TU Dortmund. Fakultät Maschinenbau Institut für Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler. Frühjahr 2016

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1 Frühjahr 2016

2 Frühjahr 2016 Aufgabe 1 (Seite 1 von 3) a) Das rechts dargestete System wird durch eine inear veraufende Streckenast (Maximawert q 0 ) beastet. Der Baken weist die Biegesteifigkeit EI und die Pendestütze die Dehnsteifigkeit EA auf. Die genauen Abmessungen sowie die zu verwendenen okaen Koordinatensysteme sind der Abbidung zu entnehmen. x 1 x 2 x 3 z 1 z 2 α q 0 Geben Sie die kinematischen (geometrischen) Rand- und Übergangsbedingungen an, die zur voständigen Bestimmung der Biegeinie w(x 1 ) für 0 x 1 sowie w(x 2 ) für 0 x 2 des horizontaen Bakens erforderich sind. (2,5 Punkte) b) Für das in der nebenstehenden Abbidung gegebene System sind die Aufagerreaktionen entsprechend der positiven Koordinatenrichtungen durch M (A) y 1 = q 0a 2 3, B z2 = q 0a 2 vorgegeben. Der Baken weist die Biegesteifigkeit EI auf, die genauen Abmessungen sowie die zu verwendenden okaen Koordinatensysteme sind der Abbidung zu entnehmen. a I II A B x 1 x 2 z 1 z 2 q 0

3 Frühjahr 2016 Aufgabe 1 (Seite 2 von 3) Bestimmen Sie die Biegeinien w I (x 1 ) für 0 x 1 sowie w II (x 2 ) für 0 x 2 a ohne Berechnung der auftretenden Konstanten. (3,0 Punkte) w I (x 1 ) = w II (x 2 ) = Geben Sie sämtiche Rand- und Übergangsbedingungen an, die zur Berechnung der oben eingeführten Konstanten benötigt werden. (1,0 Punkte) Berechnen Sie abschießend die Werte der oben eingeführten Konstanten. (1,0 Punkte) Hinweis: Soten im vorherigen Kästchen keine Randbedingungen genannt sein, wird dieses Kästchen mit Nu Punkten bewertet.

4 Frühjahr 2016 Aufgabe 1 (Seite 3 von 3) c) Für das nun nebenstehend vorgegebene System ist die Biegeinie des zweiten Abschnitts aufgrund der gezeigten Momenten-Beastung durch w II (x) = 1 EI [ M ξx M ξ 2 ] vorgegeben. Die genauen Abmessungen sind der Abbidung zu entnehmen. I A x z ξ B M II C a D t Bestimmen Sie ausgehend von diesen Angaben die vertikae Verschiebung des Punktes D in Abhängigkeit der gegebenen Größen. (1,0 Punkte) w D = Berechnen Sie die Lösungen für den Abstand ξ des Punktes B (Position des Losagers und Momentenangriffspunkt) reativ zu Punkt A derart, dass das Ende des angeschweißten Stabes in Punkt D gerade den Boden berührt. (1,5 Punkte)

5 Frühjahr 2016 Aufgabe 2 (Seite 1 von 3) a) Gegeben ist das fogende Profi mit den Abmessungen h und b sowie der Profidicke t, für die t h und t b git. b/2 b Berechnen Sie sämtiche für die y, z Ebene reevanten Fächenträgheitsmomente bezügich des Schwerpunktkoordinatensystems. Fassen Sie die einzenen Terme nicht zusammen. (3,0 Punkte) h t y z S t t h

6 Frühjahr 2016 Aufgabe 2 (Seite 2 von 3) b) Das unten rechts gezeigte System besteht aus einem einseitig eingespannten Baken, wecher das im Schnitt A A (inks) dargestete Profi aufweist. Der Baken ist wie dargestet geagert und wird durch die Kräfte F und 2 F beastet, deren genaue Angriffspunkte ebenfas dem Schnitt A A zu entnehmen sind. Die Fächenträgheitsmomente I y, I z und I yz auten bezügich des vorgegebenen Koordinatensystems I y = b3 t, I z = 5 12 b3 t, I yz = 2 9 b3 t. F Schnitt A A 2/3b 2F t t F A y z t 2/3b 2F z x b b/2 A Geben Sie die Funktion der Normaspannung σ xx (x,y,z) für das gegebene Koordinatensystem an. Nutzen Sie das Kästchen für mögiche Zwischenschritte. (3,0 Punkte)

7 Frühjahr 2016 Aufgabe 2 (Seite 3 von 3) Geben Sie die Koordinaten r P = x P e x + y P e y + z P e z des Punktes P an, wecher die betragsmäßig größte Spannung aufweist. (1,0 Punkt) r P = e x + e y + e z c) Der nebenstehend dargestete Baken weist einen quadratischen Querschnitt auf (Kantenänge b) und ist wie dargestet geagert und beastet. Die Biegesteifigkeit ist mit EI gegeben. Die Biegeinien in den Bereichen I und II auten bezügich des vorgegebenen Koordinatensystems A z x I II q 0 B w I (x) = 1 EI w II (x) = 1 EI [ 7q x2 23q x3 ], 0 x [ q0 24 x4 29q x3 + 23q 0 2 x 2 q x+ q ], < x 2 GebenSie die Normaspanungsfunktionen σxx I (x,z) des Bereiches 0 x an. Berechnen Sie zudem den Maximawert von q 0, sodass die zuässige Spannung σ zu im gesamten Bereich I nicht überschritten wird? (2,0 Punkte) σ I xx (x,z) = q max 0 = Berechnen Sie anhand der Vorgaben die Aufagerreaktion in Punkt B gemäß des vorgegebenen Koordinatensystems. (1,0 Punkte)

8 Frühjahr 2016 Aufgabe 3 (Seite 1 von 4) Gegeben ist das unten inks dargestete, statisch unbestimmte System, weches aus einem dehnstarren Baken der Biegesteifigkeit EI sowie einer Pendestütze der Dehnsteifigkeit EA besteht. A x 1 F 1 C M 0 A X x 1 F 1 C M 0 B x 2 z 1 F 2 z 2 B x 2 z 1 F 2 z 2 2 D 2 D a) Die reevanten Schnittgrößenveräufe am statisch bestimmten Ersatzsystem (rechts) sind wie fogt gegeben. Dabei steen die Größen M und S Schnittgrößen aufgrund der reaen Beastungen F 1, F 2 und M 0 dar. Die Größen M, S bezeichnen Schnittgrößen, die nur aufgrund der statisch überzähigen Lagerreaktion X as 1 -Last auftreten. Es git, dass positive Stabkräfte einer Zugbeastung entsprechen. M I (x 1 ) = 0, M I (x 1 ) = 1, M II (x 1 ) = 1 [ 2 [F x1 ] 2 M 0 ] 1, M II (x 1 ) = x 1 3, 2 M III (x 2 ) = F 2 x 2, M III (x 2 ) = 0, [ 2 S = 2F 1 +F 2 M ] 0 2, S =. 2 2 In fogender Skizze sind die Biegemomentenveräufe graphisch dargestet. F 2 M 0 F 2 1 M M

9 Frühjahr 2016 Aufgabe 3 (Seite 2 von 4) Geben Sie die Bestimmungsgeichungen für die Einfusszahen α 10 und α 11 as Summe von Integraausdrücken an. Werten Sie keine Integrae aus und verwenden Sie die agemeinen Ausdrücke für die jeweiigen Schnittgrößenfunktionen, aso z.b. M I (x 1 ) oder M I (x 1 ). Geben Sie die jeweiigen Integrationsgrenzen an. (2,0 Punkte) α 10 = α 11 = Bestimmen Sie nun konkret die Einfusszahen α 10 und α 11 durch Auswertung der Integrageichungen im vorherigen Kästchen. (2.5 Punkte) α 10 = α 11 =

10 Frühjahr 2016 Aufgabe 3 (Seite 3 von 4) b) Für das dargestete (reae) System ergeben sich für einen Speziafa fogende reevante Schnittgrößen: M I (x 1 ) = 1 2 F, MII (x 1 ) = 1 2 F x [ 2 M 0 1 x ] 1, M III (x 2 ) = F x M 0 2, S = 2 2F. 2 Berechnen Sie nun die Verdrehung ϕ C des Bakens in Punkt C in Richtung des Momentes M 0. Geben Sie dazu auch die wesentichen Rechenschritte zur Berechnung der Verdrehung ϕ C an. (4,0 Punkte)

