5/7/ Verschiedene Methoden zur Einführung von Bruchzahlen. a) Das Größenkonzept Man geht aus von konkreten Brüchen, die den Schülern aus

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Kevin Jaeger
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1 /7/09 1. Didak(k der Zahbereichserweiterungen 1.4 Erweiterung von den natürichen Zahen auf die posi(ven ra(onaen Zahen Bruchrechnung des 6. Schujahres 1.41 Verschiedene Methoden zur Einführung von Bruchzahen a) Das Größenkonzept Man geht aus von konkreten Brüchen, die den Schüern aus dem tägichen Leben vertraut sind: ½ Stunde, ¼ Liter, ½ km Verschiedene Methoden zur Einführung von Bruchzahen a) Das Größenkonzept Man geht aus von konkreten Brüchen, die den Schüern aus 1 1 dem tägichen Leben vertraut sind: Stunde, Liter, km. 1 4 b) Das Äquivaenzkassenkonzept Brüche assen sich as Bezeichnungen von Äquivaenzkassen deuten, die durch die Rea(on (a,b) ~ (c,d) mit a d = b c (was geichbedeutend ist mit a:b = c:d!)gebidet werden. (,4), (6,), (9,1) etc. gehören zu einer Äquivaenzkasse, die durch den Bruch 4 bezeichnet wird. 1

2 /7/ Verschiedene Methoden zur Einführung von Bruchzahen c) Das Geichungskonzept Die Geichung b x = a mit a, b IN ist nur dann innerhab IN ösbar, wenn b Teier von a ist. As agemeine Lösung der Geichung ässt sich die Bruchzah = a:b. a b a b definieren, wobei 1.41 Verschiedene Methoden zur Einführung von Bruchzahen c) Das Geichungskonzept Die Geichung b x = a mit a, b IN ist nur dann innerhab IN ösbar, wenn b Teier von a ist. As agemeine Lösung der Geichung ässt sich die Bruchzah = a:b. a b a b definieren, wobei d) Das Operatorkonzept Der Zusammenhang Drei Vierte von Euro sind 6 Euro ässt sich auch so deuten, dass der Größe Euro durch den Ausdruck von die Größe 6 Euro zugeordnet wird Das Größenkonzept Das Größenkonzept Beispiee zur Veranschauichung Wich>ge Modee: Kreismode Fächenmode Stabmode Streckenmode Bruchzahen as Maßzahen Konkrete Brüche sind Bruchteie von Einheitsgrößen:, 1 m, h, kg 4 Soche konkreten Brüche sind mögich, wei in einem Größenbereich mit Teibarkeitseigenschaf zu jeder Größe jeder beiebige Tei gefunden werden kann. Die gebrochene Maßzah wird ähnich wie eine Anzah verwendet; man spricht auch von einer Quasianzah. Veranschauichung durch einen Repräsentanten oder ein Bid von einem Repräsentanten. Die Einheit ist das Ganze. a b

3 /7/09 Brüche as Maßzahen in Größenangaben Brüche am Zahenstrah Bruch und Bruchzah Bruch und Bruchzah Am Zahenstrah ässt sich der Unterschied zwischen Bruch und Bruchzah erarbeiten. Am Zahenstrah ässt sich der Unterschied zwischen Bruch und Bruchzah erarbeiten. Zu der gekennzeichneten Bruchzah gehören viee Brüche. Die Bruchzah ist die Kasse der äquivaenten Brüche. 1 ist der Standardname der Bruchzah, sie kann aber durch jeden anderen Repräsentanten aus der Kasse bezeichnet werden. Zu jeder Bruchzah gehören viee Brüche. Die Bruchzah ist die Kasse der äquivaenten Brüche. Eine Bruchzah kann durch jeden Repräsentanten aus der Kasse bezeichnet werden.

