3.7 Sonderprobleme Ausnutzung der Symmetrie und Antimetrie. Größe. Belastung
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- Albert Brodbeck
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1 VORLESUGSAUSKRIPT BAUSTATIK I II (UVERTIEFT).7 Sonderrobeme.7. Ausnutzung der Symmetrie und Antimetrie Durch die Ausnutzung der Symmetrie und Antimetrie kann der Grad der statischen Unbestimmtheit (u. a. mit Hife eines Ersatzsystems) und somit der Rechenaufwand reduziert werden. Die wichtigsten Eigenschaften der Kraft- und der Verformungsgrößen eines symmetrischen Tragwerks unter symmetrischer und antimetrischer Last sind im Fogenden anhand eines einfachen Beisies anschauich dargestet. Im Agemeinen git: Größe Beastung w w' -ϕ w'' und w''' und Q u' und u symmetrisch s a s a s a antimetrisch a s a s a s Unter Benutzung der obigen Bedingungen kann ein Ersatzsystem zum ursrüngichen System gewäht werden. Beisiee für mögiche Ersatzsysteme sind auf den fogenden Seiten angegeben. Durch die Lastumordnung kann eine beiebige Last in eine symmetrische und eine antimetrische Last zeregt werden.
2 VORLESUGSAUSKRIPT BAUSTATIK I II (UVERTIEFT) Beisiee für die Zeregung der Lasten F F / F / F / F / symmetrisch antimetrisch F F / F / F / F / symmetrisch antimetrisch F F / F / F / F / symmetrisch antimetrisch
3 VORLESUGSAUSKRIPT BAUSTATIK I II (UVERTIEFT).7.. ögichkeiten zur Berücksichtigung der Symmetrie und Antimetrie im KGV.) Wah des symmetrischen statisch bestimmten Grundsystems Symmetrisches statisch bestimmtes Grundsystem bzw. habes Grundsystem: F F und sind symmetrische Lasten. ist eine antimetrische Last. symmetrisch: symmetrisch: antimetrisch: dx dx Im Agemeinen: sa s a dx
4 VORLESUGSAUSKRIPT BAUSTATIK I II (UVERTIEFT) Eine symmetrische s -Fäche integriert mit einer antimetrischen a -Fäche gibt den Wert u! Entkoung der Geichungen! Das ursrüngiche System wird in Geichungssysteme niedrigerer Ordnung entkoet weche einfacher zu ösen sind! Bemerkung: In dieser ethode ist eine Aufteiung der Lasten in symmetrische und antimetrische Lastgruen nicht erforderich!.) Berechnung am haben System (Ersatzsystem) Die Lasten können in symmetrische und antimetrische Lasten zeregt werden. Es git im Agemeinen: In einem symmetrischen System unter symmetrischen Lasten existieren nur symmetrische statische Überzähige. Die antimetrischen statischen Überzähigen verschwinden. Die zugehörigen -Linien sind symmetrisch. In einem symmetrischen System unter antimetrischen Lasten existieren nur antimetrische statische Überzähige. Die symmetrischen statischen Überzähigen verschwinden. Die zugehörigen -Linien sind antimetrisch. Beweis für symmetrische Lasten: F/ F/ ist symmetrisch. Da antimetrisch ist erhät man: dx
5 VORLESUGSAUSKRIPT BAUSTATIK I II (UVERTIEFT) 5 Aus fogt. As unbekannte statische Überzähige beiben aso. Die entgütige -Linie ist symmetrisch. F/ F/ Beweis für antimetrische Lasten: F/ F/ ist antimetrisch. Da und symmetrisch sind erhät man: dx dx. Aus erhät man.
6 VORLESUGSAUSKRIPT BAUSTATIK I II (UVERTIEFT) 6 As unbekannte statische Überzähige beibt aso nur. Die entgütige -Linie ist antimetrisch. F/ F/ Aus den obigen Überegungen kann das ursrüngiche System wie fogt aufgeteit werden: F F / F / F / F / symmetrisch antimetrisch
7 VORLESUGSAUSKRIPT BAUSTATIK I II (UVERTIEFT) 7 Äquivaent dazu können zwei habe Systeme benutzt werden. Zu jedem haben System wird jeweis ein assendes neues Aufager auf der Symmetrieinie eingeführt. F F / F / F / F / symmetrisch antimetrisch F / F / -fach statisch unbestimmt a s -fach statisch unbestimmt a a Agemein: a as aa.) Wah der unbekannten statischen Überzähigen as symmetrische und antimetrische Kräfteaare Fas die statischen Überzähigen auf den beiden Seiten der Symmetrieachse gewäht werden dann ist es manchma zweckmäßig diese in symmetrische und antimetrische Kräfteaare aufzuteien. F Das obige System ist -fach statisch unbestimmt. Wäht man System a) as statisch bestimmtes Grundsystem dann sind die -Linien unter der aeinigen Wirkung von und weder symmetrisch noch antimetrisch. Daher ist und damit eine Entkoung der Bedingungsgeichungen nicht mögich.
8 VORLESUGSAUSKRIPT BAUSTATIK I II (UVERTIEFT) 8 Teit man nun und in symmetrische und antimetrische Kräfteaare und gemäß auf und wäht man System b) as statisch bestimmtes Grundsystem dann erhät man ein symmetrisches Kräfteaar und ein antimetrisches Kräfteaar as neue unbekannte statische Überzähige. Die neuen Kräfteaare ( ) und die ursrüngichen statischen Überzähigen ( ) haben die fogenden Beziehungen ( ) ( ). F F a) b) c) -Linie d) -Linie Das symmetrische Kräfteaar ergibt eine symmetrische -Linie (Bid c) während das antimetrische Kräfteaar zu einer antimetrischen -Linie (Bid d) führt. Daraus fogt dx und somit. Die Bedingungsgeichungen sind jetzt as veragemeinerte Verträgichkeitsbedingungen (Komatibiitätsbedingungen) zu verstehen. ach der Bestimmung von und können die ursrüngichen statischen Überzähigen und ermittet werden.
