Leseprobe. Raimond Dallmann. Baustatik 2. Berechnung statisch unbestimmter Tragwerke. ISBN (Buch): ISBN (E-Book):

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1 Leseprobe Raimond Damann Baustatik Berechnung statisch unbestimmter Tragwerke ISBN (Buch): ISBN (E-Book): Weitere Informationen oder Besteungen unter sowie im Buchhande. Car Hanser Verag, München

2 Vorwort Der voriegende zweite Band dieses Lehrbuches vermittet die grundegenden Kenntnisse zur Berechnung von Formänderungen sowie der Kraft- und Verformungszustände statisch unbestimmter Tragwerke. Der überwiegende Tei des Inhats ist aus den von mir an der Fachhochschue in Wismar gehatenen Lehrveranstatungen entstanden. Das Buch richtet sich an Studierende des Bauingenieurwesens. Vorausgesetzt werden Kenntnisse der Berechnung statisch bestimmter Tragwerke, die im Band 1 behandet wurden. Es werden in Kapite 1 zunächst die Grundagen zur Berechnung von Formänderungen stabförmiger Tragwerke vermittet. Ausgehend von den der Berechnung stabförmiger Bauteie zugrunde iegenden Hypothesen werden die Grundgeichungen der Stabtheorie hergeeitet. Ein weiteres Thema dieses Kapites ist die Berechnung einzener Verformungen mit dem Prinzip der virtueen Kräfte und die Ermittung von Biegeinien. Die kassischen Verfahren zur Berechnung statisch unbestimmter Systeme sind das Kraftgrößenverfahren und das Weggrößenverfahren. Beide Methoden werden auf anschauichem Wege ausführich eräutert. Das Kraftgrößenverfahren wird in Kapite dargestet, das Drehwinkeverfahren as Speziafa des agemeinen Weggrößenverfahrens ist Inhat von Kapite. Sowoh beim Kraftgrößen- as auch beim Drehwinkeverfahren werden neben der Beanspruchung durch äußere Kraftgrößen auch Verformungseinwirkungen ausführich behandet. Die Ermittung von Einfussinien für Schnittgrößen und Verformungen statisch unbestimmter Systeme wird in Kapite 4 dargestet und erfogt auf der Grundage beider Berechnungsmethoden. Anhand vieer voständig durchgerechneter Beispiee wird die Anwendung der theoretischen Grundagen in jedem Kapite anschauich eräutert. Obwoh das Lehrgebiet der Baustatik durch den Einsatz des Computers einen Wande erfahren hat, ist die Baustatik as Grundagenfach für den Konstruktiven Ingenieurbau nach wie vor unverzichtbar. Das Verständnis des Trag- und Verformungsverhatens einer Konstruktion kann nicht durch den Einsatz von Software ersetzt werden. Nur soide Kenntnisse der Baustatik ermögichen den Entwurf sicherer, gebrauchstaugicher und wirtschafticher Tragwerke. Es ist nicht Zie dieses Buches, die Statik der Stabtragwerke umfassend darzusteen, sondern viemehr in die Methoden zur Berechnung von Verformungen und statisch unbestimmter Tragwerke einzuführen und damit die Grundage für ein vertieftes Studium der Baustatik zu schaffen. Um einen anschauichen Zugang zu den Berechnungsverfahren zu ermögichen und um den Abstraktionsgrad niedrig zu haten, wird auf die Darsteung matrizieer Methoden bewusst verzichtet. Die kassischen Verfahren fördern durch ihre Anschauichkeit das Verständnis des Tragverhatens insbesondere statisch unbestimmter Systeme. Es ist daher wichtig, dass die Vermittung der Berechnungsmethoden nicht auf die Anwendung rezeptartiger Agorithmen ausgerichtet ist. Speziee Methoden, die darauf abzieen, die Aufösung von Geichungssystemen mit vieen Unbekannten zu vermeiden, werden nicht behandet, da dieser Aspekt heutzutage bedeutungsos ist. Es wird beim Lesen dieses Buches sicher manche Steen geben, bei denen sich das erwünschte Verständnis nicht unmittebar einstet. Oft ist es dann hifreich, die Zusammenhänge zunächst in der Anwendung auf ein konkretes Beispie zu betrachten und danach den nicht richtig verstandenen Abschnitt nochmas zu esen. Sebst wenn die Berechnung der Beispiee nachvozogen werden kann, ist es doch etwas vöig anderes, vor dem eeren Batt Papier zu sitzen und den richtigen Ansatz zur Lösung finden zu müssen. Darum enthät auch dieses Buch zahreiche Übungsaufgaben, die die so wichtige eigenständige Übung des Lehrstoffes ermögichen. Die Lösungen sind am Ende des Buches angegeben. Die voständigen Lösungswege sind im Internet unter zu finden.