11 Frühjahr 2016 Aufgabe 3 (Seite 4 von 4) c) Der Stab (Eastizitätsmodu E, maxima zuässige Spannung σ zu ) sei nun as Druckstab mit der nicht näher spezifizierten Stabkraft S beastet. Ferner weist er einen kreisrunden Querschnitt mit Radius r auf. Geben Sie die Bedingung für das Verhätnis r/ as Funktion von E und σ zu an, sodass Knickung NICHT das entscheidende Versagenskriterium ist. (1.5 Punkte) r =

12 Herbst 2015

13 Herbst 2015 Aufgabe 1 (Seite 1 von 2) a) Der wie dargestet geagerte Baken wird durch eine inear veraufende Streckenast (Maximawert q 0 ) sowie durch eine Einzekraft F beastet. Die Abmessungen sind der Zeichnung zu entnehmen. x q 0 F 2 2 Geben Sie die kinematischen (geometrischen) Rand- und Übergangsbedingungen an, die zur voständigen Bestimmung der Biegeinie w(x) erforderich sind. Geben Sie dabei eindeutige Zuweisungen hinsichtich der jeweiigen Bereiche unter Verwendung der vorgegebenen x-koordinate an. (3,0 Punkte) b) Für das nun gegebene System sind die Aufagerreaktionen gemäß des vorgegebenen x, ỹ- Koordinatensystems durch ỹ M A = q 0 2 6, Bỹ = q 0 2 x q 0 vorgegeben. Der Baken weist die Biegesteifigkeit EI auf. A x 1 x 2 B

14 Herbst 2015 Aufgabe 1 (Seite 2 von 2) Bestimmen Sie die Biegeinie w I (x 1 ) für 0 x 1 sowie w II (x 2 ) für 0 x 2 ohne Berechnung der auftretenden Konstanten. (3,0 Punkte) w I (x 1 ) = w II (x 2 ) = Geben Sie sämtiche kinematischen (geometrischen) Rand- und Übergangsbedingungen an, die zur Berechnung der oben aufgeführten Konstanten benötigt werden. (1,0 Punkte) Berechnen Sie abschießend die Werte der oben aufgeführten Konstanten. (3,0 Punkte)

15 Herbst 2015 Aufgabe 2 (Seite 1 von 3) a) Gegeben ist das fogende U-Profi mit den Abmessungen a und b sowie der Profidicke t. Die Lage des Profi-Schwerpunkts ist durch den Abstand z S vorgegeben. Die Profidicke t ist hier nicht zu vernachässigen. Berechnen Sie das Fächenträgheitsmoment I y bezügich des gegebenen Schwerpunktskoordinatensystems. Fassen Sie die einzenen Terme nicht zusammen. (1,5 Punkte) b z S y t z a S t t b I y = b) Ein einseitig eingespannter Baken (siehe nächste Seite) der Länge wird wie im inken Bid dargestet durch eine konstante Streckenast q 0 beastet. Der Baken weist den rechts im Schnitt A A gezeigten Querschnitt auf, wobei t b git. Die Lage des Schwerpunktes ist durch y s = 2/3b, z s = b/6, die Fächenträgheitsmomente bezügich des gegebenen Schwerpunktkoordinatensystems durch I y = 1 4 b3 t, I z = 4 3 b3 t vorgegeben.

16 Herbst 2015 Aufgabe 2 (Seite 2 von 3) x A Schnitt A A 2b t z S y S y S b z A q 0 z t Bestimmen Sie den Verauf der Normaspannung σ xx (y,z) an der Stee x = bezügich der vorgegebenen Beastung q 0 und des vorgegebenen Koordinatensystems. Nutzen Sie das Kästchen aus, um ebenfas notwendige Zwischenschritte anzugeben. (3,0 Punkte)

17 Herbst 2015 Aufgabe 2 (Seite 3 von 3) Geben Sie die Lage der neutraen Faser/Nuinie as Funktion z(y) an. (1,0 Punkte) z(y) = An wecher Stee P(x, y, z) des Bakens befindet sich die betragsmäßig größte Spannung σ xx,max? Wechen Wert hat σ xx,max an dieser Stee P? (1,5 Punkte) P = σ xx,max = Wie groß darf q 0 höchstens sein, damit σ xx,max den zuässigen Spannungswert σ zu nicht überschreitet? (1,0 Punkte) q 0,max = c) In einer handesübichen, zyindrischen Getränkedose (Radius r, Länge, Wandstärke t r) herrsche der Innen-Überdruck p. Wie groß darf p maxima sein, damit die zuässige Schubspannung τ zu nicht überschritten wird? (2,0 Punkte) p max =

18 Herbst 2015 Aufgabe 3 (Seite 1 von 3) a) Gegeben sei das nebenstehende System bestehend aus einem Biegebaken (Biegesteifigkeit EI) und einem Dehnstab (Dehnsteifigkeit EA, Wärmeausdehnungskoeffizient α). Der Baken wird durch eine Einzekraft F beastet. Die Abmessungen sind der Zeichnung zu entnehmen. EI a F a EA,α b Die okaen Koordinatensysteme und Lagerreaktionen sind im nebenstehenden Freikörperbid dargestet. Die Funktionen der Biegemomente und der Normakräfte ergeben sich in Abhängigkeit von x 1 und x 2 zu Freikörperbid: F 2 x 1 F z 2 z 1 x 2 0 < x 1 < a : M F (x 1 ) = F 2 x 1, N F (x 1 ) = 0 M F (x i ) F 2 a < x 1 < 2a : M F (x 1 ) = F 2 x 1 +Fa, N F (x 1 ) = 0 0 < x 2 < b : N F (x i ) Fa 2 F 2 M F (x 2 ) = 0, N F (x 1 ) = F 2. Berechnen Sie die Verschiebung des Bakens ander Kraftangriffsstee(x 1 =a) in Richtung der Kraft F. (2,5 Punkte) Hinweis: Die einzenen Terme müssen nicht zusammengefasst werden.

19 Herbst 2015 Aufgabe 3 (Seite 2 von 3) Wie groß sind der absoute und der reative Feher in Abhängigkeit der Größen a und b bei der Berechnung der Verschiebung aufgrund der Kraft F bei x 1 =a, fas der rechte Stab as dehnstarr betrachtet wird? Baken und Stab haben beide einen kreisrunden Querschnitt mit den Radien r B =a/10 (Baken) und r S =a/20 (Stab). (2,0 Punkte) Der rechte Stab so nun über seine gesamte Länge geichmäßig erwärmt werden. Bestimmen Sie die Temperaturerhöhung T, bei der der Stab im beasteten Zustand(Einzekraft F bei x 1 =a) die Länge b aufweist. (1,0 Punkte) b) Das nebenstehende statisch unbestimmt geagerte und dehnstarre Bakensystem (Biegesteifigkeit EI) wird durch eine Einzekraft F beastet. Die Abmessungen sind der Zeichnung zu entnehmen. EI F a a a

20 Herbst 2015 Aufgabe 3 (Seite 3 von 3) Geben Sie zunächst ein statisch bestimmtes Ersatzsystem an, bei dem die statisch Unbekannte durch die Kraftgröße X ersetzt wird. (1,0 Punkte) F x 2 x 1 z 1 z 2 In einem zweiten Schritt soen die Biegemomente aufgrund der Last F ( 0 -System) und der Unbekannten X ( 1 -System) bestimmt werden. Zeichnen Sie die Biegemomentenveräufe unter Angabe von Werten an markanten Steen. (2,0 Punkte) 0 1 F Berechnen Sie abschießend den Wert für die statisch überzähige Kraftgröße X. (1,5 Punkte) X =

21 Frühjahr 2015

22 Frühjahr 2015 Aufgabe 1 (Seite 1 von 3) a) Das dargestete System besteht aus einem starren Baken der Länge 2, wecher mit einer konstanten Fächenast q 0 beaufschagt ist. Das rechte Ende des Bakens ist in Punkt D durch ein Losager gehaten, das inke Ende ruht wie dargestet auf dem Knoten C eines Fachwerks bestehend aus den Stäben 1, 2 und 3, weches in den Punkten A und B geagert ist. Sämtiche Fachwerkstäbe weisen die Dehnsteifigkeit EA auf. B A 3 y x 1 2 C q 0 2 D Berechnen Sie die Kräfte in den Stäben 1 und 2 unter der Voraussetzung, dass Zugkräfte positiv sind. (1,0 Punkte) S 1 = S 2 = Bestimmen Sie die Längenänderung der Stäbe 1 und 2. (1,0 Punkte) 1 = 2 = Bestimmen Sie die Komponenten der vektorieen Verschiebung u c = ue x + ve y des Punktes C. (2,0 Punkte) u = v =

