot F 0 4. C F r 0 für alle geschlossenen Wege C 5. C F r ist unabhängig vom Weg C Beweis: 1) 2): siehe Abschnitt ) 3): U(x,y,z) ist Funktion mehrere Veränerlicher 2. gemischte Ableitungen vertauschen: 2 U x y F x y 2 U y x F y x (rot F ) z 0 gleiche Methoe auf anere gemischte Ableitungen ergibt: 3) 4) für beliebige C 4) 3) rot F 0 Stokes (rot F ) 0 C F r 0 C F r 0 für beliebige Wege C. Wähle beliebig kleine ebene Flächen mit Normale n bei Ort r. Dann nach Definition: n rot F 0 mit n, r beliebig. Also rot F 0. 4) 5) Wähle Punkte r 1, r 2 un beliebige Wege C 1, C 2. Dann existiert ein geschlossener Weg C C 1 ( C 2 ) 0 F r F r + F r C C 1 C 2 F r F r C 1 C 2 20

21 1 5) 4) Wähle beliebige geschlossene Kurve C. Es existierten r 1, r 2 auf C, zwei Wege C 1, C 2 mit C 1 ( C 2 ) C. Also: C F r F r F r 0 C 2 5) 2): siehe Analysis 3, Jürgen Voigt (Satz 3.1) Virialsatz Ziel: Aussage zu zeitlichem Mittelwert von T un U Betrachtung er kinetischen Energie: zeitliche Mittelung: Angewenet auf kinetische Energie: T 1 2 m r 2 1 p r ( p r) 1 2 p r 1 F 2 r + 1 ( p r) 2 T 1 2 lim 1 x x Annahme: p(t) un r(t) beschränkt: Virialsatz: 1 f lim x x x 0 f(t ) x ( ) p r 0 }{{} [ p r] T 0 1 lim T T [ p r]t 0 0 T 1 2 F r Für eine homogene Funktion vom Gra k gilt: Eulersche Gleichung: Beweis: f(α x) α k f(x) x f x k f(x) 1 2 F r α f(αx) f (αx) (αx) x α (αk f(x)) k α k 1 f(x) α 1 : f x k f(x) Annahme: 1. ortsabhängige konservative Kraft F gra U( r) 21

22 2. Potential U( r) sei eine homogene Funktion vom Gra k,.h. U(α r) α k U( r) Dann gilt: F r r gra U( r) k U( r) T k 2 U( r) Beispiele: 1. Harmonischer Oszillator: 2. Gravitation, Coulomb 1.4 Planetenbewegung U(x) c x 2 (k 2) T U E T + U 2 T 2 U U(x) c x T 1 2 U (k 1) E T + U 1 2 U T < 0 Masse M sei fixiert im Ursprung. Masse m bewegt sich unter Gravitationskraft Allgemeiner: Kugelsymmetrische Zentralkraft: Kugelsymmetrische Zentralkraft Erhaltungssätze: Impuls: - Drehimpuls: Energie:, a rot F 0 also konservatives Zentralkraftfel Potential: F γ m M r 2 e r γ m M r r 3 F f(r) r F f(r) r U( r) r F ( r ) r r f( r ) r r Es gilt: r r { r r für r r 0 für r r 22

23 Also: r U( r) f(r ) r r speziell Gravitation: F γ m M r r 3 Ziel: Bahnkurve r 1 U(r) ( γ m M) r 3 r r (U( ) 0) [ γ m M 1 ] r r γ m M r Drehimpulserhaltung, Richtung: Wähle o.b..a. L L e z, also Bahnkurve in x-y-ebene urch Ursprung. Wähle Polarkoorinaten (ϱ, ϕ) Energieerhaltung: Drehimpulserhaltung, Betrag: r ϱ e ϱ v ϱ e ϱ + ϕ ϱ e ϕ E T + U 1 2 m v2 + U m 2 ( ϱ2 + ϱ 2 ϕ 2 ) + U(ϱ) L r p m r v ϕ m ϱ 2 ϕ e ϱ e ϕ }{{} e z 1 L m ϱ 2 Betrachte ϱ(t): Eliminiere ϕ in Gleichung für Energie E m 2 ϱ2 + Effektives 1D-Potential U eff (ϱ) für 3D-Problem. Integration er DGL mit Trennung er Variablen: t t 0 t(ϱ) ϱ(t) Betrachte ϕ(t): Trennung er Variablen: Substitution t ϱ(t ) ϕ ϕ 0 L 2 2 m ϱ 2 + U(ϱ) }{{} U eff ϱ 2 2 m (E U eff (ϱ)) ϕ ϕ 0 ϱ(t) ϱ(t 0) ϱ(t) ϱ(t 0) t r 2 m (E U eff (ϱ)) L t 0 m ϱ 2 r L m r 2 2 m (E U eff ) 23

24 1.4.2 Qualitative Diskussion er Bewegung im effektiven Potential Beispiel Gravitation U(ϱ) γ m M ϱ L 2 U eff (ϱ) 2 m ϱ 2 γ m M ϱ Betrachte 1D-Raialbewegung bei Energieerhaltung T + U eff E L0 L L 1 > 0 L L 2 > L 1 Charakterisierung er Bewegung: 1. E 0: ungebunen: Für L > 0 kann as Teilchen nicht zum Ursprung gelangen (Drehimpulsbarriere). Für größeres L weiter weg vom Ursprung 2. E < 0: gebunen: Für L > 0 Schwingung in ϱ zwischen en Umkehrpunkten ϱ min un ϱ max. Für größeres L: Schwingung weiter vom Ursprung entfernt un kleinerer Bereich E < 0 3. E E min : nur bei L > 0 ϱ const., also Kreisbahn (stabil) Konsequenzen für Satellit: sollte niemals Ere treffen, also ϱ min > R Ere. Minestgeschwinigkeit: 1. kosmische Geschwinigkeit (7,9km/s) Minestgeschwinigkeit an Eroberfläche um ϱ zu erreichen: 2. kosmische Geschwinigkeit (11,2km/s) Bahnkurve ϱ, ϕ: E > 0: Hyperbel E 0: Parabel E < 0: Ellipse E E min : Kreis E 0 T + U eff (R Ere ) 24

25 1.4.3 Gravitation: Bahnkurven sin Kegelschnitte U(r) γ m M r einsetzen un berechnen er Integrale von Alternativweg: Energieerhaltung neue Variable s ϱ 1 m 2 L 2 ϱ2 + 2 m ϱ 2 γ m M ϱ ϱ E ( ) 1 ( ) 1 ϕ s(ϕ) ϕ s(ϕ) s ϱ 2 ϕ L m s Einsetzen liefert nichtlineare DGL 1. Ornung Anwenen von 1 2s ϕ : L 2 2m s 2 + L2 2m s2 γ m M s E s 2 + s 2 2m L s + s γ m2 M L 2 lineare inhomogene DGL 2. Ornung Allgemeine Lösung: s(ϕ) A sin ϕ + B cos ϕ + γ m2 M L 2 (E + γ m M s) Wähle ϱ(ϕ 0) ϱ min. Also s(ϕ 0) ist maximal. Dann: A 0, B > 0. Definiere Dann: k : L 2 γ M m 2 ε B k ϱ(ϕ) k 1 + ε cos ϕ (Polargleichung er Kegelschnitte bzgl. er Brennpunkte) Exzentrität ε 0: Kreis 0 < ε < 1: Ellipse ε 1: Parabel ε > 1: Hyperbel 25

26 1.4.4 Keplersche Gesetze 1. Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in eren einem Brennpunkt ie Sonne steht. (Beweis: 1.4.3) 2. In gleichen Zeiten überstreicht er Fahrstrahl Sonne-Planet ie gleiche Fläche. (Beweis: Flächensatz) 3. Für alle Planeten: (T... Umlaufzeit Beweis: Flächensatz: Bemerkungen: a... große Halbachse) T 2 4π2 const. a3 γ M L 2m A const. A Ellipse π ab T T T 2π ab m L a k k 1 ε 2 b 1 ε 2 T 2 a 3 4π2 γ M Aus Keplerschen Gesetzen lässt sich as Kraftgesetz F 1 r 2 e r Bisher nur ein Körper, a Masse M fest. Zweikörperproblem: 1.5 Galilei-Transformation T 2 a 3 4π 2 γ (m + M) Gegeben sei ein Inertialsystem,.h. nach 1. Newtonschen Axiom gilt bei Kräftefreiheit r 0, un kartesisches Koorinatensystem KS. Ereignis (x 1, x 2, x 3, t) Gleiches Ereignis hat in IS ie Koorinaten x 1, x 2, x 3, t. Galilei-Transformation beschreibt en Zusammenhang er Koorinaten es gleichen Ereignisses in IS un IS. Spezielle Galilei-Transformation: x x v t y y z z t t Allgemeine Galilei-Transformation: x i αij x j v i t x 0,i }{{}}{{} 1 2 t t t }{{}

27 1: Drehung er KS 2: räumliche Verschiebung 3: zeitliche Verschiebung orthogonale Matrizen α mit α α T E Bemerkungen: Dies ist ie allgemeinste Transformation zwischen zwei Inertialsystemen. Hintereinanerausführung ergibt wieer Galilei-Transformation (Galilei-Gruppe) Herleitung 2. Axiom in IS Bemerkungen: IS : m r F m ẍ i F i (x 1, x 2, x 3, x 1, x 2, x 3, t) IS : m ẍ i m 2 x i 2 m r m 2 x i 2 ( ) 1 α ij m 2 x j 2 }{{} F j F i (x 1, x 2, x 3, x 1, x 2, x 3, t ) F Newtonsche Axiome sin unter Galilei-Transformation kovariant. (forminvariant) 1 Uhren gehen in verschieenen IS gleich schnell für v c 1.6 Beschleunigte Bezugssysteme Linear beschleunige Bezugssysteme Gegeben sei ein Inertialsystem IS mit Koorinatensystem KS sowie beschleunigtes Koorinatensystem KS mit t t. r(t) (t) + r (t) (t)... Abstansvektor von Ursprung zu Ursprung IS sei kräftefrei: für z.b. (t) t2 2 a m r 0 m r m m a Trägheitskraft in KS, also Bewegung in KS nicht kräftefrei, aher kein IS Rotierenes Bezugssystem Inertialsystem un Koorinatensystem KS haben en gleichen Ursprung. r r t t KS rehe sich um z-achse mit Winkelgeschwinigkeit ω(t) z z 27