3 6 Vorwort Ich wünsche mir, dass dieses Buch den Lesern zu dem erhofften Lernerfog verhift und würde mich über Hinweise, und Anregungen zur Verbesserung des Inhats sehr freuen. Dank gebührt Frau Franziska Kaufmann und ganz besonders Frau Christine Fritzsch vom Car Hanser Verag für die sehr freundiche und angenehme Zusammenarbeit. Für die Kontroe der Beispiee und Aufgaben sowie für die wertvoen Hinweise bei der Durchsicht des Manuskripts danke ich Frau Bianca Hennings ganz herzich. Abschießend möchte ich mich wieder ganz besonders bei meiner Frau Nanette bedanken, die auch beim Entstehen des zweiten Buches vie Gedud und Verständnis aufbringen musste und mich in vieerei Hinsicht beim Schreiben unterstützte. Die voriegende dritte Aufage dieses Buches ist inhatich unverändert, es wurden jedoch bekannt gewordene Feher korrigiert. Ich danke für die zahreichen Hinweise sowie für die überwiegend sehr positive Beurteiung des Buches. Tressow, im Frühjahr 01 Raimond Damann Vorwort zur vierten Aufage Auch die dritte Aufage ist von den Lesern sehr positiv aufgenommen worden. In der voriegenden vierten Aufage wurden immer noch vorhandene Feher korrigiert. Weitere Hinweise und Anregungen aus dem Leserkreis zur Verbesserung des Inhats sind stets wikommen Ich danke Herrn Phiipp Thorwirth vom Lektorat des Car Hanser Verages für die gute und angenehme Zusammenarbeit. Tressow, im Jui 015 Raimond Damann

4 7 Inhatsverzeichnis 1 Berechnung der Weggrößen stabförmiger Tragwerke Einführung Weggrößen Formänderungen Formänderungen infoge Dehnung Kinematik Stoffgesetz Verträgichkeit Geichgewicht Formänderungen infoge Biegung und Temperaturdifferenz Kinematik Stoffgesetz Verträgichkeit Geichgewicht Formänderungen infoge Querkraft Formänderungen infoge Torsion Kinematik Stoffgesetz Verträgichkeit Geichgewicht Anaogien Anaogie zwischen Dehn- und Torsionsstab und Bakengeichgewicht Mohrsche Anaogie Formänderungsarbeiten Äußere Eigenarbeiten Äußere Verschiebungsarbeiten Innere Verschiebungsarbeit Innere Eigenarbeit Ermittung einzener Verformungen Arbeitsgeichung des Prinzips der virtueen Kräfte Federn Eingeprägte Aufagerverformungen Geichgewichtsbedingung des virtueen Kraftgrößenzustands

5 Inhatsverzeichnis Anwendung der Arbeitsgeichung Berechnung der Integrae Einheiten Grundfäe der Einzeverformungsberechnung Größenordnung der Verformungsanteie Ermittung von Biegeinien Ermittung der Biegeinie aus der Differenziageichung Ermittung der Biegeinie mithife der w-zahen Der Satz von Betti Der Satz von Maxwe Aufgaben 1.1 bis Das Kraftgrößenverfahren Grundagen Einführung Statisch bestimmtes Hauptsystem Lastspannungszustand Einheitsspannungszustände Ermittung der d-werte Verformungsbedingungen Ermittung der Schnittgrößen Einheiten Kontroen Verformungsbeanspruchungen Eingeprägte Aufagerverschiebung Eingeprägte Aufagerdrehung Temperaturdifferenz, oben wärmer Agemeines Vorgehen Einfuss der Steifigkeiten, Ersatzfedern Wah des Hauptsystems Verformungsberechnung bei statisch unbestimmten Systemen Veragemeinerung des Kraftgrößenverfahrens Aufgaben.1 bis Das Drehwinkeverfahren Grundagen Einführung

