f : R 2 R 3 und erhält, über das Skalarprodukt, die symmetrische Bilinearform

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1 11. Riemannsche Geometrie II: Krümmung. In diesem Abschnitt betrachten wir variabe Biinearformen von R 2, d.h. Riemannsche Metriken von R 2. Es ist eine der großen Entdeckungen des 19. Jahrhunderts (durch Gauss, dass soche Riemannschen Metriken in sich gekrümmt sind. Dies hat Gauss mathematisch präzisiert und so eine der wichtigsten Invarianten der Geometrie definiert. Die Krümmung von Fächen. Fächen im Raum sind verschieden gekrümmt. Man kann versuchen diesen Begriff von Krümmung auch für die Krümmung von Riemannschen Geometrien auszunutzen. Dies geht nicht immer, aber man erhät dennoch übberraschenderweise ganz agemeine Aussage. Dies woen wir hier beschreiben. Sei g eine Riemannsche Metrik g : R 2 Bi(R 2, R, p g p, gegeben, d.h. eine variabe, symmetrische 2 2-Matrix. Wir beginnen mit Riemannschen Metriken, die von einer Einbettung induziert sind. In diesem Fa hat man eine Einbettung f : R 2 R 3 und erhät, über das Skaarprodukt, die symmetrische Biinearform g p (X,Y :=< (df p (X, (df p (Y >. Hier schreiben wir Vektoren mit großen Buchstaben und benutzen die Schreibweise <.,. > für das gewöhniche Skaarprodukt. Die Bidvektoren (df p (X iegen in R 3. Nun gibt es aber in R 3 auch noch das Vektorprodukt. Mit Hife dieses Vektorprodukts definiert man eine Abbidung ([ ] ( [ ] g : R 2 R 3 1 0, p (df p (df 0 p. 1 Intuitiv kodiert die Bewegung des Normaenvektors das Krümmungsverhaten der Fäche. Kaus Johannson, Geometrie

2 80. Geometrie N L(X X Der torkende Normaenvektor Man definiert deshab Definition. Die Gauss sche Krümmung der Riemannschen Metrik (R 2,b im Punkt p R 2 ist definiert durch K(p = detl wobei L = dg die sog. Weingarten Abbidung ist. Bemerkung. Die Definition ist forma noch nicht ganz sauber, da ja g : R 2 R 3 und so dg gar keine quadratische Matrix ist. Man müsste genauer den Normaenvektor noch zu 1 normieren. Dann wäre g eine Abbidung g : R 2 S 2 R 3 und die Dimensionen würden übereinstimmen. Probem. Diese Definition von Riemannschen Metriken des R 2 ist noch etwas unschön, denn sie geht ja über den Umweg der Einbettung der Riemannschen Metrik in $R 3. Diese Einbettung ist aber nur für gewisse Riemannsche Metriken und nicht für ae Metriken mögich. Weiter ist unkar, ob die Krümmung von der Art der Einbettung abhängt oder nicht. Ae diese Probeme werden sich aber in nichts aufösen, wenn wir erst einma wirkich verstanden haben, wie man detl berechnet. Berechnung der Determinante der Weingarten Abbidung. Wir müssen noch einma kurz den Begriff der Richtungsabeitung aus der Anaysis rekapituieren. Die Richtungsabeitung einer Funktion f in Richtung eines Vektors X ist gegeben durch: Xf = X f = a f x + b f y + c f z. Kaus Johannson, Geometrie