28 Ortsvektor: r x i e i x i(t) e i (t) r Geschwinigkeit: r(t) x i (t) e i x i (t) e i (t) + x i(t) e i (t) x i (t) e i (t) + ω r (Geschwinigkeit IS Geschwinigkeit KS + Korrektur wegen Winkelgeschwinigkeit ω) Beweis: Schreibweise: Operatorgleichung: anwenbar auf beliebige Vektoren e x e y ϕ e z e xϕ e y e x ϕ e z e yϕ e z 0 e z e zϕ x i e i x i e i x ϕ i e z e i ( ) r IS ω (x i e i ) ω r ( ) r + ω r KS ( ) ( ) + ω IS KS Beschleunigung: Operatorgleichung auf Geschwinigkeit anwenen 2 (( ) ) [( ) ] r r 2 + ω + ω r KS KS ( 2 ) ( ) ( ) r r 2 + KS ω r + ω + ω ( ω r) KS KS Es gilt: Damit: Abkürzung: ( 2 ) r 2 IS ( ) ω r KS ( ) ω r + ω KS ( 2 ) r 2 + ω r + 2 ω KS v : a : ( ) r ( 2 ) r 2 KS KS r r r r ( ) r KS ( ) r + ω ( ω r) KS r a + ω r + 2 ω v + ω ( ω r) 28

29 Bewegungsgleichung: Trägheitskräfte: IS : m r F KS : m a F m ω ( ω r) 2m ω v }{{} m }{{} ω r }{{} Zentrifugalkraft (1): ω 2, ω, außen 2. Corioliskraft (2): ω, v, ω, v 3. namenslos (3): ω Beispiele: Karussell, Wetter, Foucaultsches Penel Bemerkung: Newtonsche Axiome gelten nicht im beschleunigten Koorinatensystem KS, a Trägheitskräfte wirken. 1.7 System von Punktmassen N Punktmassen: Masse m i (zeitunabhängig), Ort r i, Kräfte F i un m i r i F i Äußere Kraft F i (a) : Kraft, ie von außen auf as i-te Teilchen wirkt Abgeschlossenes System: F i (a) 0 für alle i Innere Kraft F i (i) : Kraft, ie urch anere Punktmassen auf i-tes Teilchen wirkt. Zweikörperkraft F ij : Kraft, ie urch Punktmasse j auf Punktmasse i wirkt. Nach 3. Newtonschen Axiom: Damit: F ij F ji m i r i F i F i (a) + Fi (i) F i (a) + N j1,j i 3N gekoppelte DGL 2. Ornung, i.a. nicht analytisch lösbar numerische Integration, allgemeine Erhaltungssätze Impuls m i r i i i i i j,j i F ij (a) F i + F ij F i (a) } {{ } 0 Gesamtmasse: M i m i Schwerpunkt: R i m i M r mi r i i M 29

30 Gesamtimpuls: P i p i i m i r i M R P M R i F i (a) (Impuls-/Schwerpunktsatz) Bemerkungen: Schwerpunkt bewegt sich, als ob in ihm ie gesamte Masse vereint wäre un alle äußeren Kräfte auf en Schwerpunkt einwirken. Rechtfertigung es Begriffs Punktmasse Innere Kräfte haben keinen Einfluss auf ie Bewegung es Schwerpunktes. Erhaltung es Gesamtimpuls Fi (a) 0, z.b. abgeschlossenes System Drehimpuls Gesamtrehimpuls: (Drehimpulssatz) Bemerkungen: r i m i r i i i r i m i i i i i r i F (a) i + r i i j i r i F (a) i + i,j,i<j r i F i (a) + i,j,i<j L L i i L r i (a) F i i F ij r i F ij + r j F ji ( r i r j ) F ij } {{ } 0 Änerung es Gesamtrehimpulses Summe er Drehmomente er äußeren Kräfte Innere Kräfte haben keinen Einfluss auf L. Erhaltung es Gesamtrehimpulses r i F i (a) 0, z.b. abgeschlossenes System oer nur Zentralkräfte Energie m i r i r i i i ( ) m i 2 r i 2 i i T F i r i i F i r i F i r i 30

31 Aufteilung in konservative un issipative Kräfte: F i,kons r i U i (T + U) i F i,iss r i (Energiesatz) Bemerkung: oftmals: U U x 1 x 1 + U y 1 y 1 + U z U z n z 1 z }{{} n i Schwerpunktsystem Schwerpunkt R: ( i U) r i U( r 1,..., r n ) i Koorinate im Schwerpunktsystem: ( 1U) ( r 1) U i ( r i ) + R i i,j,i j m i M r i s i r i R Bemerkung: i.a. ist Schwerpunktsystem kein Inertialsystem Schwerpunkt im Schwerpunktsystem: m i M s i i i Impuls im Schwerpunktsystem: Gesamtimpuls: Drehimpuls im Schwerpunktsystem: i m i M ( r i R) m i M r i i U ij ( r i r j ) P ss m i s i i ( ) m i s i 0 P i P }{{} s + Pss }{{} M 0 R m i M R 0 L ss i s i m i s i Behauptung: Drehimpulssatz gilt auch für Koorinaten im Schwerpunktsystem 31

32 Beweis: m r i F (a) (i) i + Fi r i m i r i r i (a) F i i i ( R + s i ) m i ( R + si ) ( R + s i ) (a) F i i i R R m i + R m i s i + R (a) F i + s i (a) F i i i i i ( ) m i s i R + s i m i s i i i s i m i s i i i ( ) s i m i s i i i L ss i s i F i (a) s i F i (a) s i F i (a) Bemerkung: Drehimpuls ist immer auf bel. Ursprung bezogen, aber: Schwerpunktsystem kein Inertialsystem. Gesamtrehimpuls: mit L S R M R kinetische Energie: mit T S 1 2 M R 2 un T ss 1 2 mi s 2 i Zweikörperproblem L L S + L ss T T S + T ss Das System sei abgeschlossen keine äußeren Kräfte. Innere Kräfte: Schwerpunkt- un Relativkoorinaten: Bewegungsgleichung: F 12 F 21 F 12 r 1 r 2 r 1 r 2 f( r 1, r 2 ) R m 1 r 1 + m 2 r 2 m 1 + m 2 r r 1 r 2 m 1 r 1 F 12 m 2 r 2 F 21 F 12 DGL 2. Ornung, gekoppelt 32

33 Aition: m 1 r 1 + m 2 r 2 0 M R 0 R R 0 + v 0 t Subtraktion: Reuzierte Masse µ ( r r 1 r ) F12 m 1 m 2 µ r F 12 ( r) µ m 1 m 2 1 m 2 m 1 + m m2 m 1 Bemerkung: Zweikörperproblem exakt urch Einkörperproblem mit reuzierter Masse µ im Zentralkraftfel beschrieben N-Körper-Problem System sei abgeschlossen (3D) Impulserhaltung: 3 Konstanten er Bewegung Drehimpulserhaltung: 3 Konstanten er Bewegung Energieerhaltung: 1 Konstante er Bewegung 1. N1 3 Freiheitsgrae integrabel (regulär) 2. N2 6 Freiheitsgrae integrabel (regulär) 3. N3 9 Freiheitsgrae i.a. nicht integrabel (chaotisch/regulär) N1 Teilchen, nicht abgeschlossenes System, z.b. Potential U( r) in -imensionalen Raum Freiheitsgra keine Impulserhaltung, falls F 0 Drehimpuls nicht efiniert Energieerhaltung also 1 Konstante er Bewegung, integrabel Freiheitsgrae Energieerhaltung keine Impulserhaltung, falls F 0 i.a. keine Drehimpulserhaltung Also 1 Konstante er Bewegung, amit nicht integrabel (chaotische + reguläre Dynamik) 33

34 2 Lagrangesche Formulierung er Mechanik 2.1 Einführung am Beispiel ebenes Penel Es gibt eine unbekannte Zwangskraft z(t), ie afür sorgt, ass ie Zwangsbeingung x 2 + z 2 l 2 0 eingehalten wir. m r F + z(t) Beobachtung: z(t) steht hier senkrecht auf er Linie er Bewegung 2 Möglichkeiten: 1. Explizite Berücksichtigung er Zwangskraft: Es gilt z(t) r(t). Also Bewegungsgleichung in 2D: Zwangsbeingung 2D: 3 Gleichungen, 3 Unbekannte z(t) λ(t) r(t) m r m g + λ(t) r r 2 l 2 0 (Lagrange-Methoe 1.Art) 2. Eliminierung er Zwangskräfte: Projektion er Bewegungsgleichung auf Linie er erlaubten Bewegung (a) Parametrisierung er Bewegung urch Winkel ϕ (generalisierte Koorinaten) ( ) sin ϕ r l cos ϕ ( ) r cos ϕ ϕ l sin ϕ Richtung er erlaubten Bewegung (b) Projektion: Bewegungsgleichung r ϕ m r r ϕ r r m g + λ r ϕ ϕ m l 2 ϕ m g l sin ϕ ϕ g l sin ϕ 34

35 1 Gleichung, 1 Unbekannte (Lagrange-Methoe 2. Art) Bemerkung: Zwangskraft eliminiert, kann nachträglich berechnet weren z(t) m r F Die Lagrange-Methoen 1. un 2. Art erlauben as elegante Aufstellen von Differentialgleichungen, auch in komplizierteren Fällen. 2.2 Zwangsbeingungen Beispiele in 3D: Bewegungseinschränkung auf Fläche: Tisch: z h 0 sphärisches Penel (Kugelpenel) mit zeitabhängiger Länge l(t) schiefe Ebene mit Winkel α(t) Bewegungseinschränkung auf Kurve: Ebenes Penel Perle auf Draht, Sanburg,... Klassifizierung er Zwangsbeingungen: 1. Holonome Zwangsbeingung: (a) Sklerononome Zwangsbeingung: (b) rheonome Zwangsbeingung: 2. Anholonome Zwangsbeingung: Nicht in Form g α ( r, t) 0 schreibbar, z.b. x 2 + y 2 + z 2 l 2 0 tan α z y y tan α z 0 x 2 + z 2 l 2 0 g α ( r, t) 0 g α ( r) 0 y 0 g α ( r, t) 0 geschwinigkeitsabhängige Zwangsbeingung g α ( r, r, t) Ungleichung: g α ( r, t) 0 Zahl er Freiheitsgrae: (N... Zahl Massepunkte f 3N R R...Zahl er holonomen Zwangsbeingungen) 35

36 2.3 Zwangskraft, D Alembert-Prinzip Zwangskraft z(t) sorgt für ie Erfüllung es Zwangsbeingung un tritt auf im 2. Newtonschen Axiome m r F + z(t) Problem: z(t) unbekannt Strategie: Was kann über ie Richtung von z(t) ausgesagt weren? Ist sie urch Zwangsbeingungen eineutig festgelegt? virtuelle Verrückung: Bei festgehaltener Zeit (0) geachte infinitesimale Verschiebung δ r er Punktmasse unter Beachtung er Zwangsbeingung D Alembert-Prinzip: Bei virtuellen Verrückungen δ r leistet ie Zwangskraft z(t) keine Arbeit: Bemerkung: 1. Nicht beweisbar (Axiom). z δ r 0 (m r F ) δ r 0 2. Bei mehreren Punktmassen gilt ie Aussage für ie Summe: n z i δ r i 0 i1 n (m i r i F i ) δ r i 0 i1 36

