Vorwort. Raimond Dallmann. Baustatik 2. Berechnung statisch unbestimmter Tragwerke ISBN:

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1 Vorwort Raimond Damann Baustatik Berechnung statisch unbestimmter Tragwerke ISBN: Weitere Informationen oder Besteungen unter sowie im Buchhande. Car Hanser Verag, M&uum;nchen

2 Vorwort Der voriegende zweite Band dieses Lehrbuches vermittet die grundegenden Kenntnisse zur Berechnung von Formänderungen sowie der Kraft- und Verformungszustände statisch unbestimmter Tragwerke. Der überwiegende Tei des Inhats ist aus den von mir an der Fachhochschue inwismar gehatenen Lehrveranstatungen entstanden. Das Buch richtet sich an Studierende des Bauingenieurwesens. Vorausgesetzt werden Kenntnisse der Berechnung statisch bestimmter Tragwerke, die im Band 1behandet wurden. Es werden in Kapite 1 zunächst die Grundagen zur Berechnung von Formänderungen stabförmiger Tragwerke vermittet. Ausgehend von den der Berechnung stabförmiger Bauteie zugrunde iegenden Hypothesen werden die Grundgeichungen der Stabtheorie hergeeitet. Ein weiteres Thema dieses Kapites ist die Berechnung einzener Verformungen mit dem Prinzip der virtueen Kräfte und die Ermittung von Biegeinien. Die kassischen Verfahren zur Berechnung statisch unbestimmter Systeme sind das Kraftgrößenverfahren und das Weggrößenverfahren. Beide Methoden werden auf anschauichem Wege ausführich eräutert. Das Kraftgrößenverfahren wird in Kapite dargestet, das Drehwinkeverfahren as Speziafa des agemeinen Weggrößenverfahrens ist Inhat von Kapite. Sowoh beim Kraftgrößen- as auch beim Drehwinkeverfahren werden neben der Beanspruchung durch äußere Kraftgrößen auch Verformungseinwirkungen ausführich behandet. Die Ermittung von Einfussinien für Schnittgrößen und Verformungen statisch unbestimmter Systeme wird in Kapite 4dargestet und erfogt auf der Grundage beider Berechnungsmethoden. Anhand vieer voständig durchgerechneter Beispiee wird die Anwendung der theoretischen Grundagen in jedem Kapite anschauich eräutert. Obwoh das Lehrgebiet der Baustatik durch den Einsatz des Computers einen Wande erfahren hat, ist die Baustatik as Grundagenfach für den Konstruktiven Ingenieurbau nach wie vor unverzichtbar. Das Verständnis des Trag- und Verformungsverhatens einer Konstruktion kann nicht durch den Einsatz von Software ersetzt werden. Nur soide Kenntnisse der Baustatik ermögichen den Entwurf sicherer, gebrauchstaugicher und wirtschafticher Tragwerke. Es ist nicht Zie dieses Buches, die Statik der Stabtragwerke umfassend darzusteen, sondern viemehr in die Methoden zur Berechnung von Verformungen und statisch unbestimmter Tragwerke einzuführen und damit die Grundage für ein vertieftes Studium der Baustatik zu schaffen. Um einen anschauichen Zugang zu den Berechnungsverfahren zuermögichen und um den Abstraktionsgrad niedrig zu haten, wird auf die Darsteung matrizieer Methoden bewusst verzichtet. Die kassischen Verfahren fördern durch ihre Anschauichkeit das Verständnis des Tragverhatens insbesondere statisch unbestimmter Systeme. Es ist daher wichtig, dass die Vermittung der Berechnungsmethoden nicht auf die Anwendung rezeptartiger Agorithmen ausgerichtet ist. Speziee Methoden, die darauf abzieen, die Aufösung von Geichungssystemen mit vieen Unbekannten zu vermeiden, werden nicht behandet, da dieser Aspekt heutzutage bedeutungsos ist. Es wird beim Lesen dieses Buches sicher manche Steen geben, bei denen sich das erwünschte Verständnis nicht unmittebar einstet. Oft ist esdann hifreich, die Zusammenhänge zunächst in der Anwendung auf ein konkretes Beispie zu betrachten und danach den nicht richtig verstandenen Abschnitt nochmas zuesen. Sebst wenn die Berechnung der Beispiee nachvozogen werden kann, ist es doch etwas vöig anderes, vor dem eeren Batt Papier zu sitzen und den richtigen Ansatz zur Lösung finden zu müssen. Darum enthät auch dieses Buch zahreiche Übungsaufgaben, die die so wichtige eigenständige Übung des Lehrstoffes ermögichen. Die Lösungen sind am Ende des Buches angegeben. Die voständigen Lösungswege sind im Internet unter zu finden.