23 Frühjahr 2015 Aufgabe 1 (Seite 2 von 3) b) Gegeben sei nun das nebenstehend abgebidete System bestehend aus einem mit einer Fächenast q(x) beaufschagten Biegebaken, wecher in Punkt A durch eine Schiebehüse und in Punkt B mittes eines Festagers gehaten wird. Der Baken weist die Biegesteifigkeit EI auf und ist as dehnstarr anzunehmen. Die Funktion der Fächenast ist durch q(x) = q 0 [ x +1 ] A x q(x) B vorgegeben, die zugehörige Funktion des Biegemoments autet [ q0 M(x) = 6 x3 + q 0 2 x2 2 ] 3 q 0 2. Nennen Sie ae kinematischen Randbedingungen, denen der Baken unteriegt. (1,0 Punkte) Bestimmen Sie die Biegeinie w(x) zunächst mit Angabe aber ohne Berechnung der Integrationskonstanten. (2,0 Punkte)

24 Frühjahr 2015 Aufgabe 1 (Seite 3 von 3) Berechnen Sie nun die Integrationskonstanten zur eindeutigen Bestimmung der Biegeinie des Systems. (2,0 Punkte) Weisen Sie durch Rechnung nach, dass der Zusammenhang zwischen M(x) und q(x) für die angegebenen Funktionen gütig ist. Tragen Sie dazu die wesentichen Schritte der Rechnung in das nachfogende Kästchen ein. (1,0 Punkte)

25 Frühjahr 2015 Aufgabe 2 (Seite 1 von 3) a) Gegeben ist der unten dargestete, symmetrische Querschnitt eines Hohkastenprofis mit den angegebenen Abmessungen. Die Lage des Gesamtschwerpunktes S ist durch die Abmessungen z 1 und z 2 vorgegeben (Punkt S ist nicht maßstäbich eingetragen). Die strichpunktierten Linien steen Hifsinien dar, weche die Lösung der nachfogenden Aufgabe ereichtern soen. 9a 9/2a a 2a y S z a/2 z 1 z 2 a a a a a a BerechnenSiedasFächenträgheitsmomentI y bezügichdesangegebenenx,y-schwerpunkt- Koordinatensystems. Fassen Sie dazu die reevanten Terme nicht zusammen, sondern nennen Sie jeden Summanden einzen. (3,0 Punkte) I y =

26 Frühjahr 2015 Aufgabe 2 (Seite 2 von 3) b) Gegeben ist nun der unten abgebidete, symmetrische Querschnitt eines Bakens. Die Fächenträgheitsmomente sind durch I y = 19 4 a4, I z = a4 bezügich des angegebenen Schwerpunkt-Koordinatensystems vorgegeben. a y S z a a a 3a a Der dargestete Querschnitt ist durch eine Normakraft N sowie Biegemomente M y und M z beansprucht. Es geten dabei fogende Zusammenhänge: N A = 2 107a 3 M z, M y = 38 M z 107 Geben Sie die neutrae Faser as Funktion y NF (z) an und zeichnen Sie diese maßstäbich in obige Skizze ein. (2,0 Punkte) y NF (z) = Markieren Sie ebenfas in obiger Skizze den Punkt P des Querschnitts, wecher die maximae Beanspruchunug durch Normaspannung erfährt. Berechnen Sie zudem die dort vorhandene Spannung σ P in Abhängigkeit der Größen M z und a. (2,0 Punkte) σ P =

27 Frühjahr 2015 Aufgabe 2 (Seite 3 von 3) c) Gegeben ist das unten dargestete und aus den Stäben 1 bis 3 bestehende Fachwerk, weches durch eine Einzekraft F = 150 kn beastet wird. Sämtiche Stäbe weisen kreisrunde Querschnitte mit den jeweiigen Radien r 1, r 2 und r 3 auf. y A x F 3 60 B Die Stabkräfte sind bereits zu S 1 = 3F, S 2 = F, S 3 = F bestimmt worden. Die maxima zuässige Spannung σ zu des Materias aer drei Stäbe weist im Zugbereich 250 MN/m 2 und im Druckbereich 150 MN/m 2 auf. Berechnen Sie die Radien r 1, r 2 und r 3 der Stäbe derart, dass die jeweis vorhandene Spannung exakt dem jeweis zuässigen Wert entspricht. Geben Sie die Ergebnisse in der Einheit Meter (m) as Dezimazah mit vier Nachkommasteen an. (3,0 Punkte) r 1 = r 2 = r 3 =

28 Frühjahr 2015 Aufgabe 3 (Seite 1 von 4) a) Gegeben ist der unten inks dargestete abknickende und as dehnstarr anzusehende Baken (Biegesteifigkeit EI), wecher in Punkt A eingespannt ist. Der horizonta veraufende Tei des Bakens wird durch eine konstante Streckenast der Größeq 0 beansprucht. Zusätzich wird der Baken durch zwei Stäbe (Dehnsteifigkeit EA) gehaten, weche die Punkte B und E bzw. D und E verbinden. q 0 q 0 D y B C x 2 D C z 2 y x 2 z 2 B x E z 1 x 1 A x E x 1 z 1 A X Die reevanten Schnittgrößen-Veräufe am statisch bestimmten Ersatzsystem (rechts) sind wie fogt gegeben, wobei die Größen M und S die Schnittgrößen nur infoge der reaen Beastung q 0 und die Größen M, S die Schnittgrößen nur infoge der statisch überzähigen Kraft X darsteen. Es git, dass positive Stabkräfte einer Zugbeastung entsprechen. [ M I (x 1 ) = q 0 x 1, MI (x 1 ) = X 1 x ] 1 M II (x 2 ) = q q 0x q 0x 2 2, MII (x 2 ) = 0 S 1 = 1 2 q 0, S1 = 0, S 2 = 3 2 q 0, S2 = 2 X

29 Frühjahr 2015 Aufgabe 3 (Seite 2 von 4) Die Veräufe der Biegemomente sind des Weiteren in fogender Skizze grafisch dargestet. q 0 2 1/8q 0 2 q 0 2 M M X Geben Sie je nach der von Ihnen gewähten Methode die Bestimmungsgeichung für die statisch überzähige Kraftgröße X in agemeiner Form as Summe von Integraausdrücken an. Werten Sie keine Integrae aus und verwenden Sie die agemeinen Ausdrücke für die jeweiigen Schnittgrößenfunktionen, aso z.b. M I (x 1 ), MI (x 1 ). Geben Sie die jeweiigen Integrationsgrenzen an. (2,0 Punkte)

30 Frühjahr 2015 Aufgabe 3 (Seite 3 von 4) Berechnen Sie nun konkret das Aufagermoment X. Nennen Sie dazu auch reevante Zwischenschritte Ihrer Rechnung in nachfogendem Kästchen. (4,0 Punkte)

31 Frühjahr 2015 Aufgabe 3 (Seite 4 von 4) b) F Für das rechts dargestete System, weches aus einem dehnstarren Baken der Biegesteifigkeit EI besteht, wurde der Verauf des Biegemomentes zu F x,für 0 x < /2 M(x) = F 8 [7+6x]+ M 0 [7 6x/],für /2 x < 3/2 4 M 0 x z B /2 bestimmt. A Berechnen Sie die Verdrehung ϕ B des Bakens an der Stee x = (in Punkt B). Tragen Sie auch hierzu reevante Zwischenschritte Ihrer Rechnung in das nachfogende Kästchen ein. (4,0 Punkte)

32 Herbst 2014

33 Herbst 2014 Aufgabe 1 (Seite 1 von 3) a) Der dargestete, in A und C geagerte Baken wird durch eine Streckenast q 0 sowie eine Einzekraft F beastet. Im Punkt B befindet sich ein Vogeenk. q 0 F A z x I B II C III Geben Sie die kinematischen (geometrischen) Rand- und Übergangsbedingungen an, die zur voständigen Bestimmung der Biegeinie w(x) erforderich sind. Geben Sie dabei eindeutige Zuweisungen hinsichtich der jeweiigen Bereiche I, II und III unter Verwendung des vorgegebenen Koordinatensystems an. (3,0 Punkte)