37 Einfache Anwenungen: 1. Punktmasse in 3D ohne Zwangsbeingung (f3): (m z F z )δz + (m ÿ F y )δy + (m ẍ F x )δx 0 δx, δy, δz können beliebig un unabhängig gewählt weren, a keine Zwangsbeingungen vorliegen. (a) δx 0, δy 0, δz 0 (b) δx 0, δy 0, δz 0 (c) δx 0, δy 0, δz 0 Also: m r F 2. Punktmasse auf Tischplatte (f2) Zwangsbeingung: Also δz 0, δx un δy beliebig D Alembert: z.b. δx 0, δy 0: δx 0, δy 0: Zwangskraft: 2.4 Lagrange-Gleichung 1.Art Unterscheiung reale zu virtuelle Verrückung: δx (m ẍ F x ) 0 m ẍ F x 0 m ẍ F x δy (m ÿ F y ) 0 m ÿ F y 0 m ÿ F y δz (m z F z ) 0 m z F z 0 m z F z z h 0 F m g e z (m z F z )δz + (m ÿ F y )δy + (m ẍ F x )δx 0 m ẍ δx + m ÿ δy 0 m ẍ 0 m ÿ 0 z m r F m g e z Zwangsbeingung: g(x, y, z, t) 0 totales Differenzial: g g g g g x + y + z + x y z t g r + g t 0 37

38 reale Verrückung: r 0, 0 g r + g t 0 virtuelle Verrückung: δ r 0, 0 g δ r 0 ientisch nur für skleronome Zwangsbeingung! Bemerkung: Bei 2 Zwangsbeingungen g 1, g 2 : g 1 δ r 0 g 2 δ r Punktmasse in 3D, 1 Zwangsbeingung: Bewegung auf Fläche (f2) Zwangsbeingung: g( r, t) 0 g δ r 0 g δ r D Alembert: z δ r 0 z δ r z g z(t) λ(t) g( r, t) Lagrange-Gleichungen 1.Art: m r F + λ(t) g( r, t) g( r, t) 0 4 Gleichungen, 4 Unbekannte 2. 1 Punktmasse in 3D, 2 Zwangsbeingungen: Bewegung auf Kurve (f1) Zwangsbeingungen: g 1 ( r, t) 0 g 1 δ r 0 g 1 Linie g 2 ( r, t) 0 g 2 δ r 0 g 2 Linie D Alembert: z δ r 0 z Linie z λ 1 (t) g 1 ( r, t) + λ 2 (t) g 2 ( r, t) Lagrange-Gleichung 1. Art: m r F 2 + λ α (t) g α ( r, t) α1 g α ( r, t) 0 (α 1, 2) 3. Allgemeiner Fall: N Punktmassen in 3D, R Zwangsbeingungen (f3n-r) Zwangsbeingungen: g α ( r 1,..., r n, t) 0 α 1,..., R g α δ r 0 38

39 D Alembert: Notation: z δ r 0 R z λ α (t) g α α1 r 1 (x 1 y 1 z 1 ) T (x 1 x 2 x 3 ) T. r n (x n y n z n ) T (x 3N 2 x 3N 1 x 3N ) T ebenso F 1,..., F 3N m 1 m 1 m 2 m 3 Lagrange-Gleichungen 1.Art:. m N m 3N 2 m 3N 1 m 3N m n x n F n + 3N+R Gleichungen, 3N+R Unbekannte Zwangskräfte: R z n R α 1 λ α g α x n g α (x 1,..., x 3N, t) 0 α 1,..., R α1 2.5 Lösungsmethoe er Lagrange-Gleichung 1.Art Allgemeine Formulierung 1. Formulierung er Zwangsbeingungen g α (x 1,..., x 3N, t) 0 2. Aufstellen er Lagrange-Gleichungen 1. Art R m n x n F n + λ α g α x n 3. Elimination von λ α α1 λ α (t) g α x n (a) Zwangsbeingungen zweimal nach Zeit ifferenzieren 3N n1 für α 1,..., R g α g α x 1 2 g α 2 g α 3N x n x n α 1,..., R n 1,..., 3N x g α x 3N + g α 0 x 3N t ( ) gα x 1 + g α ẍ ( gα x 1 x 1 + g α x 3N + ( ) gα x 3N t ( ) gα x n ( ) gα x n1 n t }{{} K α(x,ẋ,t) x 3N ) x 3N 39

40 (b) Einsetzen Lagrange-Gleichungen 1.Art: 3N n1 g β 1 (F n + x n m n R α1 Gleichungssystem für λ α : linear, homogen λ α (t) g α x n ) K β (x, ẋ, t) λ α λ α (x, ẋ, t) (c) Einsetzen von λ α in Lagrange-Gleichungen 1.Art: m n x n F n + R α1 λ α (x, ẋ, t) g α x n β 1,..., R n 1,..., 3N 3N DGL 2. Ornung für 3N Koorinaten x n (t), Zwangskräfte eliminiert 4. Lösen er Bewegungsgleichung (a) analytisch oer numerisch (b) Einführung geeigneter Variablen Beachtung er Anfangs- un Zwangsbeingungen 5. Bestimmung er Zwangskräfte Beispiel: Ebenes Penel 1. Zwangsbeingung (2D): 2. Lagrange-Gleichungen 1. Art: 3. Elimination er Zwangskraft x(t) ẋ(t) λ α (t) z R α1 g(x, y, t) x 2 + y 2 l 2 0 m ẍ λ(t) g λ(t) 2x x ẍ 2 λ m x λ α (t) g α x n m ÿ m G + λ(t) g m G + 2y λ(t) y ÿ G + 2 λ m y (a) Zwangsbeingung zweimal ableiten: g 2x ẋ + 2y ẏ 0 2 g 2 2(ẋ 2 + x ẍ + ẏ 2 + y ÿ) 0 x ẍ + y ÿ ẋ 2 ẏ 2 (b) Lagrange-Gleichungen 1. Art einsetzen x (2 λm ) x + y ( G + 2 λm ) y ẋ 2 ẏ 2 2 λ m ( x 2 + y 2) G y ẋ 2 ẏ 2 }{{} l 2 2 λ m 1 l 2 (G y ẋ2 ẏ 2 ) 40

41 (c) Einsetzen von λ in Lagrange-Gleichungen 1. Art ẍ 1 l 2 (G y ẋ2 ẏ 2 ) ÿ G + 1 l 2 (G y ẋ2 ẏ 2 ) y 4. Vereinfachung urch Polarkoorinaten (ϱ, ϕ) mit ϱ l Kleine Schwingungen: sin ϕ ϕ Polarkoorinaten (von Anfang an): 1. Zwangsbeingung: 2. Lagrange-Gleichungen 1.Art: in Komponenten: 3. Elimination von λ ϕ G l sin ϕ ϕ A sin(ωt + η) ω g(ϱ, ϕ, t) ϱ l 0 m r m G + λ(t) g G l e ϱ : m ( ϱ ϱ ϕ 2 ) m G cos ϕ + λ g ϱ g e ϕ : m (ϱ ϕ + 2 ϕ ϱ) m G sin ϕ + λ ϱ ϕ (a) Ableiten er Zwangsbeingung: (b) Einsetzen er Lagrange-Gleichung: (c) Einsetzen in Lagrange-Gleichung: g ϱ 0 2 g 2 ϱ 0 ϱ ϕ 2 G cos ϕ + λ m λ m ϱ ϕ2 G cos ϕ ϱ ϕ G sin ϕ ϱ 0 ϕ G l sin ϕ 4. Zwangskraft: z ϱ λ g ϱ λ m (G cos ϕ + l ϕ2 ) z ϕ λ g ϱ ϕ 0 41

42 2.5.3 Beispiel: Perle auf rotierener Stange 1. Zwangsbeingung (rheonom), Zylinerkoorinaten: g 1 (ϱ, ϕ, z, t) z 0 g 2 (ϱ, ϕ, z, t) ϕ ωt 0 2. Lagrange-Gleichung 1.Art: in Komponenten: 3. Elimination von λ: m r λ 1 (t) g 1 + λ 2 (t) g 2 e ϱ : m ( ϱ ϱ ϕ 2 ) λ 1 g 1 ϱ + λ 2 + g 2 ϱ 0 e ϕ : m (ϱ ϕ + 2 ϕ ϱ) λ 1 (a) Ableiten er Zwangsbeingungen: (b) Einsetzen er Lagrange-Gleichungen: (c) Einsetzen in Lagrange-Gleichungen: 4. Lösen er Differentialgleichung: Für t : (a) A > 0: ϱ g 1 ϱ ϕ + λ g 2 2 ϱ ϕ λ 2 1 ϱ e z : m z λ 1 g 1 z + λ 2 g 2 z λ 1 g 1 : ż 0 z 0 g 2 : ϕ ω ϕ 0 λ 1 0 2m ϕ ϱ λ 2 ϱ ϱ ϱ ϕ 2 0 ϱ ω 2 ϱ m (ϱ ϕ + 2 ϕ ϱ) λ 2 1 ϱ 0 0 z 0 z(t) C + D t 0 (D C 0) ϕ(t) ωt ϱ(t) A e ωt + B e ωt (b) A 0: ϱ 0 für Anfangsbeingung ϱ 0, ϱ 0 ω ϱ 0 5. Zwangskraft: z λ 1 g 1 + λ 2 g 2 z ϱ 0 z ϕ λ 2 2m ϱ ω ϱ z z 0 42

43 2.5.4 Erhaltungsgrößen Impuls: (m r) F + z 0 F z Beispiel: Bewegung auf Tisch Drehimpuls: falls F + z Zentralkraft ist. Beispiel: Rotor Energie: L r ( F + z) 0 E (T + U) ( F } {{ iss + z) } r 3N n1 3N z n x n R n1 α1 R 3N λ α α1 R α1 sei 0 λ α g α x n x n n1 λ α g α t g α x n x n gα Also: E 0, falls t 0 für alle α (skleronome Zwangsbeingung) Bemerkung: Zwangskraft leistet keine Arbeit bei virtuellen Verrückungen ( Alembert z δ r 0), aber Arbeit bei realen Verrückungen, a z r 0, falls r δ r. 2.6 Lagrange-Gleichungen 2.Art Iee: Wechsel zu Koorinaten, ie ie Zwangsbeingung automatisch erfüllen Verallgemeinerte (generalisierte) Koorinaten q 1,..., q f : 1. Legen ie Lage aller Punkte eineutig fest x n x n (q 1,..., q f, t) 2. Zwangsbeingung sin für beliebige q k erfüllt: für alle α, q k n 1,..., 3N g α (x 1 (q 1,..., q f, t),..., x 3N (q 1,..., q f, t), t) 0 für alle α, q k. 0 g α q k 3N n1 g α x n x n q k Bemerkung: Wahl er verallgemeinerten Koorinaten nicht eineutig 43