6 Inhatsverzeichnis 9.1. Drehwinkeverfahren und agemeines Weggrößenverfahren Kinematisch bestimmtes Hauptsystem Grundeemente Ermittung der erforderichen Festhatungen Lastverformungszustand Einheitsverformungszustände Knotendrehungen Stabsehnendrehungen Vorzeichen des Drehwinkeverfahrens Geichgewichtsbedingungen Ermittung der Schnittgrößen Kontroen Vorgehensweise beim Drehwinkeverfahren Vergeich von Drehwinke- und Kraftgrößenverfahren Aufgaben.1 bis Einfussinien statisch unbestimmter Systeme Einfussinien für Schnittgrößen Einführung Berechnung nach dem Kraftgrößenverfahren Auswertung der Einfussinien Anaytische Integration Numerische Integration Einfussinien bei Durchaufträgern Einfussinien bei verzweigten Systemen Berechnung nach dem Drehwinkeverfahren Einfussinien für Weggrößen Aufgaben 4.1 bis Lösungen Anhang: Tafen Literaturverzeichnis Sachwortverzeichnis

7 6 Das Kraftgrößenverfahren.1 Grundagen.1.1 Einführung Ein statisch bestimmtes System ist dadurch gekennzeichnet, dass die Bianz zwischen unbekannten Kraftgrößen und den für die Berechnung zur Verfügung stehenden Geichungen ausgewogen ist. Diese Bianz wird durch das Abzähkriterium geprüft. Wenn ae Aufager- und Schnittgrößen mithife der Geichgewichtsbedingungen ermittet werden können, ist ein System statisch bestimmt. Sind mehr unbekannte Aufager- und Schnittgrößen as Geichgewichtsbedingungen vorhanden, so ist das System statisch unbestimmt. Die Unbekannten können nicht aein durch Geichgewichtsbedingungen berechnet werden, es müssen zusätzich Verformungen betrachtet werden, um die Lösung zu ermitten. Wir betrachten zur Eräuterung der Zusammenhänge den einseitig eingespannten Baken in Bid.1. A h M a A v Bid.1 a q Einseitig eingespannter Baken Durch die dreiwertige Lagerung im Punkt a sowie die einwertige Lagerung in b sind insgesamt vier unbekannte Aufagerreaktionen vorhanden. Das Abzähkriterium ergibt: n = a + z p = = 1 Das System ist aso einfach statisch unbestimmt. Um die Geichgewichtsbedingungen zu erfüen, sind nur drei Aufagerreaktionen erforderich. Ist eine der vier Unbekannten geich nu, so assen sich die anderen drei Kraftgrößen mithife der Geichgewichtsbedingungen ermitten. Damit nur drei unbekannte Kraftgrößen vorhanden sind, setzten wir eine der vier Unbekannten geich nu. Wir b B wähen zunächst die Aufagerkraft B. Wenn B geich nu ist, entspricht dies einem einfachen Kragträger. Das Nusetzen der Aufagerkraft B entspricht aso dem Lösen einer kinematischen Bindung, hier dem Entfernen des einwertigen Aufagers. Das durch das Lösen der Bindung entstandene veränderte System nennt man statisch bestimmtes Hauptsystem, es ist in Bid. dargestet. Bid. Statisch bestimmtes Hauptsystem An diesem System können nun ae Aufagerkräfte und Schnittgrößen ermittet werden. Die Momenteninie sowie die Verformung infoge der Beastung