Didaktik der Bruchrechnung

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1 Naturwissenschaft Kristin Jankowsky Didaktik der Bruchrechnung Referat (Handout)

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3 Mathematisch Naturwissenschaftliche Fakultät II Didaktik der Mathematik Seminar: Prüfungskolloquium Didaktik der Mathematik Referentin: Kristin Jankowsky Thema: Didaktik der Bruchrechnung in den Klassen 5 und 6 mit Ausblick auf die Sekundarstufe I Klasse 5: Brüche und Bruchdarstellung Lernziele: Klasse 6: Bruchrechnung Dezimalbruchrechnung 20 Stunden (von ca. 150)/ 5 davon als Bruchdarstellungen in der Umwelt erkennen und deuten Vorgegebene Einheiten in Bruchteile zerlegen und vorgegebene Teile mit Hilfe von Brüchen beschreiben 60 Stunden (von ca. 150)/ 10 davon als 50 Stunden (von ca. 150)/ 15 davon als Lernziele Bruchrechnung: Regeln zum Kürzen und Erweitern kennen und anwenden Brüche nach der Größe ordnen Gleichnamige und ungleichnamige Brüche addieren und subtrahieren Brüche vervielfachen, multiplizieren, durch nat. Zahlen und Brüche dividieren Lernziele Dezimalbruchrechnung: Dezimalbrüche einordnen und darstellen Dezimalbrüche in Bruchschreibweise darstellen Brüche in Dezimalbrüche umwandeln und umgekehrt Brüche und Dezimalbrüche nach der Größe ordnen Dezimalbrüche addieren und subtrahieren, mit Systemzahlen multiplizieren und durch Systemzahlen dividieren, multiplizieren und dividieren Klasse 8: Algebra II (Bruchterme, Bruchgleichungen) 20 Stunden (von ca. 120)

4 A Bedarf der didaktischen Auseinandersetzung mit der Bruchrechnung... 2 I Auftreten von Bruchgrößen im täglichen Leben... 2 II Innermathematische Notwendigkeit... 2 III empirische Untersuchung (Padberg) Addition von Dezimalbrüchen: Subtraktion von Dezimalbrüchen: Multiplikation von Dezimalbrüchen: Division von Dezimalbrüchen:... 5 B Schlussfolgerungen aus den didaktischen Erkenntnissen... 6 I Konzepte zur Behandlung der Bruchrechnung Das Größenkonzept Das Äquivalenzklassenkonzept Das Gleichungskonzept Operatorkonzept... 7 II Möglichkeiten zum Aufbau eines systematischen Bruchrechenlehrgangs Probleme des gegenwärtigen Bruchrechenlehrgangs Forderungen Umsetzung in Klasse Umsetzung in Klasse A Bedarf der didaktischen Auseinandersetzung mit der Bruchrechnung I Auftreten von Bruchgrößen im täglichen Leben bei genauen Messungen z.b. von Längen, Flächeninhalten, Volumina, Zeitspannen usw. als Angaben wie ¼ l, ½ kg oder ¾ h reichen die nat. Zahlen nicht mehr aus beim Teilen von Größen verwendet man gemeine Brüche (der sechste Teil eines Kuchens) oder auch Dezimalbrüche alltägliche Rechnungen mit Dezimalbrüchen (beim Einkaufen) Prozentrechnung/ Zinsrechnung II Innermathematische Notwendigkeit die Division (ohne Rest) kann in den natürlichen Zahlen nur eingeschränkt durchgeführt werden, deshalb ist es notwendig den Zahlenbereich auf die positiven rationalen Zahlen zu erweitern, damit ohne jede Einschränkung (Ausnahme Division durch Null) dividiert werden kann bei der Gleichungslehre sind gründliche Kenntnisse der Bruchrechnung (bei Äquivalenzumformungen) erforderlich (Bsp.: einfaches lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen) Zins-, Prozent- und Wahrscheinlichkeitsrechnung können ohne die Kenntnis von Bruchzahlen nicht vermittelt werden Für das Umstellen von Formeln (naturwissenschaftliche Fächer) Bruchzahlen und Bruchzahloperationen vonnöten Termumformungen

5 III empirische Untersuchung (Padberg) 900 Schüler in 28 Realschulklassen (7. Klassen) Ergebnisse gemeine Brüche : Fehlertyp Ursache Bemerkung Vorbeugung Bruch plus a/b + c/d = (a+c)/ (b+d) Bruch Kombination von Bruch plus nat. Zahl Bruch minus Bruch n + a/b = (n + a)/b bzw. a/b + n = (a + n)/b Mehr als 10% der Schüler formulieren die Additionsregel sogar in dieser Form Im Durchschnitt benutzen rund 20% der Schüler je Aufgabe diese Fehlerstrategie a/b c/d = (a c)/ (b- d) Schüler betrachten Aufgaben als gleichsinniges Subtrahieren im Zähler und Nenner; ist allerdings der Nenner des zu subtrahierenden Bruches größer, wird entweder die Aufgabe ausgelassen oder nur die Zähler voneinander subtrahiert und einen der beiden Nenner als Ergebnis Es muss herausgearbeitet werden, dass bei der Addition von Brüchen bei jedem Summand wie auch bei der Summe stets auf dieselbe Bezugsgröße Bezug genommen werden muss Anschauliche Grundvorstellungen zur Addition müssen aufgebaut werden, leichte Aufgaben mit anschaulicher Grundvorstellung nicht formal bzw. kalkülmäßig, Kontrastaufgaben (Additions- und Multiplikationsaufgaben) diesen Fehlertyps, der Zahlenraum der Zähler und Nenner sollte klein(-er) gewählt werden Analog zur Addition