44 Beispiele: 1. Ebenes Penel: Verallgemeinerte Koorinate ϕ (a) x l sin ϕ y l cos ϕ (b) x 2 + y 2 l 2 für alle ϕ verallgemeinerte Koorinate x: (a) x x y ± l 2 x 2 nicht eineutig 2. Doppelpenel: verallgemeinerte Koorinaten ϕ 1, ϕ Herleitung (a) Lage er Punktmassen x 1 l 1 sin ϕ 1 y 1 l 1 cos ϕ 1 x 2 l 2 sin ϕ 2 + x 1 y 2 l 2 cos ϕ 2 + y 1 (b) Erfüllung er Zwangsbeingung für alle ϕ 1, ϕ 2 Elimination er Zwangskräfte 3N n1 (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 l 2 2 x n (m n x n F n + q k R α1 λ α (t) g α x n ) Projektion er Bewegungsgleichung auf ie erlaubte Bewegung bei Variation von q k 3N n1 3N n1 m n x n x n q k m n x n x n q k f DGL für q k, keine Zwangskräfte 3N n1 3N n1 F n x n q k + F n x n q k R λ α (t) α1 2. Ziel: Umformung er Gleichung, um x n zu eliminieren 1. Geschwinigkeit: x n x n(q 1,..., q f, t) x n (q, q, t) x n(q, q, t) x n q k q k f k1 3N n1 g α x n x n q }{{ k } 0 x n q k + x n q k t verallgemeinerte (generalisierte) Geschwinigkeit q k 44

45 2. kinetische Energie: Behauptung: Beweis: zusammengefasst: T (q, q, t) q k T (q, q, t) q k T (q, q, t) q k T T (ẋ) ( ) xn q k verallgemeinerte Kraft Q k 3. potentielle Energie: 3N n1 3N n1 3N n1 3N n1 3N n1 3N n1 m n 2 2 m n 2 x n 2 T (q, q, t) x n x n q k m n x n x n q k m n x n x n + q k 3N n1 3N n1 m n x n x n + T q k q k F n x n q k + T q k ( ) xn q k T T q k q k x n q k f ( x n q l q k l1 ( f x n q k q l l1 ( ) q k x n 3N n1 ) q l + t m n x n x n q k ( ) xn m n x n q k }{{} q l + x n t x n q k F n x n q k : Q k Beschränkung auf konservative ortsabhängige Kräfte F n Damit: ( ) xn q k ) U(x, t) F n mit U(x, t) U(q, t) x n U(q, t) q k U(q, t) 0 q k U(x, t) q k 3N n1 xn q k U x n Q k x n q k (T U) (T U) 0 q k q k Bemerkung: Geschwinigkeitsabhängige Potentiale U(q, q, t) okay, falls Q k U + U q k q k 45

46 Lagrange-Funktion (er nichtrelativistischen Mechanik): L(q, q, t) T (q, q, t) U(q, q, t) Lagrange-Gleichungen 2. Art: L L 0 q k q k k 1,..., f Beispiele 1. Ebenes Penel: f1 skleronome Zwangsbeingung verallgemeinerte Koorinate ϕ Damit: Lagrange-Gleichung 2.Art: 2. Perle auf rotierener Stange: f1, rheonom verallgemeinerte Koorinate ϱ Dann gilt: x l sin ϕ ẋ l ϕ cos ϕ y l cos ϕ ẏ l ϕ sin ϕ T m 2 (ẋ2 + ẏ 2 ) m 2 l2 ϕ 2 U m g y m g l cos ϕ L(ϕ, ϕ) m 2 l2 ϕ 2 + m g l cos ϕ L ϕ m l2 ϕ L ϕ m l2 ϕ L ϕ m g l sin ϕ m l 2 ϕ + m g l sin ϕ 0 ϕ + g l sin ϕ 0 x ϱ cos ωt ẋ ϱ cos ωt ω ϱ sin ωt y ϱ sin ωt ẏ ϱ sin ωt + ω ϱ cos ωt z 0 L(ϱ, ϱ) ϱ ( ) L ϱ T m 2 (ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) m 2 ( ϱ2 + ϱ 2 ω 2 ) U 0 L m 2 ( ϱ2 + ϱ 2 ω 2 ) m ϱ m ϱ m ϱ m ω 2 ϱ 0 ϱ ω 2 ϱ 46

47 2.6.3 Zyklische Koorinaten q k heißt zyklische Koorinate, falls L q k 0 Behauptung: Zu jeer zyklischen Koorinate gibt es eine Erhaltungsgröße. Beweis: Sei q k zyklisch. Also L q k Beispiel: Freies Teilchen L x L ẋ 0. Nach Lagrange 2. Art: ( ) L q k 0 L const. q k L T m 2 (ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) 0 m ẋ const. Impulserhaltung in x-richtung (ebenso für y,z) p k : L q k heißt verallgemeinerter Impuls Elektromagnetische Kräfte Lorentz-Kraft auf eine Laung Q: F ( r, r, t) Q ( E( r, t) + r B( r, t)) Behauptung: zugehöriges geschwinigkeitsabhängiges Potential Hierbei gilt: U( r, r, t) Q Φ( r, t) Q r A( r, t) E Φ( r, t) A t B A Lagrange-Funktion eines Teilchens im elektromagnetischen Fel: 2.7 Hamilton-Prinzip Variationsrechnung L( r, r, t) m 2 r 2 Q Φ( r, t) + Q r A( r, t) m r F L Funktion y(x): ornet Zahl x eine Zahl y zu, Suche nach Extrema: y 0 Funktional J[y]: ornet Funktion y(x) eine Zahl J zu, z.b. Bogenlänge einer Kurve von x 1 bis x 2 x2 J[y] x 1 + y 2 x 1 Extrema: 47

48 1. Für welche Funktion y(x) ist as Funktional J[y] x2 x 1 x F (y, y, x) extremal bei vorgegebenen Ranwerten y 1 y(x 1 ), y 2 y(x 2 )? δj 0 Euler-Lagrange-Gleichungen: F x y F y 0 Spezialfall: Lagrange-Gleichungen 2.Art 2. Für welche Funktionen y 1 (x),..., y N (x) ist as Funktional J[y 1,..., y N ] x2 x 1 x F (y 1,..., y N, y 1,..., y N ) extremal bei zusätzlichen Nebenbeingungen g α (y 1,..., y N, x) 0 mit α 1,..., R (R < N)? Lösung: mit Lagrange-Multiplikatoren λ α F x y i g α (...) 0 F y i + F F + Spezialfall: Lagrange-Gleichungen 1.Art R α1 Welches Funktional gehört zur Mechanik? Wirkungsfunktional R λ α g α α1 λ α g α y i Wirkungsfunktional (Wirkung) einer Bahnkurve q(t) S[q] t2 t 1 L(q, q, t) Bemerkung: Hat keine anschauliche Beeutung, wie auch L. Hamilton-Prinzip: Prinzip er kleinsten Wirkung δs[q] 0 i 1,..., N Die vom System urchlaufene Bahnkurve ist gegenüber aneren enkbaren Bahnkurven aurch ausgezeichnet, ass ie Wirkung extremal ist. Behauptung: Hamilton-Prinzip Lagrange-Gleichungen 2.Art Behauptung: Hamilton-Prinzip Alembert-Prinzip Eigenschaften er Vergleichsbahnen: 1. gleiche Anfangs-un Enpunkte 2. kleine Variationen: 3. Vergleich bei fester Zeit t: 0 q (t 1/2 ) q(t 1/2 ) δq(t 1/2 ) 0 q (t) q(t) + δq(t) q (t) q(t) + δ q(t) 48

49 2.7.3 Herleitung er Lagrange-Gleichungen 2.Art (Hamilton-Prinzip) 1. f1 0 δs[q] δ t2 t 1 t2 L t 1 ( L(q, q, t) }{{} t2 t 1 L(q, q,t)+ L L q δq+ q δ q+ 1 2 L 2 ( L q δq + t2 ( L t 1 q δq [ ] t2 L t2 q δq t }{{} 1 t 1 0 L q δ q }{{} q 2 (δq) ( L δq) ( L q q )δq ) t2 + t 1 ( L q L q Integral 0, für alle δq(t) Integran 0 für alle t 2. f > 1: 0 t2 t 1 L q L q 0 k1 Wähle für alle k l δq k 0, ann Fall f1. L(q, q, t)) ) ( L q ) δq ( f ) L L δq k (t) q k q k L L 0 q l q l Eineutigkeit er Lagrange-Funktion 1. aitive Konstante: Beweis: alternativ: L L q k q k 0 L L + c l 1,..., f ) L δq q ( L + c ) ( L + c ) q k q k q k q k δ S t2 δ L t2 δs + δ c δs 0 t 1 t 1 2. multiplikative Konstante: Beweis: L c L δ S c δs 0 49

50 3. Aition von f(q, t) mit beliebiger Funktion f(q, t) (Eichtransformation) Beweis: L L + f(q, t) δ S t2 δs + δ f(q, t) t 1 δs + δ(f(q 2, t 2 ) f(q 1, t 1 )) 0 Beispiel: Freies Teilchen unter Galilei-Transformation: 2.8 Symmetrien un Erhaltungssätze r r + v L m 2 ( r + v) 2 L + m r v + m 2 v2 L + ( m r v + m ) 2 v2 t Symmetrie beeutet Invarianz unter einer Operation 1. iskrete Symmetrie: Spiegelung, Drehung um Winkel α, Verschiebung um Vektor 2. kontinuierliche Symmetrie: Drehung um bel. Winkel (isotroper Raum), Verschiebung um bel. Vektor (homogener Raum) Noether-Theorem: Jee kontinuierliche Symmetrie, ie ie Wirkung invariant lässt, führt zu einer Erhaltungsgröße. Beispiele: 1. Homogenität er Zeit Energieerhaltung 2. Homogenität es Raumes Impulserhaltung 3. Isotropie es Raumes Drehimpulserhaltung Beweise: 1. Homogenität er Zeit: Betrachte zeitliche Verschiebung t t + ε, L( r 1,..., r N, r 1,..., rn, t + ε) mit ( L L ε L ε0 t N i1 ) L r r i i (t + ε) ε N k1 ( L t L N i1 ( L q k q k + L q k + L N t [( L k1 L q k ) L r r i i q k ) ) q k + L ] q k q k Annahme: Homogenität er Zeit,.h. eine zeitliche Verschiebung lässt L unveränert. L N ε 0 L r r i L const. i 50 i1

