Vorlesungsskript Integrierter Kurs III - analytische Mechanik. Marcel Indlekofer, Thomas Lauermann, Vincent Peikert und Raphael Straub

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1 Vorlesungsskript Integrierter Kurs III - analytische Mechanik Marcel Inlekofer, Thomas Lauermann, Vincent Peikert un Raphael Straub 9. Februar 2005

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3 Inhaltsverzeichnis 3 Analytische Mechanik Prinzip er Variationsrechung Grunzüge er Variationsrechnung Die Euler schen Gleichungen Klassisches Beispiel: Die Brachystochrone Lagrange Mechanik Prinzip von Hamilton Elementare Beispiele Axiome un Grunbegriffe er Lagrange-Mechanik Hamilton sche Funktionen Hamilton sche Gleichungen Energieerhaltung Zwangsbeingungen Mathematischer Einschub Motivation Karten un Koorinaten Koorinatentransformationen Koorinatentransformation zur Eliminierung von Zwangsbeingungen Differenzierbare Mannigfaltigkeit Symmetrien & Erhaltungssätze Bahneterminismus Kovarianz Kovarianz unter holonomen Zwangsbeingungen Eichinvarianz Das Noether-Theorem Hamilton sche Mechanik II Motivation Phasenraum Satz von Liouville Poisson-Klammern Symmetrietransformation Kanonische Transformation Näherungsverfahren & Störungstheorie Asymptotische Entwicklungen & O- Symbol Anwenung auf fast kreisförmige Bahn im Zentralfel

4 4 INHALTSVERZEICHNIS

5 Kapitel 3 Analytische Mechanik Wir erinnern uns an ie Newton sche Formulierung er Mechanik. Die Newton schen Grungleichungen für N Massenpunkte lauten: N m i r = F ext }{{} i i + F int ij für i = 1,...,N (3.1) }{{} j=i }{{} *: Impulsänerung **: wirkene externe Kraft ***: von Teilchen auf Teilchen ausgeübte interne Kräfte Dies sin also f = 3N inhomogenene Differentialgleichungen zweiter Ornung, ie zusammen mit en Anfangsbeingungen ie Bahnen r i (t) beschreiben. Das Neue an er Formulierung er Mechanik nach Lagrange, Hamilton usw. (wir analytische Mechanik genannt) leistet asselbe: Allerings ist sie häufig leichter lösbar. Das Prinzip er Anayltischen Mechanik wir in er sogenannten Technische Mechanik vor allem von Ingenieuren verwenet. 3.0 Prinzip er Variationsrechung Liegt er analytischen Mechanik zugrune, wure ort weiterentwickelt (siehe Fermatsches Prinzip un anere Anwenungen) un wir in fast allen Gebieten er moernen Physik (Feltheorie etc.) verwenet. Konzepte er analytischen Mechanik weren verallgemeinert zur Quantenmechanik un allgemeinen Relativitätstheorie Das erste mal taucht in analytischer Mechanik ie Beziehung zwischen Symmetrien un Erhaltungsgrößen auf Literaturtips: Jelitto TheoPhys 2 Skript IK 3 WS 03/04 (Hompage von Prof. Scheer) Lanau-Lifschitz Vol 2 Arnol Mechanics 5

6 6 KAPITEL 3. ANALYTISCHE MECHANIK Grunzüge er Variationsrechnung Motivation un klass. Beispiel: Abbilung 3.1: Kürzeste Verbinung Gesucht ist ie kürzeste Verbinung zwischen en beien Punkten ( x 1 y 1 ) un ( x 2 y 2 )! Definition einer Bahn: Eine Abbilung C : I R f mit I : [t A,t B ], ie urch f stetige un stetig ifferenzierbare Funktionen q i (t) mit i = 1... f gegeben ist (Abkürzung q(t) R f ) heißt Bahn (t wir später häufig ie Zeit sein). Hier beeutet ies also, ass x(t) un y(t) urch zweimal stetig ifferenzierbarebare Funktionen gegeben sin, mit x(t a ) = x a, y(t a ) = y a, x(t b ) = x b un y(t b ) = y b Die Länge er Bahn ist L(C) = 2 s mit em Inkrement er Bogenlänge s. 1 Wir betrachten ie Tangente q(t). Mit ieser folgt: L(C) = t3 t 1 t q(t) 2 = t2 s = q(t) t (3.2) t 1 t ẋ 2 + ẏ 2 Untersucht weren soll, wann ieses Integral minimal wir. Dazu parametrisieren wir zur Abbilung 3.2: Umparametrisieren Vereinfachung ie Bahn nach x um(ohne Diskussion), wie in Abbilung (3.2) argestellt. Voraussetzung ist, ass x(t) umkehrbar (injektiv) zu t(x) ist. L(C) = t 2 t 1 ẏ = y x x t = ẋ y ẋ2 t + ẋ 2 y 2 = x 2 x 1 t = t x x = t = x ẋ x = ẋy ( ) 1 x x t (3.3) x 1 + y 2 (3.4) Gesucht ist iejenige Funktion, welche y(x) minimiert. L ist ein sogenanntes Funktional L[y(x)] Definition eines Funktionals: Ist eine Abbilung vom Raum er Bahnkurven C in R gegeben urch ie Auswertung er

7 3.1. DIE EULER SCHEN GLEICHUNGEN 7 Aufsummierung einer sogenannten Dichtefunktion L = R f R f R R entlang er Bahn C: S[q(t)] = t b ( ) t L q(t), q(t),t t a Falls ie Bahn C urch q(t) gegeben ist, ist also L = L(t) un es ergibt sich S urch Integration: S = t b t a t L(t) (3.5) Die Variationsrechung bestimmt somit eine Bahn C (oer q(t)), so ass S minimal oer maximal wir. (allgemein: stationär). ie Abhängigkeit von t b t a interessiert nicht. 3.1 Die Euler schen Gleichungen Gegeben ist ein einimensionales Bahnfunktional: S[q(t)] = t b t L (q(t), q(t),t) t a für eine einimensionale Bahn, ie urch q bei t un q + bei t + geht. D.h. C : t q = q(t) für t t t + mit q(t ) = q un q(t + ) = q +. q(t) sei zweimal stetig ifferenzierbar un L stetig ifferenzierbar nach seinem Argumenten. Wir vergleichen ie Bahnen q(t) = q 0 (t) + εh(t), wobei h(t ) = h(t + ) = 0 gelten muss,amit alle Bahnen q(t) urch ie Enpunkte gehen. Ansonsten ist h(t) eine (in einer kleinen ε-umgebung beliebige) Funktion. Welches q 0 (t) führt auf ie Entwicklung von S: S[q 0 (t) + εh(t)] = S 0 + εs + O(ε 2 ) für beliebiges h(t) mit S = 0? Bemerkung: Dieses Problem lässt sich behaneln, in em man as Minimum von S(ε) ermittelt. S[q 0 (t) + εh(t)] = t + ( ) t L q 0 (t) + εh(t), q 0 (t) + εḣ(t),t t +. = t t t { L (q 0 (t) q 0 (t)t) + q εh(t) + } q=q0, q= q 0 q εh(t) + O(ε 2 ) q=q0, q= q 0 Bei Variaiton von h(t) ist h(t) auch fest, aber erst wenn wir alle Terme h(t) zusammenfassen, können wir S = 0 für beliebiges h(t) folgern. Dies geschieht mit partieller

8 8 KAPITEL 3. ANALYTISCHE MECHANIK Integration: [ ] t+ t + ( = S[q 0 ] + ε q εh(t) + t h(t) q=q0, q= q 0 q t q=q0, q= q 0 t }{{ } t =0, a Ranterm q q=q0, q= q 0 ) amit er Term linear für alle h(t) verschwinet, muss letzte Klammer entlang er gesamten Bahn 0 sein. q q=q 0, q= q 0 t q q=q 0, q= q 0 = 0 (3.6) ies nennt man ie Euler - Gleichung Beispiel: Kürzeste Bahn in er Ebene. Weil s = x 2 + y 2 = x 1 + y 2 ist, gilt: In unserem Beispiel ist L = x B x A x L( y(x),y (x),x ) mit y = y x (3.7) Die Eulergleichung beeutet hier: Un a ie erste Ableitung y 0 x Es folgt also für ie erste Ableitung: L( y(x),y (x),x ) = L(y ) = 1 + y 2 (3.8) y x = 0 ergibt, haben wir: y 1 + y 2 = 0 y 1 + y 2 y = 0 (3.9) = konst. = c (3.10) y (x) 2 = c 2 (1 + y (x) 2 ) y (x) 2 = c2 1 c 2 = konst. = c2 1 (3.11) Damit erhalten wir, ass ie kürzeste Verbinung zwischen zwei Punkten eine Gerae ist: Setzen wir nun ie Ranwerte ein, so erhalten wir: Bemerkungen: y(x) = y 0 + c 1 x (3.12) y(x) = y A + y B y A x B x A (x x A ) (3.13) Die kürzeste Bahn wir auch als Geoäte bezeichnet. Auf iesem Prinzip basiert ie Formulierung er allgemeinen Relativitätstheorie, bei er g µν eine Funktion es Ortes ist.