34 Herbst 2014 Aufgabe 1 (Seite 2 von 3) b) Für das nun gegebene System sind die Aufagerreaktion gemäß der angegebenen x- und z-koordinate durch A x = 0, A z = q 0 24, B z = 5q 0 24 vorgegeben. Der Baken weist die Biegesteifigkeit EI auf. A z 1 x 1 I z 2 x 2 /2 /2 II q 0 B Bestimmen Sie die Funktionen des Biegemomentes M I (x 1 ) für 0 x 1 /2 sowie M II (x 2 ) für 0 x 2 /2. (2,0 Punkte) M I (x 1 ) = M II (x 2 ) = Geben Sie die sowoh die Verdrehung des Bakens w II (x 2) as auch die Biegeinie w II (x 2 ) für den Bereich II (0 x 2 /2) ohne Berechnung der Integrationskonstanten an. (2,0 Punkte) w II (x 2 ) = w II (x 2) =

35 Herbst 2014 Aufgabe 1 (Seite 3 von 3) c) Der dargestete, inksseitig eingespannte Baken (Biegesteifigkeit EI) wird durch ein inienhaft verteites Moment m beastet. Das Biegemoment ergibt sich bei dieser Beastung zu M(x) = m( x). m A z x B Berechnen Sie sowoh die Verdrehung des Bakens w (x) as auch die Biegeinie w(x) für das System inkusive der Bestimmung aer Integrationskonstanten. (2,0 Punkte) w (x) = w(x) = Bestimmen Sie die Durchbiegung w B und die Verdrehung w B Punkte) des Bakenendes B. (1,0 w B = w B =

36 Herbst 2014 Aufgabe 2 (Seite 1 von 2) Die Koordinaten des Schwerpunkts S für dünnwandige(t a,b,c)profiemitdenabmessungen a, b und c berechnen sich agemein zu a y S y S = a2 +c 2 2[a+b+c] sowie z S z S = b[b 2 +c] a+b+c. y z S t b c a) Berechnen Sie für den spezieen Fa b = c = 2a zunächst die resutierenden Schwerpunktkoordinaten in Abhängigkeit der Länge a. (1,0 Punkte) y S = z S = Berechnen Sie für die Abmessungen b = c = 2a die auf das angegebene Schwerpunkt- KoordinatensystembezogenenFächenträgheitsmomenteI y undi z desprofisasfunktion von a und t. Nennen Sie dabei die nicht zu vernachässigenden Eigenträgheitsmomente und Steiner-Anteie as getrennte Summanden ohne diese zusammenzufassen. (3,0 Punkte) I y = I z =

37 Herbst 2014 Aufgabe 2 (Seite 2 von 2) b) Die Maße des Querschnitts werden nun auf a = c = b geändert. Damit ergeben sich die 2 Schwerpunktkoordinaten sowie die Fächenträgheitsmomente zu a y S y S = a 4 z S = a I y = 8 3 a3 t I z = 5 12 a3 t. Die Verhätnisse der in diesem Querschnitt wirkenden Schnittgrößen sind zu N = 36 M z 5a und M y M z = 32 5 y z S t z S b vorgegeben. Bestimmen Sie die Funktion der neutraen Faser y NF (z) (2,0 Punkte), tragen Sie diese maßstäbich in den obigen Profiquerschnitt ein (1,0 Punkte) und bestimmen Sie den Ortsvektor r max = y e y +z e z des Punktes der betragsgrößten Normaspannung im gegebenen Koordinatensystem. (1,0 Punkte) y NF (z) =, r max = e y + e z c) Für das Bakenprofi aus Aufgabentei b) sind nun die Schnittgrößen durch N = 8F, M y = 2F a und M z = 5F a vorgegeben.berechnensiedienormaspannungσ xx inderunterenrechteneckedesprofis (2,0 Punkte). σ xx =

38 Herbst 2014 Aufgabe 3 (Seite 1 von 3) a) Ein Rahmen ist im Punkt A wie dargestet geagert und wird darüber hinaus durch zwei Stäbe gestützt. Der waagerechte Rahmenabschnitt wird mit einer Kraft F beastet. Der Winke α beträgt π/4. Der Rahmen weist die Biegesteifigkeit EI auf und ist as dehnstarr (EA ) anzusehen, während die Stäbe die Dehnsteifigkeit EA besitzen. Für dieses System so mit Hife von Energiemethoden die horizontae Komponente der x 2 Aufagerkraft im Punkt A ermittet werden, die positiv in x Richtung angenommen y z 2 F /2 wird. x Die Veräufe der Schnittgrößen, die jeweis aein aus der Kraft F bzw. der statisch Überzähigen X resutieren, sind wie fogt gegeben. z1 x1 A EI α 2 x 4 EA B 1 x3 0 0 M F (x i ) : 0 0 F/2 F /4 M X (x i ) : X X X 0 N F (x 3 ) : N X (x 3 ) : F/2 0 X 2X N F (x 4 ) : 0 N X (x 4 ) : 2X

39 Herbst 2014 Aufgabe 3 (Seite 2 von 3) Geben Sie die im System gespeicherte Gesamtenergie Π as Summe einzener (nicht zu vernachässigender) Integrae unter Angabe der jeweiigen Integrationsgrenzen und Verwendung der zuvor angegebenen Schnittgrößenfunktionen (z.b. M F (x i )) an. (3,0 Punkte) Π = Berechnen Sie nun konkret die unbekannte Lagerkraft X. Geben Sie hierbei sowoh das Ergebnis as auch die wesentichen Zwischenschritte auf der nächsten Seite an und berücksichtigen Sie, dass das Verhätnis zwischen der Biege- und Dehnsteifigkeit der einzenen Strukturen zu EA EI = 2 2 gegeben ist. (5,0 Punkte) b) Nehmen Sie nun an, dass Stab 2 einen kreisrunden Querschnitt (Radius r) aufweist und die Stabkraft S 2 > 0 bekannt ist. Geben Sie zunächst agemein die Bedingung für r an, so dass die maxima zuässige Spannung σ zu des Materias nicht überschritten wird. (1,0 Punkte) r Spezifizieren Sie das obere Ergebnis für die nun gegebenen Zahenwerte S 2 = 100 kn und σ zu = 650 MPa. Geben Sie genau 3 reevante Nachkommasteen an. (1,0 Punkte) r

40 Herbst 2014 Aufgabe 3 (Seite 3 von 3) Lösung zu Aufgabentei a):

41 Frühjahr 2014

42 Frühjahr 2014 Aufgabe 1 (Seite 1 von 3) a) Das dargestete Bakensystem (Biegesteifigkeit E I) ist in Punkt A mit einem Festager verknüpft und in Punkt C fest eingespannt. Die beiden Teisysteme sind in Punkt B geenkig miteinander verbunden. Zudem greift in Punkt B eine Einzekraft F in vertikae Richtung an. Die axiae Verformung der Baken sei im Fogenden vernachässigbar (dehnstarr EA ). z 1 x 1 A F B C x 2 z 2 2 Geben Sie sämtiche kinematische (geometrische) Rand- und Übergangsbedingungen an, die zur voständigen Bestimmung der Biegeinie w(x i ) erforderich sind. Tragen Sie zur eindeutigen Indizierung die Biegeinienbereiche in obige Skizze ein und verweisen Sie eindeutig auf diese. Verdeutichen Sie zudem, auf weches Koordinatensystem sich Ihre Angaben beziehen. (3,5 Punkte)

43 Frühjahr 2014 Aufgabe 1 (Seite 2 von 3) b) Der dargestete, inksseitig eingespannte Baken (Biegesteifigkeit E I) wird mit der inear veränderichen Streckenast q(x) = q 0 [2 x/] beastet. Das Biegemoment ergibt sich bei voriegender Beastung zu [ x 3 M(x) = q 0 6 x2 + 3x ] q 0 z x q 0 BerechnenSiesowohdieVerdrehungdesBakensw (x)asauchdiebiegeiniew(x)fürdas gegebene System inkusive der Bestimmung aer Integrationskonstanten. (2,0 Punkte) c) Der dargestete, inksseitig eingespannte Baken (Biegesteifigkeit E I) wird mit einer konstanten Streckenast q(x) = q 0 und einer Einzekraft F beastet. Die Biegeinie w(x) ergibt sich bei voriegender Beastung zu w(x) = 1 EI [q 0 x 4 24 q 0 ] x 3 6 +q x F x3 4 6 F x2 2. q 0 z x F

44 Frühjahr 2014 Aufgabe 1 (Seite 3 von 3) Wie groß muss die Kraft F sein, damit die Verschiebung des Kraftangriffspunktes von F geich Nu ist? (1,0 Punkte) Wie groß muss die Kraft F sein, damit die Tangente der Biegeinie am Kraftangriffspunkt von F horizonta veräuft? (1,0 Punkte) Geben Sie für diese Kraft die Durchbiegung des Kraftangriffspunktes an. (1,0 Punkte) Anwecher Stee trittdiebetragsmäßiggrößtedurchbiegung fürf = q 0 auf undwechen Wert hat diese? (1,5 Punkte)