51 Sei L T U. N i1 2. Homogenität es Raumes: L T U L r i r i 2T T + U E const. Betrachte räumliche Verschiebung: r i r i + ε n N i1 m i 2 r i 2 U( r 1,..., r N ) ri r i Dann: L L( r 1 + ε n,..., r N + ε n, r 1,..., rn, t) L ε N i1 L r }{{} i L r i N L r n }{{} i p i i1 ( P n) Für L ε 0: P n const., also P const. 3. Isotropie es Raumes: Drehung um Achse n um Winkel ε Damit: L ε ε0 r i r i + ε ( n r i ) + O(ε 2 ) r i r i + ε ( n r i ) + O(ε 2 ) ( r i + ε n) ε }{{} n L L( r 1 + ε ( n r 1 ),...,..., rn + ε ( n r N ), t) N L ( r i + ε ( n r i )) + L r i1 i } ε {{} r ( r i + ε ( n r i )) i } ε {{} n r i n r i N L r i i1 N i1 }{{} pi ( n r i ) + L r ( n r i ) }{{} i p i N ( p i ( n r i )) i1 n ( r i p i ) }{{} L i ( L n) Für L ε0 0: L n const., also L const. ε Allgemeine Form: 51

52 kontinuierliche Transformation: q i q i Ψ(q, q, t) t t Φ(q, q, t) mit Invarianzbeingung (aus S[q(t)] S[q (t )]) ( ) ) L (q, q ε, t 0 Erhaltungsgröße: f i1 ( L Ψ i q i ε + L f i1 ) L q i Φ q i ε erweitertes Noethertheorem: Invarianz von δs Erhaltungsgröße Erraten von L aus Symmetrien: Beispiel: freies Teilchen Symmetrien: 1. Homogenität er Zeit (keine Zeitabhängigkeit) 2. Homogenität es Raumes (keine Ortsabhängigkeit) 3. Isotropie es Raues, nur Abhängigkeit von r Also: L f( r 2 ). Einfachste Wahl: 2.9 Reibungskräfte Reibungskraft oftmals (kein Potential: F n U x n ) Rayleighsche Dissipationsfunktion: mit F iss n D(ẋ) ẋ F iss n D(ẋ) verallgemeinerte issipative Kräfte (2.6.1) Q iss k 3N n1 F iss n moifizierte Lagrange-Gleichungen 2. Art: x n q k L r 2 γ n x n 3N n1 γ n 2 x n 2 3N n1 L L + D 0 q i q i q i D ẋ n x n q k D q k 52

53 3 Hamiltonsche Formulierung er Mechanik 3.1 Hamilton-Funktion, kanonische Gleichungen Motivation: alternative Formulierung er Mechanik verallgemeinerter (generalisierter) Impuls: p k Definition sinnvoll, a: 2. Newtonsches Axiom: L(q, q, t) q k Lagrange-Gleichungen 2.Art p k sei auflösbar nach q k q k (q, t, p) p k F k L L q k q k kanonisch konjugierte Variablen q k, p k Beispiele: q Ort un p Impuls; q Winkel un p Drehimpuls Hamilton-Funktion: H(q, p, t) f q k p k L k1 f q k (q, p, t) p k L(q, q(q, p, t), t) k1 Einschub: Legrenre-Transformation: Sei f(x) eine konvexe Funktion. Sei ie Steigung s f x. Gesucht ist ie Funktion g(s) er Variable s mit gleicher Information wie f(x). Legenre-Transformation: g(s) x s f(x) x x(s) Existenz von x(s) folgt aus Konvexität. Inverse Legenre-Transformation: f(x) x s g(s) x g s 53

54 Eigenschaften von H(q,p,t): H q l H p l f k1 q k p k L q l q l L q l f k1 ( ) L q l }{{} p l f L q }{{} k p k k1 p l q k p k + q k p k p l p l f q k p k p l k1 Kanonische (Hamiltonsche) Gleichungen: Bemerkungen: q k H p k k1 q k q l f L q }{{} k p k f q k δ kl k1 p k H q k 2f DGL 1. Ornung (Lagrange 2: f DGL 2. Ornung) Symmetrie er Gleichungen beschreibt Dynamik im Phasenraum (q,p) mit 2f Dimensionen zyklische Koorinate q k L q k Zeitentwicklung er Hamilton-Funktion: Also H t H t H 0 H const. f k1 0 H q k 0 q k t p k k1 p k ( f ) q k p k L k1 ( f ) q k L L q k k1 L t H t q l q k p l f L q k q }{{} k t L t L t Welche Beeutung hat iese Erhaltungsgröße H? Betrachte folgene Systemklasse: 1. kinetische Energie sei quaratisch in q k T m kl q l q k k,l z.b. Doppelpenel 54

55 2. Potential sei nicht von er Geschwinigkeit abhängig: U U(q, t). Dann: L m kl q l q k U(q, t) k,l H i H ist ie Gesamtenergie. q i L L q }{{} i T q i ( qk q l + q i m kl q i q k q l q i i k,l m kl q i ( q i δ ki + δ il q k ) L i k,l 2T L E ) L Beispiel außerhalb ieser Systemklasse: Perle auf rotierener Stange (2.6.2) 3.2 Grunlegene Beispielsysteme 1. Massepunkt in 1D-Potential U(x,t) verallgemeinerte Koorinate: q x Hamilton-Funktion: Hamilton-Gleichungen: Lagrange-Gleichung 2.Art: 2. Massepunkt im 3D-Potential U( r, t) Hamilton-Funktion: T m 2 ( ϱ2 + ω 2 ϱ 2 ) L(q, q, t) 1 2 m q2 U(q, t) p L q m q q p m H(q, p, t) q p L q p m p2 m 1 2 p2 + U(q, t) m p2 + U(q, t) 2m ṗ U q m q + U q 0 H( r, p, t) p2 + U( r, t) 2m r p m p U Lagrange-Gleichung 2.Art: m r U 55

56 3. Laung Q im elektromagnetischen Fel Lagrange-Funktion: L( r, r, t) 1 2 m r 2 Q ϕ( r, t) + Q r A( r, t) konjugierter Impuls: Auflösen nach r: Hamilton-Funktion: p L r m r + Q A( r, t) r p Q A m H( r, p, t) r p L ( p Q A ) ( p m p Q A ) 2 Q ϕ + Q m 2 m A p Q A m ( p Q A) 2 2m 3.3 Kanonische Transformation im Folgenen: f1 1. Lagrangesche Formulierung: unveränerte Form 2. Hamiltonsche Formulierung: + Q ϕ q Q(q, t) L(q, q, t) L(Q, Q, t)) L(q(Q, t), q(q, Q, t), t) L L Q Q 0 q Q(q, p, t) p P (q, p, t) Also größere Vielzahl an Transformationen möglich. Bei einer kanonischen Transformation gilt: H(q, p, t) K(Q, P, t) : Q K P.h. ie Hamilton-Gleichungen bleiben forminvariant. P K Q Fine urch kanonische Transformation eine neue Hamilton-Funktion K(P,Q,t) mit zyklischer Koorinate Q,.h. K Q 0 P 0 ohne explizite Zeitabhängigkeit,.h. K t 0 K 0 Finen von K(Q,P,t) bei gegebener Variablentransformation: p q H(q, p, t) P Q K(Q, P, t) + G(q, Q, t) Erzeugene einer kanonischen Transformation sin ie Funktionen: G 1 (q, Q, t) G 2 (q, P, t) G 3 (p, Q, t) G 4 (p, P, t) 56

57 1. G G 1 (q, Q, t) mit en unabhängigen Variablen q,q,t p q H P Q K + G G q + q Q Q + G t (H K + G ( t ) p G ) ( q P + G ) Q q Q a q,q,t unabhängig, müssen Koeffizienten 0 sein. p G q P G Q K H + G t Aus 3.1,3.2 folgt ie Transformation q, p Q, P. (3.1) (3.2) (3.3) 57

58 Praktisches Vorgehen: (a) H(q, p, t) Wähle Erzeugene G Bestimme Transformation aus 3.1,3.2 K(q,p,t) (b) H(q,p,t) Wähle Transformation Q(q, p, t), P (q, p, t), fraglich ob kanonisch. Suche Erzeugene urch Integration von 3.1,3.2 Existiert G Transformation kanonisch K(Q,P,t) 2. G G 2 (q, P, t) mit en unabhängigen Variablen q, P, t mit G2 P Damit: Beispiele: Q. Dann: (H K + G 2 t ) G 1 (q, Q, t) G 2 (q, P, t) P Q p q H P Q K + G 2 q q + G 2 P P + G 2 t ( p G ) ( 2 q + Q G ) 2 P q P 1. Sei G 1 (q, Q, t) q Q. Dann: (Drehung im Phasenraum) neue Hamilton-Funktion p G 2 q Q G 2 P K H + G 2 t p G 1 q Q Q p P G 1 Q q K H + G 1 t P q H( P, Q, t) 2. G 2 (q, P, t) P f(q, t). Bestimmung er Transformation: neue Hamilton-Funktion: p G 2 q Q G 2 P P f q f(q, t) K H + G 2 t P p ( ) 1 f q H(q, p, t) + P f t P Q Q P 58

59 Spezialfall: (a) f(q, t) q: (b) f(q, t) α q: Q α q Q q P p K H P p α K H( Q, α P, t) α Bemerkungen: Integrable Systeme: Wirkungswinkelvariablen Chaotische Dynamik bleibt erhalten unter kanonischer Transformation. 3.4 Poisson-Klammer Poisson-Klammer: {F, G} : f k1 F G F G q k p k p k q k für zwei beliebige physikalische Größen F (q, p, t), G(q, p, t) Motivation: prägnante Formulierung von Bewegungsgleichungen Analogie zum Kommutator er Quantentheorie schneller Test, ob Phasenraumtransformation kanonisch ist Zeitentwicklung: F f F q k k1 q k }{{} H p k + Zeitentwicklung wir urch H gesteuert. Erhaltungsgrößen: F p k p k }{{} H F ist Erhaltungsgröße {F, H} + F t 0 Ist H eine Erhaltungsgröße? Also: q k + F t {H, H} 0 H t H H t 0 H Erhaltungsgröße Kanonische Gleichungen: Wähle F q k in Zeitentwicklung: Wähle F p k : q k {q k, H} p k {p k, H} {F, H} + F t Algebraische Eigenschaften: 1. Linearität 2. Antisymmetrie: {c 1 A + c 2 B, C} c 1 {A, C} + c 2 {B, C} {A, B} {B, A} 59

60 3. Prouktregel {A B, C} A {B, C} + B {A, C} Funamentale Relationen: {q i, q j } 0 {p i, p j } 0 Beweis zur letzten Gleichung: Weitere Eigenschaften: {q i, p j } f k1 {q i, p j } δ ij q i q k }{{} δ ik p j p k }{{} δ jk {q k, G} G p k {p k, G} G q k f A {A, f(a)} f(a) q k p k k1 }{{} q i p i p k q }{{ k } 0 f A A p k δ ij A f(a) 0 p k p }{{ k } f A A q k Behauptung: Invarianz er Poisson-Klammer unter kanonischen Transformationen,.h. Transformationen kanonisch speziell für f 1: Beweis: für f1 {Q i, Q j } 0 {P i, P j } 0 {Q i, P j } δ ij {Q, P } 1 Nutze Existenz einer Erzeugenen G(q, Q, t) mit p G q, P G Q. Dann: mit {Q, P } Q q P p Q p P q Q p p Q 1 P p P q 2 G(q, Q, t) p Q 0 2 G q Q p Q Einfaches Verfahren, um zu testen, ob gegebene Transformation kanonisch ist. 3.5 Satz von Liouville Was passiert mit Phasenraumgebiet unter Zeitentwicklung? 60