am statisch bestimmten Hauptsystem zeigt Bid.. Diese Lösung nennt man Lastspannungszustand. Durch die Verformung des Kragträgers infoge der Beastung entsteht eine vertikae Verschiebung des Punktes b, die am wirkichen System nicht auftreten kann, da dort ein Aufager vorhanden ist Bid. q w b = 10 Momenteninie und Verformung infoge der Streckenast am statisch bestimmten Hauptsystem Durch das Entfernen des Aufagers, aso das Lösen der Bindung, wird eine Verformungsbedingung veretzt, in diesem Fa die Bedingung, dass die Verschiebung des Aufagerpunktes b geich nu sein muss. Die Verformungsbedingung wird veretzt, wei durch das Lösen der Bindung eine Kraftgröße zu nu gesetzt wurde, die tatsächich nicht geich nu ist. M 0 w 0

8 64 Das Kraftgrößenverfahren Die Idee des Kraftgrößenverfahrens besteht nun darin, die im Punkt b wirkende, noch unbekannte Aufagerkraft in ihrer Größe so zu bestimmen, dass die Verformung infoge der Beastung wieder rückgängig gemacht wird. Dafür wird die Verformung des Punktes b benötigt. Um die Verschiebung infoge der Streckenast mit dem Prinzip der virtueen Kräfte zu berechnen, wird eine virtuee Kraft 1 im Punkt b aufgebracht, siehe Bid.4. Durch Auswertung der Arbeitsgeichung fogt die gesuchte Verformung: 1 ' 10 ' --- I c 10 I MM 0 dx = = = = Der Grund für die Bezeichnung der Verformung mit einer Doppeindizierung wird später deutich werden. 1 Bid.4 Virtueer Zustand Die berechnete Verformung ' 10 muss nun mit einer Kraft an der Spitze des Kragträgers rückgängig gemacht werden. Wie groß muss diese Kraft sein, damit sie den Punkt b wieder in die Ausgangsage zurückschiebt? Um zu ermitten, weche Verformung eine Einzekraft im Punkt b am Kragträger bewirkt, bringen wir eine Kraft der Größe eins auf, siehe Bid.5. Es wäre jedoch grundsätzich auch mögich, einen anderen Wert anzusetzen. Die Lösung infoge der angesetzten Einheitskraftgröße bezeichnet man as Einheitsspannungszustand. 1 Bid Einheitskraft am statisch bestimmten Hauptsystem Um die Verformung infoge der Einheitskraft zu ermitten, verwenden wir wieder den virtueen Zustand aus Bid.4: 11 M M 1 w 1 I c 1 ' 11 = ' = I MM 1 dx = 1 -- = Wirkt im Punkt b eine Kraft der Größe X 1, ist die daraus fogende Verformung das X 1 -fache der Verformung infoge der Einheitskraft. Unter der geichzeitigen Wirkung der Streckenast sowie der Einzekraft muss sich im Punkt b eine Verformung von nu ergeben. Diese Aussage ist die Verformungsbedingung zur Bestimmung des Faktors X 1 : ' 11 X 1 + ' 10 = 0 Aufösen der Geichung nach der Unbekannten X 1 und Einsetzen der berechneten Verformungen ' 10 und ' 11 führt auf: ' X 10 1 = = = ' Dieser Wert entspricht der gesuchten Aufagerkraft im Punkt b. Die endgütige Momenteninie erhaten wir durch Superposition beider Teiösungen: M = X 1 M 1 + M 0 Im Aufagerpunkt a ergibt sich: M a -- = = Damit kann die gesamte Momenteninie durch Einhängen der q -Parabe gezeichnet werden, siehe Bid Bid Endgütige Momenteninie Die endgütige Momenteninie am statisch unbestimmten System in Bid.6 kann as Lösung am statisch bestimmten Hauptsystem infoge der geichzeitigen Wirkung von Streckenast und Einzekraft am Ende des Kragträgers aufgefasst werden. Wirken die in Bid.7 dargesteten Beastungen, ergibt sich die Lösung in Bid.6. M ---