9 3.1. DIE EULER SCHEN GLEICHUNGEN 9 Eine Variable q i (wie hier y), ie in L ( q, q, t ) mit q =. nicht explizit auftaucht,.h. q i = 0 (hier: y = 0 ) heißt zyklische Variable un ie zugehörige Größe, = konst. ist = konst.). er sogenannte verallgemeinerte (kanonische) Impuls, p := q i eine Erhaltungsgröße (in unserem Beispiel: y Verallgemeinerung auf eine Bahn im R f : Theorem: Die Bahnkurve C im R f, gegeben urch (q, t) : q = q(t),.h. q i = q i (t) für i = 1,...,f, sei zweimal stetig ifferenzierbar für t t t +, sie ist Extremalkurve es Funktionals S = t+ q 1 q f t t L( q(t), q(t), t ) (3.14) Bemerkung: Das heißt, S[q] ist stationär bei festen Ranpunkten q(t ) = q un q(t + ) = q + mit er Dichte: L : R f R f R R (3.15) mit gewissen Glattheitsbeingungen an L. Das Funktional ist genau extremal ann, wenn: q i t Dies sin ie Eulergleichungen. q i = 0 für alle i = 1,...,f (3.16) Beweis: Die f Vergleichsbahnen q(t,ε) erfüllen q(t, ε = 0) = q(t). Wobei q(t) ie extremale Bahn ist. Ebenfalls gilt, ass alle Vergleichsbahnen urch ie Ranpunkte gehen: Desweiteren soll q(t,ε) entwickelbar sein: q(t ±,ε) = q(t ± ) = q ± Dann ist S also extremal. q(t,ε) = q(t) + ε q ε + O(ε2 ) (3.17) ε S [ q(t,ε) ] = 0 (3.18) ε=0 S ε = ε=0 t + t t f ( q i(t,ε) q i ε + q ) i(t,ε) ε=0 q i ε = 0 ε=0 i=1 Wegen ε q i(t,ε) = ε t q i(t,ε) = t q ε i(t,ε) lässt sich ie Zeitableitung partiell integrieren:

10 10 KAPITEL 3. ANALYTISCHE MECHANIK S ε = ε=0 t + t t f i=1 q i (t,0) ε ( (q, q, t) q i t ) [ f (q, q, t) + q i i=1 ] q(t,0) t+ = 0 q i ε t a q i (t,ε) t± = q ± folgt q i(t ±,ε) ε 0 ergeben. = 0. Die große Klammer muss also für jeen Inex i einzeln t q i = t q i L(q, q, t) = 2 L t q i + t j=1 2 L q i q j q j (t) + t j=1 2 L q i q j Die Euler-Gleichungen sin gekoppelte implizite Differentalgleichungen zweiter Ornung. Beispiel: Kürzeste Bahn q j (t) Abbilung 3.3: Kürzeste Bahn also haben wir: L[C] = s = x 2 + y 2 = t tb ( x t )2 + ( ) 2 y = v t t t A t ẋ 2 (t) + ẏ 2 (t) (3.19) L ( q, q, t ) = L ( ( ) x(t), y(t) Die Euler-Gleichungen hierfür lauten: (ẋ(t) ) ẏ(t) ), t = L (ẋ(t) ) = ẋ ẏ(t) 2 + ẏ 2 (3.20) un t ẋ = t t ẏ = t ẋ ẋ2 + ẏ = 0 = 2 x ẏ ẋ2 + ẏ = 0 = 2 y Damit erhalten wir also ie Beziehung: ẋ ẋ2 = konst. (3.21) + ẏ2 ẏ ẋ2 = konst. (3.22) + ẏ2 y x = ẏ ẋ = c 2 c 1 = konst. (3.23)

11 3.1. DIE EULER SCHEN GLEICHUNGEN 11 Wir erhalten wieer eine Gerae: y = konst. Die selbe Bahn/Kurve ergibt sich aus er Variationsrechnung für beliebige Parametrisierung. Beispiel: Kürzeste Bahn in Polarkoorinaten: x(t) = r(t) cos ϕ(t) ẋ = ṙ cos ϕ r ϕ sin ϕ y(t) = r(t) sin ϕ(t) ẏ = ṙ sin ϕ + r ϕ cos ϕ also ist ie Geschwinigkeit in ebenen Polarkoorinaten nichts aneres als: v 2 = ẋ 2 + ẏ 2 = ṙ 2 + r 2 ϕ 2 (3.24) Es folgt für L: Umparametrisieren ergibt: L[C] = tb t A t ṙ 2 + r 2 ϕ 2 (3.25) L[C] = rb r A r 1 + r 2 ϕ 2 mit ϕ = ϕ r Die kürzeste Bahn folgt nun aus er Eulergleichung mit (3.26) L ( ϕ(r), ϕ (r), r ) = 1 + r 2 ϕ 2 (3.27) Eingesetzt ergibt ies: ϕ r = 0 ϕ ϕ = 0 = r r 2 ϕ 1 + r2 ϕ 2 = c = konst. (3.28) Um ϕ(r) oer ϕ (r) zu finen, ist ein größerer Rechenaufwan als zuvor notwenig. Das liegt an er ungeschickten Wahl unserer Koorinaten. Das Ergebnis bleibt natürlich eine Gerae Klassisches Beispiel: Die Brachystochrone Historisches Problem: Gesucht ist ie Kurve, auf er ein Teilchen unter Einwirkung er Schwerkraft am schnellsten von A nach B kommt. Abbilung 3.4: Welche Bahn ist ie schnellste?

12 12 KAPITEL 3. ANALYTISCHE MECHANIK Eine Bahn, auf er as Teilchen zuerst stark beschleunigt un ann mit größerer Geschwinigkeit entlangläuft ist womöglich schneller als ie kürzeste Bahn. Wir ermitteln ie Zeit (ẋ zum) Durchlaufen er Bahn mit em Bogenlängenelement s un er Geschwinigkeit v = : ż t [C] = weil s = v t, wobei v aus er Energieerhaltung bestimmt weren kann: B A s v (3.29) E = konst. = m 2 v2 mgz = 0 (3.30) wenn wir am Punkt A v = 0 un z = 0 festsetzen. Damit können wir v = 2gz ersetzen: B s B t [C] = = A 2gz A Durch Umparametrisieren mit t = t(x) folgt: t ẋ2 + ż 2 2gz (3.31) L [C] = 1 2g xb wobei wir ie folgene Dichtefunktion haben: x A x L ( z(x), z (x), x ) = 1 + z 2 z 1 + z 2 z (3.32) (3.33) Extremum z x z = 0 ( ) 1 + z z 3/2 x wobei z = z x z z (1 + z 2 ) = 0 weiteres Differenzieren führt zur Differentialgleichung für z, z = 2 z x 2 welche sehr kompliziert zu lösen ist. Wichtige Message : Verwene nicht ie Euler- Gleichung wenn es auch einfacher geht! Wichtiger Trick: Energieerhaltung Multiplikation er Euler-Gleichung mit z, un anach anwenen er Prouktregel liefert: z z z x z z z z x + z }{{ z x} ( ) z = 0 z x z + z z = 0 z = 0 (3.34) x z

13 3.1. DIE EULER SCHEN GLEICHUNGEN 13 Die Klammer * entspricht: = x L(z(x), z (x), x) genau ann, wenn x wenn also x L(z(x), ż(x), x) = x z = 0 ist, ann folgt aus (3.34): 0 = x z x + z z x + x ( L z z ) = 0, weil gilt: Somit ergibt sich aus er Euler-Gleichung: Genau ann, wenn = 0,.h. wenn L nicht explizit vom Bahnparameter (hier x, später x t) abhängt, gilt: ( L z ) = 0 x z also: E = L z z = konst. was ein großer Vorteil ist, weil in E = f(z, z ) nur erste Ableitungen (hier z, z, in er Mechanik nur r, ṙ = v nicht r = a) auftauchen. In unserem Beispeil ist: z z z(1 + z 2 ) 1 + z 2 = z 1 z(1 + z 2 ) = 1 2 a = konst. z ( 1 + z 2) = 2a mit einer Länge a Trennung er Variablen: z 2a x = z = ± z 1 x = z z 2a z Variablensubstitution: z = a (1 cos ϑ) z = a sin ϑ ϑ a (1 cos ϑ) x x 0 = ϑ a sin ϑ a (1 + cos ϑ) sin 2 ϑ 2 = a ϑ sin ϑ = 2a ϑ sin 2 ϑ cos 2 ϑ 2 2 = a (ϑ sin ϑ) D.h. mit er Parametrisierung er Bahn urch ϑ ist ie Brachystochrone gegeben urch: z = a (1 cos ϑ) (3.35) x = a (ϑ sin ϑ) + x 0 (3.36)