61 Behauptung: Invarianz es Phasenraumvolumens unter einer kanonischen Transformation,.h. q p Q P Γ geht aus Γ hervor (i.a. anere Form). Γ Γ Beweis: Analysis: Q P D q p mit D als Funktionaleterminante. Q Q q p D P P Q q P p Q p P q {Q, P } 1 q p Behauptung: Zeitentwicklung ist eine kanonische Transformation: q(t 0 ) Q q(t) Q(q(t 0, p(t 0 ), t 0, t) p(t 0 ) P p(t) P (q(t 0 ), p(t 0 ), t 0, t) Beweis: Betrachte infinitesimal kleine Zeittranslation Q q(t 0 + ) q + q }{{} H p + O( 2 ) P p(t 0 + ) p H q + O(2 ) ( ) ( ) {Q, P } H q p 1 2 H p q 1 + O( 2 ) ( 2 ) ( ) H 2 p 2 H q 2 Satz von Liouville: Invarianz es Phasenraumvolumens unter Zeitentwicklung Beispiel: Phasenraum es Penels Behauptung: Invarianz er Phasenraumichte unter Zeitentwicklung (Satz von Liouville) ϱ {ϱ, H} + ϱ t 0 Beweis: Phasenraumbahnen können Einhüllene nicht kreuzen, also Anzahl er Bahnen invariant. Aus Volumeninvarianz folgt amit Dichte invariant. Beeutung z.b. für statistische Physik: Wie sin Teilchen im Phasenraum verteilt? Gleichgewicht: ϱ 0 {ϱ, H} 0 t erfüllt für ϱ ϱ(h),.h. Gleichverteilung auf jeer Energieschale H const. 61

62 4 Starre Körper starrer Körper: System von Punktmassen m i, eren paarweise Abstäne r j r i konstant sin. Zahl er Freiheitsgrae: N kart. Koorinaten Zwangsbeingungen Freiheitsgrae N 3N 3 + (N 3) 3 6 Also f (Lage es Schwerpunktes + Orientierung) 4.1 Kinematik 1. Raumfestes Inertialsystem IS 2. Körperfestes Koorinatensystem KS (Ursprung 0 un Orientierung er Achsen beliebig) Bemerkung: In Rotierenes Bezugssystem waren ie beien Ursprünge ientisch. Drehung von KS relativ zum IS mit Winkelgeschwinigkeit ω ϕ. Hierbei ist ϕ eine Drehung um en Winkel ϕ um Achse in Richtung es Vektors ϕ. Geschwinigkeit es Punktes i aus Sicht von IS: ( ) ( ) v i r i IS ( r 0 + r 0i ) ( ) v 0 + r 0i Nutze aus 1.6.2: Damit: IS ( ) ( ) r r + ω r ω r IS KS }{{} 0 v i v 0 + ω r 0i Bemerkung: Anschaulich klar, falls Drehachse urch 0 geht. IS 62

63 Gibt es bei anerer Wahl es Ursprungs von KS eine anere Winkelgeschwinigkeit ω? r 0 i r 0i a { v i v 0 + ω r 0i v 0 + ω r 0 i v 0 + ω ( r 0i a) v 0 v 0 + ω a + ( ω ω ) r 0i Dies gilt für beliebige Punkt i, also für beliebige Vektoren r 0i, also ω ω Winkelgeschwinigkeit unabhängig von Wahl es Ursprungs von KS v 0 v 0 + ω a Translationsgeschwinigkeit ist abhängig von Wahl es Ursprungs von KS Impuls: Drehimpuls: P N m i v i i1 N i1 1. bezogen auf Ursprung von IS L i1 m i ( v 0 + ω r 0i ) ( N ) ( N m i v 0 + ω m i r 0i )) } {{ } M M ( v 0 + ω S) N m i r i v i i1 N i1 2. bezogen auf Ursprung von KS mit L i1 } {{ } M S m i ( r 0 + r 0i ) ( v 0 + ω r 0i )... N i1 N i1 m i r 0i v 0i ( ) ( v 0i r 0i IS m i r 0i ( ω r 0i ) r 0i ) KS } {{ } 0 + ω r 0i 63

64 Kinetische Energie: Spezialfälle: T kin 1 2 N 2 m i v i i1 1 N m i ( v 0 + ω r 0i ) 2 2 i1 ( 1 N ) N m i v v 0 ( ω m i r 0i ) i1 i1 }{{}}{{} M M S 1. 0 in Schwerpunkt S: S festgehalten im IS: v 0 0: P M v Rotationsenergie un Trägheitstensor T kin 1 2 M v }{{} 2 T trans N i1 N i1 m i ( ω r 0i ) 2 } {{ } T rot P M ( ω S) T kin 1 N m i ( ω r 0i ) 2 2 i1 Rotationsenergie: ( ω (ω 1 ω 2 ω 3 ) T, r 0i (x 0i 1 x 0i 2 x 0i 3 ) T ) T rot N m i i1 N m i i1 ( ω r 0i ) 2 }{{} ω 2 r 2 0i ( ω r 0i) 2 3 m1 ( N 3 m i i1 m1 ( N 3 m i i1 3 m1 n1 m1 n1 ωm 2 r 2 0i ωm 2 r 2 0i 3 Θ mn ω m ω n ( 3 m1 3 m1 n1 ω m x 0i m 3 ) 2 m i ( ω r 0i ) 2 ω m x 0i m ω n x 0i n ) 3 ( r 0i2 δ mn x 0i m x 0i n ) ω n ω n ) mit Θ mn (Komponenten es Trägheitstensors) Bemerkungen: N i1 m i ( r 0i2 δ mn x 0i m x 0i n ) 64

65 Wortwahl: Trägheit wie träge Masse m in T 1 2 m v2, Tensor wegen Matrixform, Transformationsverhalten ˆΘ (Θ mn ) m, n {1, 2, 3} Komponenten es Trägheitstensors beziehen sich auf as gewählte körperfeste Bezugssystem 4.3 Steinerscher Satz mit Θ mn Θ mn + M (a 2 δ mn a m a n ) Θ mn : Trägheitstensor für Ursprung 0 im Schwerpunkt Θ mn: Trägheitstensor für Ursprung 0 um a von Schwerpunkt entfernt M (a 2 δ mn a m a n ): Trägheitstensor einer Masse M am Punkt a Beweis: mit Θ mn N i1 Θ mn + ( m i ( r0i a) 2 δ mn (x 0i m a m ) (x 0i n a n ) ) N i1 N i1 m i }{{} M a S 0 nach Voraussetzung 4.4 Trägheitsmoment mit ( a 2 δ mn a m a n ) + m i r 0i M S 0 T rot m1 n1 3 m1 n1 1 2 J ω ω 2 J ω (Trägheitsmoment bezogen auf Achse ω ) 3 N i1 N i1 m i ( 2 a r 0i δ mn + x 0i ma n + x 0i n a m ) m i x 0i m/n M S m/n 0 3 Θ mn ω n ω m 3 3 m1 n1 Θ mn ωm ω ωn ω ω2 Θ mn ωm ω ωn ω Bemerkungen: Trägheitstensor beschreibt starren Körper für beliebige Rotationsachsen. Trägheitsmoment bezieht sich immer auf eine bestimmte gewählte Achse. 65

66 4.5 Drehimpuls un Trägheitstensor Drehimpuls bezogen auf Ursprung von körperfesten Koorinatensystem: L! L m N i1 N i1 3 m i r 0i ( ω r 0i ) m i ( ω r 2 0i r 0i ( r 0i ω)) 3 N m1 n1 i1 3 3 m1 n1 3 m1 m i (r0i 2 δ mn x 0i m x 0i n ) ω n e m Θ mn ω n e m L m e m 3 Θ mn ω n n1 L ˆΘ ω Bemerkung: Im Allgemeinen L ω 4.6 Hauptachsentransformation Bestimme Eigenwerte λ, Eigenvektoren ω von ˆΘ ( ˆΘ λ E) ω 0 Lineare Algebra: ˆΘ symmetrisch, also λ R un ω i ω j 0 für λ i λ j, also 3 orthogonale Eigenvektoren (Hauptträgheitsachsen) ω i un 3 Hauptträgheitsmomente λ i im Koorinatensystem er Hauptträgheitsachsen: λ ˆΘ 0 λ λ 3 Bemerkung: Für ω ω i gilt: 4.7 Kontinuierliche Masseverteilung Masse: i1 L ˆΘ ω i λ i ω i ω i N M m i M ϱ( r) V Trägheitstensor: Θ mn ϱ( r) (r 2 δ mn x m x n ) V 66

67 Beispiel: homogener Zyliner (ϱ const.) Φ(a, ϕ, z) a cos ϕ a sin ϕ x 1 x 2 z x 3 Zusammenfassung: V Φ (a, ϕ, z) a a ϕ z M H 2 ϱ V ϱ z H 2 2π ϱ H 2π R2 2 π ϱ R2 H H Θ 33 ϱ 2 H 2 z 2π 0 ϕ ϱ H 2π 1 4 R4 ϱ 2 π H R4 1 2 M R2 Θ 13 ϱ R 0 ( x }{{} 1 x }{{} 3 a cos ϕ z 2π 0 ϕ R 0 z 2 a a a ( }{{} r 2 x 3 x 3 ) a }{{} a 2 +z 2 ) V R ϱ H 2 z z cos ϕ ϕ a a a H ˆΘ R H2 0 0 M R H R2 Trägheitstensor bzgl. es körperfesten Bezugssystems KS Θ mn ϱ( r) (δ mn r 2 x m x n ) V Eigenschaften: abhängig von Ursprung un Orientierung von KS iagonal, falls KS entlang Hauptträgheitsachsen zeitunabhängig Trägheitsmoment bzgl. Achse ω: J ω Drehimpuls bzgl. Ursprung von KS 3 3 m1 n1 L m Θ mn ωm ω ωn ω 3 Θ mn ω n n1 L ˆΘ ω kinetische Energie: falls T T T rans + T Rot 67