4 /7/09 Stammbrüche Brüche gemischte Zahen. 4

5 /7/09 Kürzen und Erweitern Man geht von einem Repräsentanten einer Bruchzah auf einen anderen über. Die Aufgabe veranschauicht das Kürzen bzw. das Erweitern.. Größenvergeich von Brüchen. Von zwei Brüchen mit geichem Nenner ist der mit dem keineren Zäher der keinere. < Von zwei Brüchen mit geichem Zäher ist der mit dem keineren Nenner der größere. <

6 /7/09 Größenvergeich von Brüchen Brüche mit ungeichen Nennern und auch ungeichen Zähern werden durch Erweitern bzw. Kürzen auf den geichen Nenner gebracht. Vergeiche = 40 und = < aso < Ordnen von Brüchen Addi(on und Subtrak(on von Brüchen 6

7 /7/09 Addi(on und Subtrak(on von Brüchen Es empfieht sich fogende Stufung: Addition geichnamiger Brüche ohne Einer-Überschreitung Addition geichnamiger Brüche mit Einer-Überschreitung Addition ungeichnamiger Brüche ohne Einer-Überschreitung, wobei nur ein Bruch erweitert werden muss. Addition ungeichnamiger Brüche mit Einer-Überschreitung, wobei nur ein Bruch erweitert werden muss. Addition ungeichnamiger Brüche ohne Einer-Überschreitung, wobei beide Brüche erweitert werden müssen. Addition ungeichnamiger Brüche mit Einer-Überschreitung, wobei beide Brüche erweitert werden müssen. Addieren und Subtrahieren Prak(sche Versuche Legt die Papierstreifen, die in 1 geichgroße Teie aufgeteit ist mit /1, /1 und 7/1 Bruchstreifen voständig aus Hier müssen beide Brüche erweitert werden. 7

8 /7/09 Subtraktion von Brüchen Mutipikation von Brüchen PADBERG empfieht fogende Stufung: Stufung: - Subtraktion einer natürichen Zah von einer gemischten - Mutipikation eines Bruches mit einer ganzen Zah - Geicher Nenner ohne Einer-Übergang -Mutipikation zweier Brüche Da im Größenmode der Bruch as konkreter Bruch, das heißt as eine Größe aufgefasst wird, ist eine Mutipikation zweier Größen aus demseben Größenbereich nicht mögich. 1 kg. 1 kg wäre 1 kg oder 1. 1 wäre 1, was im Atag keinen Sinn macht. Eine mögiche Veranschauichung ist im Größenbereich der Längen gegeben; das Produkt von 1 m. 1 m = 1 m ergibt einen Sinn, aber führt aus dem ursprüngichen Größenbereich der Längen heraus und in den Größenbereich der Fächeninhate hinein. - Beiebiger Nenner ohne Einer-Übergang - Subtraktion einer gemischten Zah von einer natürichen Zah - Beiebiger Nenner mit Übergang Veranschauichung der Mutipikation eines Bruches mit einer ganzen Zah Mu(pika(on Prak(sch: Zeichne vier Quadrate auf deinem Ban teie sie in 16 geiche Teie und färbe ¼ in einer heen Farbe. Schraﬃere nun in einer dunkeren Farbe: Das Doppete von ¼

9 /7/09 Veranschauichung der Mutipikation eines Bruches mit einem Bruch auf Grund des Größenbereichs der Längen mit dem Übergang in den Größenbereich der Fächeninhate Beibt man konsequent im Größenmode, so kann man die Mutipikation von Brüchen nur auf Grund einer Permanenzreihe einführen. Dies beruht auf dem Permanenzprinzip (nach Hanke): Beibt man konsequent im Größenmode, so kann man die Mutipikation von Brüchen nur auf Grund einer Permanenzreihe einführen. Dies beruht auf dem Permanenzprinzip (nach Hanke): Division durch einen Bruch Schwierigkeiten bei der Division as Verteien und as Aufteien 9

10 /7/09 Division durch einen Bruch Schwierigkeiten bei der Division as Verteien und as Aufteien Division durch einen Bruch Division as Umkehrung der Mutipikation 10

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