3 13 Riemannsche Geometrie II 81 Die Richtungsabeitung eines Vektorfedes Y in Richtung eines Vektors X ist gegeben durch: D X Y := [X p y 1,...,X p y n ] Dann rechnet man schne nach, dass L(X := D X N, wobei N das Vektorfed der Normaenvektoren ist. Der große Trick (von Gauss besteht nun darin fogende Modifikation von D X einzuführen: D X Y := D X Y + < L(X,Y > N N < L(X,Y > N _ D Y X D Y X Aufspatung von D X Y in tangentieen und normaen Antei Bemerkung. Es git < D X Y,N >=< D X Y,N > + < D X N,Y >= X < Y,N >= 0, d.h. D X Y ist tatsächich senkrecht zu N. Mit dieser Definition ergibt sich das erste überraschende Resutat (das man durch reines Nachrechnen erhät: Satz. det L =< D X D Y Y D Y D X Y D [X,Y ] Y,X >. Beweis. Für jede ineare Abbidung L : R 2 R 2 git [ ] < L(e1,e det L = det 1 > < L(e 2,e 1 > < L(e 1,e 2 > < L(e 2,e 2 > Es ist nämich L(e 1 die erste Spate der Matrix L und < L(e 1,e 1 > der erste Eingang des Vektors L(e 1 und somit der Eingang L 11 der Matrix L. Die Determinante ist aber unabhängig von der Wah der Basis. Deshab git für eine beiebige Basis X,Y ebenso [ ] < L(X,X > < L(Y,X > det L = det < L(X,Y > < L(Y,Y > =< L(X,X >< L(Y,Y > < L(Y,X >< L(X,Y > Kaus Johannson, Geometrie

4 82. Geometrie Nun ist aber: DX ( D Y Z D Y ( D X Z D [X,Y ] Z = (XY z 1,...,XY z n (Y Xz 1,...,Y Xz n ([X,Y ]z 1,...,[X,Y ]z n = 0 und somit (wegen der Definition D X Y = D X Y < L(X,Y > N: 0 = D X ( D Y Z D Y ( D X Z D [X,Y ] Z = D X ( D Y Z < L(Y,Z > N D Y ( D X Z < L(X,Z > N D [X,Y ] Z = D X D Y Z D X < L(Y,Z > N D Y D X Z D Y < L(X,Z > N D [X,Y ] Z =( D X D Y Z < L(X,D Y Z > N D Y < L(Y,Z > N ( D Y D X Z < L(Y,D X Z > N D Y < L(X,Z > N D [X,Y ] Z =D X D Y Z < L(X,D Y Z > N ( X(< L(Y,Z >N < L(Y,Z > L(X D Y D X Z+ < L(Y,D X Z > N + ( Y (< L(X,Z >N+ < L(X,Z > L(Y D [X,Y ] Z+ < L([X,Y ],Z > N =( D X D Y Z < L(Y,Z > L(X D Y D X Z+ < L(X,Z > L(Y D [X,Y ] Z + ( L(X,D Y Z > X < L(Y,Z > +L(Y,D X Z > +Y < L(X,Z > + < L([X,Y ],Z > N Die Summe aer Koeffizienten, die N nicht enthaten, as auch die Summe aer Koeffizienten, die N enthaten muss 0 sein. Hier ist die erste dieser Summen: Aso haben wir und so 0 = D X D Y Z L(Y,Z > L(X D Y D X Z + L(X,Z > L(Y D [X,Y ] Z D X D Y Z D Y D X Z D [X,Y ] Z =< L(Y,Z > L(X L(X,Z > L(Y < D X D Y Z D Y D X Z D [X,Y ] Z,X > < D X D Y Y D Y D X Y D [X,Y ] Y,X > Dies beweist den Satz. =< L(Y,Z >< L(X,X > < L(X,Z >< L(Y,X > =< L(Y,Y >< L(X,X > < L(X,Y >< L(Y,X > = det L Kaus Johannson, Geometrie

5 Die Riemannsche Krümmung. Definition. Der Ausdruck 13 Riemannsche Geometrie II 83 heißt Riemannsche Krümmung. R(X,Y Z := D X D Y Z D Y D X Z D [X,Y ] Z Die Riemannsche Krümmung (und somit die Gauss sche Krümmung hängt aso ab von der Riemannschen Metrik <.,. > und der Wah eines Zusammenhangs D X. Man rechnet schne nach, dass der obige Zusammenhang D X die fogenden Eigenschaften hat: (1 D X (Y + Z = D X Y + D X Z (2 D X+Y Z = D X Z + D Y Z (3 D fx Y = fd X Y (4 D X (fy = (XfY + fd X Y und weiter (5 D X Y D Y X = [X,Y ] (6 Z < X,Y >=< D Z X,Y > + < X,D Z Y > Ein socher Zusammenhang heißt Riemannscher Zusammenhang. Nun stet sich as zweite Überraschung heraus: Satz. Es gibt einen und nur einen Riemannschen Zusammenhang, für jede Riemannsche Metrik Beweis. Seien X 1,X 2 die Basisvektoren. Dann git g ij :=< X i,x j > und es sei (g 1 ij der ij-te Eingang der inversen Matrix. Wegen (5 und (6 fogt: 2 < D Xi X j,x k >= X i < X k,x j > +X j < X k,x i > +X k < X i,x j >, da [X i X j ] = 0. für ae i,j. Nun ist D X voständig gegeben, wenn D Xi X j = 2 k=1 Γ k ijx k Kaus Johannson, Geometrie