68 1. Ursprung 0 von KS in Schwerpunkt S 2. Ursprung 0 von KS festgehalten in IS (T T rans 0) mit Beispiel: Physikalisches Penel T Rot m1 n1 3 Θ mn ω m ω n 1 2 J ω ω 2 Sei T T T rans + T Rot 1 2 M v mit ω ϕ e z (also nur Θ 33 wichtig) 1. Ursprung 0 von KS in Schwerpunkt v 0 a ϕ 2. Ursprung 0 von KS in Achse A 3 m1 n1 3 Θ mn w m w n T S 1 2 M a2 ϕ ΘS 33 ϕ 2 v ϕ2 (Ma 2 + Θ S 33) Θ A 33 Θ S 33 + M a 2 T A 1 2 ϕ2 (Θ S 33 + Ma 2 ) T S Bemerkung: Für jee anere Wahl von Ursprung von KS ist ie kinetische Energie nicht mehr gleich T T rans + T Rot Lagrange-Funktion: Lagrange-Gleichung: mit effektiver Penellänge L(ϕ, ϕ) T U 1 2 ˆΘ A 33 ϕ 2 + M g a cos ϕ L ϕ L ϕ 0 Θ A 33 ϕ + M g a sin ϕ 0 ϕ M Θ A g a sin ϕ 33 g sin ϕ l eff l eff ΘA 33 M a a + ΘS 33 M a Spezialfall: mathematisches Penel (Θ S 33 0) l eff a 68

69 4.8 Eulersche Gleichungen Drehimpulssatz: L M mit L ˆΘ ω bezogen auf Ursprung 0 von KS. Wähle rotierenes körperfestes Bezugssystem (amit Θ mn zeitlich konstant) ( ) ( ˆΘ ω) M IS ( ) ( ˆΘ ω) + ω ( ˆΘ ω) M KS Wähle als körperfestes KS as Hauptachsensystem Θ ˆΘ 0 Θ 2 0 ω 0 0 Θ 3 Eulersche Gleichungen: ω 1 ω 2 ω 3 M Θ 1 ω 1 + (Θ 3 Θ 2 ) ω 3 ω 2 M 1 Θ 2 ω 2 + (Θ 1 Θ 3 ) ω 1 ω 3 M 2 Θ 3 ω 3 + (Θ 2 Θ 1 ) ω 2 ω 1 M 3 Bemerkung: Drehmomentkomponenten M 1, M 2, M 3 beziehen sich auf körperfestes Bezussystem komplizierte Zeitabhängigkeit, a von Bewegung es Körpers abhängig Eulersche Winkel beschreiben Lage es körperfesten Koorinatensystems (x 1, x 2, x 3 ) zu Inertialsystem (x, y, z) M 1 M 2 M 3 ϕ : (x, K) ψ : (K, x 1 ) ϑ : (z, x 3 ) Ebene x 1, x 2 schneiet Ebene x, y in Linie K Zusammenhang Winkelgeschwinigkeit in KS zu Änerung er Eulerschen Winkel ϕ, ψ, ϑ: ω 1 ϕ sin ϑ sin ψ + ϑ cos ψ ω 2 ϕ sin ϑ cos ψ ϑ cos ψ ω 3 ϕ cos ϑ + ψ Herleitung: 1. Drehungen vertauschen i.a. nicht möglich 69

70 2. Infinitesimale Drehungen können vertauscht weren r r a + r b ϕ a r + ϕ b ( r + r a ) ( ϕ a + ϕ b ) r Winkelgeschwinigkeiten aieren sich also 3. Es muss gelten: mit ϕ a w a ω ϑ e k + ϕ e z + ψ e 3! ω 1 e 1 + ω 2 e 2 + ω 3 e 3 e k cos ϕ e 1 sin ψ e 2 e z cos ϑ e 3 + sin θ (sin ψ e 1 + cos ψ e 2 ) Einsetzen ieses Zusammenhangs in eulersche Gleichungen sowie M 1 (ϕ, ψ, ϑ), M 2 (ϕ, ψ, ϑ), M 3 (ϕ, ψ, ϑ) liefert 3 DGL 2. Ornung für ϕ(t), ψ(t), ϑ(t) 4.9 Rotation um freie Achse freie Achse: Körper rotiert um feste Achse im körperfesten KS bei M 0. Gibt es as? Betrachte Eulersche Gleichungen für ω i 0 für i 1, 2, 3 un M 0, allgemeiner Fall (Θ i Θ j für i j) erfüllt für 1. ω 2 ω 3 0, ω 1 beliebig 2. ω 1 ω 3 0, ω 2 beliebig 3. ω 1 ω 2 0, ω 3 beliebig (Θ 3 Θ 2 ) ω 2 ω 3 0 (Θ 1 Θ 3 ) ω 1 ω 3 0 (Θ 2 Θ 1 ) ω 1 ω 2 0 freie Rotation entspricht gleichförmige Rotation um eine er Hauptträgheitsachsen von KS Wie änert sich abei ie Lage von KS in IS? Damit: M 0 L 0 L const. in IS L ˆΘ ω 3 ω i Θ i e i const i1.h. freie Rotation entspricht gleichförmige Rotation um Achse konstanter Richtung in IS Stabilität er Lösungen wichtig 70

71 4.10 Kräftefreier symmetrischer Kreisel Kreisel: starrer Körper mit einem festgehaltenen Punkt 3 Freiheitsgrae er Rotation symmetrischer Kreisel: i, j, i j : θ i θ j. Im Folgenen sei o.b..a. θ 1 θ 2 θ 3 (insbesonere rotationssymmetrischer Körper bzgl. x 3 -Achse) Sei M 0. Euler-Gleichungen: Damit: mit Damit: θ 1 ω 1 + (θ 3 θ 1 ) ω 2 ω 3 0 θ 2 ω 2 + (θ 1 θ 2 ) ω 1 ω 3 0 ω 3 w 0 3 const. θ 3 ω 3 0 ω 2 a cos(ω t + ψ 0 ) ω 1 a sin(ω t + ψ 0 ) Ω θ 1 θ 3 θ 1 ω 0 3 ω 2 ω ω ω 2 3 a 2 + (ω 0 3) 2 const..h. ω hat konstante Länge un rotiert mit Frequenz Ω auf Kreiskegel um ie Figurenachse x 3 Bemerkung: (ω 1 ω 2 ω 3 ) ist ie Lage er momentanen Rotationsachse in KS, falls a0 ist Rotationsachse Figurenachse Wie sieht ie Bewegung in IS aus? Wähle L L e z im Inertialsystem. L in KS: M 0 L const. L e 1 L e 2! θ 1 ω 1 θ 2 ω 2 L e 3 θ 3 ω 3 Polkegel (ies könnte er starre Körper sein) rollt auf Spurkegel ab, soass Figurenachse präzeiert 71

72 ϑ 0 const. ϕ a sin ϑ 0 t + ϕ 0 rot: Präzessionskegel grün: Polkegel orange: Spurkegel 72

73 5 Relativitätstheorie 5.1 Relativitätsprinzip 1. Axiom: Es existieren Inertialsysteme (Maßstäbe, Uhren). 2.Axiom: Inertialsysteme sin mit physikalischen Mitteln à priori nicht unterscheibar, also keine Messung von Absolutgeschwinigkeiten möglich (spezielles Relativitätsprinzip) Newton: m r F forminvariant (kovariant) unter Galilei-Transformation m r F m r F mit t t un r r v r t, also Beschleunigung absolut messbar r v r v v r v v + v r Elektroynamik: 1. in IS: c e c e in IS mit Relativgeschwinigkeit, ann mit Galileo-Transformation: c c v r c 2 c 2 2 v r c + v r 2 c 2 + vr2 2 v r c cos (v r, c) also c 2 richtungsabhängig, also Absolutgeschwinigkeit messbar Verletzung es speziellen Relativitätsprinzips Experiment von Michelson-Morley 1. Lichtgeschwinigkeit ist isotrop 2. hängt nicht vom Bewegungszustan er Lichtquelle ab 3.Axiom: Universalität er Lichtgeschwinigkeit, also c const. in allen Inertialsystemen, amit unabhängig von Betrag un Richtung er Quelle. Damit gilt für Licht: ( ) 2 ( ) r r c 2 c 2 c 2 () 2 ( r) 2 0 c 2 ( ) 2 ( r ) 2 0 }{{}}{{} (s) 2 (s ) 2 (s) 2 (s )

74 s heißt er Abstan zweier Ereignisse. Für zwei Ereignisse, ie urch Lichtgeschwinigkeit verbunen sin, ist er Ereignisabstan 0. Satz: Für zwei Ereignisse ist er Ereignisabstan invariant. Homogenität von Raum un Zeit: (s) 2 f( v r, r, t) (s ) 2 Isotropie es Raumes: f( v r, r, t) f( v r ) f( v r ) f(v r ) Betrachte 3 Inertialsysteme Σ, Σ 1, Σ 2. Σ 1 bewege sich relativ zu Σ mit v 1 un Σ 2 bewege sich relativ zu Σ mit v 2, amit auch Σ 2 relativ zu Σ 1 bewegt Eliminieren er Ereignisabstäne (s) 2 f(v 1 ) (s 1 ) 2 (s) 2 f(v 2 ) (s 2 ) 2 (s 2 ) 2 f(v 21 ) (s 1 ) 2 f(v 21 ) f(v 1) f(v 2 ) abei f(v 21 ) winkelabhängige Größe un f(v 1 ) f(v 2 ) winkelunabhängig, also folgt wegen f 2 f un f const, ass f {0, 1}, somit für alle Ereignisse. 5.2 Herleitung er Lorentz-Transformation Sei v v r ie Relativgeschwinigkeit. Ansatz: r Homogenität von Raum un Zeit: f(v) const. 1 (s) 2 (s ) 2 ( α E + β v v v ) r + b v t v t γ t δ Linearität er Transformation Funktionen nur abhängig von v v r c 2 Isotropie es Raumes: Transformation kann nicht von Richtung abhängen α α(v)... δ δ(v) für v 0: ientische Transformation, Σ un Σ fallen bei t 0 übereinaner un haben parallele Achsen α 1, γ 1 74

75 für r 0: r v t b v t t γ t b γ 1 b γ für r 0: Aus Invarianz es Ereignisabstanes folgt: allgemeine Lösung: mit für v r c: (Galilei-Transformation) r v t (α + β γ) v t r α + β γ r (α E + β v v v ) r + β v v v r γ + δ c 2 c 2 ( ) 2 ( r ) 2 }{{} (s ) 2 (...) }{{} 1 (c2 () 2 ( r) 2 ) }{{} (s)2 γ 2 1 γ + 1 v2 c 2 1 δ γ β γ 1 ( v r r + (γ 1) ( t γ t v ) r r c 2 γ v v v 1 γ 1 1 v2 2 r r v r t t t 1 v2 c 2 ) r γ v r t spezielle Lorentz-Transformation: v r v r e x : ( ) r vr e x v r e x r + (γ 1) vr 2 r γ v r e x t t γ (t v ( r c r e x) γ t v ) r }{{} c 2 x x 75