14 14 KAPITEL 3. ANALYTISCHE MECHANIK Abbilung 3.5: Schaubil einer Zykloie Sie ist ein Stück einer Zykloie, ie man urch Abrollen eines Raes mit Raius a erhält: (Abb.3.5) x 0 un a sin zwei unbekannte Integrationskonstanten, ie aus en Beingungen bei A un B folgen. x(ϑ 1 ) = x 1 ; x(ϑ 2 ) = x 2 ; z(ϑ 1 ) = z 1 ; z(ϑ 2 ) = z Lagrange Mechanik Prinzip von Hamilton (A) Newton sche Bewegung eines Massepunktes im Potential Nach Newton ist ie Bahn es Massepunktes verknüpft mit Bahn: t r(t) R 3 Geschwinigkeit: v(t) = r(t) = ṙ(t) t kinetischer Impuls: p(t) = m v(t) mit er Masse m p = m v = v m 2 v2 = v T T := kinetische Energie m 2 v2 = T Kraft aus Potential: F = U(r(t), t) r gegebene Newton schen-gleichung: t P = F ist äquivalent zu: t ṙ T U(r(t), t) = }{{} r ( ) T }{{} ( ) U(r(t), t) (*): = 0 weil U nicht von v = ṙ abhängt (**): = 0 weil T nicht von r abhängt

15 3.2. LAGRANGE MECHANIK 15 Im Vergleich erkennt man, ass ie Newton-Gleichung er Euler-gleichung zur (Lagrange)- Dichte entspricht. L = L(r(t), v(t), t) L = m 2 v2 U(r,t) Das Hamilton sche Prinzip besagt, ass ie Bewegungsbahnen es Massepunktes (Parameter m) ie Extremalen er Wirkung S = t + t t L(r(t), v(t), t) sin. Bemerkungen: Das Prinzip heißt auch Prinzip er kleinsten Wirkung In er Mechanik heißen ie Euler-Gleichungen Euler-Lagrange-Gleichungen (B) Die Einstein sche Bewegung eines Massepunktes im Potential Alles ientisch zu (A). Nur ass er Impuls p ie träge Masse enthält. p = m v ) = ( m c 2 1 v2 1 v c 2 v2 c 2 t p Einst. = F = mc 2 1 v2 t v c U(r) 2 }{{} =0 = F = r mc2 1 v2 c 2 } {{ } =0 U(r) Die Bahnen eines Massenpunktes er Einstein schen Mechanik im Potential U sin Extremalen er Wirkung Wieerholung: S = t + t L(r(t), v(t), t) = t + t t ( mc 2 ) 1 v2 c U(r) 2 Wir haben gesehen, ass ie folgenen beien Gleichungen äquivalent sin: (z(x),z (x)) = 0 ( x ) z (x) (z(x),z (x)) L(z(x),z (x)) = 0 x z

16 16 KAPITEL 3. ANALYTISCHE MECHANIK Das NEWTON sche Kraftgesetz für ein Teilchen er Masse m: t p = F ist äquivalent zum Variationsproblem zur Wirkung: S = t+ t tl(r(t),v(t),t) ie extremal wir, für ie physikalische Bahn, un mit L = m 2 v2 U(r,t) folgen ie Euler-Lagrange-Gleichungen: t v = r Die EINSTEIN sche Formulierung lautet: L = mc 2 1 v2 c 2 U(r) (C) Newton scher Massenpunkt in elektromagnetischen Felern Wir untersuchen nun ein Teilchen er Laung q in einem elektromagnetischen Fel (E un B -Fel). Dazu betrachten wir ie Lorentz-kraft: F (r(t), v(t), t) = q [E(r(t), t) + v(t) B(r(t), t)] wobei ie Feler aus Potentialen bestimmbar sin: E(r, t) = Φ(r, t) t A(r, t) un B(r, t) = A(r, t) Bemerkung: Φ ist ein skalares Potenital, A ein Vektorpotential. Die Potentiale sin jeoch nicht eineutig. Dieselben E- un B-Feler, ie sich aus Φ un A ergeben, folgen auch aus ˆΦ un  wenn  = A+ χ un ˆΦ = Φ t χ. Die Lorentz-Kraft lautet also komponentenweise (man verifiziere ies urch Einsetzen

17 3.2. LAGRANGE MECHANIK 17 er Feler): F x = t mv x = q x Φ t A x + v y ( x A y y A x ) v }{{} z ( z A x x A z ) }{{} =B z =B y =q x ( Φ + v y A y + v z A z ) + x v x A x x v x A x t A x y A x v y z A x v }{{} z = t A(r,t) F = q (E + v B) [ t mv x = x (φ v x A x v y A y v z A z ) t A x A x x v x A x y v y A ] x z v z [ = q x (φ v A) + ] t A x (3.37) Damit kann man nun as Impuls-Kraftgesetz p = F in ie Form einer Euler-Lagranget Gleichung bringen, inem man analoge Betrachtungen für p y un p z anstellt. t (mv + qa) = q ( φ + v A) r m t v 2 v2 + qa v qφ(r(t),t) = qφ(r(t),t) + qv(t) A(r(t),t) + m }{{} r 2 v2 (t) }{{} =0 =0 Fazit: Die NEWTON sche Bewegungsgleichung für einen Massenpunkt mit er Laung q im E- un B-Fel ist ie Extremale zur Wirkung mit er Lagrangeichte: L(r,v,t) = m 2 v2 + qv A(r(t),t) qφ(r(t),t) (3.38) }{{} Bemerkung zum Term : Dies ist ein weiteres Beispiel für as Konzept er linearen Kopplung. Offen bleibt ie Frage nach er fehlenen Eineutigkeit er Potentiale φ un A, welche als Eichkonvention bezeichnet wir. Der Übergang von φ,a nach φ,ā heißt Eichtransformation un änert L zu L: Für ie Eichtransformation gilt: A = A χ & φ = φ + t χ Somit lässt sich ie Lagrangeichte L schreiben als: L = m 2 v2 + qv Ā + qv χ q φ + q t χ = L + q ( t χ + v χ) L = L + q χ(r(t),t) (3.39) t

18 18 KAPITEL 3. ANALYTISCHE MECHANIK Die letze Beziehung folgt abei über as totale Differential: t χ(r(t),t) = r χ v + t χ Fazit: Die Eichtransformation er elektromagnetischen Potentiale ist verknüpft mit er Aition eines totalen Zeitifferentials auf ie Lagrangeichte: Bemerkungen: L = L + t χ(r(t),t) L = L χ(r(t),t) (3.40) t Später wir im Abschnitt Symmetrieeigenschaften von Lagrange-Dichten ie araus folgene Konsequenz für ie Bahn behanelt. Speziell wir ort er Frage nachgegangen, ob ie Bahnen eineutig sin oer nicht. Die Ersetzung von m 2 v2 nach mc 2 1 v2 in er Lagrange-Dichte L beschreibt c 2 nach Einstein Teilchen in elektromagnetischen Felern auch relativistisch. D) konservatives N-Teilchensystem (nach Newton) Zunächst betrachten wir ie Newton sche Beschreibung für Bahn r, Bahntangente (Geschwinigkeit) v un Impuls p mit er Masse es i-ten Teilchens m i : r 1 (t) r 2 (t) t r(t) = R 3N r N (t) v 1 (t) ṙ 1 (t) v 2 (t) ṙ 2 (t) t v(t) = = R 3N v N (t) ṙ N (t) p 1 (t) m 1 v 1 (t) p 2 (t) m 2 v 2 (t) t p(t) = = p N (t) m N v N (t)

19 3.2. LAGRANGE MECHANIK 19 konservatives Kraftfel beeutet: F 1 (r(t)) F 2 (r(t)) F = F N (r(t)) wobei: F i = r i U(r(t)) = i U mit einem(!) Potential U für alle Teilchen. Wir wollen zwei wichtige Beispiele behaneln: externes Potential U(r) = U ext. (r) = N U ext. (r i ) (3.41) i=1 wobei U ext. gegeben ist, z.b. als Gravitationspotential. internes Potential U = U int. = N i 1 U int. (r i r j ) (3.42) i=1 j=1 Damit as zweite Newton sche Axiom (actio=reactio) erfüllt ist, muss U int ( r) = U int. ( r) sein. Damit folgt für ie Kraft auf ein Teilchen α, ie von allen N 1 aneren Teilchen ausgeht: F int. α = r α U int = α 1 = N i 1 U int. (r r i r j ) α i=1 j=1 U int. (r r α r j ) + j=1 α }{{} N i=α+1 * ist er Beitrag für i = α ** ist er Beitrag für j = α Die Newton-Gleichungen t p i = F i sin äquivalent zu: [ t m iv i = t v i = r i ( ( N j=1 U(r) + U int. r α (r i r α ) } {{ } m j 2 v2 j U(r) N j=1 m j 2 v2 j ) )] (3.43) (3.44)