3 6 Vorwort Die voriegende zweite Aufage dieses Buches ist inhatich unverändert, eswurden jedoch bekannt gewordene Feher korrigiert. Wie auch bei der Neuaufage des 1. Bandes wurde die Bezeichnung der Querkraft auf die in den Normen des konstruktiven Ingenieurbaus übiche Bezeichnung V umgestet. Ich danke für die zahreichen Hinweise sowie für die überwiegend sehr positive Beurteiung des Buches. Ich wünsche mir, dass dieses Buch den Lesern zudem erhofften Lernerfog verhift und würde mich über Hinweise, und Anregungen zur Verbesserung des Inhats sehr freuen. Dank gebührt Frau Franziska Kaufmann und ganz besonders Frau Christine Fritzsch vom Car Hanser Verag für die sehr freundiche und angenehme Zusammenarbeit. Für die Kontroe der Beispiee und Aufgaben sowie für die wertvoen Hinweise bei der Durchsicht des Manuskripts danke ich Frau Bianca Hennings ganz herzich. Abschießend möchte ich mich wieder ganz besonders bei meiner Frau Nanette bedanken, die auch beim Entstehen des zweiten Buches vie Gedud und Verständnis aufbringen musste und mich in vieerei Hinsicht beim Schreiben unterstützte. Tressow, im Frühjahr 009 Raimond Damann

4 Leseprobe Raimond Damann Baustatik Berechnung statisch unbestimmter Tragwerke ISBN: Weitere Informationen oder Besteungen unter sowie im Buchhande. Car Hanser Verag, M&uum;nchen

5 6 Das Kraftgrößenverfahren.1 Grundagen.1.1 Einführung Ein statisch bestimmtes System ist dadurch gekennzeichnet, dass die Bianz zwischen unbekannten Kraftgrößen und den für die Berechnung zur Verfügung stehenden Geichungen ausgewogen ist. Diese Bianz wird durch das Abzähkriterium geprüft. Wenn ae Aufager- und Schnittgrößen mit Hife der Geichgewichtsbedingungen ermittet werden können, ist ein System statisch bestimmt. Sind mehr unbekannte Aufager- und Schnittgrößen as Geichgewichtsbedingungen vorhanden, soist das System statisch unbestimmt. Die Unbekannten können nicht aein durch Geichgewichtsbedingungen berechnet werden, esmüssen zusätzich Verformungen betrachtet werden, umdie Lösung zu ermitten. Wir betrachten zur Eräuterung der Zusammenhänge den einseitig eingespannten Baken inbid.1. A h M a A v Bid.1 a Einseitig eingespannter Baken Durch die dreiwertige Lagerung impunkt a sowie die einwertige Lagerung in b sind insgesamt vier unbekannte Aufagerreaktionen vorhanden. Das Abzähkriterium ergibt: n = a + z p = = 1 q Das System ist aso einfach statisch unbestimmt. Um die Geichgewichtsbedingungen zu erfüen, sind nur drei Aufagerreaktionen erforderich. Ist eine der vier Unbekannten geich nu, so assen sich die anderen drei Kraftgrößen mit Hife der Geichgewichtsbedingungen ermitten. Damit nur drei unbekannte Kraftgrößen vorhanden sind, setzten wir eine der vier Unbekannten geich nu. Wir b B wähen zunächst die Aufagerkraft B. Wenn B geich nu ist, entspricht dies einem einfachen Kragträger. Das Nusetzen der Aufagerkraft B entspricht aso dem Lösen einer kinematischen Bindung, hier dem Entfernen des einwertigen Aufagers. Das durch das Lösen der Bindung entstandene veränderte System