76 in Komponenten: x γ (x v r t) y y z z t γ ( t v r c 2 x ) 5.3 Konsequenzen aus Lorentz-Transformation Geschwinigkeitsaition in Σ: in Σ : Lorentztransformation: speziell für vr v e x: Längenkontraktion v + (γ 1) v v r v r ( ) v r v r vr v r v γ v r γ (1 vr v c 2 ) v v + (γ 1) v x e x γ v r e x γ (1 vx vr v x v y v z v x v r γ (1 vx vr v y c 2 ) γ (1 vx vr v z γ (1 ) vx vr c 2 c 2 ) Meßprozess bei bewegten Maßstab: Lage er Enpunkte eines Maßstabs zu gleichen Zeiten nehmen Maßstab ruht in Σ, hat Länge l 0 in Σ : c 2 ) l γ ( l 0 v r t) t γ ( t v r c 2 l 0)! 0 l l 0 1 v2 r c 2 < l 0 bewegte Maßstäbe erscheinen kürzer (Längenkontraktion) Zeitilatation Beobachter in Σ senet zu 2 Zeiten Blitze aus, in Σ : τ t 2 t 1 76

77 in Σ : ( t 1 γ t 1 v ) r c 2 x 0 ( t 2 γ t 2 v ) r c 2 x 0 t 2 t 1 γ (t 2 t 1 ) Zeitehnung in bewegten Bezugssystemen t γ τ > τ : Eigenzeit Die gleiche Aussage würe Beobachter S, er eine mit v r bewegte Uhr beobachtet, an er τ vergeht, treffen. Eigenzeit in Σ : Da in Σ ie Uhr ruht: r 0, Relativität er Gleichzeitigkeit t τ 1 v2 r c 2 s 2 c 2 τ 2 in Σ: Ereignis E 1 bei t 1, x 1, Ereignis E 2 bei t 2 t 1, x 2 in Σ : E 1 bei Ereignis E 2 bei Damit: Kausalität ( t 1 γ t 1 v ) r c 2 x 1 ( t 2 γ t 1 v ) r c 2 x 2 t 2 t 1 v r c 2 γ (x 2 x 1 ) 0 }{{} 0 in Σ: Ursache E 1 bei x 1, t 1 un Wirkung E 2 bei x 2, t 2 Lässt sich ein Inertialsystem finen, in em Ursache un Wirkung vertauscht sin? Satz: Falls zwei Ereignisse in Σ kausal verbunen sin, bleiben sie es auch in jeem aneren Inertialsystem. Beweis: inirekter Beweis: Sei t 2 t 1 < 0. ( t 1 γ t 1 v ) r c 2 x 1 ( t 2 γ t 2 v ) r c 2 x 2 Damit: t 2 t 1 γ (t 2 t 1 ) γ vr c 2 (x 2 x 1 ) < 0 t 2 t 1 < v r c 2 (x 2 x 1 ) 1 < v r c 2 x2 x 1 t 2 t }{{ 1 } 1 < v w v r v w sign (vr c 2 ) sign (x 2 x 1 ) }{{} a 77

78 1. a < 0: Wierspruch 2. a > 0: 1 < v r c < v w c v w > c v w c gleiche Argumentation mit umgekehrten Relationszeichen (t 2 t 1 > 0): Kausalitätsbeingung x 2 x 1 t 2 t 1 < c 5.4 Minkowski-Diagramm Licht: Suche nach Zeitachse für Σ : Raumachse für Σ : Unterteilung: (s) 2 0 c x c x 1 x (ct) x 0 γ (x v r t) x v r c ct t 0 ct v r c x (s) 2 0: lichtartig (s) 2 > 0: zeitartig (s) 2 < 0: raumartig 78

79 5.5 Formulierung er Mechanik in kovarianter Form Minkowski-Raum, Vierervektoren Festlegung: µ, ν {0,..., 3} un i, j, k {1, 2, 3} 4-imensionaler Raum x µ : kontravarianter Vektor Linienelement: kovianter Vektor: Damit: x µ ( ) ct ct x r y z (s) 2 (c ) 2 ( r) 2 x µ ( ct x y z ) ( ct r ) x µ x µ (ct) 2 r 2 s x T µ x ν 0 } 0 0 {{ 1 } S µν spezielle Lorentz-Transformation: ct γ vr x c y γ 0 0 ct vr c γ γ x y z z }{{} Kurz: Es gilt: ct x y z L µ ν v γ rc γ 0 0 ct v rc γ γ x y } 0 0 {{ 0 1 } z L ν µ x µ L µ ν x ν x µ L ν µ x ν L ν µ L µ ν δ ν µ kontravarianter Vektor transformiert sich wie x µ, kovariante Vektoren transformieren sich wie x µ,.h. a µ L µ ν a ν a µ L ν µ a ν 79

80 5.5.2 Vierergeschwinigkeit invariant mit Zeitimension: Eigenzeit v µ τ xµ Vierervektor er Geschwinigkeit Es gilt: Relativistische Dynamik Viererbeschleunigung: ( v µ c γ v) v µ v µ γ 2 (c v ) ( c v) γ 2 (c 2 v 2 ) ) c 2 γ 2 (1 v2 c 2 τ vµ Definition von Kraft mit Ruhemasse m 0 (Invariante) Raumkomponente: m 0 c 2 τ vµ : K µ K ( ) K 0 K K m 0 (γ v) τ m 0 γ (γ v) (m 0 γ v) 1 γ K für c : γ 1: m 0 v K Definiere p m 0 γ v als relativistischen Impuls. Zeitkomponente: Da ie Norm von v konstant ist, gilt a v, aher folgt wegen a K, ass γ (c v ) ( ) K 0 0 K c K 0 v K v γ F K 0 γ v c F Damit: Es gilt: ( v K µ γ c F ) F (mc2 ) v F 80

81 5.5.4 Zuammenfassung Vierer-Skalar: invariant unter Lorentz-Transformation Lichtgeschwinigkeit c Ruhemasse m 0 Abstansquarat vom Ursprung im Minkowski-Raum Wegelement im Minkowski-Raum Eigenzeitifferential x α x α (ct) 2 r 2 mitx α s x α x α ( ) ct r (c ) 2 ( r) 2 ( ) 2 r c 1 c 1 v2 }{{ c 2 c } γ 1 γ τ s c γ Vierervektoren: transformieren sich unter Lorentz-Transformation wie Raumzeit-Punkt Raumzeit-Punkt x α, x α Vierergeschwinigkeit Bile Vierer-Skalar: Vierer-Impuls: relative Bewegungsgleichung: u α : xα τ γ xα ( c γ v) u α u α γ 2 (c 2 v 2 ) c2 v 2 c 2 1 v2 c 2 p α m 0 u α γ m 0 K α : τ pα γ ( v γ c F ) F ( ) c v ( ( c γ m 0 v)) räumliche Komponente wie bei Newton, aber mit relativistischer Masse m : γ m 0 : (m v) F bzw. mit relativistischen Impuls p r : m v m 0 γ v: p r F 81

82 zeitliche Komponente: relativistische Energie: Für v c: Ruhemasse m 0 > 0: Ruhemasse m 0 0: Relativistische kinetische Energie: ( γ m0 c 2) }{{} Energie F v }{{} Leistung E γ m 0 c 2 m 0 c 2 1 v2 c 2 ( E m 0 c ) 2 v2 c 2 m 0 c m 0 v 2 lim v c (v < c) E v c T E m 0 c 2 m 0 c 2 (γ 1) Damit Vierer-Impuls (auch Energie-Impuls-Vierervektor) ( ( p α c E ) γ m 0 c v) p r Energieerhalt un un Impulserhaltung sin gekoppelt Für p r m 0 c: Für p r >> m 0 c: Für m 0 0: p α p α ( ) 2 E p 2 r m 2 0 u α u α m 0 c 2 c E 2 m 2 0 c 4 + c 2 p 2 r E (m 0 c 2 ) 2 + ( p r ) 2 m 0 c 2 m 0 c 2 ( m 0 c 2 + p2 r 2m 0 E c p r E c p r 1 + p2 r m 2 0 c4 p 2 r m 2 0 c2 ) 82

83 6 Nichtlineare Dynamik Dynamisches System: Beispiel: Hamiltonsche Gleichung x ( ) q p x f(x, t) f ( ) H p H q x R n, t R H H (( ) ) p, t q Autonomes System: x f(x) Lösung: Trajektorie x( x 0, t) mit Anfangsbeingung x( x 0, t t 0 ) x 0 Existenz un Eineutigkeit, falls f stetig ifferenzierbar ist. Trajektorien schneien sich also nicht. Determiniertheit ( eterministisches Chaos) Gleichgewichtslage x s : f( x s ) 0 x x xs 0 Beispiel: Teilchen in einem perioischen Potential ( ) H(q, p) p2 2π q 2m + V 0 cos a ( ( q p ) m ṗ) V 0 2π a sin ( ) 2π q a Gleichgewichtslage: p g 0 q a 2 z z Z Dynamik nahe Gleichgewichtslage: f( x) f( x G ) + f ( x x G ) +... }{{} x 0 x xg }{{} :A Verschiebe Ursprung in Gleichgewichtslage: x x G x: x A x

84 6.1 Linearisierte Dynamik x A x Wie sieht ie Dynamik aus? Superpositionsprinzip (wegen Linearität): x 1, x 2 seien Lösungen, ann sin auch c 1 x 1 +c 2 x 2 Lösungen Eigenwerte un Eigenvektoren von A: A ξ n λ n ξ n λ i seien nicht entartet. Dann allgemeine Lösung: x(t) n Bemerkung: λ n, ξ n, c n i.a. komplex, aber x R n A reell, also Fallunterscheiung: 1. λ n, ξ n reell: λ n > 0: exponentielle Expansion λ n < 0: exponentielle Kontraktion c n e λn t ξ n }{{} A ξ n λ n ξ n A x n (t) e λn t ξ n 2. Paare λ n, λ m λ n un ξ n, ξ m ξ n, λ n α + ı ω Es ist c m c n, amit x n R n x n (t) c n e λn t ξ n + c m e λ n t ξ n x n (t) e α t (2R(c n ξ n ) cos(ω t) 2I(c n ξ n ) sin(ω t)) allgemein: Kombination aus beien Fällen für n 2: 2 Eigenwerte 1. beie reell 2. komplex konjugiertes Paar 84

85 6.2 Hamiltonsche Systeme Linearisierte Dynamik nahe bei Gleichgewichtslage f 1,.h. n 2 Eigenwert: x ( q p) A f x x xg f 2 H q p xg 2 H xg q 2 ( ) a b c a ( ) H p H q 2 H xg p 2 2 H q p xg et(a λ E) 0 (a λ) ( a λ) b c 0 λ 2 a b c 0 (a + λ) ( a + λ) b c 0 x f Also Eigenwertpaare λ un λ für f 1: 1. beie reell: ±λ (Sattel) 2. beie imaginär: ±ı ω (Zentrum) 85