20 20 KAPITEL 3. ANALYTISCHE MECHANIK Fazit: Die Bahnen es konservativen N-Teilchensystems nach NEWTON sin ie Extremalen zur Lagrangeichte: L(r(t),v(t),t) = N i=1 m i 2 v2 i U(r(t)) Elementare Beispiele (A) Einimensionale konservative Systeme Ein Massenpunkt, essen Position q(t) R in einem gegebenem Potential U(q) variiert, sei moelliert urch was zur Euler-Lagrange-Glichung: L = T U = m 2 q2 U(q) (3.45) m q = U q (3.46) führt. Beispiel: Ein starres Penel im Schwerefel hat en Freiheitsgra es Winkels q Für ein Penel er Länge l = 1 folgt: Da U(q) zeitunabhängig ist ( U t T = 1 2 Ml2 q 2 un U(q) = Mgz = Mgl(1 cos q) L = 1 2 m q2 mg(1 cos q) = t ( q ) t q L = t = ( m ) t 2 q2 + U(q) = 0), gilt Energieerhaltung. D.h. ( q 2 m m 2 q2 + U(q) = m q q + U q ) = (T + U) = 0 t ( q = q m q + U ) = 0 q ie Gesamtenergie E = T + U = m 2 q2 + U(q) ist zeitlich konstant. Der Massenpunkt benötigt also t = t 2 t 1 um von q 1 = q(t 1 ) nach q 2 = q(t 2 ) zu kommen. t 2 t q2 t 2 t 1 = t = q = q (3.47) q 1 2 (E U(q) t 1 m 2 a nach Energieerhaltung gilt: q = (E U(q)) m Bemerkung: Für iese Rechnung wure keine Kraft benötigt. Da m 2 q2 0 ist, erfolgt ie Bewegung im Bereich gegeben urch U(q) E Wir wollen nun eine Diskussion verschieener Bahntypen anschließen (vgl. Abbilung 3.6):

21 3.2. LAGRANGE MECHANIK 21 Abbilung 3.6: Gleichgewichtspunkte (i) E sei U min, q sei 0, q = q min Da U min ein lokales Minumim ist, folgt U = F = 0 q Dieser Punkt (q = q min ist ein Gleichgewichtspunkt. (ii) U min < E < U max (q < q max ) hier ist q(t) 0. Im Allgemeinen jeoch gibt es zwei Umkehrpunkte q + un q an enen ie Geschwinigkeit verschwinet, nämlich ie Punkte, für ie gilt: U(q + ) = U(q ) = E geschlossene Bahnen: q 1 q(t) q 2, ie anharmonische Oszillationen arstellen mit er Perioe: 2π q 2 ω = T = 2 q 1 q 2 (E U(q)) m Also ist ie Bewegung perioisch: q(t + T ) = q(t) (3.48) (iii) E = U max un q = 0 un q = q max Da U max lokales Maximum ist, haben wir ein labiles Gleichgewicht (iv) E > U max, es gibt nur noch einen Umkehrpunkt, an em E = U(q) Das Teilchen läuft nach q + für t. HIER FEHLEN NOCH DIE ABSCHNITTE B UND C, ich hoffe ass ich ie am WE rein gestellt bekomme (D) Bewegung im konservativen Zentralpotential U(r(t), t) = U(r). Behauptung: Wenn also ein Teilchen im Potential nur raiale Kräfte spürt... F = U r = U r r r = U r r r (3.49)... ann ist es im wesentlichen nur ein einimensionales Problem, weil unser Moell: lautet Es gibt eine extremale Wirkung, wenn gilt: L (r(t), ṙ(t) ) = m 2 ṙ2 U(r) (3.50) Daraus folgt Drehimpulserhaltung. U mṙ = t r r r (3.51)

22 22 KAPITEL 3. ANALYTISCHE MECHANIK t L = t r p = m ṙ ṙ + r ṗ = U r (r r) 1 r 2 = 0 (3.52) Es liegt also eine ebene Bewegung vor: r L = r (r p) = 0 (3.53) Deshalb liegt r in er Ebene senkrecht zu L urch en Ursprung. Wir wählen L = l ẑ. Die Bewegung erfüllt also z(t) = 0. Ebene Polarkoorinaten: Mit er Wahl er z-achse parallel zu L folgt... un für ie Geschwinigkeit: x(t) = r(t) cos ϕ(t) & y(t) = r(t) sin ϕ(t) (3.54) Damit ergibt sich für ie Lagrangeichte: ẋ 2 + ẏ 2 = ṙ 2 + r 2 ϕ 2 (3.55) L = m 2 (ṙ2 + r 2 ϕ 2 ) U(r) (3.56) weil nun ϕ eine zyklische Variable ist,.h. ϕ = 0 gilt, folgt: l = ϕ = mr2 ϕ = konst. (3.57) wobei l er Betrag es Drehimpulses ist, wie man leicht urch Einsetzen verifiziert. Die verbleibene Eulergleichung lautet: t ṙ = m r = r = mr ϕ2 U r (3.58) Daraus folgt: m r = l2 mr U 3 r = r ) (U + l2 = 2mr 2 r U eff (3.59) Wir haben ie Gleichungen nun auf ein raiales Problem mit em effektiven Potential (wobei er Bruch en Zentrifugalterm arstellt) U eff (r) = U(r) + l2 2mr 2 (3.60) zurückgeführt. Damit haben wir leiglich ein einimensionales Problem zu lösen, für welches ie Energieerhaltung gilt.

23 3.2. LAGRANGE MECHANIK 23 Der Beweis afür ist: eff U E = mṙ r + t r E = m 2 ṙ2 + U eff (r) (3.61) ṙ = ṙ (m r + U eff r ) = 0 (3.62) Zur Bestimmung von r(ϕ) verwenen wir ie Integrabilität von E(r,ṙ) un l(l,r, ϕ) Axiome un Grunbegriffe er Lagrange-Mechanik Die Formulierung er Mechanik nach Lagrange erfolgt mit em Hamiltonschen Extremalprinzip für Bahnkurven zur Lagrangeichte L. 1. Axiom: Ein mechanisches System entspricht einer Bahn C im Konfigurationsraum M. Bemerkungen: C : {t,q : q = q(t) für t t t + ; q R f } (3.63) Die Begriffe weren noch sauberer efiniert. Der Parameter t ist ie Zeit Für N Teilchen ist er Raum M R 3N un wir als Konfigurationsraum (Positionenoer Lageraum) bezeichnet. Die Erklärung für f 3N folgt in Die Dimension f von M ist ie Zahl er Freiheitsgrae. Falls f Koorinaten ausgewählt weren (q 1,..., q f ), mit enen jeer Punkt von M argestellt weren kann, heißen ie q = (q 1,..., q f ) generalisierte Koorinaten. 2. Axiom: Die Dynamik ist bestimmt urch ie Angabe einer Dichtefunktion L (q(t), q(t), t) (unter gewissen Regularitätsbeingungen), so ass ie Bahnen C es Systems Extremalen es Hamilton schen Wirkungsfunktionals S = t + t t L (q(t), q(t), t) sin. Bemerkungen: Die Angabe von L heißt Moell es Systems S heißt Wirkung, aher kommt er Name es Prinzips kleinster Wirkung Die Euler-Lagrange-Gleichungen (zweiter Art) lauten hierzu: q i t q i = 0 (3.64)

24 24 KAPITEL 3. ANALYTISCHE MECHANIK Die p i = q i heißen (generalisierte oer kanonische) Impulse Im Allgemenen (zum Beispiel in magnetischen Felern) stimmen kinetische un kanonische Impulse nicht überein: p = mv + qa mv q i un p i heißen zueinaner konjugierte Variablen. Wichtige bisher schon besprochene Eigenschaften er Bewegung (= von L) sin: Zyklische Variablen: Eine Variable q i ist zyklisch wenn gilt: q i = 0. Dann ist er zugehörige kanonische Impuls zeitlich konstant: p i = q i = konst. Energieerhaltung: Hängt L (q(t), q(t), t) nicht explizit von er Zeit ab,.h. L (q(t), q(t), t) = L (q(t), q(t)) un amit = 0, ann ist t E = f i=1 q i q i L (3.65) eine Erhaltungsgröße un E = 0. Oft entspricht E er Gesamtenergie es mechanischen t Systems Hamilton sche Funktionen Hamilton sche Gleichungen Das System er f Eulergleichungen sin f Differentialgleichungen zweiter Ornung: t Die zum System er Variationsrechnung gehören. = 0 (3.66) q i q i S = t+ ist äquivalent zu en 2f Differentialgleichungen 1. Ornung: t t L ( q(t), q(t), t ) (3.67) t q i(t) = q i (t) = H(q,p,t) (3.68) p i t p i(t) = ṗ i (t) = H(q,p,t) (3.69) q i wobei ie sogenannte Hamiltonsche Funktion H von en zueinaner konjugierten Variablen q un p = abhängt: q