nennt man statisch bestimmtes Hauptsystem, esist in Bid. dargestet. Bid. Statisch bestimmtes Hauptsystem An diesem System können nun ae Aufagerkräfte und Schnittgrößen ermittet werden. Die Momenteninie sowie die Verformung infoge der Beastung am statisch bestimmten Hauptsystem zeigt Bid.. Diese Lösung nennt man Lastspannungszustand. Durch die Verformung des Kragträgers infoge der Beastung entsteht eine vertikae Verschiebung des Punktes b, die amwirkichen System nicht auftreten kann, da dort ein Aufager vorhanden ist. q Bid. q w b = δ 10 Momenteninie und Verformung infoge der Streckenast am statisch bestimmten Hauptsystem Durch das Entfernen des Aufagers, aso das Lösen der Bindung, wird eine Verformungsbedingung veretzt, in diesem Fa die Bedingung, dass die Verschiebung des Aufagerpunktes b geich nu sein muss. Die Verformungsbedingung wird veretzt, wei durch das Lösen der Bindung eine Kraftgröße zu nu gesetzt wurde, die tatsächich nicht geich nu ist. M 0 w 0

6 64 Das Kraftgrößenverfahren DieIdee des Kraftgrößenverfahrens besteht nun darin, die impunkt b wirkende, noch unbekannte Aufagerkraft in ihrer Größe so zu bestimmen, dass dieverformung infoge der Beastung wieder rückgängig gemacht wird. Dafür wird die Verformung des Punktes b benötigt. Um die Verschiebung infogeder Streckenast mitdem Prinzip der virtueen Kräfte zu berechnen, wird eine virtuee Kraft 1 impunkt b aufgebracht, siehe Bid.4. Durch Auswertung der Arbeitsgeichung fogt die gesuchte Verformung: 1 δ' 10 δ' --- I c 10 I MM 0 dx q = = = = Der Grund für die Bezeichnung der Verformung mit einer Doppeindizierung wird später deutich werden. 1 Bid.4 Virtueer Zustand Die berechnete Verformung δ' 10 muss nun mit einer Kraft ander Spitze des Kragträgers rückgängig gemacht werden. Wie groß muss diese Kraft sein, damit sie den Punkt b wieder indie Ausgangsage zurückschiebt? Um zu ermitten, weche Verformung eine Einzekraft im Punkt b am Kragträger bewirkt, bringen wir eine Kraft der Größe eins auf, siehe Bid.5. Eswäre jedoch grundsätzich auch mögich, einen anderen Wert anzusetzen. Die Lösung infoge der angesetzten Einheitskraftgröße bezeichnet man as Einheitsspannungszustand. 1 Bid.5 q 4 Einheitskraft am statisch bestimmten Hauptsystem Um die Verformung infoge der Einheitskraft zu ermitten, verwenden wir wieder denvirtueenzustand aus Bid.4: δ 11 M M 1 w 1 I c 1 δ' 11 = δ' = I MM 1 dx = 1 -- = Wirkt impunkt b eine Kraft der Größe X 1, ist die daraus fogende Verformung das X 1 -fache der Verformung infoge der Einheitskraft. Unter der geichzeitigen Wirkung der Streckenast sowie der Einzekraft muss sich im Punkt b eine Verformung von nu ergeben. Diese Aussage ist die Verformungsbedingung zur Bestimmung des Faktors X 1 : δ' 11 X 1 + δ' 10 = 0 Aufösen der Geichung nach der Unbekannten X 1 und Einsetzen der berechneten Verformungen δ' 10 und δ' 11 führt auf: q δ' 4 X 10 1 = - = ---- = δ' Dieser Wert entspricht der gesuchten Aufagerkraft im Punkt b. Die endgütige Momenteninie erhaten wir durch Superposition beider Teiösungen: M = X 1 M 1 + M 0 Im Aufagerpunkt a ergibt sich: M a -- q q = + = Damit kann die gesamte Momenteninie durch Einhängen der q -Parabe gezeichnet werden, siehe Bid.6. q Bid.6 -- q q q Endgütige Momenteninie Die endgütige Momenteninie amstatisch unbestimmten System in Bid.6 kann as Lösung am statisch bestimmten Hauptsystem infoge der geichzeitigen Wirkung von Streckenast und Einzekraft am Ende des Kragträgers aufgefasst werden. Wirken die in Bid.7 dargesteten Beastungen, ergibt sich die Lösung in Bid.6. M ---

7 .1 Grundagen 65 Bid.7 q -- q Statisch bestimmtes Hauptsystem unter der Wirkung von Streckenast und Einzekraft Um zu überprüfen, obdie Verschiebung des Punktes b geich nu ist, werten wir für den virtueen Zustand in Bid.4 die Arbeitsgeichung aus: I c 1 δ' 1 = δ' 1 = --- MMdx I 1 -- q 1 -- q = = 0 Mit dieser Kontroe der Verformung impunkt b ist die Berechnung nach dem Kraftgrößenverfahren bestätigt worden. Die Verformungsbedingung wird aso erfüt. Bei der obigen Berechnung wurde die zunächst zu nu gesetzte Aufagerkraft im Punkt b as Einheitsgröße vorgegeben. Dieser Einheitsspannungszustand ist in Bid.5 dargestet. Um die Verformungsbedingung zu erfüen, war es erforderich, die Verschiebung des Punktes b zu ermitten. Der für die Verformungsberechnung benötigte virtuee Zustand in Bid.4 unterscheidet sich vom Einheitszustand in Bid.5 nur durch den Querstrich der virtueen Größen. Beide Zustände sind forma identisch. Es wird daher imfogenden der Einheitsspannungszustand auch as virtueer Zustand für die Berechnung der Verformungen benutzt. Wir führen nun die Berechnung nochmas mit einem anderen Hauptsystem durch. Das Nusetzen der Aufagerkraft, aso das Entfernen des Aufagers im Punkt b ist nur eine von unendich vieen Mögichkeiten, das Hauptsystem zu wähen. Wir ösen nun eine kinematische Bindung so, dass ein Moment geich nu gesetzt wird. Dies entspricht dem Einegen eines Momentengeenkes. Es bietet sich in diesem Fa der Punkt a an. Durch das Einegen eines Geenkes in diesem Punkt wird aus dem dreiwertigen ein zweiwertiges Aufager, das nur Kräfte aufnehmen kann. Das daraus resutierende statisch bestimmte Hauptsystem ist der einfache Baken auf zwei Stützen. Das Hauptsystem sowie die Momenten- und Biegeinie infoge der Streckenast sind in Bid. dargestet. Durch das Lösen der Bindung, aso dem Einegen des Geenkes kann sich der Stab imaufagerpunkt a frei verdrehen. Amwirkichen System ist eine Einspannung vorhanden, so dass die Biegeinie indiesem Punkt eine horizontae Tangente habe müsste. Die Drehung der Tangente im Punkt a veretzt daher die Verformungsbedingungen des wirkichen Systems. Bid. Lastspannungszustand am beidseitig geenkigen Baken Das im Punkt a zu nugesetzte Biegemomentwird nun as Einheitsgröße angesetzt, dies ergibt den Einheitsspannungszustand in Bid.9. Das EinheitsdoppemomentimPunkt a erzeugt in diesem Punkt den Knick δ 11. Wie groß muss das Doppemoment in diesem Punkt sein, damit es den durch diebeastung in diesem Punkt erzeugten Knick wieder aufhebt? 1 a M = 1 1 Bid.9 q q Einheitsspannungszustand Um die Größe des Doppemomentes zu bestimmen, müssen die Knicke infoge der Beastung sowie des Einheitsdoppemomentes berechnet werden. Die Berechnung dieser Einzeverformung erfordert einen virtueen b M 0 δ 10 w 0 δ M 1 w 1