9 .1 Grundagen 65 Bid.7 q -- Statisch bestimmtes Hauptsystem unter der Wirkung von Streckenast und Einzekraft Um zu überprüfen, ob die Verschiebung des Punktes b geich nu ist, werten wir für den virtueen Zustand in Bid.4 die Arbeitsgeichung aus: I c 1 ' 1 = ' 1 = --- MMdx I = = 0 Mit dieser Kontroe der Verformung im Punkt b ist die Berechnung nach dem Kraftgrößenverfahren bestätigt worden. Die Verformungsbedingung wird aso erfüt. Bei der obigen Berechnung wurde die zunächst zu nu gesetzte Aufagerkraft im Punkt b as Einheitsgröße vorgegeben. Dieser Einheitsspannungszustand ist in Bid.5 dargestet. Um die Verformungsbedingung zu erfüen, war es erforderich, die Verschiebung des Punktes b zu ermitten. Der für die Verformungsberechnung benötigte virtuee Zustand in Bid.4 unterscheidet sich vom Einheitszustand in Bid.5 nur durch den Querstrich der virtueen Größen. Beide Zustände sind forma identisch. Es wird daher im Fogenden der Einheitsspannungszustand auch as virtueer Zustand für die Berechnung der Verformungen benutzt. Wir führen nun die Berechnung nochmas mit einem anderen Hauptsystem durch. Das Nusetzen der Aufagerkraft, aso das Entfernen des Aufagers im Punkt b ist nur eine von unendich vieen Mögichkeiten, das Hauptsystem zu wähen. Wir ösen nun eine kinematische Bindung so, dass ein Moment geich nu gesetzt wird. Dies entspricht dem Einegen eines Momentengeenkes. Es bietet sich in diesem Fa der Punkt a an. Durch das Einegen eines Geenkes in diesem Punkt wird aus dem dreiwertigen ein zweiwertiges Aufager, das nur Kräfte aufnehmen kann. Das daraus resutierende statisch bestimmte Hauptsystem ist der einfache Baken auf zwei Stützen. Das Hauptsystem sowie die Momenten- und Biegeinie infoge der Streckenast sind in Bid. dargestet. Durch das Lösen der Bindung, aso dem Einegen des Geenkes kann sich der Stab im Aufagerpunkt a frei verdrehen. Am wirkichen System ist eine Einspannung vorhanden, sodass die Biegeinie in diesem Punkt eine horizontae Tangente habe müsste. Die Drehung der Tangente im Punkt a veretzt daher die Verformungsbedingungen des wirkichen Systems. Bid. Lastspannungszustand am beidseitig geenkigen Baken Das im Punkt a zu nu gesetzte Biegemoment wird nun as Einheitsgröße angesetzt, dies ergibt den Einheitsspannungszustand in Bid.9. Das Einheitsdoppemoment im Punkt a erzeugt in diesem Punkt den Knick 11. Wie groß muss das Doppemoment in diesem Punkt sein, damit es den durch die Beastung in diesem Punkt erzeugten Knick wieder aufhebt? 1 a M = 1 1 Bid.9 q Einheitsspannungszustand Um die Größe des Doppemomentes zu bestimmen, müssen die Knicke infoge der Beastung sowie des Einheitsdoppemomentes berechnet werden. Die Berechnung dieser Einzeverformung erfordert einen virtueen b M 0 10 w M 1 w 1