45 Frühjahr 2014 Aufgabe 2 (Seite 1 von 3) Der dargestete Querschnitt mit der einheitichen Wandstärke t a ist as dünnwandig anzunehmen. a a s 4 s 5 a/2 x a/2 y a/2 s 1 z s 3 a/2 s 2 a) Bestimmen Sie das Fächenträgheitsmoment I y des Querschnitts bezügich des eingezeichneten Schwerpunktskoordinatensystems. (1,0 Punkte) I y =

46 Frühjahr 2014 Aufgabe 2 (Seite 2 von 3) b) Bestimmen Sie das statische Moment S y (s 1 ) bezügich der Koordinate s 1 für den Teibereich 0 s 1 a/2. (1,0 Punkte) S y (s 1 ) = Bestimmen Sie das statische Moment S y (s 2 ) bezügich der Koordinate s 2 für den Teibereich 0 s 2 a. (1,0 Punkte) S y (s 2 ) = Bestimmen Sie das statische Moment S y (s 3 ) bezügich der Koordinate s 3 für den Teibereich 0 s 3 2a. (1,0 Punkte) S y (s 3 ) = Bestimmen Sie das statische Moment S y (s 4 ) bezügich der Koordinate s 4 für den Teibereich 0 s 4 a. (1,0 Punkte) S y (s 4 ) = Bestimmen Sie das statische Moment S y (s 5 ) bezügich der Koordinate s 5 für den Teibereich 0 s 5 a/2. (1,0 Punkte) S y (s 5 ) =

47 Frühjahr 2014 Aufgabe 2 (Seite 3 von 3) c) Der dargestete zur ȳ-achse symmetrische Querschnitt mit der einheitichen Wandstärke t ist as dünnwandig anzunehmen (t a). Die in z-richtung wirkende Querkraft ist gegeben as Q und das Fächenträgheitsmoment des Querschnitts bezügich des Schwerpunkts ist gegeben as I y. Das statische Moment des rechten oberen Fansches für den Teibereich 0 s 1 b/2 ist zu S y (s 1 ) = 1 2 s 1t[b s 1 ] bestimmt worden. s 1 a ȳ x b z Bestimmen Sie die aus der Schubspannung resutierende Kraft F im rechten oberen Fansch für den Teibereich 0 s 1 b/2. (2,0 Punkte) F = Geben Sie die ȳ-koordinate des Schubmittepunktes M bezügich des vorgegebenen ȳ, z- Koordinatensystems an. (2,0 Punkte) ȳ M =

48 Frühjahr 2014 Aufgabe 3 (Seite 1 von 3) a) Der dargestete Rahmen (Biegesteifigkeit EI, Dehnsteifigkeit EA ) wird bei A und B von einem Losager und bei C von einer Schiebehüse gestützt. Zwischen den Punkten B und C greift eine konstante Linienast mit dem Wert q 0 an. Die Verbindungssteen sind as biegestarr anzunehmen. Verwenden Sie die angegebenen Koordinatensysteme x 1 - z 1, x 2 -z 2 und x 3 -z 3. A I x 1 z 2 z 1 x 2 II q 0 B x 3 III C z 3 Zeichnen Sie die Freikörperbider für das 0 -System und das 1 -System unter der Voraussetzung, dass das Aufagermoment in C as statisch Überzähige X gewäht wird. (2,0 Punkte) 0 -System

49 Frühjahr 2014 Aufgabe 3 (Seite 2 von 3) 1 -System Bestimmen Sie die Momentenveräufe in den Teibereichen I, II und III für das 0 -System in Abhängigkeit der äußeren Beastung. (1,5 Punkte) M I 0 (x 1) = M II 0 (x 2 ) = M III 0 (x 3 ) = Bestimmen Sie die Momentenveräufe in den Teibereichen I, II und III für das 1 -System in Abhängigkeit der 1 -Last. (1,5 Punkte) M I 1(x 1 ) = M II 1 (x 2) = M III 1 (x 3 ) =

50 Frühjahr 2014 Aufgabe 3 (Seite 3 von 3) b) Für das in a) gegebene System ergeben sich für nicht näher spezifizierte äußere Beastungen die fogenden (fiktiven) Momentenveräufe in den Teibereichen I, II und III für das 0 -System ˆM I 0 (x 1) = 1 2 q 0x 1 ˆM II 0 (x 2) = 1 2 q 0 2 ˆM III 0 (x 3 ) = 2q 0 x 2 3 und für das 1 -System ˆM I 1(x 1 ) = 2 x 1 ˆM II 1 (x 2 ) = 2 ˆM III 1 (x 3 ) = 2 (+x 3) Berechnen Sie die Einfusszahen α 10 und α 11. (4,0 Punkte) α 10 = α 11 = Berechnen Sie die statisch Überzähige X. (1,0 Punkte) X =

51 Herbst 2013

52 Herbst 2013 Aufgabe 1 (Seite 1 von 3) Der dargestete Rahmen (Biegesteifigkeit EI) ist in den Punkten A, B und C geagert und wird durch eine Einzekraft F beastet. Am Angriffspunkt der Kraft befindet sich ein Vogeenk, der waagerechte Rahmentei ist mit dem senkrechten Träger biegestarr verbunden. /2 /2 F C 2 Die Dehnsteifigkeit des Rahmens ist gegenüber der Biegesteifigkeit as unendich groß anzunehmen. B 3 x 2 4 z 2 1 x 1 A z 1 a) Bestimmen Sie sämtiche kinematischen Randbedingungen, weche zur Berechnung der Biegeinie w(x) in den angegebenen 4 Bereichen notwendig sind. (3.5 Punkte) Hinweis: Verwenden Sie zur eindeutigen Indizierung der Biegeinienbereiche bitte die eingekreisten Bereichsnummern, aso z.b. w 2 (x 1 =...) =...

53 Herbst 2013 Aufgabe 1 (Seite 2 von 3) b) Der nebenstehende Baken (Biegesteifigkeit EI) ist mittes eines Stabs (Dehnsteifigkeit EA) geagert und mit einer paraboischen, zur Mitte des Bakens symmetrischen Streckenast q(x) beaufschagt. Die Funktion der Streckenast ist mit [ x 2 q(x) = 4q 0 x ] 4 A z q(x) x EI EA /2 gegeben. Es so die Biegeinie des Bakens bestimmt werden. Berechnen Sie zunächst die Resutierende F R der Streckenast sowie die vertikae Komponente A z der Aufagerkraft im Punkt A und die Stabkraft S. (2 Punkte) Hinweis: Schneiden Sie dazu die Stabkraft as Druckkraft frei und berücksichtigen Sie im Punkt A die positiv angenommene z-richtung! F R = A z = S = Geben Sie nun sämtiche zur Lösung der Biegeinien-Differentiageichung vierter Ordnung notwendigen kinematischen und dynamischen Randbedingungen an. (2.5 Punkte)

54 Herbst 2013 Aufgabe 1 (Seite 3 von 3) Geben Sie ausgehend von der Biegeinien-Differentiageichung vierter Ordnung die fogenden Funktionen unter Verwendung agemeiner, nicht spezifizierter Integrationskonstanten an. (2 Punkte) EI w (x) = EIw (x) = EIw (x) = EIw (x) = EI w(x) =

55 Herbst 2013 Aufgabe 2 (Seite 1 von 3) Das nebenstehende, zur z-achse symmetrische Bakenprofi ist as dünnwandig (t a) anzunehmen. Die Lage des Schwerpunkts S des Querschnittes ist der Zeichnung zu entnehmen. y a S a/3 z t a a) Berechnen Sie die auf die vorgegebenen Hauptachsen bezogenen Fächenträgheitsmomente I y und I z des Profis. (2 Punkte) I y =, I z = Für den obigen Querschnitt sind die Verhätnisse zwischen den Biegemomenten M y und M z sowie der Normakraft N unter einer gegebenen Beastung zu M z = 7 2 M y und N = 9 2a M y gegeben. Berechnen Sie die Funktion der neutraen Faser y NF (z) (2 Punkte), tragen Sie diese in den obigen Profiquerschnitt ein (1 Punkt) und bestimmen Sie den Ortsvektor r max = y e y +z e z des Punktes der betragsgrößten Normaspannung im gegebenen Koordinatensystem. (1 Punkt) y NF (z) =, r max = e y + e z