25 3.2. LAGRANGE MECHANIK 25 H(q,p,t) = q p L (3.70) Bei er Berechnung von H muss q = q(q,p,t) gefunen weren urch Invertierung von Beispiel: Einimensionale Bewegung im Potential. Laut Newton gilt: p i = q i L(q, q,t) (3.71) m q = U q (3.72) Die kinetische Energie T un ie potentielle Energie U sin gegeben urch: Die Lagrange-Funktion lautet ann: T = m 2 q2 un U = U(q) (3.73) Der Impuls p ist nichts aneres als: L = T U = m 2 q2 U(q) (3.74) p = q = m q (3.75) Dessen Invertierng lautet amit also: Die Hamilton-Funktion sieht ann folgenermaßen aus: q = 1 m p (3.76) H = q p L = p p m 1 2m p2 + U(q) = p2 + U(q) = T + U (3.77) 2m Mit ieser lassen sich ie Newton-Gleichungen folgenermaßen ausrücken: ṗ = H q = U q q = H p = p m (3.78) (3.79) (3.80) Mit en selben Anfangsbeingungen legen ie Hamilton-Gleichungen un ie Euler- Gleichungen ie selben Bahnen fest. Zum Beweis betrachten wir as totale Differential:

26 26 KAPITEL 3. ANALYTISCHE MECHANIK H(q,p,t) = H q un vergleichen es mit em Differential q + H p p + H t t (3.81) X(q, q,p,t) = (p q L) = q Behauptung: Ist H = X, ann muss p = H sein, genau so wie q t gilt mit iesen Beziehungen: ṗ = t p = t Mit er zugehörigen Euler-Gleichung ist ies: ( q + q p t t + p ) q (3.82) q = t un q = H p. Außerem q = (3.83) = q = H q (3.84) Energieerhaltung Aus em totalen Differential von H folgt: H t = H q H q + p ṗ + H t H = ṗ q + q ṗ + t = t (3.85) Wenn ie Hamiltonsche Funktion (bzw. ie Lagrange-Dichte) nicht explizit von er Zeit abhängt (also = H = 0), ann ist H insgesamt eine Konstante, ie man häufig t t einfach Gesamtenergie nennt. Jees Variationsproblem kann nach Lagrange mit L oer nach Hamilton mit H berechnet weren Zwangsbeingungen (A) Holonome Zwangsbeingungen [Zb] Bsp.: (i) Starres Penel Die Behauptung, er Massepunkt hängt an einer Stange er festen Länge L ist eine Zwangsbeingung. r(t) = L ist eine Moellierung es Festkörpers Stange. (ii) Zwei starr(*) gekoppelte Penel (*): oer auch urch eine Hooksche Feer mit Feerkonstanten α Dies ist ein Bsp., wo ie Zwangskraft (harmonische Feer) bekannt ist un für α (starre Kopplung) ie Zb ϕ 1 = ϕ 2 prouziert.

27 3.2. LAGRANGE MECHANIK 27 Abbilung 3.7: Starres Penel Abbilung 3.8: Gekoppelte Penel Abbilung 3.9: Perle auf rotierenem Ring (iii) Perle auf rotierenem Ring im Schwerefel Ring, er sich um ie vertikale ẑ-achse urch seinen Mittelpunkt mit fester Winkelgeschwinigkeit ω reht, auf em ein Massepunkt m reibungsfrei rutscht. Seine Polarkoorinaten lauten also: x(t) = r(t) cos ϕ(t) sin Q(t) y(t) = r(t) sin ϕ(t) sin Q(t) z(t) = r(t) cos Q(t)

28 28 KAPITEL 3. ANALYTISCHE MECHANIK Un ie Zb für m lauten: r(t) R = 0 ϕ(t) ωt = 0 (fester Raius es Ringes) (konstante Rotation) Bemerkung: Nur in (ii) verstehen wir alle Kräfte. Allgemein moellieren wir jeoch technische Geräte urch Zwangsbeingungen Definition: Sei ein mechanisches System gegeben im f-imensionalen Konfigurationsraum urch ie Lagrangeichte un em System von n Gleichungen L(q 1 (t),, q f (t), q 1 (t),, q f (t), t) F 1 (q 1 (t),, q f (t), t) = 0. F n (q 1 (t),, q f (t), t) = 0 F i (q(t), t) = 0 für 1 i n (n < f) gibt n holonome Zwangsbeingungen. Als Reaktion auf iese Zwangsbeingunen wirkt as System mit Zwangskräften Z nach außen,.h. auf ie mechanischen Geräte. Abbilung 3.10: Auftretene Zwangskräfte zu Abb.(3.9) Zu Bsp.(iii): Die 3 Koorinaten es Massepunktes unterliegen en Zb: - für r = (x, y, z) T (in Kartesischen Koorinaten) L = m 2 (ẋ2 + ẏ 2 + ż 2) m g z Zb: F 1 (x, y, z, t) = x 2 + y 2 + z 2 R 2 = 0 F 2 (x, y, z, t) = (x cos ωt + y cos ωt) 2 + z 2 R 2 = 0

29 3.2. LAGRANGE MECHANIK 29 - für r in Polarkoorinaten L = m ) (ṙ 2 + r 2 Q 2 + r 2 sin 2 Q ϕ 2 m g r cos Q 2 Zb: F 1 (r, ϕ, Q, t) = r 2 R 2 = 0 F 2 (r, ϕ, Q, t) = ϕ ωt = 0 Bem.: Koorinaten sin wegen Zb nicht unabhängig voneinaner. = 0 heißen skleronom. Zeitabhängi- Zeitunabhängige Zb (.h. alle F i (q, t) sin F i (q), F i t ge heißen rheonom. Nicht holonome Zwangsbeingunen lassen sich nicht in Form F i (q(t),t) = 0 bringen, a sie ie Geschwinigkeiten q(t) enthalten, so ass es keine Stammfunktion gibt. (B) Lagranges System mit Zwangsbeingungen Satz (i): Ein System mit f Freiheitsgraen L = L(q 1,, q f, q 1,, q f, t) wir urch n funktional unabhängige holonome Zwangsbeingungen. F i (q 1,, q f, t) = 0 1 i n f auf einen F = f n - imensionalen Konfigurationsraum M gezwungen, er beschrieben sei urch F lokale Koorinaten Q 1,, Q F. Wenn in M ie alten Koorinaten q urch ie neuen Koorinaten Q ausgerückt weren können,.h. q i = f i (Q 1,, Q F, t) für 1 i f so lautet ie neue Lagrangeichte L, ie as System in M vollstänig beschreibt: L(Q 1,, Q F, Q 1,, Q F, t) = L(f 1,, f i (Q(t),t),, f f, }{{} ( ) (*): i-te Komponente von q i = f i (Q(t), t) t f 1,, t f i(q(t),t),, }{{} ( ) (**): i-te Komponente er Geschwinigkeit q i = t f i(q, t) = f i t + F j=1 f i Q j t f f, t) Satz (ii): Ist as System in M gelöst, so erhält man ie Zwangskräfte, inem man ie q(t) = f(q(t), t) in ie ursprüngliche Euler-Lagrange-Gleichung einsetzen..h. = Z t q i q i i 1 i f q(t)=f(q(t),t) Bew: von Satz (i) in von Satz (ii) gibt ie Definition Bem: Satz gibt allgemeines Lösungsverfahren. Zu Bsp (iii): Q j

30 30 KAPITEL 3. ANALYTISCHE MECHANIK 1. Formuliere l = U T (Zwangsbeingungen in Kart. Koor.) l = m 2 ṙ2 U(r) = m 2 ṙ2 mgz (Ausgangspunkt) 2. Berücksichtige Zwangsbeingungen urch Einführung geeigneter krummliniger Koorinaten, hier Polarkoorinaten r, ϕ, Q j mit enen er neue Konfigurationsraum M lautet: M = {Q π Q π} Winkelvariationsbereich Die ursprünglichen Koorinaten lauten: x(t) = R cos ωt sin Q(t) y(t) = R sin ωt sin Q(t) z(t) = R cos Q(t) un erfüllen ie Zwangsbeingungen: Zb 1 un Zb 2 3. Stelle neues L auf: L(Q, Q, t) = l(, ẋ = Rω sin ωt sin Q(t) + R Q cos ωt cos Q(t), ) = m ( ) R 2 Q 2 + R 2 ω 2 sin 2 Q m g R cos Q 2 4. Löse L(Q, Q, t) urch Lagrange/ Hamilton - Formalismus, um Q(t) aus en Anfangsbeingungen Q(t 0 ), Q(t 0 ) zu bestimmen. 5. Falls verlangt, bestimme ursprüngliche Koorinaten (x, y, z) oer (r, ϕ, Q) aus Q(t) um Zwangskraft zu bestimmen. Hier Z r (raiale Zwangskraft). Abbilung 3.11: Raiale Zwangskräft zu Abb.(3.9) womit t l r l r Z r = t ( ( ) ) P olarkoor. = m r Q 2 + ϕ 2 sin 2 Q r + g cos Q l ṙ l = mr Q 2 + ω r }{{} 2 sin 2 Q + mg cos Q }{{}}{{} r=r; ϕ=ωt; Q(t) (I) (II) (III)