6 84. Geometrie gegeben ist. Wir müssen aso nur noch zeigen dass die Christoffe Symboe Γ k ij eindeutig durch die Riemannsche Metrik gegeben sind. Aber die obige Geichung ergibt 2 k Γ k jig kr = X i g rj + X j g ri X r g ij. Somit Dies beweist den Satz. Γ k ij = 1 2 r grj + g ri + g } ij x r (g 1 kr. Soweit zur Definition der Riemannschen Krümmung. Die obigen Formen machen Sinn nicht nur für Riemannsche Metrike von R n, sondern für noch agemeinere Räume. Dies behanden wir hier nicht, dies ist Sache der Differentiageometrie. Man kann Krümmungen wirkich für konkret gegebene Riemannsche Metriken berechnen. Im Anhang zeigen berechnen wir die Krümmung der hyperboischen Ebene. Schon für diese sehr einfache Riemannschen Metrik ist die Rechnung sehr aufwendig und man erhät mit den Rechnungen im Anhang eine Ahnung wie schne die Rechnungen enorm umfangreich werden, wenn die Riemannschen Metriken einigermaßen kompiziert werden - wie etwa in der Agemeinen Reativitätsthorie. Agemeine Reativitätstheorie. Die Riemannsche Geometrie spiet eine wichtige Roe in der Agemeinen Reativitätstheorie von Einstein. Dort ist die Riemannsche Metrik des Universums gegeben durch die Massenverteiung. Es fogt, dass der physikaische Raum um so mehr gekrümmt ist je höher die Massenkonzentration ist (aso am höchsten in der Nähe eines schwarzen Loches. Genauer autet die reevante Einstein Geichung: Ricci Krümmung := k Rk ikj = R ij = 8π(T ij 1 2 g ijt, wobei T ij der sog. Energietensor ist (er beschreibt die Gesamtverteiung der Energie im Universum - und in Einsteins Theorie ist ja Energie = Masse, wegen E = mc 2 und siehe Anhang 1 für die Definition von Rijk. Die Krümmungen des physikaischen Raumes erkären wiederum die Abenkung des Lichtes durch die Sonne (und anderen Sternen. Für weitere wichtige Konsequenzen konsutiere man die einschägige Literatur (z.b. [R.M. Wad, Genera Reativity, Univ. Chicago Press] oder [S.W. Hawking & G.F.R. Eis, The arge scae structure of space-time, Cambridge Monographs]. Man wird dort sehen, dass Rechnungen äusserst schwierig und Lösungen der Einstein Geichung nur schwer zu finden sind. Kaus Johannson, Geometrie

7 13 Riemannsche Geometrie II 85 Anhang 1. Berechnung der Riemannschen Krümmung. Die Riemannsche Krümmung hängt nur von der Riemmanschen Metrik und der Wah eines Zusammenhangs ab. Der Riemannsche Zusammenhang ist aber durch die Riemannsche Metrik eindeutig gegeben. Aso muss im Prinzip die Riemannsche Krümmung aein aus der Riemannschen Metrik berechenbar sein. Hier woen wir zeigen wie das geht. Zunächst seien X i = die kanonischen Basisvektoren. Dann definiere man Koeffizienten Rijk durch R(X i,x j X k = RijkX. Nun ist R(X i,x j X k = D Xj D Xi X k D Xi D Xj X k ( ( =D Xj Γ ikx D Xi Γ jkx = = = = s ( DXj ( Γ ik X DXi ( Γ jk X ( Γ ikd Xj X + Γ ik X ( ( Γ ik Γ s jx s ( Γ jk Γ s ix s + s s ( Γ jkγ s i + Γ s ik Γ ikγ s j Γ jkd Xi X + Γ jk X Γ s jk X s Γ ik X Γ jk X Aso R s ijk = Γ ikγ s j Γ jkγ s i + Γ s ik Γ s jk. und somit R ijks := < R(X i,x j X k,x s > = < R ijkx,x s > = R ijkg s Anhang 2. Die Krümmung der hyperboischen Ebene. Die hyperboische Geometrie ist gegeben durch [ ] [ ] [ ] g11 g g := 12 x 2 = 2 0 g 21 g 22 0 x 2, g 1 x 2 = x 2. 2 Die Riemannsche Krümmung ist gegeben durch K 12 = R 1212 g 11 g 22. Kaus Johannson, Geometrie