56 Herbst 2013 Aufgabe 2 (Seite 2 von 3) b) Für das abgebidete, zur y-achse symmetrische, rechtwinkige und dünnwandige (t b) Profi ist das Fächenträgheitsmoment I y zu y S t I y = b3 t 3 y S Q gegeben. Das Profi wird im gezeigten Querschnitt in z-richtung durch eine Querkraft Q beastet; die Lage des Profischwerpunkts S ist zu gegeben. y S = b 2 2 b z s Skizzieren Sie quaitativ den Verauf der Schubspannung τ(s) für das gesamte Profi unter Angabe des Poynomgrads p. (1 Punkt) S

57 Herbst 2013 Aufgabe 2 (Seite 3 von 3) Berechnen Sie den Verauf der Schubspannung τ(s) für den unteren Schenke in Abhängigkeit der okaen Koordinate s. (2 Punkte) τ(s) = Geben Sie die Stee y M des Schubmittepunkts für das obige Profi mit Bezug auf den gegebenen Schwerpunkt an. (1 Punkt) y M =

58 Herbst 2013 Aufgabe 3 (Seite 1 von 3) Aufgabentei a) Der dargestete Rahmen (Biegesteifigkeit EI, Dehnsteifigkeit EA ) wird bei A und C von einem Losager und bei B von einem Festager gestützt. Im Punkt C greift ein äußeres Moment M an. Die Verbindungssteen sind as biegestarr anzunehmen. Die Aufagerreaktion in C wird as statisch Unbekannte X gewäht. Verwenden Sie die angegebenen Koordinatensysteme s I,s II und s III. M C III y s I s III II s II x A I B Zeichnen Sie die Freikörperbider für das 0 -System und das 1 -System. (2 Punkte) 0 -System

59 Herbst 2013 Aufgabe 3 (Seite 2 von 3) 1 -System Bestimmen Sie die Momentenveräufe in den Teibereichen I, II und III für das 0 - System in Abhängigkeit der äußeren Last. (1.5 Punkte) M I 0(s I ) = M II 0 (s II) = M III 0 (s III ) = Bestimmen Sie die Momentenveräufe in den Teibereichen I, II und III für das 1 - System in Abhängigkeit der 1 -Last. (1.5 Punkte) M I 1 (s I) = M II 1 (s II ) = M III 1 (s III ) =

60 Herbst 2013 Aufgabe 3 (Seite 3 von 3) Aufgabentei b) Verwenden Sie in diesem Aufgabentei die fogenden (fiktiven) Momentenveräufe in den Teibereichen I, II und III für das 0 -System aus Aufgabentei a) ˆM I 0(s I ) = M ˆM II 0 (s II ) = 3M +2 M s II ˆM III 0 (s III ) = 5 M s III und für das 1 -System aus Aufgabentei a) ˆM I 1(s I ) = 2s I ˆM II 1 (s II) = 7 ˆM III 1 (s III ) = 5[s III ] Rechnen Sie die Einfusszahen α 10 und α 11 aus. (4 Punkte) α 10 = α 11 = Rechnen Sie die statisch Unbekannte X aus. (1 Punkt) X =

61 Frühjahr 2013

62 Frühjahr 2013 Aufgabe 1 (Seite 1 von 3) a) Das dargestete Bakensystem (Biegesteifigkeit EI) weist im Punkt A eine Einspannung sowie im Punkt B und C ein Vogeenk auf. Die zusätzich mit den Baken verbundene Pendestütze 1 besitzt die Dehnsteifigkeit EA, während Pendestütze 2 as dehnstarr (EA ) anzusehen ist. EA 1 A y I II III IV x B EI C EA 2 z Stab 1 wird nun einer Längenänderung L ausgesetzt. Nennen Sie sämtiche kinematischen (geometrischen) Rand- und Übergangsbedingungen in den Bereichen I (0 x ), II( < x 2), III(2 < x 3) und IV(3 < x 4) bezogen auf das vorgegebene Koordinatensystem.

63 Frühjahr 2013 Aufgabe 1 (Seite 2 von 3) b) Ein beidseitig eingespannter Baken wird mit einer inearen Linienast im Bereich 0 x und einer konstanten Linienast q 0 im Bereich < x 2 beastet. Die Aufagerreaktionen am Einspannpunkt A seien dabei durch V A und M A gegeben. q 0 A M A V A y x z Bestimmen Sie die Biegemomente M I (x) und M II (x) in den Bereichen I (0 x ) und II ( < x 2) in Abhängigkeit von q 0,, V A und M A. M I (x) = M II (x) = Nun seien die Biegemomente konkret durch M I (x) = q 0x 3 6 M II (x) = q 0x q 0x q 0x 20 19q q vorgegeben. Geben Sie (im Kästchen auf der nachfogenden Seite) die Funktion der Biegeinie in den Bereichen I (0 x ) und II ( < x 2) mit noch nicht spezifizierten Integrationskonstanten an.

64 Frühjahr 2013 Aufgabe 1 (Seite 3 von 3) Geben Sie die Werte für die von Ihnen verwendeten Integrationskonstanten an. Hinweis: Die Übergangsbedingungen an der Stee x = sind für die Lösung dieser Aufgabe irreevant, da sie durch die Funktionen der Biegemomente a priori erfüt werden.

65 Frühjahr 2013 Aufgabe 2 (Seite 1 von 3) a) Der dargestete Querschnitt mit der Wanddicke t bzw. 2 t ist as dünnwandig anzunehmen (t a). Der Fächenschwerpunkt befindet sich im Abstand z S = 12/5a von der Oberseite des Profis. 4a t t z S t t t a y S 4a t z t a 2t 2t Geben Sie zunächst den Beitrag Iy waag. der beiden waagerechten Teie des Querschnitts zum gesamten Fächenträgheitsmoments bezügich des eingezeichneten Schwerpunktkoordinatensystems an. I waag. y = Bestimmen Sie das Fächenträgheitsmoment I y des gesamten Querschnitts bezügich des eingezeichneten Schwerpunktkoordinatensystems. I y =

66 Frühjahr 2013 Aufgabe 2 (Seite 2 von 3) b) Der dargestete zur y-achse symmetrische Querschnitt mit der einheitichen Wanddicke t ist as dünnwandig anzunehmen (t a). a s 2 60 s 1 2a y S z 60 Wanddicke t a Bestimmen Sie das statische Moment S y (s 1 ) für den Teibereich 0 s 1 a. S y (s 1 ) = Bestimmen Sie das statische Moment S y (s 2 ) für den Teibereich 0 s 2 2a. S y (s 2 ) = DasFächenträgheitsmomentdesQuerschnittsbeträgtI y = 11/6a 3 tunddieinz-richtung wirkende Querkraft ist gegeben as Q. Geben Sie den maximaen Wert der Schubspannung τ max (Q,a,t) für den gegebenen Querschnitt an. τ max (Q,a,t) =

67 Frühjahr 2013 Aufgabe 2 (Seite 3 von 3) c) Der dargestete zur y-achse symmetrische Querschnitt mit der einheitichen Wanddicke t ist as dünnwandig anzunehmen. Wanddicke t b y z 4b b 4b Zeichnen Sie quaitativ die Schubspannungsverteiung für den Querschnitt und kennzeichnen Sie quaitativ die Lage des Schubmittepunktes M.

68 Frühjahr 2013 Aufgabe 3 (Seite 1 von 4) a) Der auf der inken Seite dargestete Rahmen (Biegesteifigkeit EI, Dehnsteifigkeit EA ) besteht aus einem Teistück der Länge 2 und zwei Teistücken der Länge. Die Verbindungssteen sind as biegestarr anzunehmen. In der Mitte des oberen Teistücks greift eine Einzeast F an. Im rechten Bid ist ein statisch bestimmtes Ersatzsystem mit der virtueen Kraft F dargestet. F Ersatzsystem: F z 2 x 1 x 2 z 1 z 3 F x 3 Weche agemeine Bedingung wird zur Bestimmung der Kraft F benötigt? Hinweis: Es so hier keine Berechnung erfogen! Zur weiteren Behandung der gegebenen Probemsteung ist in nebenstehender Zeichnung der Biegemomentenverauf bezügich des statisch bestimmten Ersatzsystems für den Fa F = 0 dargestet. M F F F 2 F 2 F 2

69 Frühjahr 2013 Aufgabe 3 (Seite 2 von 4) Zeichnen Sie den Biegemomentenverauf M F aufgrund der noch unbekannten Kraft F in die inke Zeichnung ein. Zeichnen Sie zudem in die rechte Skizze den Biegemomentenverauf MF ein, der sich auf Grund von F = 1 ergibt bzw. wecher dem Verauf der Funktion M F / F entspricht. M F MF F 1 Geben Sie nun die Bedingung zur Berechnung der Kraft F in agemeiner Form an. Die dazu notwendigen Integrae sind in Abhängigkeit von M F, M F, MF und EI anzugeben und soen nicht ausintegriert werden. Geben Sie auch die jeweiigen Integrationsgrenzen unter Verwendung der vorgegebenen okaen Koordinatensysteme an. Hinweis: Setzen Sie nicht die Funktionen für M F, M F und M F ein! Setzen Sie nun die jeweiigen Funktionen in obige Geichung ein und integrieren Sie. Geben Sie das Ergebnis der Integration für jedes Integra separat an. Hinweis: Es ist aso dringend darauf zu achten, dass die Anzah der hier aufgeführten Summanden mit denen aus dem vorherigen Kästchen übereinstimmt!