9 VORLESUGSAUSKRIPT BAUSTATIK I II (UVERTIEFT) 9 Bemerkungen: Eine Aufteiung der Lasten in symmetrische und antimetrische Lasten ist bei der obigen Vorgehensweise nicht erforderich. Das hierbei betrachtete Probem kann auch mit haben Systemen geöst werden. Dabei müssen die Lasten auch in symmetrische und antimetrische Lasten zeregt werden..7.. Weiteres Beisie für die Ausnutzung der Symmetrie und Antimetrie F a 6 5 F / F / F / F / symmetrisch antimetrisch. Lösungsmögichkeit am haben System Bei dieser ethode ist eine Zeregung der Lasten in symmetrische und antimetrische Lasten erforderich. F / F / a S 5 a a Im Agemeinen: a a a 5 s a
10 VORLESUGSAUSKRIPT BAUSTATIK I II (UVERTIEFT). Lösungsmögichkeit am ganzen System In dieser ethode ist eine Zeregung der Lasten in symmetrische und antimetrische Lasten erforderich. Die statischen Überzähigen werden as symmetrische und antimetrische Kräfteaare eingeführt. 5 symmetrisch a s antimetrisch a a.7.. Beisie für ein symmetrisches Tragwerk unter symmetrischer Last P P q A A I A5 AS I5 S 5 h h A A I A A I A AS I S S a 7 Wegen der Symmetrie des Tragwerks und der Lasten können die statischen Überzähigen (Kraftgrößen) ebenfas symmetrisch angesetzt werden.
11 VORLESUGSAUSKRIPT BAUSTATIK I II (UVERTIEFT) A A I A5 AS I5 S 5 A A I A A I A AS I S S Voraussetzungen für den obigen Ansatz: A A AS A S I I A A AS A S I I 5 Symmetrische Lageranordnung Stäbe mit geichem Vorteie: 5 5 In der ittestütze entsteht kein Biegemoment da die Verdrehung über der ittestütze u ist. Die ik -Zahen sind nur für die Häfte des Gesamttragwerks zu berechnen. Eine weitere ögichkeit bietet sich durch Trennung des Tragwerks in zwei eigenständige Tragwerke auf der Symmetrieachse an. A A I S A A I 5 S 5 5 A S A AS I A I A I S A A A I S Hierbei muss beachtet werden dass die Querschnittswerte der mitteren Stütze für die Überagerung habiert werden müssen! Befinden sich Einzeasten auf der Symmetrieachse so müssen auch diese habiert werden! Weiterhin muss beachtet werden dass sich die omente der mitteren Stütze unterhab des Geenkes aufheben da sich und nur im Vorzeichen unterscheiden
12 VORLESUGSAUSKRIPT BAUSTATIK I II (UVERTIEFT).7.. Beisie für ein symmetrisches Tragwerk unter antimetrischer Last q P A A I A5 AS I5 S 5 h A A I A AS I A AS I S h a 7 Wegen der Symmetrie des Tragwerks und der Antimetrie der Lasten können die statischen Überzähigen nur im symmetrischen Tei symmetrisch angesetzt werden. Im antimetrischen Tei müssen hingegen auch die statischen Überzähigen antimetrisch angesetzt werden. Symmetrischer Tei: P q P A A I A5 AS I5 S 5 A A I A AS I A AS I S Auch hier im symmetrischen Fa beibt die mittere Stütze aus den oben genannten Gründen momentenfrei!
13 VORLESUGSAUSKRIPT BAUSTATIK I II (UVERTIEFT) Antimetrischer Tei: P q P A A I A5 AS I5 S 5 A A I A AS I A AS I S
14 VORLESUGSAUSKRIPT BAUSTATIK I II (UVERTIEFT).7..5 Beisiee für die Ersatzsysteme bei symmetrischen und antimetrischen Lasten.) Beisie für die Wah eines äquivaenten Ersatzsystems bei Symmetrieachse im Fed.) Beisie für die Wah eines äquivaenten Ersatzsystems bei Symmetrieachse auf dem Stab
15 VORLESUGSAUSKRIPT BAUSTATIK I II (UVERTIEFT) Zahenbeisiee Beisie : Berechnungen an Habsystemen
16 VORLESUGSAUSKRIPT BAUSTATIK I II (UVERTIEFT) 6
17 VORLESUGSAUSKRIPT BAUSTATIK I II (UVERTIEFT) 7
18 VORLESUGSAUSKRIPT BAUSTATIK I II (UVERTIEFT) 8 Beisie : Berechnungen mit symmetrischen und antimetrischen statischen Überzähigen Gegeben: Vertikae und horizontae Stäbe: const. EA GAS Diagonastäbe (Pendestäbe): EA 6 Gesucht: -Linie q EA EA q q q q q q q
19 VORLESUGSAUSKRIPT BAUSTATIK I II (UVERTIEFT) 9 q q EA dx 8 8 q q q EA dx ( ) EA EA dx ( ) EA EA dx EA dx Aus erhät man q q 6 8. Daraus fogt (Druck) (Zug) 5 q q. Die endgütige -Linie erhät man aus.
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