31 3.3. MATHEMATISCHER EINSCHUB 31 (I): Zentrifugalkraft für Bewegung entlang es Rings. (II): Raiale Komponente (sin Q) er Zentrifugalkraft bei Rotation um ie ẑ-achse im Abstan R sin Q. (III): Raiale Komponente er Schwerkraft Bem: Genau iese Zentralkraft muss er Ring aushalten Alternatives Lösungsverfahren verwenet Lagrange-Multiplikatoren. (s. in Lehrbüchern, wir etwa Noltin, Grunkurs Theoretische Physik Ban 2) 3.3 Mathematischer Einschub In iesem Einschub weren wir etwas Geometrie behaneln. Eine Motivation azu liefert er nächste Paragraph Motivation Abbilung 3.12: MP bewegt sich auf Kugel Zunächst untersuchen wir ie Bewegung eines Massenpunktes auf er Oberfläche einer Kugel mit em Raius R = 1. Für iese Bewegung gilt ie Zwangsbeingung: x 2 + y 2 + z 2 = 1 Die Bahn es Punktes liegt in er Menge aller Punkte auf er sogenannten Einheitskugel oer auch Einheitsphäre, ie urch: x S (2) = y R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1 (3.86) z efiniert ist. Somit ist ie Einheitsphäre er Konfigurationsraum S (2) = M. Es stellt sich nun ie Frage, wie man in iesem Konfigurationsraum rechnet. Beispielsweise

32 32 KAPITEL 3. ANALYTISCHE MECHANIK interessiert man sich für ie Geschwinigkeit ( ie Ableitung er Bahnkurve ). Für zwei Orte in S (2) : r 1 = r(t 1 ) un r 2 = r(t 2 ) liegt jeoch ie Verbinungsgerae: r(t) = r 1 + r 2 r 1 t 2 t 1 }{{} / S (2) t 2 t 1 v(t) nicht auf er Oberfläche er Einheitskugel. Somit muss geklärt weren, wie ie Geschwinigkeit v(t) un ie Beschleunigung v(t) efiniert weren muss, wenn ie Bewegung ganz in S (2) verlaufen soll. In er Newton schen Mechanik benötigt man ie Beschleunigung! Lösung: Die analytische Mechanik (nach Lagrange, Hamilton etc.) verwenet generalisierte Koorinaten Karten un Koorinaten (A) Definition: Für eine Menge M (Konfigurationsraum nach Lagrange) von Punkten im R n (vgl. Ab- Abbilung 3.13: Zur Definition von Karten bilung 3.13) M R n wollen wir Koorinaten einführen, um jeen Punkt aus M zu bezeichnen ( labeln ). Koorinaten sin Tupeln von f reellen Zahlen (mit f n) aus einem offenen Gebiet U R f Bemerkungen: Die Zahl f er notwenigen Koorinaten heißt Dimension von M. ( ) q1 kartesische Koorinaten r = leisten as Gewünschte, häufig sin aber krummlinige Koorinaten viel nützlicher als q f kartesische.

33 3.3. MATHEMATISCHER EINSCHUB 33 Definition: Eine Karte ist eine offene Menge U R f mit en Koorinaten (q 1,...,q f ) U zusammen mit eineutig umkehrbaren Abbilungen von U in eine Untermenge f(u) M. f : U f(u) M; r i = f i (q 1,...,q f ) für i = 1... f. Was wir hier unter Karten verstehen, kann man vergleichen mit Lankarten ie jeen Punkt einer geographischen Region genau beschreiben. Beispiel: Wir betrachten wieer ie Einheitssphäre M = S (2) in R 3 : S (2) = x 2 + y 2 + z 2 = 1. Damit folgt f = 2. Zunächst wollen wir ieses Problem in kartesischen Koorinaten behaneln: Mit er Abbilung in ie Kugel: (q 1,q 2 ) U x = q 1, y = q 2, z = 1 q 2 1 q 2 2 Nun behaneln wir as selbe Problem in Polarkoorinaten. Es gilt also für ie Abbilung 3.14: Einheitssphäre in Polarkoor. Koorinaten (s. Abbilung 3.14): Bemerkung: π < ϕ < π 0 < ϑ < π x = cos ϕ sin ϑ y = sin ϕ sin ϑ z = cos ϑ Die Lösung von Lagrange zum Problem as in er Motivation gestellt wure liefert, ass wir nur in U ifferenzieren müssen un nicht im Konfigurationsraum M. Für ie Geschwinigkeit benötigen wir nur ϕ(t) un ϑ(t). Da U eine offene Menge un einfache flache Teilmenge es R f ist, können wir as un

34 34 KAPITEL 3. ANALYTISCHE MECHANIK Abbilung 3.15: Datumslinie es ist wie gewohnt. In Abbilung 3.15 betrachten wir wieer as selbe Beispiel. Hier ist f(u) nicht ie ganze Einheitssphäre, sonern nur: f(u) = S (2) {x = sin ϑ, y = 0, z = cos ϑ 0 ϑ π} Es fehlt ie sogenannte Datumslinie (bei ϕ = π) Umkehrung: In Abbilung 3.16 ist ie Umkehrung argestellt. Mathematisch erhält man sie mit Abbilung 3.16: Umkehrung folgenen Formeln: Bemerkungen: ϑ = arccos z arccot x y für y > 0 ϕ = { 0 für y = 0 arccot x y für y < 0 Eine Karte reicht nicht aus, um ie Einheitssphäre ganz arzustellen. U soll eine offene Menge sein, um infinitesimale Verschiebungen q i um jeen Punkt zuzulassen; aurch sin Ableitungen möglich. Definition:

35 3.3. MATHEMATISCHER EINSCHUB 35 Ein Atlas ist eine Sammlung von kompatiblen Karten, so ass jeer Punkt von M in minestens einer Karte argestellt weren kann. Zwei Karten U un Ū haben einen überlappenen Bilbereich in M : f(u) f(ū) = M 0. Beie Karten heißen kompatibel, wenn ie Abbilungen: Abbilung 3.17: kompatible Karten ifferenzierbar un zueinaner invers sin. f 1 f : q i = ḡ i ( q 1,..., q f ) (3.87) f 1 f : q i = g i (q 1,...,q f ) (3.88) Diese Formulierung ist viel komplizierter, als was man sich arunter vorstellen muss. Vergleichen wir hier wieer mit Lankarten, so sin ort zwei Lankarten genau ann kompatibel, wenn ie selbe Strecke auf beien Karten auch gleich lang ist, azu muss man vielleicht auf er einen von inch in Centimeter umrechnen, aber es gibt iese Umrechnungsformeln un sie sin umkehrbar Koorinatentransformationen Der Übergang q q oer q q heißt Koorinatentransformation oer auch Punkttransformation. Diese Definition er Koorinatentransformation ist viel allgemeiner gehalten als bei er Relativitätstheorie (vgl. Lorentztransformation). In er analytischen Mechanik muss nur ie Kompabilität von Koorinaten bei Koorinatentransformationen gesichert sein. Zunächst wollen wir folgenen Satz beweisen: Eine ifferenzierbare Koorinatentransformation ist lokal umkehrbar. Beweis: Eine Koorinatentransformation q i = g i (q 1,...,q f ) = g i (q) für i = 1... f ist im Punkt P ifferenzierbar, wenn ie Jacobi-Determinante J von Null verschieen ist,.h.: Det { } gi P = q j g 1 g q 1 1 q f g f q 1 P g f q f

36 36 KAPITEL 3. ANALYTISCHE MECHANIK Aus em Satz über implizite Funktionen (vgl. Mathematik) folgt ann, ass ie f Gleichungen für ie q i : F i ( q 1,..., q f,q 1,... q f ) = q i g i (q) = 0 für i = 1..f (.h. F i = 0 für i = 1..f) in einer Umgebung von P eineutig nach q i = ḡ i ( q)auflösbar sin Koorinatentransformation zur Eliminierung von Zwangsbeingungen Definition: m holonome Zwangsbeingungen (F i (q 1,...,q l,t) = 0) sin funktional unabhängig, wenn eine ifferenzierbare Koorinatentransformation: q i = f i (Q 1,...,Q F, q F +1,..., q f,t) i = 1..f existiert, so ass ie Zwangsbeingungen lauten: F i (... q i (Q, q)...) = F i (Q 1,...,Q F, q F +1,..., q f,t) (3.89) un ie Funktionaleterminante im Punkt P mit 1 i m: { } Fi Det 0 erfüllt, für F + 1 j f wobei F = f m q j Nach em Satz über über implizite Funktionen können ann ie m Zwangsbeingungen F i = 0 in er Umgebung von P eineutig aufgelöst weren nach q i = g i (Q 1,...,Q F,t) F + 1 i f un amit ist es gelungen auf M ie alten Koorinaten q urch ie neuen Q auszurücken. Wir wollen ies an einem Beispiel (s. Abbilung 3.18) veranschaulichen: Abbilung 3.18:

37 3.3. MATHEMATISCHER EINSCHUB 37 Abbilung 3.19: Penel M sei als Konfigurationsraum gegeben urch ie Zwangsbeingung: ann ist f = 2 un F = 1. F (q 1,q 2 ) = 0 Wir betrachten als Beispiel ein Penel er festen Länge l = 1, zunächst haben wir f = 2 Koorinaten (q 1 & q 2 ) mit er Zwangsbeingung: F (q, q 2 ) = q q = 0 Die Zwangsbeingung ist funktional unabhängig, also führen wir eine Koorinatentransformation in Polarkoorinaten urch: q 1 = q cos Q = f 1 ( q,q) q 2 = q sin Q = f 2 ( q,q) 0 < q, 0 < Q < 2π Die Zwangsbeingung lautet ann: { Un weil Det } F i = F q q F ( q,q) = F (f 1,f 2 ) = q 2 1 = 0 = 2 q 0, kann man also F = 0 un man kann nach q = g(q) auflösen. In iesem liegt ein Spezialfall vor,nämlich ass q = 1 = const., also unabhängig von Q ist. Fazit: Die Betrachtung er Funktionaleterminanten genügt, um ie Zwangsbeingungen urch ie Wahl geschickter Koorinaten zu eliminieren Differenzierbare Mannigfaltigkeit Definition: Eine zusammenhängene Menge ist ein f-imensionale ifferenzierbare Mannigfaltigkeit, wenn ein Atlas aus kompatiblen Karten existiert, so ass jeer Punkt von M in minestens einer Karte vorhanen ist. Bemerkungen:

38 38 KAPITEL 3. ANALYTISCHE MECHANIK Mannigfaltigkeiten sin Konzepte zur Verallgemeinerung es Raumes auf krummlinige Koorinaten. Das Problem es Differenzierens (Geschwinigkeit, Beschleunigung), welches wie wir uns erinnern as Motiv es Kapitels war, ist aurch gelöst, ass in er Karte U ifferenziert wir,.h. in er Lagrange-Dichte tauchen q 1 (t),..., q f (t) auf. Der Konfigurationsraum M eines Lagrange-Systems ist eine f-imensionale Mannigfaltigkeit. Die Einheitskugel S (2) ist beispielsweise eine zweiimensionale Mannigfaltigkeit mit en Polarkoorinaten ϑ, ϕ als Karte. (Um ie S (2) vollstänig zu beschreiben sin allerings minestens zwei Karten notwenig.) S (2) ist er Konfigurationsraum vom sphärischen Penel. Es gilt: T = m (ṙ2 + r 2 ϑ 2 + r 2 sin 2 ϑ ϕ 2) 2 mit er Zwangsbeingung: r(t) = R =const.,.h. ie Kugel an er Penelstange kann sich frei auf er Oberfläche er Kugel mit em Raius R bewegen. 3.4 Symmetrien & Erhaltungssätze Symmetrien un Erhaltungssätze sin Eigenschaften mechanischer Systeme, ie aus er Formulierung als Variationsproblem abgeleitet weren können. (analoge Ergebnisse gelten für alle Variationsprobleme) Bahneterminismus Wir erinnern uns an ie Beobachtung von Newton: Durch Anfangsorte un Anfangsgeschwinigkeiten sin ie Bahnen eineutig mit er Newton schen Bewegungsgleichung festgelegt: m v = F natürlich stellt sich nun ie Frage, ob ies auch in er Formulierung er Mechanik nach Lagrange gilt. Dazu betrachten wir ie Euler-Lagrange-Gleichungen: = 0 = t q i q i j 2 L q j + q i q j j 2 L q j + 2 L q i q j q i t (3.90) q i Wir efinieren ie sogenannte Legenre-Matrix: L ij = 2 L q i q j (3.91) Wenn ie Legenre-Matrix L invertiert weren kann (gemäß en Rechenregeln aus er Linearen Algebra beeutet ies, ass ihre Determinante von Null verschieen sein muss),

39 3.4. SYMMETRIEN & ERHALTUNGSSÄTZE 39 ann sin ie Euler-Lagrange-Gleichungen äquivalent zu folgenen Differentialgleichungen 2 ter Ornung: ( ) q j + L 1 2 L ji q k + 2 L q i q k q i t = 0 (3.92) t k Diese Gleichungen liefern nach en Sätzen über gewöhnliche Differentialgleichungen eineutige Lösungen zu en Anfangswerten: q i (t 0 ) = q 0 i & q i (t 0 ) = q 0 i für 1 i f Daraus folgt, ass es sich auch bei er Lagrange-Formulierung er Mechanik um eine eineutige eterministische Bewegung hanelt, für en Fall, ass ie Determinante er Legenre-Matrix von Null verschieen ist. Dann legen also ie Anfangswerte für Ort un Geschwinigkeit ie Bahn eineutig fest. Bemerkung: Ein Gegenbeispiel ist as Problem er kürzesten Bahn in er Ebene: L = ( ) ẋ2 ẋẏ ẋẏ ẏ 2 1 (ẋ2 + ẏ 2) 3 2 L = L ij = ẋ 2 + ẏ 2 = 2 L q i q j q q 2 2 mit Det(L ij 0). Es existziert also keine eineutige Lösung, was wir nicht erwartet haben. Über ie Geschwinigkeiten kann keine Aussage getroffen weren Kovarianz Definition: Kovariant also (form-)invariant heißen Bewegungsgleichungen, ie in beliebigen Koorinatensystemen ieselbe funktionale Form annehmen. Die Iee ist, ass ie Physik unabhängig von er Wahl es Koorinatensystems ist. Bemerkung: Die Newton sche Mechanik mit m v = F ist nur kovariant unter Galilei-Transformation, ansonsten treten Trägheitskräfte auf. Satz: Die Eigenschaft einer Kurve, eine Extremale es Wirkungsfunktionals zur Lagrangeichte zu sein, ist unabhängig von er Wahl er Koorinaten. Dieser Satz beeutet, ass ie Euler-Lagrange-Gleichungen kovariant unter beliebiger Koorinatentransformation (Punkttransformation) sin, wenn iese kompatibel ist. Die Kovarianz ist er große Vorteil er Variationsrechnung. Wir wollen im Folgenen en Satz beweisen: Die Behauptung lautet, ass aus: l l = 0 t q i q i & t Q = 0 i Q i

40 40 KAPITEL 3. ANALYTISCHE MECHANIK ie selbe Bahn folgt, wenn ie Koorinaten urch: q i = f i (Q,t) 1 i f verknüpft sin, un: ( L(Q, Q,t) = l f 1 (Q,t),...,f f (Q,t), t f 1(Q,t),..., ) t f f(q,t),t wobei l = l(q, q,t). An ieser Stelle soll ein Beispiel eingeschoben weren, um ie Beingungen zu veranschaulichen: Wir betrachten in er Ebene en Übergang von kartesischen Koorinaten zu Polarkoorinaten: l (( ) x, y (ẋ ẏ ) ),t sei: T = m 2 Dann liefert ie Stanarkoorinatentransformation: Die selbe Bahn folgt aus: un: x = r cos ϕ = f 1 (r,ϕ) (ẋ2 + ẏ 2) y = r sin ϕ = f 2 (r,ϕ) L(r,ϕ,ṙ, ϕ,t) = m ( 2 t f 1 (r(t),ϕ(t)), ) t f 2 (r(t),ϕ(t)) = m (ṙ2 + r 2 ϕ 2) 2 l x l t ẋ = 0 = l y l t ẏ r t ṙ = 0 = ϕ t ϕ Nach iesem Beispiel fahren wir nun fort mit em Beweis: Wir stellen folgene Vorüberlegungen an: t q i = q i = f i t + k f i Q k Q k a Q j nur explizit auftaucht. q i Q j = f i Q j = q i Q j q j Q j = 2 f i r Q j + k 2 f i Q j Q k Q k