70 Frühjahr 2013 Aufgabe 3 (Seite 3 von 4) Berechnen Sie schießich die Lagerkraft F as Funktion von F. F = b) Der nebenstehende Rahmen (Biegesteifigkeit EI, Dehnsteifigkeit EA ) besteht aus einem Teistück der Länge und zwei Teistücken der Länge 2. Das rechte untere Ende des Rahmens ist fest eingespannt. Die Ecken sind as biegestarr anzunehmen. Am inken unteren Ende greift eine Kraft F in horizontae Richtung an. Verwenden Sie die angegebenen Koordinatensysteme. F z 2 x 1 x 2 x 3 z 1 2 z 3 2 Um die Vertikaverschiebung z in Richtung z 2 an der Stee x 2 =0 bestimmen zu können wird eine zusätziche virtuee Kraft F eingeführt, die in positive z 2 Richtung zeigt. Wechen Wert hat diese Kraft? F = Im fogenden Kästchen ist inks der Biegemomentenverauf auf Grund der Einzekraft F angegeben. Zeichnen Sie die zur Berechnung der Verschiebung z benötigte 1 Kraft sowie den aein daraus resutierenden Biegemomentenverauf in die rechte Skizze ein.

71 Frühjahr 2013 Aufgabe 3 (Seite 4 von 4) M F MF F F F F GebenSienundieGeichungzurBestimmung derverschiebung z inagemeiner Forman. Die dazu notwendigen Integrae sind in Abhängigkeit von M F, MF und EI anzugeben und soen nicht ausintegriert werden. Geben Sie auch die jeweiigen Integrationsgrenzen unter Verwendung der vorgegebenen okaen Koordinatensysteme an. Hinweis: Setzen Sie nicht die Funktionen für M F und M F ein! z = Setzen Sie nun die jeweiigen Funktionen ein, integrieren Sie und geben Sie abschießend das Ergebnis für die gesuchte Verschiebung z in Abhängigkeit von F, und EI an. z =

72 Herbst 2012

73 Herbst 2012 Aufgabe 1 (Seite 1 von 2) a) Das dargestete Bakensystem weist im Punkt A eine Einspannung sowie im Punkt B ein Vogeenk auf. Die zusätzich mit den Baken verbundene Pendestütze 1 besitzt die Dehnsteifigkeit EA, während Pendestütze 2 as dehnstarr (EA ) anzusehen ist. I II III 2 EA A y x B z 1 EA Stab 1 wird nun einer Längenänderung ausgesetzt. Nennen Sie sämtiche kinematsichen (geometrischen) Rand- und Übergangsbedingungen in den Bereichen I (0 x ), II ( x 2) und III (2 x 3) bezogen auf das vorgegebene Koordinatensystem.

74 Herbst 2012 Aufgabe 1 (Seite 2 von 2) b) Für das nun vorgegebene, durch eine konstante Linienkraft q 0 beastete System wurden die Funktionen des Biegemomentes zu A y q 0 x I II B M I y = 1 48 q 0[24x 2 39x+11 2 ], 0 x z und M II y = 1 48 q 0[9x 13], x 2 bestimmt. GebenSiedieFunktionender BiegeinieindenBereichen I(0 x )undii( x 2) mit noch nicht spezifizierten Integrationskonstanten an. w I (x) = w II (x) = Nennen Sie die zur eindeutigen Berechnung der Biegeinie notwendigen Randbedingungen. Hinweis: Die Übergangsbedingungen an der Stee x = sind für die Lösung dieser Aufgabe irreevant, da sie durch die Funktionen der Biegemomente a priori erfüt werden. Geben Sie die Werte für die von Ihnen verwendeten Integrationskonstanten an.

75 Herbst 2012 Aufgabe 2 (Seite 1 von 3) a) Der dargestete, vertikae Träger (Länge, Biegesteifigkeit EI) wird durch eine inear anwachsende Streckenast (Maximawert q 0 ) beastet. Unter Verwendung des Satzes von Castigiano so die Verdrehung ϕ des oberen Bakenendes (x = 0) berechnet werden. x Skizzieren Sie den aus der Streckenast resutierenden Biegemomentenverauf M q 0 (inks) sowie den aus der hier notwendigen virtueen Größe resutierenden Biegemomentenverauf M (rechts). Zeichnen Sie diese virtuee Größe ebenfas in die rechte Skizze ein. Geben Sie jeweis den Poynomgrad p der Funktion der Biegemomente sowie den Extremwert M ext für beide Fäe an. q 0 M q 0 M p q 0 = M q 0 ext = p = M ext = Geben Sie sowoh die agemein gütige Berechnungsvorschrift (Bruchterm) sowie den Integraausdruck zur Berechnung der gesuchten Verdrehung an. Verwenden Sie dazu die oben angegebenen agemeinen Bezeichnungen der Biegemomentenfunktionen. Tragen Sie auch die Integrationsgrenzen ein. ϕ = ˆ =

76 Herbst 2012 Aufgabe 2 (Seite 2 von 3) Berechnen Sie die Verdrehung ϕ des Bakenendes (x = 0). ϕ = b) Ein Kragträger der Biegesteifigkeit EI 1 ist über eine Pendestütze (Dehnsteifigkeit EA) mit einem Träger (Biegesteifigkeit EI 2 ) zwischen zwei Stützen verbunden. Das freie Ende des oberen Trägers wird durch eine Einzekraft F beastet. Für dieses System so nun die in der Pendestütze wirkende Stabkraft S berechnet werden. F x 1 x 3 x 2 EA EI 1 EI 2 Die Veräufe des aein aus der Kraft F resutierenden Biegemomentes M F (x 1 ) sowie des aein aus der unbekannten Stabkraft S resutierenden Biegemomentes M S (x 1 ), der Normakraft N(x 3 ) und des Biegemomentes M S (x 2 ) sind wie fogt gegeben: M F (x 1 ) M S (x 1 ) N(x 3 ) M S (x 2 ) 2F S x S x 1 x 1 S x 2

77 Herbst 2012 Aufgabe 2 (Seite 3 von 3) Geben Sie sowoh die zur Bestimmung der Stabkraft S notwendige agemein gütige Bedingung as auch den Integraausdruck unter Verwendung der oben genannten agemeinen Bezeichnungen der Schnittgrößenfunktionen an. Beachten Sie dabei, dass die Schnittgrößenveräufe für die virtuee Kraft S = 1 durch M S (x 1 ), N(x3 ) sowie M S (x 2 ) gekennzeichnet werden soen. Geben Sie auch jeweis die Integrationsgrenzen an. ˆ = = ˆ dx 1 + dx 1 ˆ + ˆ dx 2 + dx 3 Die Verhätnisse zwischen den Biege- und Dehnsteifigkeiten der einzenen Strukturen sind zu EI 2 EI 1 = 2, EA = 12 EI 1. 2 vorgegeben. Geben Sie die oben angegebene Bedingung für die Berechnung der Stabkraft S nun in ausintegrierter Form unter Verwendung dieser Zusammenhänge an. Lösen Sie nicht nach der Stabkraft S auf! Geben Sie abschießend den Wert der Stabkraft S an. S =

78 Herbst 2012 Aufgabe 3 (Seite 1 von 3) Der dargestete Querschnitt mit der einheitichen Wandstärke t ist as dünnwandig anzunehmen.derfächenschwerpunkt befindetsichimabstandz S = 11a/12vonderOberseite des Profis. z S = 11a 12 y S a Wandstärke t a z 3a a) Bestimmen Sie das Fächenträgheitsmoment I y des Querschnitts bezügich des eingezeichneten Schwerpunktskoordinatensystems. I y =