8 66 Das Kraftgrößenverfahren Zustand, der mit dem Einheitszustand forma identisch ist. Wir benutzen daher den Einheitsspannungszustand auch as virtueen Zustand, umdie Knicke zu berechnen. Inder Arbeitsgeichung wird daher M durch M 1 ersetzt. Damit ergibt sich der Knick inainfoge der Streckenast zu: 1 δ' 10 δ' --- I c 10 I M 1 M 0 dx 1 -- q = = = = q Wie aus obiger Geichung zu erkennen ist, entspricht die Indizierung des δ' -Wertes den Indizes der Momentenfunktionen unter dem Integrazeichen. Beide Indizes werden getrennt gesprochen. δ' 10 aso deta-eins-nu-strich und nicht etwa deta-zehn-strich! Die Indizes geben Ort und Ursache der Verformung an. Der Index 0 bezeichnet die Beastung, der andere Index den Einheitsspannungszustand. δ' 10 ist aso die Verformung an der Stee, an der die erste Bindung geöst wurde (Ort), infoge der Beastung (Ursache). Anaog berechnen wir den Knick in a infoge des Doppemomentes mit: 1 δ' 11 δ' --- I c 11 I M I c = = 1 M 1 dx = --- I M d x 1 = = -- Dadurch, dass M durch M 1 ersetzt wird, sind die tatsächiche Momenteninie, aso der Einheitszustand und die virtuee Momenteniniegeich. Der Wert δ' 11 ist die Verformung ander ersten geösten Bindung (Ort) infoge der Einheitsdoppegröße an der ersten geösten Bindung (Ursache). Für die Ermittung der δ -Werte mit geichen Indizes kann die etzte Spate der Integratafe A7 vorteihaft genutzt werden. Die Verformungsbedingung zur Ermittung der Größe des Doppemoments im Punkt a autet wiederum: δ 11 X 1 + δ 10 = 0 Anschauich bedeutet dies, dass der Knick im Aufagerpunkt a geich nu sein muss. Aus dieser Geichung fogt die Unbekannte X 1 : q δ X δ - q = = = Die daraus durch Superposition fogende endgütige Momenteninie entspricht der aus Bid.6. Es wurden zwei Varianten für die Bidung des statisch bestimmten Hauptsystems betrachtet, wobei jeweis eine Schnittgröße geich nu gesetzt wurde, die einer Aufagerkraftgröße entspricht. Wie schon erwähnt wurde, existieren unendich viee Mögichkeiten, das Hauptsystem zu biden, wei es unendich viee Schnittgrößen (an jeder Stee x) gibt. Es ist jedoch unbedingt auszuschießen, dass durch das Lösen einer Bindung ein kinematisch verschiebiches System entsteht, da hierfür kein Geichgewichtszustand ermittet werden kann. Beidem voriegendenbeidseitigeingespanntenträger dürfte von den drei Aufagerkraftgrößen nicht die horizontae Aufagerkraftgeich nu gesetzt werden, wiees in Bid.10 dargestet ist. Obwoh das Abzähkriterium n = 0 ergibt, ist das System verschiebich, da es sich spannungsfrei horizonta verschieben kann. M a a b A v Bid.10 Kinematisch verschiebiches Hauptsystem.1. Statisch bestimmtes Hauptsystem Wie anhand des Einführungsbeispies eräutert wurde, besteht der Grundgedanke des Kraftgrößenverfahrens darin, das tatsächiche System so zu verändern, dass