10 66 Das Kraftgrößenverfahren Zustand, der mit dem Einheitszustand forma identisch ist. Wir benutzen daher den Einheitsspannungszustand auch as virtueen Zustand, um die Knicke zu berechnen. In der Arbeitsgeichung wird daher M durch M 1 ersetzt. Damit ergibt sich der Knick in a infoge der Streckenast zu: 1 ' 10 ' --- I c 10 I M 1 M 0 dx 1 -- = = = = Wie aus obiger Geichung zu erkennen ist, entspricht die Indizierung des ' -Wertes den Indizes der Momentenfunktionen unter dem Integrazeichen. Beide Indizes werden getrennt gesprochen. ' 10 aso deta-eins-nu-strich und nicht etwa deta-zehn-strich! Die Indizes geben Ort und Ursache der Verformung an. Der Index 0 bezeichnet die Beastung, der andere Index den Einheitsspannungszustand. ' 10 ist aso die Verformung an der Stee, an der die erste Bindung geöst wurde (Ort), infoge der Beastung (Ursache). Anaog berechnen wir den Knick in a infoge des Doppemomentes mit: 1 ' 11 ' --- I c 11 I M I c = = 1 M 1 dx = --- I M d x = 1 = -- Dadurch, dass M durch M 1 ersetzt wird, sind die tatsächiche Momenteninie, aso der Einheitszustand und die virtuee Momenteninie geich. Der Wert ' 11 ist die Verformung an der ersten geösten Bindung (Ort) infoge der Einheitsdoppegröße an der ersten geösten Bindung (Ursache). Für die Ermittung der -Werte mit geichen Indizes kann die etzte Spate der Integratafe A7 vorteihaft genutzt werden. Die Verformungsbedingung zur Ermittung der Größe des Doppemoments im Punkt a autet wiederum: 11 X = 0 Anschauich bedeutet dies, dass der Knick im Aufagerpunkt a geich nu sein muss. Aus dieser Geichung fogt die Unbekannte X 1 : X = = = Die daraus durch Superposition fogende endgütige Momenteninie entspricht der aus Bid.6. Es wurden zwei Varianten für die Bidung des statisch bestimmten Hauptsystems betrachtet, wobei jeweis eine Schnittgröße geich nu gesetzt wurde, die einer Aufagerkraftgröße entspricht. Wie schon erwähnt wurde, existieren unendich viee Mögichkeiten, das Hauptsystem zu biden, wei es unendich viee Schnittgrößen (an jeder Stee x) gibt. Es ist jedoch unbedingt auszuschießen, dass durch das Lösen einer Bindung ein kinematisch verschiebiches System entsteht, da hierfür kein Geichgewichtszustand ermittet werden kann. Bei dem voriegenden beidseitig eingespannten Träger dürfte von den drei Aufagerkraftgrößen nicht die horizontae Aufagerkraft geich nu gesetzt werden, wie es in Bid.10 dargestet ist. Obwoh das Abzähkriterium n = 0 ergibt, ist das System verschiebich, da es sich spannungsfrei horizonta verschieben kann. M a a b A v Bid.10 Kinematisch verschiebiches Hauptsystem.1. Statisch bestimmtes Hauptsystem Wie anhand des Einführungsbeispies eräutert wurde, besteht der Grundgedanke des Kraftgrößenverfahrens darin, das tatsächiche System so zu verändern, dass es statisch bestimmt ist, aso nur mithife von Geichgewichtsbedingungen berechnet werden kann. Ist ein System n-fach statisch unbestimmt, so gibt