41 3.4. SYMMETRIEN & ERHALTUNGSSÄTZE 41 Damit folgt für t Q j Q j = 0: = l q i + l q i Q j q i i Q j q i i Q j Q = l q i j q i i Q = l q i j q i i Q j t Q = ( ) l qi + ( ) l qi j t q i i Q j q i i t Q j Die letzten rei Formeln liefern: t Q = ( l l ) qi + ( l q i q ) i j Q j t q i i q i Q j q i i t Q j Q j un weil nun: q i = 2 f i t Q j Q j t + 2 f i Q k = q i Q j Q k Q j k folgt: t Q ( l = l ) qi j Q j t q i q i Q j Somit ist bewiesen, ass ie Euler-Lagrange-Gleichungen für ie Q-Koorinaten gelten, weil sie für ie q-koorinaten gelten Kovarianz unter holonomen Zwangsbeingungen In wure behauptet, ass as Lagrange-System L(q 1,...,q f, q 1,..., q f,t) mit m Zwangsbeingungen F i (q 1,...,q f ) gelöst wir urch L (Q, Q, t) in er F =f-m imensionalen Mannigfaltigkeit M (Beispiel: Perle auf Ring mit em Winkel Q). In wuren Koorinaten gefunen, so ass innerhalb von M gilt: q i = f i (Q 1,...,Q F,q F 1,...,q f ) 1 i f (3.93) un alle q i urch ie Q bestimmt sin ( beispiel Penel: r = 1): q i = g i (Q 1,...,Q F ) F + 1 i f (3.94) Bei er Berechung er Bahn in er Variationsrechnung können also nur ie Q i,...,q F verwenet weren, währen ie q F +1,..., q f aus Q folgen un ihre Werte q = g (q) annehmen. Die Variation er Wirkung unter Q i (t) Q i (t,ε) = Q i (t) + ε δq i (t) Vergleichsbahnen lautet: S t+ ε ε=0 = 0 = t t ( ) F Q j t Q δq j + j j=1 f j=f +1 ( q j t ) q j δq j }{{} =0 (3.95) Der letzte Faktor ist 0, a ie q urch ie Q festgelegt sin. Also können ie Euler- Lagrange-Gleichungen nur für ie Q j gefolgert weren. Zu beachten ist, ass ie δq i beliebige Funktionen arstellen bis auf Anfangs- un Enpunkte, für ie gilt: δq i (t ± ) = 0

42 42 KAPITEL 3. ANALYTISCHE MECHANIK Eichinvarianz Die Iee ist: Beim Variationsprinzip weren Integrale miteinaner verglichen. Das heißt aber nicht, ass ie Integranen auch gleich sein müssen. Satz: Mit einer beliebigen Funktion χ = χ(q,t), ie nicht von q abhängt, ergeben L un ˆL = L + χ(q,t) ie selben extremalen Bahnen. t Beweis: Der Wert er Wirkung Ŝ lautet ann: Ŝ = t+ t t ˆL = t+ t t L + t+ t t χ t = S + χ (q(t +), t + ) χ (q(t ), t ) }{{} konstant (3.96) Die hinteren Terme bilen eine Konstante, a beim Vergleich er Bahnen alle urch ie Anfangs- un Enpunkte gehen. Diese Konstante beeinflusst ie Bahn also nicht. Das erklärt as Verhalten von L bei Eichtransformation er elektromagnetischen Potentiale φ un A in Das Noether-Theorem Das Noether-Theorem beschreibt en Zusammenhang zwischen Symmetrien er Lagrangeichte L un Erhaltungsgrößen (A) Erinnerung: Autonome Systeme Wenn ie Lagrangeichte ein autonomes System beschreibt, also wenn gilt t ist ie Hamiltonfunktion konstant: = 0, ann H = q ṗ L = konst. t H = H t = t = 0 (3.97) Dies beeutet, ass as System zeitlich homogen ist. Ob wir ie Bewegung bei t 0 starten oer bei t 0 + t oer erst übermorgen ist belanglos un macht keinen Unterschie. Bemerkungen: Häufig ist H = T + U = E ie Gesamtenergie. Dann spricht man von Energieerhaltung. Im Falle rheonomer Zwangsbeingungen, ie aber ein autonomes L liefern, ist H = konst. Gesamtenergie, weil ie Zwangskräfte Arbeit leisten (siehe Perle auf rehenem Ring). Das ergibt sich aus em Vergleich von H = T + U un L. Q Q (B) Erinnerung: Zyklische Variable Zu einer zyklischen Variablen q i (.h. q i taucht nicht in L auf, q i Erhaltungsgröße, er zugehörige kanonische Impuls: = 0) gehört eine p i = q i = konst. (3.98)

43 3.4. SYMMETRIEN & ERHALTUNGSSÄTZE 43 Abbilung 3.20: Potential unabhängig von y Beispiel : L(x,y,ẋ,ẏ) = m 2 (ẋ2 + ẏ 2 ) U, sei z.b. U(x) = k 2 x2 mit y = 0: p y = ẏ = mẏ = konst. (3.99) Der Impuls in y-richtung ist konstant. Das Potential U (un amit L) ist invariant (symmetrisch) unter Verschiebung entlang er y-achse,.h. unter er Abbilung y y + α. U(x) y = U(x) y =y+α (3.100) Die Iee stammt von Emmy Noether aus em Jahr 1918: Wenn ein System invariant/symmetrisch ist unter kontinuierlicher Verschiebung/Abbilung, ann gibt es eine Erhaltungsgröße. (C) Noether-Theorem Wenn ie Lagrangeichte L (q, q, t) unter einer kontinuierlichen Abbilung h α es Konfigurationsraumes M (Verschiebung) h α : M M : ˆq i = h α i (q, t) (3.101) ie nach α stetig ifferenzierbar sei, für α = 0 ie ientische Abbilung h α i (q, t) α=0 = q i sei un invertierbar ist,.h. wenn q i = ĥ (ˆq, t). Wenn also L bis auf eine Eichtransformation invariant bleibt... ) ˆL = L (ĥα (ˆq,t), ĥα (ˆq,t),t (3.102) ˆL (ˆq, ˆq, α, t) = L (q, q, t) + G (ˆq, α, t) (3.103) t... wobei ie Gleichheit ie Beingung er Symmetrie ist, ann ist folgene Funktion J konstant: J (q, q, t) = f (q, q, t) q i(ˆq, α, t) G (ˆq, α, t) α=0 α=0 = konst. (3.104) q i α α i=1

44 44 KAPITEL 3. ANALYTISCHE MECHANIK J ist eine Erhaltungsgröße, ein Integral er Bewegung. Bemerkung: Nicht verwechseln mit Kovarianz! Bei er Koorinatentransformation urch Einsetzen von ˆL (ˆq, ˆq, α, t) = L (ĥα (ˆq,t), ĥ α (ˆq,t), t) folgt ie selbe Bahn aufgrun er Kovarianz, ie Funktionen L un ˆL sin jeoch unterschielich. Beispiel: L = T in er Ebene mit L = m 2 (ẋ2 + ẏ 2 ) sieht bei Koorinatentransformation zu Polarkoorinaten eineutig aners aus: L = m 2 (ṙ2 + r 2 ϕ 2 ) (3.105) Das Noether-Theorem gilt nur für Fälle, in enen er Unterschie nur einem Term er Form t G entspricht. Beweis: Nach er Annahme gilt für alle α (allerings ist nur α = 0 benötigt): Dies ist as Gleiche wie α α (ˆL (ˆq, ˆq α, t) t G (ˆq, t, α) ) (ˆL (ˆq, ˆq, α, t) t G (ˆq, t, α) ) = α ( L (ĥα (ˆq,t), α=0 = 0 (3.106) t ĥα (ˆq,t) t) ) G (ˆq, t, α) = 0 t α=0 (3.107) Mit Einstein-Summenkonvention geschrieben sieht as folgenermaßen aus: ĥα i q i α + ĥ α i q i α Die Euler-Gleichungen bringen uns: t α G (ˆq, t, α) = 0 (3.108) α=0 = q i t un es gilt: q i (3.109) Daraus folgt: ĥ α i α = t ĥα i α (3.110) was zu beweisen war. t [ q i(ˆq,t,α) G(ˆq,t,α) ] = 0 (3.111) q i α α α=0

45 3.4. SYMMETRIEN & ERHALTUNGSSÄTZE 45 Wieerholung: Noether-Theorem L(ˆq, ˆq, t) ( ) = L(q, q, α) = ( ) (*): q = q (ˆq, t, α ) mit α : kontinuierlicher Parameter ( ) Annahme L(q, q, t) + G(q, t, α) t Bem.: 0 = α = α = ˆq EL Gl = t ( ˆL(q, q, t, α) ) t G(q, t, α) α=0 ( L(ˆq, ˆq, t) ) t G(q, t, α) α=0 ˆq α + ˆq { ˆq ˆq α t ˆq α α G(q, t, α) α G(q, t, α) } α=0 α=0 Dies ist ein konstruktiver Beweis! Er erforert eine kontinuierliche Abbilung (Parameter α). Das Noether-Theorem liefert keine Erhaltungsgrößen bei iskrete Symmetrien (z.b. Spiegelung) Symmetrie Erhaltungsgröße Umkehrung gilt nicht! (Bsp.: Runge-Lenz- Vektor beim Potential 1 -Potential)( Hamilton Mech.) r (D) Homogenität es Raums Translationsinvarianz & Impulserhaltung (beim N-Teilchen-System) Räumlich homogen beeutet, ass eine Verschiebung ˆr i = r i a ; 1 i N mit a : beliebiger Vektor as System invariant lässt.(das sin eigentlich 3 Verschiebungen mit Parametern a x, a y, a z ).h. L = = inv. = N i=1 N i=1 N i=1.h. ˆL(ˆri ) = T (ˆr i ) U(r i ) m i 2 ṙ2 i U(r 1,,r N ) m i 2 ˆr 2 i U(r 1 + a,,r N + a) m i 2 ˆr 2 i U(r 1,,r N )