79 Herbst 2012 Aufgabe 3 (Seite 2 von 3) Der dargestete zur y-achse symmetrische Querschnitt mit der einheitichen Wandstärke t ist as dünnwandig anzunehmen. b d s 1 s 2 y S s 3 z s 4 Wandstärke t b) Bestimmen Sie das statische Moment S y (s 1 ) für den Teibereich 0 s 1 b. S y (s 1 ) = Bestimmen Sie das statische Moment S y (s 2 ) für den Teibereich 0 s 2 d. S y (s 2 ) =

80 Herbst 2012 Aufgabe 3 (Seite 3 von 3) c) Für den Querschnitt aus Aufgabentei b) wurde die Schubspannungsverteiung gemäß der fogenden Skizze bestimmt. Das Fächenträgheitsmoment bezügich des vorgegebenen Schwerpunktkoordinatensystems autet I y = td 2 [b+ d 3 ]. τ(s 2 = 0) = τ(s 1 = b) τ(s 1 = 0) = 0 τ(s 2 = d) = τ(s 3 = 0) ȳ z τ(s 4 = b) = 0 τ(s 3 = d) = τ(s 4 = 0) τ(s 2 = 0) = τ(s 1 = b) = τ(s 3 = d) = τ(s 4 = 0) = τ(s 2 = d) = τ(s 3 = 0) = Q[b+ d 2 ] 2td[b+ d 3 ] Qb 2td[b+ d 3 ] Geben Sie die Ortskoordinaten des Schubmittepunktes M bezügich des vorgegebenen ȳ, z-koordinatensystems an. ȳ M = z M =

81 Frühjahr 2012

82 Frühjahr 2012 Aufgabe 1 (Seite 1 von 3) Das dargestete Bech (Breite b, Höhe h, Dicke d) wird in eine Prüfmaschine gespannt und in der x-y-ebene beastet, sodass sich ein homogener ebener Spannungszustand einstet. Anschießend werden die Hauptspannungen σ I und σ II (mit σ I > σ II ) bestimmt. Die Messung ergibt, dass die Hauptspannungsachsen im Vergeich zum gegebenen x- y-systemum45 gedreht sind. DieWerte der Hauptspannungen werden von der Prüfmaschine as Viefache eines Basiswertes σ 0 > 0 ausgegeben. In dem voriegenden Fa betragen die gemessenen Werte σ I = 3σ 0 und σ II = 2σ 0. Das Bech besteht aus einem inear eastischen, isotropen Werkstoff (E- Modu E = 210 GPa, Querkontraktionszah ν = 0.3). y h x σ II b σ I d 45 a) Wie groß ist die maximae im Bech auftretende Schubspannung τ max in Abhängigkeit des Basiswertes σ 0? τ max =

83 Frühjahr 2012 Aufgabe 1 (Seite 2 von 3) b) Zeichnen Sie den Mohrschen Spannungskreis für den gegebenen Spannungszustand und beschriften Sie die markanten Punkte σ I, σ II, τ max. τ σ 0 σ 0 σ c) Weche Kraftkomponente F y in y-richtung muss von der Prüfmaschine aufgebracht werden? F y = d) Weche Dehnungen ε xx, ε yy, ε zz steen sich im Bech ein, wenn im gegebenen x-y-koordinatensystem ein ebener Spannungszustand mit σ xx = 200MPa, σ yy = 50MPa, τ xy = 0 MPa voriegt? ε xx = ε yy = ε zz =

84 Frühjahr 2012 Aufgabe 1 (Seite 3 von 3) e) Im Bech befindet sich eine um 30 reativ zur x-achse gedrehte Schweißnaht. Bestimmen Sie im dargesteten x-ȳ-system die Normaspannung σȳȳ und die Schubspannung τ xȳ in der Schweißnaht sowie die von-mises-vergeichsspannung σ vm. Gegeben sind die Spannungen σ xx = 200MPa, σ yy = 50MPa, τ xy = 0MPa bezügich des gegebenen x-y-systems. y ȳ 30 x x σȳȳ = τ xȳ = σ vm =

85 Frühjahr 2012 Aufgabe 2 (Seite 1 von 2) Der in fogender Abbidung dargestete horizontae Baken 1 (Länge 3, Masse 3 m, E- Modu E, Fächenträgheitsmoment I) wird durch sein Eigengewicht sowie durch einen mit ihm im Punkt D starr verbundenen, starren Körper (Masse 6 m, Länge /3) beastet. Im Punkt C ist Stab 1 an den masseosen Stab 2 (Länge, E-Modu E, Querschnittsfäche A) angeenkt. 2 /3 A EI, 3m 1 C D 6m E x 1 z 1 EA 2 x 2 z 2 g B a) Bestimmen Sie die unten angegebenen Schnittgrößenfunktionen unter Verwendung der vorgegebenen okaen Koordinatensysteme. Die hinsichtich der positiven Richtung auf die jeweiigen Koordinatensysteme bezogenen Aufagerkräfte sind as A z1 = 11/4mg und B x2 = 47/4mg vorgegeben. Geg.: E, I, m, g,, A z1 = 11/4mg, B x2 = 47/4mg M(x 1 ) = M(x 1 ) = N(x 2 ) = 0 x x x 2

86 Frühjahr 2012 Aufgabe 2 (Seite 2 von 2) b) Geben Sie sämtiche zur eindeutigen Bestimmung der Biegeinie notwendigen kinematischen Bedingungen (Rand- und Übergangsbedingungen) für den horizontaen Stab 1 an. Bestimmen Sie die Biegeinie des Stabes 1 in Form der Funktionen w 1 (x 1 ) und w 2 (x 1 ), ohne dass Sie die darin enthatenen Konstanten berechnen. w 1 (x 1 ) = w 2 (x 1 ) = 0 x < x 1 3 c) Für ein anderes Verhätnis der Massen der Teikörper zueinander ist die Funktion w 2 (x 1 ) für die Verschiebung in z 1 -Richtung im Bereich 2 x 1 3 durch w 2 (x 1 ) = c 1 3 +c 2 x 1 2 +c 3 x 2 1 +c 4x 3 1 +c 5 gegeben. Die Konstanten c 1, c 2, c 3, c 4, c 5 sind dabei as bekannt vorauszusetzen. Wie groß ist die Verschiebung w E des Punktes E in z 1 -Richtung? x 4 1 w E =

87 Frühjahr 2012 Aufgabe 3 (Seite 1 von 3) a) Das im Bid gezeigte, geschossene und zur z- Achse symmetrische Hohprofi ist as dünnwandig anzunehmen. Die in diesem Baken- Querschnitt wirksame Querkraft Q z wird exzentrisch eingeeitet, so dass zusätzich ein Torsionsmoment M T = 3Q z a wirkt. Die Lage des Schwerpunktes des Profis ist vorgegeben und der Zeichnung zu entnehmen. Geg.: Q z, h 1 = h, h 2 = 11/9h, a, h a Q z s 2 h 1 h 1 s 1 y z S 4a a 3a h 2 s 3 3a 3a Bestimmen Sie die von der in der Zeichnung vermaßten Profimitteinie umschossene Fäche A M des Profis. A M = Berechnen Sie die Schubspannungsverteiung τ(s), weche aein aus dem vorgegebenen Torsionsmoment M T = 3Q z a fogt. τ(s 1 ) = τ(s 2 ) = τ(s 3 ) = 0 s 1 5a 0 s 2 4a 0 s 2 3a

88 Frühjahr 2012 Aufgabe 3 (Seite 2 von 3) b) Das in Aufgabentei a) gezeigte dünnwandige Profi ist nun im obersten Punkt geschitzt. Zudem wird die Querkraft Q z nun symmetrisch eingeeitet. Das FächenträgheitsmomentdesQuerschnittsistdurchI y = 188a 3 h gegeben. s 1 Q z Geg.: Q z, h 1 = h, h 2 = 11/9h, a, h a h 1 4a s 2 h 1 y z S a 3a h 2 s 3 3a 3a Berechnen Sie die Funktionen des statischen Momentes S y in Abhängigkeit der okaen Koordinaten s 1, s 2 und s 3. S y (s 1 ) = S y (s 2 ) = S y (s 3 ) = 0 s 1 5a 0 s 1 4a 0 s 1 3a

89 Frühjahr 2012 Aufgabe 3 (Seite 3 von 3) Skizzieren Sie den Verauf der aus der Querkraft Q z resutierenden Schubspannung τ in Abhängigkeit der okaen Koordinaten s 1, s 2 und s 3, wobei die Krümmung der jeweiigen Funktion eindeutig aus der Zeichnung hervor gehen muss. Geben Sie die Werte der Schubspannung an den jeweiigen Bereichsgrenzen sowie Extremwerte der Funktion an.