es n Kraftgrößen, die zur Erfüung der Geichgewichtsbedingungen nicht benötigt werden. Es werden so viee kinematische Bindungen geöst, d. h. Kraftgrößen geich nu gesetzt, bis das System statisch bestimmt ist. Bei einem n-fach statisch unbestimmten System sind demnach n Bindungen zu ösen. An den geösten Bindungen entstehen Reativverformungen, die am tatsächichen System nicht vorhanden sind. Diese Reativverformungen veretzen die Verformungsbedingungen. B

11 .1 Grundagen 67 Das in Bid.11 dargestete zweifach statisch unbestimmte System wird durch das Lösen zweier Bindungen statisch bestimmt. Im Punkt a wird ein Geenk eingefügt und im Punkt c wird das einwertige Aufager entfernt. An diesem Hauptsystem entsteht durch die Kraft ein Knick im Punkt a sowie eine Verschiebung des Punktes c. Diese Verformungen können am wirkichen System nicht auftreten. F a b c F M 0 Es sind n Momenteninien M i (gegebenenfas auch N i und V i ) infoge der Einheitsdoppegrößen am statisch bestimmten Hauptsystem zu ermitten. Bid.1 zeigt die Einheitsspannungszustände für das zweifach statisch unbestimmte System aus Bid.11. Es wird zunächst ein Doppemoment der Größe 1 im Punkt a angesetzt. Dieses bewirkt einen Knick im Punkt a sowie eine Verschiebung des Punktes c. Die zweite anzusetzende Einheitsgröße ist die Aufagerkraft im Punkt c. Durch diese Kraft ergibt sich eine Verschiebung des Punktes c sowie ein Knick im Punkt a. M a = 1 M 1 a w c 0 w w 1 Bid.11 Zweifach statisch unbestimmtes System und Lastspannungszustand.1. Lastspannungszustand Die Zustandsgrößen infoge der Beastung am statisch bestimmten Hauptsystem biden den Lastspannungszustand, siehe Bid.11. Die Biegeinie wird für die Berechnung nicht benötigt, sie dient nur der Veranschauichung. Die Momenteninie M 0 infoge der Beastung am statisch bestimmten Hauptsystem fogt aus den Geichgewichtsbedingungen. Bei Berücksichtigung von Norma- und Querkraftverformungen sind zusätzich auch N 0 und Q 0 zu berechnen. Bei Verformungsbeanspruchungen entfät dieser Punkt, da ae Schnittgrößen geich nu sind..1.4 Einheitsspannungszustände Die durch das Lösen der Bindungen zu nu gesetzten Kraftgrößen werden unabhängig voneinander as Einheitsgrößen angesetzt, um ihre Größe so zu bestimmen, dass die Verformungsbedingungen erfüt werden. Im Agemeinen erzeugt jede der Einheitskraftgrößen an aen geösten Bindungen Reativverformungen. 1 Bid.1 Einheitsspannungszustände.1.5 Ermittung der d-werte C = 1 Die an den geösten Bindungen auftretenden Reativverformungen infoge der Beastung ( j0 ) sowie der Einheitsdoppegrößen ( jk ) werden durch Auswertung der Arbeitsgeichung des Prinzips der virtueen Kräfte berechnet. Die hierfür benötigten virtueen Zustände sind forma mit den Einheitsspannungszuständen identisch. Für die Berechnung der Verformungen werden daher die Einheitszustände geichzeitig as virtuee Zustände benutzt. M w