8 86. Geometrie Wir berechnen jetzt K 12 in zwei Schritten: 1. Schritt. Berechnung der Christoffe Symboe Es ist g 11 = g 22 = x 2 2 = 0, x 1 x 1 x 1 g 11 = g 22 = x 2 2 = 2x 3 2 x 2 x 2 x 2 und die Christoffe Symboe sind gegeben durch: Γ 1 11 = 1 2 Γ 2 11 = 1 2 Γ 1 12 = 1 2 Γ 2 12 = 1 2 Γ k ij = 1 2 m gjm g 12 = g 21 = 0 = 0, x 1 x 1 x 1 g 12 = g 21 = 0 = 0 x 2 x 2 x 2 + g mi ij g mk = 1 gjk + g ki ij x 2 2 x m 2 x k g11 + g x 2 2 = 0, Γ 1 21 = 1 g11 + g x 2 2 = 1 x 1 x 1 x 1 2 x 2 x 1 x 1 x 2 g12 + g x 2 2 = + 1, Γ 2 21 = 1 g12 + g x 2 2 = 0 x 1 x 1 x 2 x 2 2 x 2 x 1 x 2 g21 + g x 2 2 = 1, Γ 1 22 = 1 g21 + g x 2 2 = 0 x 1 x 2 x 1 x 2 2 x 2 x 2 x 1 g22 + g x 2 2 = 0, Γ 2 22 = 1 g22 + g x 2 2 = + 1. x 1 x 2 x 2 2 x 2 x 2 x 2 x 2 2. Schritt. Berechnung der Krümmung Aso R s ijk = Γ ikγ s j Γ jkγ s i + Γ s ik Γ s jk = Γ 1 ikγ s j1 + Γ 2 ikγ s j2 Γ 1 jkγ s i1 Γ 2 jkγ s i2 + Γ s ik R = Γ 1 11Γ Γ 2 11Γ 2 22 Γ 1 21Γ 2 11 Γ 2 21Γ x 2 Γ 2 11 = 0 x x x = x 2 2. Γ s jk x 1 Γ 2 21 Nach diesen Vorbereitungen können wir jetzt die Riemannsche Krümmung wie fogt ausrechnen: R ijij = Rijig j = Rijig 1 1j + Rijig 2 2j R 1212 = R121g R121g 2 22 = 0 + R121g 2 22 = x 2 2 x 2 2 = x 4 2 K 12 = R 1212 = x 4 2 g 11 g 22 x 2 2 x 2 2 = 1. Kaus Johannson, Geometrie

9 13 Riemannsche Geometrie II 87 Bemerkung. Aso ist die Krümmung der hyperboischen Ebene (R 2,g mit g ij = x 2 2, i = j 0, i j konstant = -1. Man rechnet schne nach, dass dagegen die Krümmung der Eukidischen Ebene (R 2,g mit 1, i = j g ij = 0, i j konstant = 0 ist. Somit gibt es keine gobae oder okae Isometrie zwischen diesen beiden Geometrien (es gibt aso keinen wirkich akkuraten Eukidischen Atas der hyperboischen Ebene, obwoh sich natürich die hyperboische Ebene ebenso wie die sphärische Kuge in keinen Bereichen immer mehr der Eukidischen Ebene annähert. Das Materia dieses Abschnitts ist im großen und ganzen aus [M. docarmo, Riemannian Geometry] und [N. Hicks, Notes on Differentia Geometry] Kaus Johannson, Geometrie