es statisch bestimmt ist, aso nur mit Hife von Geichgewichtsbedingungen berechnet werden kann. Ist ein System n-fach statisch unbestimmt, so gibt es n Kraftgrößen, die zur Erfüung der Geichgewichtsbedingungen nicht benötigt werden. Es werden so viee kinematische Bindungen geöst, d.h.kraftgrößen geich nu gesetzt, bis das System statisch bestimmt ist. Bei einem n-fach statisch unbestimmten System sind demnach n Bindungen zu ösen. An den geösten Bindungen entstehen Reativverformungen, die am tatsächichen System nicht vorhanden sind. Diese Reativverformungen veretzen die Verformungsbedingungen. B

9 .1 Grundagen 67 Das in Bid.11 dargestete zweifach statisch unbestimmte System wird durch das Lösen zweier Bindungen statisch bestimmt. Im Punkt awird ein Geenk eingefügt und impunkt c wird das einwertige Aufager entfernt. An diesem Hauptsystem entsteht durch die Kraft ein Knick im Punkt a sowie eine Verschiebung des Punktes c. Diese Verformungen können am wirkichen System nicht auftreten. F a b c F M 0 Es sind n Momenteninien M i (gegebenenfas auch N i und V i )infoge der Einheitsdoppegrößen am statisch bestimmten Hauptsystem zu ermitten. Bid.1 zeigt die Einheitsspannungszustände für das zweifach statisch unbestimmte System aus Bid.11. Es wird zunächst ein Doppemoment der Größe 1 im Punkt a angesetzt. Dieses bewirkt einen Knick impunkt a sowie eine Verschiebung des Punktes c. Die zweite anzusetzende Einheitsgröße ist die Aufagerkraft im Punkt c. Durch diese Kraft ergibt sich eine Verschiebung des Punktes c sowie ein Knick im Punkt a. M a = 1 M 1 ϕ a 0 δ 0 δ 10 w c 0 w 0 δ11 δ 1 w 1 Bid.11 Zweifach statisch unbestimmtes System und Lastspannungszustand.1. Lastspannungszustand Die Zustandsgrößen infoge der Beastung am statisch bestimmten Hauptsystem biden den Lastspannungszustand, siehe Bid.11. Die Biegeinie wird für die Berechnung nichtbenötigt,sie dientnur derveranschauichung. Die Momenteninie M 0 infoge der Beastung am statisch bestimmten Hauptsystem fogt aus den Geichgewichtsbedingungen. Bei Berücksichtigung von Norma- und Querkraftverformungen sind zusätzich auch N 0 und V 0 zu berechnen. Bei Verformungsbeanspruchungen entfät dieser Punkt, da ae Schnittgrößen geich nu sind..1.4 Einheitsspannungszustände Die durch das Lösen der Bindungen zu nu gesetzten Kraftgrößen werden unabhängig voneinander as Einheitsgrößen angesetzt, um ihre Größe so zu bestimmen, dass die Verformungsbedingungen erfüt werden. ImAgemeinen erzeugt jede der Einheitskraftgrößen an aen geösten Bindungen Reativverformungen. δ 1 Bid.1 Einheitsspannungszustände.1.5 Ermittung der d-werte C = 1 Die an den geösten Bindungen auftretenden Reativverformungen infoge der Beastung ( δ j0 ) sowie der Einheitsdoppegrößen ( δ jk )werden durch Auswertung der Arbeitsgeichung des Prinzips der virtueen Kräfte berechnet. Die hierfür benötigten virtueen Zustände sind forma mit den Einheitsspannungszuständen identisch. Für die Berechnung der Verformungen werden daher die Einheitszustände geichzeitig as virtuee Zustände benutzt. δ M w