12 191 Sachwortverzeichnis A Abzähkriterium 6 Adjungiertes System 5 Anaoge Randbedingungen 5 Anaogien 4 Anaytische Integration 15 Arbeitsgeichung, 5, 6 Aufagerdrehung Aufagerverschiebung Äußere Arbeiten Äußere Verschiebungsarbeit Äußere Weggrößen 1 Auswertung der Einfussinien 15 Axiaverschiebung 1 B Bandstruktur 9 Bernoui-Hypothese 15, 16 Biegeinien 51 Biegesteifigkeit 17 Biegung 15 D Dehnstarrheit 116 Dehnung 1 Drehfeder Drehfedersteifigkeit Drehfesthatung 114, 117 Drehwinkeverfahren 114, 116 -Werte 67 E Eigenarbeiten Einfussinien 15 Einfussinien für Schnittgrößen 15 Einfussinien für Weggrößen 17 Eingeprägte Aufagerdrehung 71, 96 Eingeprägte Aufagersenkung 96 Eingeprägte Aufagerverformungen Eingeprägte Aufagerverschiebung 69 Einheiten 7, 6 Einheitsdoppegrößen 67 Einheitskraftgröße 64 Einheitsspannungszustand 64, 67, 7 Einheitsverdrehung 115 Einheitsverformungszustand 115, 11 Einzeverformungsberechnung 7 Eastische Einspannung Eastische Länge 119 Eastizitätsgeichungen 6 Eastizitätsmodu 1, 1 Energiesatz 9 Ersatzfedern 0 F Fachwerksystem 5, 6 Federn Federsteifigkeit, 4 Festhatung 116, 117 Formänderungen 1 Formänderungsarbeit Formänderungsenergie 0 G Gebrauchstaugichkeit 11 Geenkfigur 11 Geenksystem 11 Geichgewichtsbedingung 115 Geichgewichtsbedingungen 119 Geichmäßige Erwärmung 96 Grundeement 114, 116 H Hauptachsensystem 16, 1 Hauptsystem 9 Hookesches Gesetz 1, 16, Hypothesen 1 I Innere Arbeiten Innere Eigenarbeit Innere Verschiebungsarbeit 9, 0 Innere Weggrößen 1 K Kinematisch bestimmt 114, 116 Kinematisch bestimmtes Hauptsystem 114, 116 Kinematisch unbestimmt 114 Kinematische Kette 10, 15 Kinematische Methode 15 Knotendrehungen 11 Knotenmoment 119 Koeffizientenmatrix 9 Konjugierte Größen 1 Kontroen 6, 1 Kraftgrößenverfahren 6 Krümmung 15, 16 Krümmungskreis 15 Krümmungsradius 16 L Lagrangesche Befreiung 10, 15 Lastspannungszustand 6, 67, 7 Lastverformungszustand 115, 11 M Materiagesetz 17 Mohrsche Anaogie 6 N Numerische Integration 159 P Popan 10 Prinzip der virtueen Kräfte Prinzip der virtueen Verschiebungen 10, 15 Q Querkraftverformung 1 R Reduktionssatz 94, 95 Reativverformung 66, 67, 6 S Satz von Betti 59 Satz von Maxwe 60, 17 Schubdeformation 1 Schubgeitung 1 Schubmodu 1 Schubverformung 1, 19, 1 Schubverzerrung 1, 19, St. Venantsche Torsion Stabendmomente 115 Stabsehnendrehung 119 Stabsehnendrehwinke 119 Statisch bestimmtes Hauptsystem 6, 66, 7 Statisch unbestimmt 6 Steifigkeiten 0 Stoffgesetz 1, 16 Superposition 6, 11 T Temperaturänderung 1 Temperaturausdehnungskoeffizient 1 Temperaturdifferenz 15, 17, 7 Temperaturverauf 17 Theorie I. Ordnung 11 S S

13 19 Sachwortverzeichnis Theorie II. Ordnung 11 Torsion Trapezrege 159 U Überagerung 7 V Verdriung Verformungsbeanspruchungen 69 Verformungsbedingung 6, 64, 6 Verformungsbedingungen 66 Verformungskontroen 69 Vergeichssteifigkeit 6 Verschiebungsarbeit, 9 Verschiebungsfesthatung 116, 117 Verwöbung 1 Verzerrungen 1 Virtue Virtuee Arbeit 10 Virtuee Stabdrehung 10 W w - Zahen 5 Wanderast 15 Weggrößen 1 Weggrößenverfahren 116 Werkstoffgesetz 1 Wöbkrafttorsion S